2012东城区高三一模试卷及答案(数学理)
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2012东城区高三一模试卷及答案(数学理)

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资料简介
北京市东城区 2011-2012 学年度第二学期高三综合练习(一) 数学 (理科) 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。 考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)若 a ,bR ,i 是虚数单位,且 ( 2)i 1 ia b    ,则 a b 的值为 (A)1 (B) 2 (C)3 (D) 4 (2)若集合 },0{ 2mA  , }2,1{B ,则“ 1m ”是“ }2,1,0{BA  ”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3)若实数 x , y 满足不等式组 1, 2, 0, y x y x y        则 yxz 2 的最小值为 (A) 2 7 (B) 2 (C)1 (D) 2 5 (4)右图给出的是计算 100 1...8 1 6 1 4 1 2 1  的一个程序框图, 其中判断框内应填入的条件是 (A) 50i (B) 50i (C) 25i (D) 25i (5)某小区有排成一排的 7 个车位,现有3 辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的 4 个车位连在一起, 那么不同的停放方法的种数为 (A)16 (B)18 (C)24 (D)32 (6)已知 x , y , z R ,若 1 , x , y , z , 3 成等比数列,则 xyz 的值为 C (A) 3 (B) 3 (C) 3 3 (D) 3 3 (7)在直角梯形 ABCD 中,已知 BC ∥ AD , AB AD , 4AB  , 2BC  , 4AD  ,若 P 为CD 的 中点,则 PA PB  的值为 (A) 5 (B) 4 (C) 4 (D)5 (8)已知函数 2 1, 0,( ) ( 1), 0. x xf x f x x       若方程 ( )f x x a  有且只有两个不相等的实数根,则实数 a 的 8 4 4 6 4 7 m 9 3 5 4 5 5 1 0 7 9 乙甲 B C D A O E D C1 Q0 N1 C B1 A B M Q 取值范围是 (A) ,1 (B) ,1 (C) 0,1 (D) 0,  第Ⅱ卷(共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)命题“ 0 0 0(0, ),tan sin2x x x   ”的否定是 . (10)在极坐标系中,圆 2 的圆心到直线 cos sin 2     的距离为 . (11)在如图所示的茎叶图中,乙组数据的中位数是 ; 若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数 后,两组数据的平均数中较大的一组是 组. (12)如图,AB 是⊙O 的直径,直线 DE 切⊙ O 于点 D ,且与 AB 延长线交于点C ,若CD  3 , 1CB  , 则 ADE = . (13)抛物线 2y x 的准线方程为 ;经过此抛物线的焦点是和点 (1,1)M ,且 与准线相切的圆共有 个. (14)如图,在边长为 3的正方形 ABCD 中,点 M 在 AD 上,正方形 ABCD 以 AD 为 轴逆时针旋 转 角 )3 (0≤ ≤ 到 1 1AB C D 的位置 ,同时点 M 沿着 AD 从点 A 运动到点 D , 1 1MN DC  , 点 Q 在 1MN 上,在运动过程中点 Q 始终满足 QM  1 cos   ,记点 Q 在面 ABCD 上的射影为 0Q , 则在运动过程中向量 0BQ  与 BM  夹角 的正切的最大值为 . P F E A B C F A1 CPB E 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15)(本小题共 13 分) 已知函数 2 2( ) (sin2 cos2 ) 2sin 2f x x x x   . (Ⅰ)求 ( )f x 的最小正周期; (Ⅱ)若函数 ( )y g x 的图 象是由 ( )y f x 的图象向右平移 8  个单位长度,再向上平移 1 个单位长度得 到的,当 x[ 0 , 4  ]时,求 ( )y g x 的最大值和最小值. (16)(本小题共 13 分) 某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为80% ,二等品率为 20% ;乙产品的一等品率为 90% ,二等品率为10% .生产1件甲产品,若是一等品,则获利 4 万元,若是二等品,则亏损1万元;生 产1件乙产品,若是一等品,则获利 6 万元,若是二等品,则亏损 2 万元.两种产品生产的质量相互独立. (Ⅰ)设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为 X (单位:万元),求 X 的分布列; (Ⅱ)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于10 万元的概率. (17)(本小题共 13 分) 如图 1,在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E , F , P 分别为 AB , AC , BC 上的点,且满足 1AE FC CP   .将△ AEF 沿 EF 折起到△ 1A EF 的位置,使二面角 1A EF B  成直二面角,连结 1A B , 1A P .(如图 2) (Ⅰ)求证: EA1 ⊥平面 BEP ; (Ⅱ)求直线 EA1 与平面 BPA1 所成角的大小. 图 1 图 2 (18)(本小题共 14 分) 已知函数 2 21( ) 2e 3e ln2f x x x x b    在 0( ,0)x 处的切线斜率为零. (Ⅰ)求 0x 和b 的值; (Ⅱ)求证:在定义域内 ( ) 0f x ≥ 恒成立; (Ⅲ) 若函数 ( ) ( ) aF x f x x   有最小值 m ,且 2em  ,求实数 a 的取值范围. (19)(本小题共13分) 已知椭圆C :   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的离心率是 1 2 ,其左、右顶点分别为 1A , 2A , B 为短轴的端 点,△ 1 2A BA 的面积为 2 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 2F 为椭圆C 的右焦点,若点 P 是椭圆C 上异于 1A , 2A 的任意一点,直线 1A P , 2A P 与直线 4x  分别交于 M , N 两点,证明:以 MN 为直径的圆与直线 2PF 相切于点 2F . (20)(本小题共 14 分) 若 对 于 正 整 数 k , ( )g k 表 示 k 的 最 大 奇 数 因 数 , 例 如 (3) 3g  , (10) 5g  . 设 (1) (2) (3) (4) (2 )n nS g g g g g      . (Ⅰ)求 (6)g , (20)g 的值; (Ⅱ)求 1S , 2S , 3S 的值; (Ⅲ)求数列 nS 的通项公式. 北京市东城区 2011-2012 学年度第二学期高三综合练习(一) 数学参考答案及评分标准 (理科) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)D (2)A (3)A (4)B (5)C (6)C (7)D (8)A 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) (0, ),tan sin2x x x   (10) 2 (11)84 乙 (12) 60 (13) 1 4x   2 (14) 6 12 注:两个空的填空题第一个空填对得 2 分,第二个空填对得 3 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15)(共 13 分) 解:(Ⅰ)因为 2 2( ) (sin 2 cos2 ) 2sin 2f x x x x   sin 4 cos4x x  2 sin(4 )4x   , …………6 分 所以函数 ( )f x 的最小正周期为 2  . …………8 分 (Ⅱ)依题意, ( )y g x  2 sin [ 4( )8x  4  ] 1 2 sin(4 ) 14x    . …………10 分 因为 0 4x   ,所以 344 4 4x      . …………11 分 当 4 4 2x    ,即 3 16x  时, ( )g x 取最大值 2 1 ; 当 4 4 4x     ,即 0x  时, ( )g x 取最小值0 . …………13 分 (16)(共 13 分) 解:(Ⅰ)由题设知, X 的可能取值为10,5 , 2 , 3 . …………2 分 ( 10)P X  0.8 0.9 0.72   , ( 5) 0.2 0.9 0.18P X     , ( 2) 0.8 0.1 0.08P X     , ( 3) 0.2 0.1 0.02P X      . …………6 分 由此得 X 的分布列为: D P F E A CB X 10 5 2 3 P 0.72 0.18 0.08 0.02 …………8 分 (Ⅱ)设生产的 4 件甲产品中一等品有 n 件,则二等品有 4 n 件. 由题设知 4 (4 ) 10n n   ,解得 14 5n  , 又 n N 且 4n  ,得 3n  ,或 4n  . …………10 分 所求概率为 3 3 4 4 0.8 0.2 0.8 0.8192P C     .(或写成 512 625 ) 答:生产 4 件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为 0.8192 . …………13 分 (17)(共 13 分) (Ⅰ)证明:取 BE 中点 D ,连结 DF . 因为 1AE CF  , 1DE  , 所以 2AF AD  ,而 60A   ,即△ ADF 是正三角形. 又因为 1AE ED  , 所以 EF AD . …………2 分 所以在图 2 中有 1A E EF , BE EF .…………3 分 所以 1A EB 为二面角 1A EF B  的平面角. 图 1 又二面角 1A EF B  为直二面角, 所以 1A E BE . …………5 分 又因为 BE EF E , 所以 1A E ⊥平面 BEF ,即 1A E ⊥平面 BEP . …………6 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 1A E ⊥平面 BEP ,BE EF ,如图,以 E 为原点,建立空间直角坐标系 E xyz , 则 (0 , 0 , 0)E , 1(0 , 0 ,1)A , (2 , 0 , 0)B , (0, 3 , 0)F . 在图1中,连结 DP . 因为 1 2 CF CP FA PB   , 所以 PF ∥ BE ,且 1 2PF BE DE  . 所以四边形 EFPD 为平行四边形. 所以 EF ∥ DP ,且 EF DP . 故点 P 的坐标为(1, 3 ,0). 图 2 所以 1 (2 , 0 , 1)A B   , ( 1, 3,0)BP   , 1 (0 , 0 ,1)EA  . …………8 分 不妨设平面 1A BP 的法向量 ( , , )x y zn ,则 1 0, 0. A B BP        n n 即 2 0, 3 0. x z x y     令 3y  ,得 (3 , 3 , 6)n . …………10 分 所以 cos 1EA  n, 1 1 6 3 2| || | 1 4 3 EA EA      n n . …………12 分 故直线 1A E 与平面 1A BP 所成角的大小为 3  . …………13 分 (18)(共 14 分) (Ⅰ)解: 23e( ) 2ef x x x     . …………2 分 由题意有 0( ) 0f x  即 2 0 0 3e2e 0x x    ,解得 0 ex  或 0 3ex   (舍去).…………4 分 得 (e) 0f  即 2 2 21 e 2e 3e ln e 02 b    ,解得 21 e2b   . …………5 分 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 2 2 21 e( ) 2e 3e ln ( 0)2 2f x x x x x     , ( )f x 23e ( e)( 3e)2e ( 0)x xx xx x       . 在区间 (0,e) 上,有 ( ) 0f x  ;在区间 (e, ) 上,有 ( ) 0f x  . 故 ( )f x 在 (0,e) 单调递减,在 (e, ) 单调递增, 于是函数 ( )f x 在 (0, ) 上的最小值是 (e) 0f  . …………9 分 故当 0x  时,有 ( ) 0f x ≥ 恒成立. …………10 分 (Ⅲ)解: 23e( ) ( ) 2ea aF x f x xx x      ( 0)x  . 当 23ea  时,则 2 23e( ) 2e 2 3e 2eaF x x ax       ,当且仅当 23ex a  时等号成立, 故 ( )F x 的最小值 22 3e 2em a   2e ,符合题意; …………13 分 当 23ea  时,函数 ( ) 2eF x x  在区间 (0, ) 上是增函数,不存在最小值,不合题意; 当 23ea  时,函数 23e( ) 2eaF x x x    在区间 (0, ) 上是增函数,不存在最小值,不合题意. 综上,实数 a 的取值范围是 2(3e , ) . …………14 分 (19)(共 13 分) (Ⅰ)解:由已知 2 2 2 1 ,2 2 3, . c a ab a b c         …………2 分 解得 2a  , 3b  . …………4 分 故所求椭圆方程为 2 2 14 3 x y  . …………5 分 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知  1 2,0A  ,  2 2,0A ,  2 1,0F . 设   0 0 0, 2P x y x   ,则 2 2 0 03 4 12x y  . 于是直线 1A P 方程为  0 0 22 yy xx   ,令 4x  ,得 0 0 6 2M yy x   ; 所以 (M 4, 0 0 6 2 y x  ) ,同理 (N 4, 0 0 2 2 y x  ) . …………7 分 所以 2F M  ( 3, 0 0 6 2 y x  ) , 2F N  ( 3, 0 0 2 2 y x  ) . 所以 2 2F M F N   ( 3, 0 0 6 2 y x  )  ( 3, 0 0 2 2 y x  ) 0 0 0 0 6 29 2 2 y y x x      22 00 2 2 0 0 3 12 3129 94 4 xy x x        2 0 2 0 9 4 9 9 9 04 x x       . 所以 2 2F M F N ,点 2F 在以 MN 为直径的圆上. …………9 分 设 MN 的中点为 E ,则 (4,E 0 0 2 0 4 ( 1) 4 y x x   ) . …………10 分 又 2F E  (3, 0 0 2 0 4 ( 1) 4 y x x   ) ,  2 0 01, ,F P x y  所以 2 2F E F P   (3, 0 0 2 0 4 ( 1) 4 y x x   )      2 0 0 0 0 0 2 0 4 11, 3 1 4 y xx y x x                2 0 0 0 0 02 0 12 3 1 3 1 3 1 3 1 04 x x x x xx           . 所以 2 2F E F P . …………12 分 因为 2F E 是以 MN 为直径的圆的半径, E 为圆心, 2 2F E F P , 故以 MN 为直径的圆与直线 2PF 相切于右焦点. …………13 分 (20)(共 14 分) 解:(Ⅰ) (6) 3g  , (20) 5g  . …………2 分 (Ⅱ) 1 (1) (2) 1 1 2S g g     ; 2 (1) (2) (3) (4) 1 1 3 1 6S g g g g         ; 3 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 1 1 3 1 5 3 7 1 22S g g g g g g g g                 . …………6 分 (Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)不难发现对 m N , 有 (2 ) ( )g m g m . …………8 分 所以当 2n  时, (1) (2) (3) (4) (2 1) (2 )n n nS g g g g g g        [ (1) (3) (5) (2 1)] [ (2) (4) (2 )]n ng g g g g g g           1[1 3 5 (2 1)] [ (2 1) (2 2) (2 2 )]n ng g g               1 1(1 2 1) 2 [ (1) (2) (2 )]2 n n ng g g         1 14n nS   …………11 分 于是 1 1 4n n nS S    , 2 ,n n   N . 所以 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( )n n n n nS S S S S S S S          1 2 24 4 4 4 2n n       14(1 4 ) 4 221 4 3 3 n n    , 2 ,n n   N . …………13 分 又 1 2S  ,满足上式, 所以对 n N , 1 (4 2)3 n nS   . …………14 分

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