北京丰台区 2012 年高三年级第二学期统一练习（一）
数 学 试 题（文）
注意事项：
1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔
填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好
条形码。
2．本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式将
各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使
用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。作图题用 2B 铅笔作图，要求
线条、图形清晰。
3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在
试题、草稿纸上答题无效。
4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分 （选择题 共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．已知集合 2{ | 9}, { | 1}A x x B x x ，则 A B = （ ）
A．{ | 3}x x B．{ | 3 1}x x C ． { | 3 1}x x
D．{ | 3 3}x x
2．设 4.2 0.6
0.60.6 , 7 , log 7a b c ，则 a，b，c 的大小关系是 （ ）
A． c b a B． c a b C． a c b D． a b c
3．若变量 x，y 满足条件
0,
2 1,
4 3,
y
x y
x y
则 3 5z x y 的取值范围是
（ ）
A． 3, B．[ 8,3] C． ,9 D．[ 8,9]
4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． 20 2
B． 220 3
C． 240 3
D． 440 3
5．已知向量 (1,2), ( 1,0)a b ，若 ( )a mb a ，则实数 m 等于
（ ）
A．-5 B． 5
2 C．0 D．5
6．若函数
1( ) , 0,( ) 2
, 0,
x xf x
x a x
则 " 1"a 是“函数 ( )y f x 在 R 上的单调递减的”
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不
必要条件
7．设 nS 为等比数列{ }na 的前 n 项和，若 1 1a ，且 2 3 42 , , 2a S a 成等差数列，则数列 2{ }na
的前 5 项和为
（ ）
A．341 B．1000
3 C．1023 D．1024
8．已知定义在 R 上的函数 ( )y f x 满足 ( 2) ( )f x f x ，当 1 1x 时， 3( )f x x ，
若函数 ( ) ( ) log | |ag x f x x 至少有 6 个零点，则 a 的取值范围是
（ ）
A．（1，5） B． 1(0, ) 5,5
C． 10, 5,5
D． 1 ,1 1,55
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
9．在复平面内，复数1
1
i
i
对应的点的坐标为 。
10．已知抛物线 2 8y x 上一点 P 到焦点的距离是 6，则点
P 的坐标是________。
11．已知函数 3( ) 1 2 ( 0)f x x xx
在 x a 时取到最小值，
则 a= ．
12．为了了解学生的视力情况，随机抽查了一批学生的视力，将抽
查结果绘制成频率分布直方图（如图所示）．若[5.0，5.4]内的
学生人数是 2，则根据图中数据可得被抽查的学生总数是____；
样本数据在[3.8，4.2）内的频率是______
13．执行如右图所示的程序框图，若输出的 n 的值为 10，则
0a = 。
14 ． 定 义 在 区 间 [a ， b] 上 的 连 结 函 数 ( )y f x ， 如 果 [ , ]a b ， 使 得
( ) ( ) '( )( )f b f a f b a ，则称 为区间[a，b]上的“中值点”。下列函数：
① ( ) 3 2;f x x ② 2( ) 1;f x x x ③ ( ) ln( 1)f x x ；④ 31( ) ( )2f x x 中，在
区间[0，1]上“中值点”多于一个函数序号为 。（写出所有．．满足条件的函
数的序号）
三、解答题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共 13 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 sin cos cos .a B b C c B
（I）判断△ABC 的形状；
（Ⅱ）若 ( ) sin cosf x x x ，求 f（A）的最大值．
16．（本小题共 13 分）
对某校全体教师在教学中是否经常使用信息技术实施教学的情况进行了调查，得到统计
数据如下：
（I）求该校教师在教学中不经常使用信息技术实施教学的概率；
（Ⅱ）在教龄 10 年以下，且经常使用信息技术实施教学的教师中任选 2 人，其中恰有
一人教龄在 5 年以下的概率是多少？
17．（本小题共 14 分）
如图，四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PA= PD， 60BAD ，E 是 AD 的中
点，点 Q 在侧棱 PC 上．
（I）求证：AD 平面 PBE；
（Ⅱ）若 Q 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 BDQ;
（Ⅲ）若 2P BCDE Q ABCDV V ，试求 CP
CQ
的值．
18．（本小题共 13 分）
已知函数以 3 21( ) 1( ).3f x x ax a R ．
（I）若曲线 y=f（x）在 (1, (1))f 处的切线与直线 x+y+l =0 平行，求 a 的值；
（Ⅱ）若 0a ，函数 y=f（x）在区间 2( , 3)a a 上存在极值，求 a 的取值范围；
（Ⅲ）若 a>2，求证：函数 y=f（x）在（0，2）上恰有一个零点．
19．（本小题共 14 分）
已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率为 2
2
，且经过点 M（一 2，0）．
（I）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）设斜率为 1 的直线l 与椭圆 C 相交于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 两点，连接 ,MA MB 并
延长交直线 x=4 于 P，Q 两点，设 ,P Qy y 分别为点 P，Q 的纵坐标，且
1 2
1 1 1 1
P Qy y y y
，
求△ABM 的面积．
20．（本小题共 13 分）
设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 2 1.n
nS ．数列{ }nb 满足 1 12, 2 8 .n n nb b b a ．
（I）求数列{ }na 的通项公式；
（Ⅱ）证明：数列{ }2
n
n
b 为等差数列，并求{ }nb 的通项公式；
（ Ⅲ ） 设 数 列 { }nb 的 前 n 项 和 为 nT ， 是 否 存 在 常 数 ， 使 得 不 等 式
1
6( 1) 1 6
n n
n
T
T
*( )n N 恒成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说
明理由．
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