2012年朝阳区高三二模文科数学试卷及答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学试卷（文史类） 2012.5 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 第一部分（选择题 共 40 分） 注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项. 1. 设集合 {0,1 2 3 4,5} {1 2}U A ，，， ， ，，  2 5 4 0B x x x    Z ，则 ( )U A B ð A．{0,1,2,3} B．{5} C．{1 2 4}，， D．{0,4,5} 2. 在复平面内，复数 i 2 i z   对应的点所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 如果命题“ p且 q”是假命题，“ q ”也是假命题，则 A．命题“ p或 q”是假命题 B．命题“ p或 q”是假命题 C．命题“ p且 q”是真命题 D．命题“ p且 q ”是真命题[来] 4. 已知△ ABC中， 2AB   ， 3AC   ， 0AB AC    ，且△ ABC的面积为 3 2 ，则 BAC  A．150 B．120 C．60或120 D．30或150 5. 已知双曲线 2 2 1 5 x y m   （ 0m  ）的右焦点与抛物线 2 12y x 的焦点相同，则此双曲线 的离心率为 A．6 B． 3 2 2 C． 3 2 D． 3 4 6. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直 角三角形的直角边长都为 1，那么这个几何体 的表面积为 A． 6 1 B． 2 3 C． 3 3 2 4  D． 3 3 2 2  正视图 俯视图 侧视图 7. 给出下列命题： :p 函数 4 4( ) sin cosf x x x  的最小正周期是； :q Rx  ，使得 2log ( 1) 0x   ； :r 已知向量 ( 1)，=a ， 2( 1 ),= -b ， ( 11) ，=c ，则 ( + ) //a b c 的充要条件是 1   . 其中所有真命题是 A． q B． p C． ,p r D． ,p q 8. 已知函数 2 2, , ( ) 4 2, x m f x x x x m       的图象与直线 y x 恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是 A． ( , 1]  B．[ 1, 2) C．[ 1, 2] D． [2, ) 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在答题卡上. 9. 函 数 2cosy x ， [0, 2 ]x  的单调递增区间 是 . 10. 运行如图所示的程序框图，输出的结果是 . 11. 直线 3y kx  与圆 2 2( 3) ( 2) 4x y    相交于 ,A B两点，若 2 3AB  ，则实数 k 的值是 . x=1,y=1,z=2 z≤4? 开始 结束 是 否 z=x+y 输出 z y = z x = y （第 10 题图） 12. 若实数 ,x y满足 1 0, 0, x y x      则 2 2x y 的最小值是 . 13. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元，此外每生产 1 件该产品还需要增加 投资 1 万元，年产量为 x ( )x N 件.当 20x  时，年销售总收入为（ 233x x ）万元； 当 20x  时，年销售总收入为 260 万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元，则 y（万元）与 x（件）的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件 时，所得年利润最大.（年利润=年销售总收入年总投资） 14. 在如图所示的数表中，第 i 行第 j列的数记为 ,i ja ，且满足 1 1, ,12 ,j j ia a i  ， 1, 1 , 1, ( , )i j i j i ja a a i j      N ，则此数表中的第 2 行第 7 列的数是 ；记第 3 行的数 3，5，8， 13，22，39，   为数列{ }nb ，则数列{ }nb 的通项 公式是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 把答 案答在答题卡上. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 2( ) 3 sin cos cosf x x x x m   ( )m R 的图象过点 ( ,0) 12 M  . （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）在 ABC 中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 cos cos 2 cosc B b C a B  ， 求 ( )f A 的取值范围． 16.（本小题满分 13 分） 高三年级进行模拟考试，某班参加考试的 40 名同学的成绩统计如下： 分数段 (70,90) [90,100) [100,120) [120,150] 人数 5 a 15 b 规定分数在 90 分及以上为及格，120 分及以上为优秀，成绩高于 85 分低于 90 分的同 学为希望生.已知该班希望生有 2 名. （Ⅰ）从该班所有学生中任选一名，求其成绩及格的概率； （Ⅱ）当 a =11 时，从该班所有学生中任选一名，求其成绩优秀的概率； （Ⅲ）从分数在(70,90)的 5 名学生中，任选 2 名同学参加辅导，求其中恰有 1 名希望生 的概率. 第 1 行 1 2 4 8 … 第 2 行 2 3 5 9 … 第 3 行 3 5 8 13 … … … 17. （本小题满分 13 分） 如图，四边形 ABCD为正方形， EA 平面 ABCD， //EF AB， = 4, = 2, = 1AB AE EF . （Ⅰ）求证： BC AF ； （Ⅱ）若点M 在线段 AC上，且满足 1 4 CM CA , 求证： //EM 平面 FBC ； （Ⅲ）试判断直线 AF 与平面 EBC是否垂直？若 垂 直，请给出证明；若不垂直，请说明理由. 18.（本小题满分 14 分） 设函数 22( ) ln ( 0)af x a x a x    . （Ⅰ）已知曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线 l的斜率为 2 3a ，求实数 a的值； （Ⅱ）讨论函数 ( )f x 的单调性； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个 x，都有 ( ) 3f x x  ． 19.（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy中，点E到两点 1( 1,0)F  ， 2 (1,0)F 的距离之和为 2 2 ，设点 E的轨迹为曲线C . （Ⅰ）写出C的方程； （Ⅱ）设过点 2 (1,0)F 的斜率为 k（ 0k  ）的直线 l与曲线C交于不同的两点M ,N ， 点 P在 y轴上，且 PM PN ，求点 P纵坐标的取值范围. 20.（本小题满分 13 分） 已知数列 1 2: , , ,n nA a a a ，满足 01  naa ，且当 nk 2 （ k *N ）时， 1)( 2 1  kk aa .令 1 2( )n nS A a a a    ． （Ⅰ）写出 )( 5AS 的所有可能取值； （Ⅱ）求 )( nAS 的最大值. 北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学试卷答案（文史类） 2012.5 一、选择题： 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案 D B C A C D D B 二、填空题： 题号 （9） （10） （11） （12） 答案 [ , 2 ]  5 3 4  或 0 1 2 题号 （13） （14） 答案 2 32 100, 0 20 160 , 20 x x x y x x          *( )xN 16[来 65 12 1n na n   注：若有两空，则第一个空 3 分，第二个空 2 分. 三、解答题： （15）（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ） 3 1( ) sin 2 (cos 2 1) 2 2 f x x x m    1sin(2 ) 6 2 x m     ． ……3 分 由已知点 ( ,0) 12 M  在函数 ( )f x 的图象上，所以 1sin(2 ) 0 12 6 2 m       ， 1 2 m  . ………5 分 (Ⅱ) 因为 cos cos 2 cosc B b C a B  ， 所以 sin cos sin cosC B B C =2 sin cosA B， 所以 sin( ) 2sin cosB C A B  ，即 sin 2sin cosA A B . ………7 分 因为 (0,A ，所以 sin 0A  ，所以 1cos 2 B  ， ………8 分 又因为 (0,B ，所以 π 3 B  ， 2 π 3 A C  . ………10 分 所以 2π0 3 A  ， π2 6 A  7( , ) 6 6    ， ………11 分 所以 ( )f A = sin(2 ) 6 A    1( ,1] 2  . ………13 分 （16）（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩及格”为事件 A，则 40 5 7( ) 40 8 P A    . 答：从该班所有学生中任选一名，其成绩及格的概率为 7 8 . ………3 分 （Ⅱ）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀”为事件 B，则当 11a= 时，成绩优秀的 学生人数为40 5 11 15 9    ，所以 9( ) 40 P B  . 答：从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀的概率为 9 40 . ………7 分 （Ⅲ）设“从分数在 (70 90), 的 5 名学生中，任选 2 名同学参加辅导，其中恰有 1 名希望生” 为事件 C. 记这 5 名学生分别为 a,b,c,d,e，其中希望生为 a,b. 从中任选 2 名，所有可能的情况为：ab, ac, ad, ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共 10 种. ………9 分 其中恰有 1 名希望生的情况有 ac, ad, ae，bc，bd，be，共 6 种. ………11 分 所以 6 3( ) 10 5 P C   . 答：从分数在 (70 90), 的 5 名学生中，任选 2 名同学参加辅导，其中恰有 1 名希望生的 概率为 3 5 . ………13 分 （17）（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）因为 EF//AB，所以 EF 与 AB确定平面 EABF ， 因为 EA 平面 ABCD，所以 EA BC . ………2 分 由已知得 AB BC且 =EA AB A， 所以 BC 平面 EABF . ………3 分 又 AF 平面 EABF , 所以 BC AF . ………4 分 （Ⅱ）过M 作MN BC ,垂足为 N ，连结 FN ,则MN // AB . .………5 分 又 1 4 CM AC ,所以 1 4 MN AB . 又EF // AB且 1 4 EF AB ,所以 EF // MN . .………6 分 且EF MN ,所以四边形 EFNM 为平行四边形. ………7 分 所以 EM // FN . 又FN 平面 FBC , EM 平面 FBC , 所以 //EM 平面 FBC . ………9 分 （Ⅲ）直线 AF 垂直于平面 EBC . ………10 分 证明如下： 由（Ⅰ）可知， AF BC . 在四边形 ABFE中， = 4, = 2, = 1AB AE EF ， 90BAE AEF     ， P 所以 1tan tan 2 EBA FAE    ，则 EBA FAE   . 设 AF BE P ,因为 90PAE PAB    ,故 90PBA PAB    则 90APB   ,即 EB AF . ………12 分 又因为 =EB BC B，所以 AF 平面 EBC . ………13 分 （18）（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ） ( )f x 的定义域为{ | 0}x x  , . ………1 分 2 2 2( ) a af x x x    . ………2 分 根据题意， (1) 2 3f a   ， 所以 22 2 3a a a   ，即 2 2 1 0a a   ， 解得 1a  . .………4 分 （Ⅱ） 2 2 2 2 ( 2 )( ) a a a x af x x x x     . （1）当 0a  时，因为 0x  ，所以 2 0x a  ， ( 2 ) 0a x a  ， 所以 ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 在 (0, ) 上单调递减. ………6 分 （2）当 0a  时， 若0 2x a  ，则 ( 2 ) 0a x a  ， ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 在 (0, 2 )a 上单调递减； 若 2x a ，则 ( 2 ) 0a x a  ， ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 在 (2 , )a  上单调递增. …8 分 综上所述，当 0a  时，函数 ( )f x 在 (0, ) 上单调递减；当 0a  时，函数 ( )f x 在 (0, 2 )a 上单调递减，在 (2 , )a  上单调递增. ………9 分 （Ⅲ）由（Ⅰ）可知 2( ) lnf x x x   . 设 ( ) ( ) (3 )g x f x x   ，即 2( ) ln 3g x x x x     . 2 2 2 2 1 2 2 ( 1)( 2)( ) 1 ( 0)x x x xg x x x x x x           . ………10 分 当 x变化时， ( )g x ， ( )g x 的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1, ) ( )g x － 0 ＋ ( )g x  极小值  1x  是 ( )g x 在 (0, ) 上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是 ( )g x 的最小值点. 可见 ( ) (1) 0g x g 最小值 ， .………13 分 所以 ( ) 0g x  ，即 ( ) (3 ) 0f x x   ，所以对于定义域内的每一个 x，都有 ( ) 3f x x  . ………14 分 （19）（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）由题设知 1 2 1 2| | | | 2 2 | |EF EF F F   , 根据椭圆的定义， E的轨迹是焦点为 1F ， 2F ，长轴长为 2 2 的椭圆， 设其方程为 2 2 2 2 1 0x y ( a b ) a b     则 1c  ， 2a  ， 1b  ，所以C的方程为 2 2 1 2 x y  . ………5 分 （II）依题设直线 l的方程为 ( 1)y k x  .将 ( 1)y k x  代入 2 2 1 2 x y  并整理得， 2 2 2 2(2 1) 4 2 2 0k x k x k     . 28 8 0k    . ………6 分 设 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ， 则 2 1 2 2 4 2 1 kx x k    ， 2 1 2 2 2 2 2 1 kx x k    ..………7 分 设MN 的中点为Q，则 2 2 2 2 1Q kx k   ， 2( 1) 2 1Q Q ky k x k      ，即 2 2 2 2( , ) 2 1 2 1 k kQ k k    . ………8 分 因为 0k  ， 所以直线MN 的垂直平分线的方程为 2 2 2 1 2( ) 2 1 2 1 k ky x k k k       ， ……9 分 令 0x  解得， 2 1 12 1 2 P ky k k k     ， .………10 分 当 0k  时，因为 12 2 2k k   ，所以 20 4Py  ； .………12 分 当 0k  时，因为 12 2 2k k    ，所以 2 0 4 Py   . .………13 分 综上得点 P纵坐标的取值范围是 2 2[ ,0) (0, ] 4 4   . .………14 分 （20）（本小题满分 13 分） 解:（Ⅰ）由题设，满足条件的数列 5A 的所有可能情况有： （1）0 1 2 1 0, , , , .此时 5( ) = 4S A ； （2）0 1 0 1 0, , , , .此时 5( ) = 2S A ； （3）0 1 0 1 0, , , , . 此时 5( ) = 0S A ； （4）0 1 2 1 0, , , , .   此时 5( ) = 4S A  ； （5）0 1 0 1 0, , , , . 此时 5( ) = 0S A ； （6）0 1 0 1 0, , , , .  此时 5( ) = 2S A  . 所以， )( 5AS 的所有可能取值为： 4 ， 2 ，0 ， 2 ， 4 ． .………5 分 （Ⅱ）由 1)( 2 1  kk aa ，可设 1 1k k ka a c   ，则 1 1kc   或 1 1kc    （ nk 2 ， k *N ）， 2 1 1a a c  ， 3 2 2a a c  ， … 1 1n n na a c   ， 所以 1 1 2 1n na a c c c      ． ………7 分 因为 01  naa ，所以 1 2 1 0nc c c     ，且 n为奇数， 1 2 1, , , nc c c  是由 2 1n 个 1 和 2 1n 个 1 构成的数列． 所以 1 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )n nS A c c c c c c          1 2 2 1( 1) ( 2) 2 n nn c n c c c        ． 则当 1 2 1, , , nc c c  的前 2 1n 项取1，后 2 1n 项取 1 时 )( nAS 最大， 此时 )( nAS 1 1( 1) ( 2) ( 2 1) 2 2 n nn n              2( 1) 4 n   ．.……10 分 证明如下： 假设 1 2 1, , , nc c c  的前 2 1n 项中恰有 t项 1 2 , , , tm m mc c c 取 1 ，则 1 2 1, , , nc c c  的后 2 1n 项中恰有 t项 1 2 , , tn n nc c c 取1 ，其中 11 2 nt    ， 11 2i nm    ， 1 1 2 i n n n    ， 1,2, ,i t  ． 所以 ( )nS A 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1( 1) ( 2) 2 2 2n n n n n nn c n c c c c c                 1 1( 1) ( 2) ( 2 1) 2 2 n nn n              1 22[( ) ( ) ( )]tn m n m n m       1 22[( ) ( ) ( )]tn n n n n n       2 2 1 1 2 2 ( 1) ( 1)2[( ) ( ) ( )] 4 4t t n nn m n m n m           ． 所以 )( nAS 的最大值为 2( 1) 4 n  ． .………13 分