青岛市高三一模（数学文）试题及答案

青岛市高三教学质量统一检测 数学试题（文科） 2010.3 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 3．第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答 案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题．每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数 3 1 3 i i   (i 为虚数单位)等于 A．1 B． 1 C．i D． i 2．若集合 }11,|{ 3 1  xxyyA ， }1{ xyxB  ，则 A B  A．  1, B． ]1,1[ C． D．{1} 3．设 p 和 q 是两个简单命题，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 p 是 q 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．已知 na 为等差数列,若  951 aaa ,则 2 8cos( )a a 的值为 A． 2 1 B． 2 3 C． 2 1 D． 2 3 5．设 ( ) lnf x x x ，若 0'( ) 2f x  ，则 0x  A. 2e B. ln 2 C. ln 2 2 D. e 6．已知抛物线 2x ay 的焦点恰好为双曲线 2 2 2y x  的上焦点，则 a = A．1 B． 4 C．8 D．16 7．圆 2 2 2 2 1 0x y x y     上的点到直线 2 yx 的距离的最大值是 A． 2 B. 1 2 C． 22 2  D. 1 2 2 8．将奇函数 ( ) sin( )( 0, 0, )2 2f x A x A            的图象向左平移 6  个单位得到 的图象关于原点对称，则 的值可以为 A． 2 B．3 C． 4 D． 6 9．在 ABC 中, 3 B ,三边长 cba ,, 成等差数列，且 6ac ,则b 的值是 A． 2 B． 3 C． 5 D． 6 10．已知 2 8 1( 0, 0)x yx y     ，则 x y 的最小值为 A．12 B．14 C．16 D．18 11．过原点的直线与函数 xy 2 的图像交于 BA, 两点，过 B 作 y 轴的垂线交于函数 xy 4 的 图像于点 C ，若直线 AC 平行于 y 轴，则点 A 的坐标是 A． )2,1( B． )4,2( C． )2,2 1( D． )1,0( 12．平面 外有两条直线 m 和 n ，如果 m 和 n 在平面 内的射影分别是直线 1m 和直线 1n ， 给出下列四个命题： ① 1m ⊥ 1n  m ⊥ n ； ② m ⊥ n  1m ⊥ 1n ； ③ 1m 与 1n 相交 m 与 n 相交或重合； ④ 1m 与 1n 平行 m 与 n 平行或重合； 其中不正确．．．的命题个数是 A.1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分． 13．观察下列式子： 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 5 1 1 1 71 ,1 ,1 ,2 2 2 3 3 2 3 4 4          ……，根据以上式子 可以猜想：  222 2010 1 3 1 2 11  ; 14. 已知向量 )2 14()26( ，，，   ba ，直线l 过点 (3, 1)A  ，且与向量   ba 2 垂直，则直线l 的方程为_______________； 15．已知区域 }0,5,0|),{(},0,0,10|),{(  yxyxyxAyxyxyx ，若 向区域 上随机投1个点，则这个点落入区域 A 的概率  P A  ; 16．已知函数错误！不能通过编辑域代码创建对象。错误！不能通过编辑域代码创建对象。， 且关于 x 的方程 0)(  axxf 有且只有一个实根，则实数 a 的范围是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤． 17．(本小题满分共 12 分) 为了让学生更多的了解“数学史”知识，某中学高二年 级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的 数学史知识竞赛活动，共有 800 名学生参加了这次竞 赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生 的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请 你根据频率分布表，解答下列问题： (Ⅰ)填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）； (Ⅱ)为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于85 分的同学能获奖，请估计在参加 的800名学生中大概有多少同学获奖？ (Ⅲ)在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出 S 的值． 18．(本小题满分共 12 分) 已知向量 )sin3cos,1( xxm   ， )cos),(( xxfn  ，其中 0 ，且 nm  ，又函 序号 （i ） 分组 （分数） 组中值  iG 频数 （人数） 频率  iF 1  60,70 65 ① 12.0 2  70,80 75 20 ② 3  80,90 85 ③ 24.0 4  90,100 95 ④ ⑤ 合 计 50 1 开始 S=0 输 入 Gi ， i=1 S=S＋Gi·Fi i≤4 i=i＋1 N Y 输出 S 结束 数 )(xf 的图象任意两相邻对称轴间距为  2 3 . (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)设 是第一象限角,且 26 23)22 3(  f ,求 )24cos( )4sin(     的值. 19. （本小题满分 12 分） 如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的 直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中， M 是 BD 的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三 角形，有关数据如图所示. (Ⅰ)求出该几何体的体积。 (Ⅱ)若 N 是 BC 的中点，求证： //AN 平面CME ； (Ⅲ)求证：平面 BDE  平面 BCD. 20．（本题满分 12 分） 某企业自 2009 年1月1日正式投产，环保监测部门从 该企业投产之日起对它向某湖区排放污水进行了四个 月的跟踪监测，检测的数据如下表．并预测，如果不 加以治理，该企业每月向湖区排放污水的量将成等比数列. 月份 1月 2 月 3 月 4 月 该企业向湖区排放的污水 （单位：立方米） 1万 2 万 4 万 8 万 (Ⅰ)如果不加以治理，求从 2009 年1月起， m 个月后，该企业总计向某湖区排放了多少立方 米的污水？ (Ⅱ)为保护环境，当地政府和企业决定从 7 月份开始投资安装污水处理设备，预计 7 月份的污 水排放量比 6 月份减少 4 万立方米，以后每月的污水排放量均比上月减少 4 万立方米，当企业 停止排放污水后，再以每月16万立方米的速度处理湖区中的污水，请问什么时候可以使湖区 中的污水不多于50 万立方米？ 21．（本题满分 12 分） 已知椭圆 )0(1: 2 2 2 2  ba b y a xC 的离心率是 2 3e ,若点 )2 3,0(P 到椭圆 C 上的点的最 远距离为 7 . (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)过椭圆C 的左焦点 1F 作直线l 交椭圆 C 于点 A 、 B ,且 AB 等于椭圆的短轴长,求直线l 的 方程. 22．（本题满分 14 分） 4 2 2 2 侧视图 俯视图 直观图 M D E BA C N 已知定义在正实数集上的函数 exxxf 22 1)( 2  , bxexg  ln3)( 2 （其中 e 为常数， 2.71828e   ）,若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同。 (Ⅰ)求实数b 的值; (Ⅱ)当  ex ,1 时, xaexge aexxf )2())(2(6)2)((2 2 2  恒成立,求实数 a 的取值范 围. 青岛市高三教学质量统一检测 数学试题（文科）答案 2010.3 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． CBBAD CBDDD AD 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 13． 2010 4019 14． 2 3 9 0x y   15． 4 1 16． ），（ 1 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分． 17．(本小题满分共 12 分) 解：(Ⅰ)①为 6 ，②为 4.0 ，③为12 ，④为12 ⑤为 24.0 ． ……………………4 分 (Ⅱ) 28880024.024.02 1  ）（ ， 即在参加的800名学生中大概有 288名同学获奖． …………………………8 分 (Ⅲ)由流程图 1 1 2 2 3 3 4 4S G F G F G F G F    8124.09524.0854.07512.065  ……………………12 分 18．(本小题满分共 12 分) 解: (Ⅰ)由题意得 0 nm ,所以， 2 2sin3 2 2cos1)sin3(coscos)( xxxxxxf   2 1)62sin(  x ………………………4 分 根据题意知,函数 )(xf 的最小正周期为 3 , 又 0 ,所以 3 1 ………………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2 1)63 2sin()(  xxf 所以 26 23 2 1cos2 1)2sin()22 3(  f 解得 13 5cos  ………………………8 分 因为 是第一象限角,故 13 12sin  ………………………9 分 所以, 214 13 )sin(cos2 2 2cos )4sin( )24cos( )4sin(         ………………12 分 19. （本小题满分 12 分） 解：(Ⅰ)由题意可知：四棱锥 ACDEB  中， 平面 ABC  平面 ACDE ， ACAB  所以， AB 平面 ACDE ………………………2 分 又 4,2  CDAEABAC ， 则四棱锥 ACDEB  的体积为： 422 2)24( 3 1 3 1  ABSV ACDE …………4 分 (Ⅱ)连接 MN ，则 ,//,// CDAECDMN 又 CDAEMN 2 1 ，所以四边形 ANME 为平行四边形， EMAN // …………6 分 AN 平面 CME , EM 平面CME , 所以， //AN 平面CME ；………………………8 分 (Ⅲ) ABAC  , N 是 BC 的中点, BCAN  又平面 ABC 平面 BCD  AN 平面 BCD ………………………10 分 由(Ⅱ)知： EMAN // EM 平面 BCD 又 EM 平面 BDE 所以，平面 BDE  平面 BCD.………………………12 分 20．（本题满分 12 分） 解:(Ⅰ)由题意知：企业每月向湖区排放的污水量成等比数列， 设第一个月污水排放量为 1a ，则 11 a ，公比为 2 则第 m 个月的污水排放量为 12  m ma 如果不治理， m 个月后的污水总量为 ： 1221 212221 12    m m m mS  （万立方米）……………………………4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 326 a ，则 287 a 由题意知，从 7 月份开始，企业每月向湖区排放的污水量成等差数列，公差为 4 ， 记 7 月份企业向湖区排放的污水量为 1b ，则 nnbn 432)4()1(28  ………………………6 分 令 8,0432  nnbn 所以该企业 2010 年 2 月向湖区停止污水排放………………………8 分 则该企业共排污水 175112632 )028(8 6 S （万立方米）…………………9 分 设 x 个月后污水不多于50 万立方米 则 16 125,5016175  xx ………………………10 分 因为 816 1257  ，所以8 个月后即 2010 年10月污水不多于50 万立方米…………12 分 21．（本题满分共 12 分） (Ⅰ)因为 2 31 2 2  a b a ce ,解得 ba 2 ………………………2 分 则椭圆C 的方程化为 222 4 ayx  设 ),( 00 yxQ 是椭圆C 上的一点,则有 2 0 22 0 4yax  ， 02 2 a ay   所以 22 0 2 0 2 0 22 0 2 0 2 3)2 1(3)2 3(4)2 3( ayyyayxPQ  ………4 分 当 1 2 2 a   且 0a  即 10  a 时,则当 0 2 ay   时, PQ 取最大值 72 3 2 a , 解得 723a ,显然均不符合题意,应舍去; 当 1 2 2 a   即 1a 时,则当 2 1 0 y 时, PQ 取最大值 73 2  a , 解得 42 a ,符合题意; 所以椭圆 C 的方程为 14 2 2  yx ………………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 )0,3(1 F 当直线l 垂直于 x 轴时,此时直线l 的方程为 3x 把它代入 14 2 2  yx 解得 2 1y 不妨设 )2 1,3(),2 1,3(  BA ,则 21AB ,显然不满足题意……………………7 分 当直线l 不垂直于 x 轴时,此时可设直线l 的方程为 )3(  xky 设 ),(),,( 2211 yxByxA 由      )3( 14 2 2 xky yx 得: 041238)41( 2222  kxkxk ……………9 分 则 2 2 212 2 21 41 412,41 38 k k kxx   所以   241 )1(44)()1( 2 2 21 2 21 2   k kxxAB 解得 2 2k ………………………11 分 综上,直线l 的方程为 032  yx 或 032  yx ………………12 分 22．（本题满分 14 分） 解:(Ⅰ) exxf 2)(  , x exg 23)(  ………………………2 分 设函数 exxxf 22 1)( 2  与 bxexg  ln3)( 2 的图象有公共点为 ),( 00 yx 由题意得             0 32 ln322 1 0 0 2 0 0 2 0 2 0 x x eex bxeexx ………………………4 分 解得: 2 2eb  ………………………7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 2ln3)( 2 2 exexg  所以 xaxexge aexxf ln))(2(6)2)((2 22 2  即 )1(2)ln 2 xxxxa （ 当  ex ,1 时， xx 1ln ，且等号不能同时成立， 0ln  xx 所以,则由(1)式可得 xx xxa ln 22   在 e,1 上恒成立……………………9 分 设 xx xxxF ln 2)( 2   ,  ex ,1 又 2)ln( ln22)(1()( xx xxxxF   ） ……………………11 分 显然有 ,01x 又 0ln22,1ln  xxx 所以 0)(  xF (仅当 1x 时取等号)， )(xF 在 e,1 上为增函数…………………12 分 故 1 2)()( 2 max   e eeeFxF 所以实数 a 的取值范围是        ,1 22 e ee .………………………14 分