北京市东城区 2011-2012 学年度第二学期高三综合练习(一)
数学 (理科)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)若 a ,bR ,i 是虚数单位,且 ( 2)i 1 ia b ,则 a b 的值为
(A)1 (B) 2 (C)3 (D) 4
(2)若集合 },0{ 2mA , }2,1{B ,则“ 1m ”是“ }2,1,0{BA ”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(3)若实数 x , y 满足不等式组
1,
2,
0,
y x
y x
y
则 yxz 2 的最小值为
(A)
2
7 (B) 2 (C)1 (D)
2
5
(4)右图给出的是计算
100
1...8
1
6
1
4
1
2
1 的一个程序框图,
其中判断框内应填入的条件是
(A) 50i (B) 50i (C) 25i (D) 25i
(5)某小区有排成一排的 7 个车位,现有3 辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的 4 个车位连在一起,
那么不同的停放方法的种数为
(A)16 (B)18 (C)24 (D)32
(6)已知 x , y , z R ,若 1 , x , y , z , 3 成等比数列,则 xyz 的值为 C
(A) 3 (B) 3 (C) 3 3 (D) 3 3
(7)在直角梯形 ABCD 中,已知 BC ∥ AD , AB AD , 4AB , 2BC , 4AD ,若 P 为CD 的
中点,则 PA PB 的值为
(A) 5 (B) 4 (C) 4 (D)5
(8)已知函数 2 1, 0,( )
( 1), 0.
x xf x
f x x
若方程 ( )f x x a 有且只有两个不相等的实数根,则实数 a 的
8 4 4 6 4 7
m 9 3
5 4 5 5 1
0 7 9
乙甲
B C
D
A O
E
D
C1
Q0
N1
C
B1
A B
M
Q
取值范围是
(A) ,1 (B) ,1 (C) 0,1 (D) 0,
第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
(9)命题“ 0 0 0(0, ),tan sin2x x x ”的否定是 .
(10)在极坐标系中,圆 2 的圆心到直线 cos sin 2 的距离为 .
(11)在如图所示的茎叶图中,乙组数据的中位数是 ;
若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数
后,两组数据的平均数中较大的一组是 组.
(12)如图,AB 是⊙O 的直径,直线 DE 切⊙ O 于点 D ,且与 AB 延长线交于点C ,若CD 3 , 1CB ,
则 ADE = .
(13)抛物线 2y x 的准线方程为 ;经过此抛物线的焦点是和点 (1,1)M ,且
与准线相切的圆共有 个.
(14)如图,在边长为 3的正方形 ABCD 中,点 M 在 AD 上,正方形 ABCD 以 AD 为 轴逆时针旋
转 角 )3
(0≤ ≤ 到 1 1AB C D 的位置 ,同时点 M 沿着 AD 从点 A 运动到点 D , 1 1MN DC ,
点 Q 在 1MN 上,在运动过程中点 Q 始终满足 QM
1
cos
,记点 Q 在面 ABCD 上的射影为 0Q ,
则在运动过程中向量 0BQ
与 BM
夹角 的正切的最大值为 .
P
F
E
A
B C
F
A1
CPB
E
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(15)(本小题共 13 分)
已知函数 2 2( ) (sin2 cos2 ) 2sin 2f x x x x .
(Ⅰ)求 ( )f x 的最小正周期;
(Ⅱ)若函数 ( )y g x 的图 象是由 ( )y f x 的图象向右平移
8
个单位长度,再向上平移 1 个单位长度得
到的,当 x[ 0 ,
4
]时,求 ( )y g x 的最大值和最小值.
(16)(本小题共 13 分)
某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为80% ,二等品率为 20% ;乙产品的一等品率为
90% ,二等品率为10% .生产1件甲产品,若是一等品,则获利 4 万元,若是二等品,则亏损1万元;生
产1件乙产品,若是一等品,则获利 6 万元,若是二等品,则亏损 2 万元.两种产品生产的质量相互独立.
(Ⅰ)设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为 X (单位:万元),求 X 的分布列;
(Ⅱ)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于10 万元的概率.
(17)(本小题共 13 分)
如图 1,在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E , F , P 分别为 AB , AC , BC 上的点,且满足
1AE FC CP .将△ AEF 沿 EF 折起到△ 1A EF 的位置,使二面角 1A EF B 成直二面角,连结
1A B , 1A P .(如图 2)
(Ⅰ)求证: EA1 ⊥平面 BEP ;
(Ⅱ)求直线 EA1 与平面 BPA1 所成角的大小.
图 1 图 2
(18)(本小题共 14 分)
已知函数 2 21( ) 2e 3e ln2f x x x x b 在 0( ,0)x 处的切线斜率为零.
(Ⅰ)求 0x 和b 的值;
(Ⅱ)求证:在定义域内 ( ) 0f x ≥ 恒成立;
(Ⅲ) 若函数 ( ) ( ) aF x f x x
有最小值 m ,且 2em ,求实数 a 的取值范围.
(19)(本小题共13分)
已知椭圆C :
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的离心率是 1
2
,其左、右顶点分别为 1A , 2A , B 为短轴的端
点,△ 1 2A BA 的面积为 2 3 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ) 2F 为椭圆C 的右焦点,若点 P 是椭圆C 上异于 1A , 2A 的任意一点,直线 1A P , 2A P 与直线 4x
分别交于 M , N 两点,证明:以 MN 为直径的圆与直线 2PF 相切于点 2F .
(20)(本小题共 14 分)
若 对 于 正 整 数 k , ( )g k 表 示 k 的 最 大 奇 数 因 数 , 例 如 (3) 3g , (10) 5g . 设
(1) (2) (3) (4) (2 )n
nS g g g g g .
(Ⅰ)求 (6)g , (20)g 的值;
(Ⅱ)求 1S , 2S , 3S 的值;
(Ⅲ)求数列 nS 的通项公式.
北京市东城区 2011-2012 学年度第二学期高三综合练习(一)
数学参考答案及评分标准 (理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)
(1)D (2)A (3)A (4)B
(5)C (6)C (7)D (8)A
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
(9) (0, ),tan sin2x x x (10) 2 (11)84 乙
(12) 60 (13) 1
4x 2 (14) 6
12
注:两个空的填空题第一个空填对得 2 分,第二个空填对得 3 分.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)
(15)(共 13 分)
解:(Ⅰ)因为 2 2( ) (sin 2 cos2 ) 2sin 2f x x x x
sin 4 cos4x x
2 sin(4 )4x , …………6 分
所以函数 ( )f x 的最小正周期为
2
. …………8 分
(Ⅱ)依题意, ( )y g x 2 sin [ 4( )8x
4
] 1
2 sin(4 ) 14x . …………10 分
因为 0 4x ,所以 344 4 4x . …………11 分
当 4 4 2x ,即 3
16x 时, ( )g x 取最大值 2 1 ;
当 4 4 4x ,即 0x 时, ( )g x 取最小值0 . …………13 分
(16)(共 13 分)
解:(Ⅰ)由题设知, X 的可能取值为10,5 , 2 , 3 . …………2 分
( 10)P X 0.8 0.9 0.72 , ( 5) 0.2 0.9 0.18P X ,
( 2) 0.8 0.1 0.08P X , ( 3) 0.2 0.1 0.02P X . …………6 分
由此得 X 的分布列为:
D
P
F
E
A
CB
X 10 5 2 3
P 0.72 0.18 0.08 0.02
…………8 分
(Ⅱ)设生产的 4 件甲产品中一等品有 n 件,则二等品有 4 n 件.
由题设知 4 (4 ) 10n n ,解得 14
5n ,
又 n N 且 4n ,得 3n ,或 4n . …………10 分
所求概率为 3 3 4
4 0.8 0.2 0.8 0.8192P C .(或写成 512
625
)
答:生产 4 件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为 0.8192 . …………13 分
(17)(共 13 分)
(Ⅰ)证明:取 BE 中点 D ,连结 DF .
因为 1AE CF , 1DE ,
所以 2AF AD ,而 60A ,即△ ADF 是正三角形.
又因为 1AE ED , 所以 EF AD . …………2 分
所以在图 2 中有 1A E EF , BE EF .…………3 分
所以 1A EB 为二面角 1A EF B 的平面角. 图 1
又二面角 1A EF B 为直二面角,
所以 1A E BE . …………5 分
又因为 BE EF E ,
所以 1A E ⊥平面 BEF ,即 1A E ⊥平面 BEP . …………6 分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 1A E ⊥平面 BEP ,BE EF ,如图,以 E 为原点,建立空间直角坐标系 E xyz ,
则 (0 , 0 , 0)E , 1(0 , 0 ,1)A , (2 , 0 , 0)B , (0, 3 , 0)F .
在图1中,连结 DP .
因为 1
2
CF CP
FA PB
,
所以 PF ∥ BE ,且 1
2PF BE DE .
所以四边形 EFPD 为平行四边形.
所以 EF ∥ DP ,且 EF DP .
故点 P 的坐标为(1, 3 ,0). 图 2
所以 1 (2 , 0 , 1)A B , ( 1, 3,0)BP , 1 (0 , 0 ,1)EA . …………8 分
不妨设平面 1A BP 的法向量 ( , , )x y zn ,则 1 0,
0.
A B
BP
n
n
即 2 0,
3 0.
x z
x y
令 3y ,得 (3 , 3 , 6)n . …………10 分
所以 cos 1EA
n, 1
1
6 3
2| || | 1 4 3
EA
EA
n
n
. …………12 分
故直线 1A E 与平面 1A BP 所成角的大小为
3
. …………13 分
(18)(共 14 分)
(Ⅰ)解:
23e( ) 2ef x x x
. …………2 分
由题意有 0( ) 0f x 即
2
0
0
3e2e 0x x
,解得 0 ex 或 0 3ex (舍去).…………4 分
得 (e) 0f 即 2 2 21 e 2e 3e ln e 02 b ,解得 21 e2b . …………5 分
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知
2
2 21 e( ) 2e 3e ln ( 0)2 2f x x x x x ,
( )f x
23e ( e)( 3e)2e ( 0)x xx xx x
.
在区间 (0,e) 上,有 ( ) 0f x ;在区间 (e, ) 上,有 ( ) 0f x .
故 ( )f x 在 (0,e) 单调递减,在 (e, ) 单调递增,
于是函数 ( )f x 在 (0, ) 上的最小值是 (e) 0f . …………9 分
故当 0x 时,有 ( ) 0f x ≥ 恒成立. …………10 分
(Ⅲ)解:
23e( ) ( ) 2ea aF x f x xx x
( 0)x .
当 23ea 时,则
2
23e( ) 2e 2 3e 2eaF x x ax
,当且仅当 23ex a 时等号成立,
故 ( )F x 的最小值 22 3e 2em a 2e ,符合题意; …………13 分
当 23ea 时,函数 ( ) 2eF x x 在区间 (0, ) 上是增函数,不存在最小值,不合题意;
当 23ea 时,函数
23e( ) 2eaF x x x
在区间 (0, ) 上是增函数,不存在最小值,不合题意.
综上,实数 a 的取值范围是 2(3e , ) . …………14 分
(19)(共 13 分)
(Ⅰ)解:由已知
2 2 2
1 ,2
2 3,
.
c
a
ab
a b c
…………2 分
解得 2a , 3b . …………4 分
故所求椭圆方程为
2 2
14 3
x y . …………5 分
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 1 2,0A , 2 2,0A , 2 1,0F .
设 0 0 0, 2P x y x ,则 2 2
0 03 4 12x y .
于是直线 1A P 方程为 0
0
22
yy xx
,令 4x ,得 0
0
6
2M
yy x
;
所以 (M 4, 0
0
6
2
y
x ) ,同理 (N 4, 0
0
2
2
y
x ) . …………7 分
所以 2F M
( 3, 0
0
6
2
y
x ) , 2F N
( 3, 0
0
2
2
y
x ) .
所以 2 2F M F N
( 3, 0
0
6
2
y
x ) ( 3, 0
0
2
2
y
x )
0 0
0 0
6 29 2 2
y y
x x
22
00
2 2
0 0
3 12 3129 94 4
xy
x x
2
0
2
0
9 4
9 9 9 04
x
x
.
所以 2 2F M F N ,点 2F 在以 MN 为直径的圆上. …………9 分
设 MN 的中点为 E ,则 (4,E 0 0
2
0
4 ( 1)
4
y x
x
) . …………10 分
又 2F E
(3, 0 0
2
0
4 ( 1)
4
y x
x
) , 2 0 01, ,F P x y
所以 2 2F E F P
(3, 0 0
2
0
4 ( 1)
4
y x
x
) 2
0 0
0 0 0 2
0
4 11, 3 1 4
y xx y x x
2
0 0
0 0 02
0
12 3 1
3 1 3 1 3 1 04
x x
x x xx
.
所以 2 2F E F P . …………12 分
因为 2F E 是以 MN 为直径的圆的半径, E 为圆心, 2 2F E F P ,
故以 MN 为直径的圆与直线 2PF 相切于右焦点. …………13 分
(20)(共 14 分)
解:(Ⅰ) (6) 3g , (20) 5g . …………2 分
(Ⅱ) 1 (1) (2) 1 1 2S g g ;
2 (1) (2) (3) (4) 1 1 3 1 6S g g g g ;
3 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 1 1 3 1 5 3 7 1 22S g g g g g g g g .
…………6 分
(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)不难发现对 m N , 有 (2 ) ( )g m g m . …………8 分
所以当 2n 时, (1) (2) (3) (4) (2 1) (2 )n n
nS g g g g g g
[ (1) (3) (5) (2 1)] [ (2) (4) (2 )]n ng g g g g g g
1[1 3 5 (2 1)] [ (2 1) (2 2) (2 2 )]n ng g g
1
1(1 2 1) 2 [ (1) (2) (2 )]2
n n
ng g g
1
14n
nS
…………11 分
于是 1
1 4n
n nS S
, 2 ,n n N .
所以 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( )n n n n nS S S S S S S S
1 2 24 4 4 4 2n n
14(1 4 ) 4 221 4 3 3
n n
, 2 ,n n N . …………13 分
又 1 2S ,满足上式,
所以对 n N , 1 (4 2)3
n
nS . …………14 分