2012年河南省适应性考试试卷及答案文

河南省 2012 年普通高中毕业班高考适应性测试 数 学 试 题（文） 本试题卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡 上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交 回。 第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．集合 { | 3 }, { 1,0,1}xM y R y N     ，则下列结论正确的是 （ ） A． {0,1}M N  B． (0, )M N   C． ( ) ( ,0)RC M N   D． ( ) { 1,0}RC M N   2．i 是虚数单位，复数 2 1z i   的虚部是 （ ） A．0 B．-1 C．1 D．-i 3．如图是 2012 年某市元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评 委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最 低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 （ ） A．84，0.4 B．84.8，0.64 C．85，3.2 D．85.8，4 4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间 (0, ) 上单调递减的函数是 （ ） A． ln .y x  B． 2y x C． | |2 xy  D． cos .y x 5．阅读右面的程序框图，若输入 8, 2a b  ，则输出的结果是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知函数 ( ) , (0, )( 0)mf x x x mx      ，若不等式 ( ) 4f x  的解集是空集，则 （ ） A． 4m  B． 2m  C． 4m  D． 2m  7．函数 (0 1)| | xxay ax    的图象大致形状是 （ ） 8．若点 (cos ,sin )P   在直线 2 0x y  上，则 cos2 = （ ） A． 3 5 B． 1 2 C． 3 5  D． 1 2  9．设实数 x，y 满足 2 2 1x y  ，则点 ( , )x y 不在区域 1 1, 1 1 x y x y         内的概率是 （ ） A． 1 4 B． 21  C． 2  D． 1 8 10．已知平面向量 , ( 0, )a b a a b  ，满足| | 3a  ，且 b 与 b-a 的夹角为30 ，则|b|的最大值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 11．将函数 sin( )3y x   的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将所得 的图象向左平移 3  个单位，得到的图象对应的解析式是 （ ） A． 1sin 2y x B． 1sin( )2 2y x   C． 1sin( )2 6y x   D． sin(2 )6y x   12．已知 F1，F2 分别是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若 1 2 90F PF   ，且 2 2F PF 的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22~24 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13．命题“存在 x R ，使得| 1| | 1| 3x x    ”的否定是 。 14．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的表面积 是 cm2。 15．经过点 P（0，-1）作圆 2 2: 6 7 0C x y x    的切线，切点为 A，则切线 PA 的长为 。 16．已知 ABC 的 , ,A B C   对边分别为 a，b，c，ab=4 且 2 2 ( 2 ) ,a c a b b ABC   则 的面 积为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．已知数列{ }na 的首项 1 1a  ，且满足 * 1 ( ).4 1 n n n aa n Na   （1）设 1 n n b a  ，求证：数列{ }nb 是等差数列，并求数列{ }na 的通项公式； （2）设 2n n nc b  ，求数列{ }nc 的前 n 项和 .nS 18．（本小题满分 12 分） 某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的 频率分布表如下左图所示． （I）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图； （Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ （Ⅲ）在（2）的前提下，学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生 接受 A 考官的面试，求： 第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率？ 19．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，平面 PAD 上平面 ABCD，AB∥DC，△PAD 是等边三角形，已 知 BD =2AD =8，AB =2DC = 4 5 。 （I）设 M 是 PC 上的一点，证明：平面 MBD  平面 PAD； （Ⅱ）求三棱锥 C—PAB 的体积 20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 1 3 ，椭圆上的点到右焦点 F 的最近距离为 2，若 椭圆 C 与 x 轴交于 A、B 两点，M 是椭圆C 上异于 A、B 的任意一点，直线 MA 交直线 : 9l x  于 G 点，直线 MB 交直线l 于 H 点。 （1）求椭圆 C 的方程； （2）试探求 FG FH  是否为定值？若是，求出此定值，若不是说明理由。 21．（本小题满分 12 分） 设函数 21( ) ln .2f x x ax bx   （1）已知 ( )f x 在点 (1, (1))P f 处的切线方程是 2 1,y x  求实数 a，b 的值。 （2）若方程 2( ) ( 0)f x x   有唯一实数解，求实数  的值。 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任 选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。 做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22．（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲 如图，已知 ABC 中，AB=BC，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D，过 D 作 DE BC ，垂足 为 E，连结 OE。若 3, 30CD ACB    ，分别求 AB，OE 的长。 23．（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的极坐标方程为 4sin  ，曲线 C2 的极坐标方程为 ( )6 R   ，曲线 C1， C2 相交于点 M，N。 （1）将曲线 C1，C2 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求线段 MN 的长。 24．（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 设函数 ( ) | 3 1| 3.f x x ax    （1）若 a=1，解不等式 ( ) 5f x  ； （2）若函数 ( )f x 有最小值，求实数 a 的取值范围。 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C C A A D A B C C D 二、填空题 （13） “对于任意的 xR ，都有 1 1 3x x   ≤ ” （14）3 2 3 2   （15） 2 2 （16） 2 三、解答题 （17）解： （Ⅰ） 1 4 1 n n n aa a   ， 1 1 14 n na a   ， 1 1 1 4 n na a   ， 1 4n nb b   . 数列 nb 是以 1 为首项，4 为公差的等差数列．……………………………………3 分 1 1 4( 1)n n b na     ，则数列 na 的通项公式为 1 4 3na n   ．………………… 6 分 （Ⅱ） 1 2 32 5 2 9 2 (4 3) 2n nS n        ……………① 2 3 4 12 2 5 2 9 2 (4 3) 2n nS n         ……………… ② ② ①并化简得 1(4 7) 2 14n nS n    ．……………………………………………12 分 （18）解： （Ⅰ）由题意知，第 2 组的频数为 0.35 100 35  人, 第 3 组的频率为 30 0.300100  , 频率分布直方图如下: ………………………………………………………………4 分 （Ⅱ）因为第 3、4、5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组 分别为: 第 3 组: 30 6 360   人. 第 4 组: 20 6 260   人. 第 5 组: 10 6 160   人, 所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人.…………………………………………8 分 （Ⅲ）设第 3 组的 3 位同学为 1 2 3, ,A A A ,第 4 组的 2 位同学为 1 2,B B ,第 5 组的 1 位同学为 1C , 则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如 下: 1 2( , ),A A 1 3( , ),A A 1 1( , ),A B 1 2( , ),A B 1 1( , ),A C 2 3( , ),A A 2 1( , ),A B 2 2( , ),A B 2 1( , ),A C 3 1( , ),A B 3 2( , ),A B 3 1( , ),A C 1 2( , ),B B 1 1( , ),B C 2 1( , ),B C 其中第 4 组的 2 位同学至少有一位同学 入选的有: 1 1( , ),A B 1 2( , ),A B 2 1( , ),A B 2 2( , ),A B 3 1( , ),A B 1 2( , ),B B 3 2( , ),A B 1 1( , ),B C 2 1( , ),B C 共 9 种． 所以其中第 4 组的 2 位同学至少有一位同学入选的概率为 9 3.15 5  ………………12 分 （19）证明： （Ⅰ）在 ABD△ 中，由于 4AD  ， 8BD  ， 4 5AB  ， 所以 2 2 2AD BD AB  ．故 AD BD ．……………………………………………2 分 又平面 PAD  平面 ABCD ，平面 PAD  平面 ABCD AD ， BD  平面 ABCD ， 所以 BD  平面 PAD . …………………………………………………………………4 分 又 BD  平面 MBD ，故平面 MBD  平面 PAD ．…………………………………6 分 （Ⅱ）过 P 作 PO AD 交 AD 于O ， 由于平面 PAD  平面 ABCD ， 所以 PO  平面 ABCD ． 因此 PO 为棱锥 P－ABC 的高.………………8 分 又 PAD△ 是边长为 4 的等边三角形． 因此 3 4 2 32PO    ． 又 1 162ABC ABDS S AD BD     ，………10 分 V V  棱锥 棱锥C- PAB P- ABC 1 32 316 2 3 .3 3    ……………………………………12 分 （20）解： （Ⅰ）由题意得 1 ,3 2 c a a c      1, 3. c a    ……………………………………………………………………2 分 椭圆 C 的方程为： 2 2 1.9 8 x y  …………………………………………………………4 分 （Ⅱ）设 , ,M A B 的坐标分别为 0 0( , )M x y 、 )0,3(A 、 (3,0),B 则直线 MA 的方程为： 0 0 ( 3)3 yy xx   ………………………………………………6 分 O P M D C A B 令 9x  得 0 0 12(9, )3 yG x  ，同理得 0 0 6(9, ).3 yH x  ………………………………………8 分 M 在椭圆上，所以 2 2 2 20 0 0 01 8(1 ).9 8 9 x y xy     ………………………………10 分 所以 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 2 0726 12 72(8, ) (8, ) 64 64 0.3 3 8(1 )9 9 9 y y yFG FH x x x x x              所以 FG FH  为定值 0. ………………………………………………………………12 分 （21）解：（Ⅰ）当 1x  时， 1y  ，∴   11 12f a b    . ∵ baxxxf  1)(' ，即  1 1 2'f a b    ，∴ 0 1a ,b .   …………………4 分（Ⅱ）因 为方程 2f ( x ) x  有唯一实数解， 所以 2 0x ln x x    有唯一实数解.…………………………………………………6 分 设 2g( x ) x ln x x    ， 则 22 1( ) x xg' x x    ．令 0)(' xg ， 22 1 0x x    ． 因为 0  ，所以△=1 8+  >0，方程有两异号根设为 1 20 0x ,x  ，因为 x>0，所以 1x 应舍去. 当 ),0( 2xx  时， 0)(' xg ， )(xg 在（0， 2x ）上单调递减； 当 ),( 2  xx 时， ( ) 0g x  ， )(xg 在（ 2x ，+∞）单调递增. 当 2xx  时， 2( )g x =0， )(xg 取最小值 )( 2xg ．……………………………………8 分 因为 0)( xg 有唯一解，所以 0)( 2 xg . 则      ,0)(' ,0)( 2 2 xg xg 即 2 2 2 2 2 2 2 0 2 1 0 x ln x x , x x .         ………………………………………………10 分 因为 0  ，所以 2 22ln 1 0.x x   （*） 设函数 1ln2)(  xxxh . 因为当 0x 时， )(xh 是增函数，所以 0)( xh 至多有一解． 因为 0)1( h ，所以方程（*）的解为 2 1.x  代入方程组解得 1  ．…………………………………………………………………12 分 （22）解： BCABACB  ,30 ， 30 CAB . 又因 AB 是⊙O 的直径， 所以 90ADB ， 60ABD . 又因 ODOB  ， BDODOBAB 222  ， 3 DCAD . 所以 2AB . 1 BDODOB . ………………………………………………………………6 分  30ACB ， 2 3,60  DECDE  . ODOA  ， 30 ADO ， 90 ODE ， 3 71 .4 2OE    ……10 分 （23）解: （Ⅰ）由  sin4 得，  sin42  即曲线 1C 的直角坐标方程为 0422  yyx ，由 ( )6   R 得， 3 .3y x ………………………………………………………5 分 （Ⅱ）把 xy 3 3 代入 0422  yyx 得 03 34 3 1 22  xxx ， 24 4 3 0.3 3x x 即 解得 01 x ， 32 x . 所以 01 y ， 12 y ， 3 1 2.MN    …………………………………………10 分 （24）解： （Ⅰ） 1a  时， ( ) | 3 1| 3f x x x    . 当 1 3x≥ 时， ( ) 5f x ≤ 可化为3 1 3 5x x   ≤ ，解之得 1 3 3 4x≤ ≤ ； 当 1 3x  时， ( ) 5f x ≤ 可化为 3 1 3 5x x    ≤ ，解之得 1 1 2 3x ≤ . 综上可得，原不等式的解集为 1 3{ | }.2 4x x ≤ ≤ ……………………………………5 分 （Ⅱ） 1(3 ) 2,( )3( ) | 3 1| 3 1( 3) 4.( )3 a x x f x x ax a x x             ≥ A O B E D C 函数 ( )f x 有最小值的充要条件为 3 0, 3 0, a a    ≥ ≤ 即 3 3.a ≤ ≤ ……………………10 分