北京丰台区 2012 年高三年级第二学期统一练习（一）
数 学 试 题（理）
注意事项：
1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔
填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好
条形码。
2．本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式将
各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使
用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。作图题用 2B 铅笔作图，要求
线条、图形清晰。
3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在
试题、草稿纸上答题无效。
4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分 （选择题 共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．已知集合 2{ | 1}, { }A x x B a ，若 A B ，则 a 的取值范围是（ ）
A． ( , 1) (1, ) B． , 1 1,
C．（-1，1） D．[-1，1]
2．若变量 x，y 满足条件
0,
2 1,
4 3,
y
x y
x y
则 3 5z x y 的取值范围是 （ ）
A． 3, B．[ 8,3] C． ,9 D．[ 8,9]
3． 62( )2
x
x
的二项展开式中，常数项是
（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
4．已知向量 (sin ,cos ), (3,4)a b ，若 a b ，则 tan 2 等于
（ ）
A． 24
7 B． 6
7 C． 24
25
D． 24
7
5．若正四棱锥的正视图和侧视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A．4
B． 4 4 10
C．8
D． 4 4 11
6．学校组织一年级 4 个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区
中任选一个游览，则恰有 2 个班选择了甲景区的选法共有 （ ）
A． 2 2
4 3A 种 B． 2 2
4 3A A 种
C． 2 2
4 3C 种 D． 2 2
4 3C A 种
7 ． 已 知 a b ， 函 数 ( ) sin , ( ) cos .f x x g x x 命 题 : ( ) ( ) 0p f a f b ， 命 题
: ( ) ( , )q g x a b在 内有最值，则命题 p 是命题 q 成立的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知定义在 R 上的函数 ( )y f x 满足 ( 2) ( )f x f x ，当 1 1x 时， 3( )f x x ，
若函数 ( ) ( ) log | |ag x f x x 至少有 6 个零点，则 a
（ ）
A． 15 5a a 或 B． 1(0, ) 5,5a
C． 1 1[ , ] [5,7]7 5a D． 1 1[ , ] [5,7]7 5a
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
9．已知双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，一条渐近线方程为 3
4y x ，则该双曲线的
离心率是 。
10．已知等比数列{ }na 的首项为 1，若 1 2 34 ,2 ,a a a ，成等差数列，则数列 1{ }
na
的前 5 项和
为 。
11．在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程是
31 ,2
1
2
x t
y t
（t 为参数）。以 O 为极
点，x 轴正方向为极轴的极坐标系中，圆 C 的极坐标方程是 2 4 cos 3 0. 则圆
心到直线的距离是___ ．
12．如图所示，Rt△ABC 内接于圆， 60ABC ，PA 是
圆的切线，A 为切点，PB 交 AC 于 E，交圆于 D。若 PA =AE，
PD= 3, 3 3BD ，则 AP= ，AC= 。
13．执行如下图所示的程序框图，则输出的 i 值为 。
14 ． 定 义 在 区 间 [a ， b] 上 的 连 结 函 数 ( )y f x ， 如 果 [ , ]a b ， 使 得
( ) ( ) '( )( )f b f a f b a ，则称 为区间[a，b]上的“中值点”。下列函数：
① ( ) 3 2;f x x ② 2( ) 1;f x x x ③ ( ) ln( 1)f x x ；④ 31( ) ( )2f x x 中，在
区间[0，1]上“中值点”多于一个函数序号为 。（写出所有．．满足条件的函
数的序号）
三、解答题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共 13 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 sin cos cos .a B b C c B
（I）判断△ABC 的形状；
（Ⅱ）若 1 2 1( ) cos2 cos2 3 2f x x x ，求 f（A）的取值范围．
16．（本小题共 14 分）
四棱 锥 P — ABCD 中， 底面 ABCD 是边 长为 2 的菱 形， 侧面 PAD 底面 ABCD ，
60 , 2BCD PA PD ，E 是 BC 的中点，点 Q 在侧棱 PC 上．
（I）求证：AD PB；
（Ⅱ）若 Q 是 PC 的中点，求二面角 E—DQ—C 的余弦值；
（Ⅲ）若 PQ
PC
，当 PA//平面 DEQ 时，求 A 的值．
17．（本小题共 13 分）
某班共有学生 40 人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图
所示。
（I）请根据图中所给数据，求出 a 的值；
（Ⅱ）从成绩在[50，70）内的学生中随机选 3 名学生，求这 3 名学生的成绩都在[60，
70）内的概率；
（Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70）内的学生中随机选取 3
人的成绩进行分析，用 X 表示所选学生成绩在[ 60，70）内的人数，求 X 的分布列和数
学期望．
18．（本小题共 13 分）
已知函数 2( ) ( 2) ln .f x ax a x x ．
（I）当 a=l 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（l））处的切线方程；
（Ⅱ）当 a>0 时，若 f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2，求 a 的取值范围；
（Ⅲ）若对任意 1 2 1 2, (0, ),x x x x ，且 1 1 2 2( ) 2 ( ) 2f x x f x x 恒成立，求 a 的
取值范围．
19．（本小题共 14 分）
已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率为 2
2
，且经过点 M（一 2，0）．
（I）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）设直线 :l y kx m 与椭圆 C 相交于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 两点，连接 ,MA MB 并
延长交直线 x=4 于 P，Q 两点，设 ,P Qy y 分别为点 P，Q 的纵坐标，且
1 2
1 1 1 1
P Qy y y y
，
求证直线l 过定点。
20．（本小题共 13 分）
已知函数 2( ) , '( )f x x x f x 为函数 ( )f x 的导函数。
（1）若数列{ }na 满足 1 1'( ), 1n na f a a 且 ，求数列{ }na 的通项公式；
（2）若数列{ }nb 满足 1 1, ( )n nb b b f b 。
（i）是否存在实数 b，使得数列{ }nb 是等差数列？若存在，求出 b 的值；若不存在，
请说明理由。
（ii）若 0b ，求证：
1 1
1 .
n
i
i i
b
b b
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