青岛市高三一模试题及答案（数学理）

青岛市高三教学质量统一检测 数学试题（理科） 2010.3 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 3．第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答 案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题．每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数 3 1 3 i i   ( i 为虚数单位)等于 A．1 B． 1 C．i D． i 2．若集合 }11,|{ 3 1  xxyyA ， }1{ xyxB  ，则 A B  A．  1, B． ]1,1[ C． D．{1} 3．设 p 和 q 是两个简单命题，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 p 是 q 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是 1a 3b baa  bab  PRINT ba, A．1 3 B． 4 1 C． 0 0 D． 6 0 5．若 dxxa  2 2 sin ， dxxb  1 0 cos ，则 a 与 b 的关系是 A． ba  B． ba  C． ba  D． 0 ba 6．圆 2 2 2 2 1 0x y x y     上的点到直线 2 yx 的距离的最大值是 A． 2 B. 1 2 C． 22 2  D. 1 2 2 7．已知抛物线 2x ay 的焦点恰好为双曲线 2 2 2y x  的上焦点，则 a 的值为 A．1 B． 4 C．8 D．16 8．将奇函数 ( ) sin( )( 0, 0, )2 2f x A x A            的图象向左平移 6  个单位得到 的图象关于原点对称，则 的值可以为 A． 2 B．3 C． 4 D． 6 9．已知 2 8 1( 0, 0)x yx y     ，则 x y 的最小值为 A．12 B．14 C．16 D．18 10．过原点的直线与函数 xy 2 的图像交于 BA, 两点，过 B 作 y 轴的垂线交于函数 xy 4 的 图像于点 C ，若直线 AC 平行于 y 轴，则点 A 的坐标是 A． )2,1( B． )4,2( C． )2,2 1( D． )1,0( 11．在数列 }{ na 中， aaa nn 1 （ an ,N 为常数），若平面上的三个不共线的非零向量 OCOBOA ,, 满足 OBaOAaOC 20101  ，三点 CBA ,, 共线且该直线不过 O 点，则 2010S 等 于 A．1005 B．1006 C． 2010 D． 2012 12．平面 外有两条直线 m 和 n ，如果 m 和 n 在平面 内的射影分别是直线 1m 和直线 1n ， 给出下列四个命题： ① 1m ⊥ 1n  m ⊥ n ； ② m ⊥ n  1m ⊥ 1n ； ③ 1m 与 1n 相交 m 与 n 相交或重合； ④ 1m 与 1n 平行 m 与 n 平行或重合； 其中不正确．．．的命题个数是 A.1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分． 13．若 n xx )1(  展开式中第 2 项与第 6 项的系数相同，那么展开式的中间一项的系数 为 ； 14．已知区域 }0,5,0|),{(},0,0,10|),{(  yxyxyxAyxyxyx ，若 向区域  上随机投1个点，则这个点落入区域 A 的概率  P A  ； 15．关于 x 的不等式| 2 | | 1| 5x x    的解集为 ； 16．已知函数    x xxf 3 log)( 2 )0( )0(   x x ，且关于 x 的方程 0)(  axxf 有且只有一个实根， 则实数 a 的范围是 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 已知向量 )cos,2sin3( xtxm  ， )cos2,1( xn  ，设函数 nmxf )( . (Ⅰ)若 2 1)32cos(  x ，且 nm  ，求实数t 的值; (Ⅱ)在 ABC 中, cba ,, 分别是角 CBA ,, 的对边,若 1,3)(  bAf ,且 ABC 的面积为 2 3 , 实数 1t ,求边长 a 的值. 18．（本小题满分 12 分） 某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从 2 种服装商品, 2 种家电 商品, 3 种日用商品中,选出3 种商品进行促销活动. (Ⅰ)试求选出的3 种商品中至多有一种是家电商品的概率; (Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高 x 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有 3 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为 40 元 的奖券.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是 2 1 ,若使促销方案对商场有利，则 x 最少为多少 元？ 19.(本题满分共 12 分) 下图分别为三棱锥 ABCS  的直观图与三视图，在直观图中， SA SC ， NM、 分别为 SBAB、 的中点. （Ⅰ）求证： SBAC  ; （Ⅱ）求二面角 BNCM  的余弦值. A B C M S N 正视图 侧视图 22 4 4 20.(本题满分共 12 分) 已知各项均为正数的数列 na 满足 1 22 1 2   nnnn aaaa ,且 42 342  aaa ,其中  Nn . (Ⅰ)求数列 na 的通项公式; (Ⅱ)设数列 nb 的前 n 项和为 nT ,令 2 nn ab  ,其中  Nn ,试比较 n n T T 4 121  与 1log2 2log2 2 12   n n b b 的大小,并加以证明. 21.(本题满分 12 分) 已知定义在正实数集上的函数 exxxf 22 1)( 2  , bxexg  ln3)( 2 （其中 e 为常数， 2.71828e   ）,若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同. (Ⅰ)求实数b 的值; (Ⅱ)当     eex ,1 时, xaexg e aexxf )2())(2( 6 )2)((2 2 2  恒成立,求实数 a 的取值范 围. 22.(本题满分 14 分) 已知椭圆 )0(1: 2 2 2 2  ba b y a xC 的左右两焦点分别为 21, FF ， P 是椭圆C 上的一点，且 在 x 轴的上方， H 是 1PF 上一点，若 11212 ,0,0 OFOHPFOHFFPF  ，     2 1,3 1 （其中O 为坐标原点）. (Ⅰ)求椭圆C 离心率 e 的最大值; (Ⅱ)如果离心率 e 取(Ⅰ)中求得的最大值, 已知 22 b ，点 ），（ 01M ，设Q 是椭圆C 上的一 点，过Q 、 M 两点的直线l 交 y 轴于点 N ,若 2NQ QM  , 求直线l 的方程. 青岛市高三教学质量统一检测 数学试题（理科）答案 2010.3 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． CBBBA BCDDA AD 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 13． 20 14． 4 1 15． ），（ 23 16． ），（ 1 三、解答题（共 74 分）． 17．（本小题满分 12 分） 解: (Ⅰ)由题意得 01)62sin(2cos2)2sin3( 2  txxtxnm  …………3 分 所以 21)32cos(21)62sin(2   xxt …………………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2)62sin(21)62sin(2)(   xtxxf 由题意得 32)62sin(2)(  AAf 所以 2 1)62sin(  A …………………8 分 因为 6 13 6260   AA ， ，所以 6 5 62  A 解得 3 A 因为 ABC 的面积为 2 3 ,所以 2 3sin2 1 Abc , 2bc 即 2c …………10 分 由余弦定理得 32 121241cos222  Abccba …………12 分 18．（本小题满分 12 分） 解: (Ⅰ)选出3 种商品一共有 3 7C 种选法, …………2 分 选出的3 种商品中至多有一种是家电商品有 2 5 1 2 3 5 CCC  种. …………4 分 所以至多有一种是家电商品的概率为 7 6 3 7 2 5 1 2 3 5  C CCCP .…………5 分 (Ⅱ)奖券总额是一随机变量,设为 ,可能值为 0 , 40,80 ,120.…………6 分   ,8 1 2 1 2 10 30 0 3          CP  …………7 分   ,8 3 2 1 2 140 21 1 3          CP  …………8 分   ,8 3 2 1 2 180 12 2 3          CP  …………9 分   .8 1 2 1 2 1120 03 3 3          CP  …………10 分  0 40 80 120 P 8 1 8 3 8 3 8 1 所以 608 11208 3808 3408 10 EX . 所以 60x ,因此要使促销方案对商场有利，则 x 最少为 60 元. …………12 分 19.(本题满分 12 分) 解: 由题意知: 32 SCSA ，侧面 SAC 底面 ABC ， 底面 ABC 为正三角形…………2 分 (Ⅰ) 取 AC 的中点O ,连结 OBOS, . 因为 BCABSCSA  , , 所以 OBACSOAC  , . 所以 AC 平面 OSB . 所以 SBAC  …………4 分 (Ⅱ) 如图所示建立空间直角坐标系 xyzO  , 则 )2,3,0(),0,3,1(),22,0,0(),0,0,2(),0,32,0(),0,0,2( NMSCBA  . ( 4,0,0), (0,2 3, 2 2)AC SB      . ).2,0,1(),0,3,3(  MNCM …………6 分 设 n ),,( zyx 为平面CMN 的一个法向量, 则      02 033 zxMNn yxCMn ，取 1z ,得 6,2  yx . 所以 )1,6,2( n …………8 分 又由上可得 ).2,3,2(),0,32,2(  CNCB 设 ),,( cbam  为平面 NBC 的法向量, 由      0232 0322 cbaCNm baCBm ,得 02  ca , 令 1c ，则 )1,3 6,2(m …………10 分 所以 11 33 3 333 122 |||| ,cos    nm nmmn 所以二面角 BNCM  的余弦值为 11 33 . …………12 分 20.(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)因为 1 22 1 2   nnnn aaaa ,即 0)2)(( 11   nnnn aaaa 又 0na ,所以有 02 1  nn aa ,所以 12  nn aa 所以数列 na 是公比为 2 的等比数列…………2 分 由 42 342  aaa 得 4882 111  aaa ,解得 21 a 故数列 na 的通项公式为 n na 2 )N( n …………4 分 (Ⅱ) 因 nn nn ab 4222  ，所以 4,4 1 1   n n b bb 即数列 nb 是首项为 4 ,公比是 4 的等比数列 所以 )14(3 4  n nT …………6 分 则 14 31)14(4 84 4 12 1 1     nn n n n T T 又 14 7114 64 1log2 2log2 2 12    nn n b b n n )14)(14( )4713(4 14 7 14 3 1log2 2log2 4 12 1 2 121      n n nb b T T n n n n n n n 猜想： 1347 1   nn …………8 分 ①当 1n 时， 4113747 0  ,上面不等式显然成立； ②假设当 kn  时，不等式 1347 1   kk 成立…………9 分 当 1 kn 时， 1)1(343412)13(447447 1   kkkkkk 综上①②对任意的  Nn 均有 1347 1   nn …………11 分 又 4 1 0,4 1 0n n    01log2 2log2 4 12 2 121    n n n n b b T T 所以对任意的  Nn 均有 1log2 2log2 4 12 2 121    n n n n b b T T …………12 分 21.(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ) exxf 2)(  , x exg 23)(  ………………1 分 设函数 exxxf 22 1)( 2  与 bxexg  ln3)( 2 的图象有公共点为 ),( 00 yx 由题意得             0 32 ln322 1 0 0 2 0 0 2 0 2 0 x x eex bxeexx ………………………3 分 解得: 2 2eb  ………………………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 2ln3)( 2 2 exexg  所以 xaxexge aexxf ln))(2(6)2)((2 22 2  即 )1(2)ln 2 xxxxa （ 当 )1,1[ex 时， 0ln x ， 0ln  xx 当  ex ,1 时， xx 1ln ，且等号不能同时成立， 0ln  xx 所以,则由(1)式可得 xx xxa ln 22   在     ee ,1 上恒成立……………………7 分 设 xx xxxF ln 2)( 2   ,     eex ,1 又 2)ln( ln22)(1()( xx xxxxF   ） ……………………9 分 令 0)(  xF 得： 1x 又 0ln22,1ln  xxx 所以，当 1,1x e     时， 0)(  xF ；当  1,x e 时， 0)(  xF ； 所以， )(xF 在 )1,1[e 上为减函数， )(xF 在 1,e 上为增函数…………11 分 又   0)1( 21)1( ee e eF 1 2)( 2   e eeeF 故 1 2)()( 2 max   e eeeFxF 所以实数 a 的取值范围是        ,1 22 e ee ……………12 分 22.(本题满分 14 分) 解:(Ⅰ)由题意知 1212 , PFOHFFPF  则有 OHF1 与 21PFF 相似 所以  PF PF OF OH 1 2 1 ……………2 分 设 0),0,(),0,( 21  ccFcF , ),( 1ycP 则有 12 2 1 2 2  b y a c ,解得 a by 2 1  所以 a byPF 2 12  根据椭圆的定义得: a baPFaPF 2 21 22  ……………4 分 22 2 2 ba b   ,即    1 2 2 2 a b 所以 11 21 2 2 2 2 2  a b a ce ……………6 分 显然 11 22  e 在 ]2 1,3 1[ 上是单调减函数 当 3 1 时, 2e 取最大值 2 1 所以椭圆 C 离心率 e 的最大值是 2 2 ……………8 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2 1211 22 2 2 2 2  aa b a ce ,解得 42 a 所以此时椭圆 C 的方程为 124 22  yx ……………10 分 由题意知直线l 的斜率存在,故设其斜率为 k , 则其方程为 ),0(),1( kNxky  设 ),( 11 yxQ ,由于 QMNQ 2 ,所以有 ),1(2),( 1111 yxkyx  3,3 2 11 kyx  ……………12 分 又Q 是椭圆 C 上的一点,则 12 )3( 4 )3 2( 22   k 解得 4k 所以直线l 的方程为 044  yx 或 044  yx ……………14 分