2012东城区高三一模试卷及答案（数学理）

北京市东城区 2011-2012 学年度第二学期高三综合练习（一） 数学 （理科） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若 a ，bR ，i 是虚数单位，且 ( 2)i 1 ia b    ，则 a b 的值为 （A）1 （B） 2 （C）3 （D） 4 （2）若集合 },0{ 2mA  ， }2,1{B ，则“ 1m ”是“ }2,1,0{BA  ”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （3）若实数 x ， y 满足不等式组 1, 2, 0, y x y x y        则 yxz 2 的最小值为 （A） 2 7 （B） 2 （C）1 （D） 2 5 （4）右图给出的是计算 100 1...8 1 6 1 4 1 2 1  的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是 （A） 50i （B） 50i （C） 25i （D） 25i （5）某小区有排成一排的 7 个车位，现有3 辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的 4 个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为 （A）16 （B）18 （C）24 （D）32 （6）已知 x ， y ， z R ，若 1 ， x ， y ， z ， 3 成等比数列，则 xyz 的值为 C （A） 3 （B） 3 （C） 3 3 （D） 3 3 （7）在直角梯形 ABCD 中，已知 BC ∥ AD ， AB AD ， 4AB  ， 2BC  ， 4AD  ，若 P 为CD 的 中点，则 PA PB  的值为 （A） 5 （B） 4 （C） 4 （D）5 （8）已知函数 2 1, 0,( ) ( 1), 0. x xf x f x x       若方程 ( )f x x a  有且只有两个不相等的实数根，则实数 a 的 8 4 4 6 4 7 m 9 3 5 4 5 5 1 0 7 9 乙甲 B C D A O E D C1 Q0 N1 C B1 A B M Q 取值范围是 （A） ,1 （B） ,1 （C） 0,1 （D） 0,  第Ⅱ卷（共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 （9）命题“ 0 0 0(0, ),tan sin2x x x   ”的否定是 . （10）在极坐标系中，圆 2 的圆心到直线 cos sin 2     的距离为 ． （11）在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ； 若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数 后，两组数据的平均数中较大的一组是 组． （12）如图，AB 是⊙O 的直径，直线 DE 切⊙ O 于点 D ，且与 AB 延长线交于点C ，若CD  3 ， 1CB  ， 则 ADE = ． （13）抛物线 2y x 的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点 (1,1)M ，且 与准线相切的圆共有 个． （14）如图，在边长为 3的正方形 ABCD 中，点 M 在 AD 上，正方形 ABCD 以 AD 为 轴逆时针旋 转 角 )3 (0≤ ≤ 到 1 1AB C D 的位置 ，同时点 M 沿着 AD 从点 A 运动到点 D ， 1 1MN DC  ， 点 Q 在 1MN 上，在运动过程中点 Q 始终满足 QM  1 cos   ，记点 Q 在面 ABCD 上的射影为 0Q ， 则在运动过程中向量 0BQ  与 BM  夹角 的正切的最大值为 . P F E A B C F A1 CPB E 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共 13 分） 已知函数 2 2( ) (sin2 cos2 ) 2sin 2f x x x x   . （Ⅰ）求 ( )f x 的最小正周期； （Ⅱ）若函数 ( )y g x 的图 象是由 ( )y f x 的图象向右平移 8  个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得 到的，当 x[ 0 , 4  ]时，求 ( )y g x 的最大值和最小值. （16）（本小题共 13 分） 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80% ，二等品率为 20% ；乙产品的一等品率为 90% ，二等品率为10% .生产1件甲产品，若是一等品，则获利 4 万元，若是二等品，则亏损1万元；生 产1件乙产品，若是一等品，则获利 6 万元，若是二等品，则亏损 2 万元.两种产品生产的质量相互独立. （Ⅰ）设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为 X （单位：万元），求 X 的分布列； （Ⅱ）求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于10 万元的概率. （17）（本小题共 13 分） 如图 1，在边长为 3 的正三角形 ABC 中， E ， F ， P 分别为 AB ， AC ， BC 上的点，且满足 1AE FC CP   .将△ AEF 沿 EF 折起到△ 1A EF 的位置，使二面角 1A EF B  成直二面角，连结 1A B ， 1A P .（如图 2） （Ⅰ）求证： EA1 ⊥平面 BEP ； （Ⅱ）求直线 EA1 与平面 BPA1 所成角的大小. 图 1 图 2 (18)（本小题共 14 分） 已知函数 2 21( ) 2e 3e ln2f x x x x b    在 0( ,0)x 处的切线斜率为零． （Ⅰ）求 0x 和b 的值； （Ⅱ）求证：在定义域内 ( ) 0f x ≥ 恒成立； (Ⅲ) 若函数 ( ) ( ) aF x f x x   有最小值 m ，且 2em  ，求实数 a 的取值范围. （19）（本小题共13分） 已知椭圆C ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的离心率是 1 2 ，其左、右顶点分别为 1A ， 2A ， B 为短轴的端 点，△ 1 2A BA 的面积为 2 3 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ） 2F 为椭圆C 的右焦点，若点 P 是椭圆C 上异于 1A ， 2A 的任意一点，直线 1A P ， 2A P 与直线 4x  分别交于 M ， N 两点，证明：以 MN 为直径的圆与直线 2PF 相切于点 2F ． （20）（本小题共 14 分） 若 对 于 正 整 数 k , ( )g k 表 示 k 的 最 大 奇 数 因 数 ， 例 如 (3) 3g  ， (10) 5g  . 设 (1) (2) (3) (4) (2 )n nS g g g g g      ． （Ⅰ）求 (6)g , (20)g 的值； （Ⅱ）求 1S ， 2S ， 3S 的值； （Ⅲ）求数列 nS 的通项公式． 北京市东城区 2011-2012 学年度第二学期高三综合练习（一） 数学参考答案及评分标准 （理科） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）D （2）A （3）A （4）B （5）C （6）C （7）D （8）A 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9） (0, ),tan sin2x x x   （10） 2 （11）84 乙 （12） 60 （13） 1 4x   2 （14） 6 12 注：两个空的填空题第一个空填对得 2 分，第二个空填对得 3 分． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） （15）（共 13 分） 解：（Ⅰ）因为 2 2( ) (sin 2 cos2 ) 2sin 2f x x x x   sin 4 cos4x x  2 sin(4 )4x   , …………6 分 所以函数 ( )f x 的最小正周期为 2  . …………8 分 （Ⅱ）依题意, ( )y g x  2 sin [ 4( )8x  4  ] 1 2 sin(4 ) 14x    . …………10 分 因为 0 4x   ，所以 344 4 4x      . …………11 分 当 4 4 2x    ，即 3 16x  时， ( )g x 取最大值 2 1 ； 当 4 4 4x     ，即 0x  时， ( )g x 取最小值0 . …………13 分 （16）（共 13 分） 解：（Ⅰ）由题设知， X 的可能取值为10，5 ， 2 ， 3 . …………2 分 ( 10)P X  0.8 0.9 0.72   ， ( 5) 0.2 0.9 0.18P X     ， ( 2) 0.8 0.1 0.08P X     ， ( 3) 0.2 0.1 0.02P X      . …………6 分 由此得 X 的分布列为： D P F E A CB X 10 5 2 3 P 0.72 0.18 0.08 0.02 …………8 分 （Ⅱ）设生产的 4 件甲产品中一等品有 n 件，则二等品有 4 n 件. 由题设知 4 (4 ) 10n n   ，解得 14 5n  ， 又 n N 且 4n  ，得 3n  ，或 4n  . …………10 分 所求概率为 3 3 4 4 0.8 0.2 0.8 0.8192P C     .（或写成 512 625 ） 答：生产 4 件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为 0.8192 . …………13 分 （17）（共 13 分） （Ⅰ）证明：取 BE 中点 D ，连结 DF . 因为 1AE CF  ， 1DE  ， 所以 2AF AD  ，而 60A   ，即△ ADF 是正三角形. 又因为 1AE ED  , 所以 EF AD . …………2 分 所以在图 2 中有 1A E EF ， BE EF .…………3 分 所以 1A EB 为二面角 1A EF B  的平面角. 图 1 又二面角 1A EF B  为直二面角， 所以 1A E BE . …………5 分 又因为 BE EF E , 所以 1A E ⊥平面 BEF ,即 1A E ⊥平面 BEP . …………6 分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知 1A E ⊥平面 BEP ，BE EF ，如图，以 E 为原点，建立空间直角坐标系 E xyz ， 则 (0 , 0 , 0)E ， 1(0 , 0 ,1)A ， (2 , 0 , 0)B ， (0, 3 , 0)F . 在图１中，连结 DP . 因为 1 2 CF CP FA PB   ， 所以 PF ∥ BE ，且 1 2PF BE DE  . 所以四边形 EFPD 为平行四边形. 所以 EF ∥ DP ，且 EF DP . 故点 P 的坐标为（1， 3 ，0）. 图 2 所以 1 (2 , 0 , 1)A B   ， ( 1, 3,0)BP   ， 1 (0 , 0 ,1)EA  . …………8 分 不妨设平面 1A BP 的法向量 ( , , )x y zn ，则 1 0, 0. A B BP        n n 即 2 0, 3 0. x z x y     令 3y  ，得 (3 , 3 , 6)n . …………10 分 所以 cos 1EA  n, 1 1 6 3 2| || | 1 4 3 EA EA      n n . …………12 分 故直线 1A E 与平面 1A BP 所成角的大小为 3  . …………13 分 （18）（共 14 分） （Ⅰ）解： 23e( ) 2ef x x x     . …………2 分 由题意有 0( ) 0f x  即 2 0 0 3e2e 0x x    ，解得 0 ex  或 0 3ex   （舍去）．…………4 分 得 (e) 0f  即 2 2 21 e 2e 3e ln e 02 b    ，解得 21 e2b   ． …………5 分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 2 2 21 e( ) 2e 3e ln ( 0)2 2f x x x x x     ， ( )f x 23e ( e)( 3e)2e ( 0)x xx xx x       ． 在区间 (0,e) 上，有 ( ) 0f x  ；在区间 (e, ) 上，有 ( ) 0f x  ． 故 ( )f x 在 (0,e) 单调递减，在 (e, ) 单调递增， 于是函数 ( )f x 在 (0, ) 上的最小值是 (e) 0f  ． …………9 分 故当 0x  时，有 ( ) 0f x ≥ 恒成立． …………10 分 (Ⅲ)解： 23e( ) ( ) 2ea aF x f x xx x      ( 0)x  ． 当 23ea  时，则 2 23e( ) 2e 2 3e 2eaF x x ax       ，当且仅当 23ex a  时等号成立， 故 ( )F x 的最小值 22 3e 2em a   2e ，符合题意； …………13 分 当 23ea  时，函数 ( ) 2eF x x  在区间 (0, ) 上是增函数，不存在最小值，不合题意； 当 23ea  时，函数 23e( ) 2eaF x x x    在区间 (0, ) 上是增函数，不存在最小值，不合题意． 综上，实数 a 的取值范围是 2(3e , ) ． …………14 分 （19）（共 13 分） （Ⅰ）解：由已知 2 2 2 1 ,2 2 3, . c a ab a b c         …………2 分 解得 2a  ， 3b  ． …………4 分 故所求椭圆方程为 2 2 14 3 x y  ． …………5 分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知  1 2,0A  ，  2 2,0A ，  2 1,0F ． 设   0 0 0, 2P x y x   ，则 2 2 0 03 4 12x y  ． 于是直线 1A P 方程为  0 0 22 yy xx   ，令 4x  ，得 0 0 6 2M yy x   ； 所以 (M 4, 0 0 6 2 y x  ) ，同理 (N 4, 0 0 2 2 y x  ) ． …………7 分 所以 2F M  ( 3, 0 0 6 2 y x  ) ， 2F N  ( 3, 0 0 2 2 y x  ) . 所以 2 2F M F N   ( 3, 0 0 6 2 y x  )  ( 3, 0 0 2 2 y x  ) 0 0 0 0 6 29 2 2 y y x x      22 00 2 2 0 0 3 12 3129 94 4 xy x x        2 0 2 0 9 4 9 9 9 04 x x       ． 所以 2 2F M F N ，点 2F 在以 MN 为直径的圆上． …………9 分 设 MN 的中点为 E ，则 (4,E 0 0 2 0 4 ( 1) 4 y x x   ) ． …………10 分 又 2F E  (3, 0 0 2 0 4 ( 1) 4 y x x   ) ，  2 0 01, ,F P x y  所以 2 2F E F P   (3, 0 0 2 0 4 ( 1) 4 y x x   )      2 0 0 0 0 0 2 0 4 11, 3 1 4 y xx y x x                2 0 0 0 0 02 0 12 3 1 3 1 3 1 3 1 04 x x x x xx           ． 所以 2 2F E F P ． …………12 分 因为 2F E 是以 MN 为直径的圆的半径， E 为圆心， 2 2F E F P ， 故以 MN 为直径的圆与直线 2PF 相切于右焦点． …………13 分 （20）（共 14 分） 解：（Ⅰ） (6) 3g  ， (20) 5g  ． …………2 分 （Ⅱ） 1 (1) (2) 1 1 2S g g     ； 2 (1) (2) (3) (4) 1 1 3 1 6S g g g g         ； 3 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 1 1 3 1 5 3 7 1 22S g g g g g g g g                 ． …………6 分 (Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）不难发现对 m N ， 有 (2 ) ( )g m g m ． …………8 分 所以当 2n  时， (1) (2) (3) (4) (2 1) (2 )n n nS g g g g g g        [ (1) (3) (5) (2 1)] [ (2) (4) (2 )]n ng g g g g g g           1[1 3 5 (2 1)] [ (2 1) (2 2) (2 2 )]n ng g g               1 1(1 2 1) 2 [ (1) (2) (2 )]2 n n ng g g         1 14n nS   …………11 分 于是 1 1 4n n nS S    ， 2 ,n n   N ． 所以 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( )n n n n nS S S S S S S S          1 2 24 4 4 4 2n n       14(1 4 ) 4 221 4 3 3 n n    ， 2 ,n n   N ． …………13 分 又 1 2S  ，满足上式， 所以对 n N ， 1 (4 2)3 n nS   ． …………14 分