连云港市高三二模数学模拟试题及答案

1 2 1 4 1 6 1 8 1 10 1 12 1 14 1 16 1 18 1 20 1 22 1 24 … … 连云港市 2010 届高三二模数学模拟试题 一、填空题（每小题 5 分，共 70 分） 1、 若，则 {2,3,4}, { | , , , }A B x x n m m n A m n      集合 B 的元素个数为 ▲ ． 2、若复数 1 24 29 , 6 9 ,z i z i    其中 i 是虚数单 位，则复数 1 2( )z z i 的实部为 ▲ . 3、对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为 1000 的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此 图可知这批样本中电子元件的寿命在 300~500 小时 的数量是____▲____个．650 4、 一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个 球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的 体积之比为 ▲ ． 5、已知不等式 22 2yaxxy  对于 ]2,1[x , ]3,2[y 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 6、已知 A（－3，0），B（0，3），O 为坐标原点，点 C 在第二象限，且∠AOC＝60°，OC → ＝λOA → ＋OB → ， 则实数λ的值是 ▲ ． 7、已知两圆(x－1)2+(y－1)2＝r2 和(x+2)2+(y+2)2＝R2 相交于 P,Q 两点，若点 P 坐标为(1,2)，则点 Q 的坐标为 ▲ ． 8、已知双曲线 1 sincos 2 2 2 2   yx （ 为锐角）的右焦为 F，P 是右支上任意一点，以 P 为圆心， PF 长为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于|PF|，则 的值为 ▲ . 9、把数列{ 1 2n}的所有项按照从大到小，左大右小的原则写 成如图所示的数表，第 k 行有 2k－1 个数，第 k 行的第 s 个 数（从左数起）记为(k，s)，则 1 2010 可记为 ▲ ． 10、如图，在平面直角坐标系 xoy 中， 1 2 1 2, , ,A A B B 为椭 圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的四个顶点，F 为其右焦点，直 线 1 2A B 与直线 1B F 相交于点 T，线段OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ . 11、已知函数     2 2 sin 1 2 2 xf x x x x     ． （Ⅰ）方程 ( ) 0f x  在区间[ 100,100] 上实数解的个数是 _____▲_____； （Ⅱ）对于下列命题：① 函数  f x 是周期函数； ② 函数  f x 既有最大值又有最小值； ③ 函数  f x 的定义域是 R，且其图象有对称轴； ④对于任意 ( 1,0) , ( ) 0x f x   （ ( )f x 是函数 ( )f x 的导函数）． 其中真命题的序号是 ▲ ．（填写出所有真命题的序号） 12、 在 ABCRt 中， c ， r ， S 分别表示它的斜边长，内切圆半径和面积，则 S cr 的取值范围 是 ▲ ． 13、函数 f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式 f(x) cosx ＜0 的 解集为 ▲ ． 14、设 1a ， 2a ，…， na 是各项不为零的 n （ 4n ）项等差数列，且公差 0d ．若将此数列删去 某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对      d an 1, 所组成的集合为___▲_____． 二、解答题 15、（14 分） ABC 中，角 A B C、、 的对边分别为 a b c、、，且 lg lg lgcos lgcos 0a b B A    ． （1）判断 ABC 的形状； （2）设向量 (2 , )a bm ， ( , 3 )a b n ，且 m n ， ( ) ( ) 14    m n m n ，求 , ,a b c ． 16、（14 分）如图，在三棱锥 D－ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB⊥平面 BCD，AB＝BC＝a， E 为 BC 的中点，F 在棱 AC 上，且 AF＝3FC． （1）求三棱锥 D－ABC 的表面积；（2）求证 AC⊥平面 DEF； （3）若 M 为 BD 的中点，问 AC 上是否存在一点 N，使 MN∥平面 DEF？若存在，说明点 N 的位 置；若不存在，试说明理由． 4O y x y 寿命（h） 频率 组距 1 250 3 2000 1 2000 1 400 600 100 200 300 400 500 E C B D A F N M 17、（14 分）某县为了贯彻落实党中央国务院关于农村医疗保险(简称“医保”)政策，制定了如下实施 方案：2009 年底通过农民个人投保和政府财政投入，共集资 1000 万元作为全县农村医保基金，从 2010 年起，每年报销农民的医保费都为上一年底医保基金余额的 10%，并且每年底县财政再向医保 基金注资 m 万元(m 为正常数). （1）以 2009 年为第一年，求第 n 年底该县农村医保基金有多少万元？ （2）根据该县农村人口数量和财政状况，县政府决定每年年底的医保基金要逐年增加，同时不超过 1500 万元，求每年新增医保基金 m(单位：万元)应控制在什么范围内。 18、（16 分）如图，已知椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   ( 0)a b  的 左 顶 点 ， 右 焦 点 分 别 为 ,A F ， 右 准 线 为 m 。 圆 D ： 2 2 3 2 0x y x y     。 （1）若圆 D 过 ,A F 两点，求椭圆 C 的方程； （2）若直线 m 上不存在点 Q，使 AFQ 为等腰三角形，求 椭圆离心率的取值范围。 （3）在（Ⅰ）的条件下，若直线 m 与 x 轴的交点为 K ，将 直线l 绕 K 顺时针旋转 4  得直线l ，动点 P 在直线l 上，过 P 作圆 D 的两条切线，切点分别为 M、N，求弦长 MN 的最 小值。 19、（16 分）设 m 为实数，函数 mxmxxxf  )(2)( 2 ，     0 )( )( x xf xh 0 0   x x . （1）若 )1(f ≥4，求 m 的取值范围； （2）当 m＞0 时，求证 )(xh 在 ,m 上是单调递增函数； （3）若 )(xh 对于一切  2,1x ，不等式 )(xh ≥1 恒成立，求实数 m 的取值范围. 20、（16 分）（1）已知函数 1)(  x xxf .数列 na 满足： 10, 1na a  ，且 1 ( )n na f a  ,记数 列 nb 的前 n 项和为 nS ，且 2 1 ( 2 1)2n n na       S .求数列 nb 的通项公式；并判断 4 6b b 是 否仍为数列 nb 中的项？若是，请证明；否则，说明理由. （2）设 nc 为首项是 1c ,公差 0d  的等差数列，求证：“数列 nc 中任意不同两项之和仍为数列  nc 中的项”的充要条件是“存在整数 1m   ，使 1c md ”. 答 案 一、填空题 1、3； 2、 20 ； 3、650； 4、3:2 ； 5、 ),1[  ； 6、1 3 ； 7、 6  ； 8、（2，1）； 9、（10，494）； 10、 2 7 5e   ； 11、 201；②③； 12、[2 2 2,1) ； 13、（－π 2 ，－1）∪（1，π 2 ）； 14、 )}1,4(),4,4{(  . 二、解答题 15、解：（1）由题 lg lgcos lg lgcosa A b B   ，故 cos cosa A b B ， 由正弦定理sin cos sin cosA A B B ，即 2 sin 2sin A B ． 又 cos 0 ,cos 0A B  ，故 , (0, )2A B  ， 2 ,2 (0, )A B  因 a b A B   ，故 2 2A B  ． 即 2A B   ，故 ABC 为直角三角形． ．．．．．．．．．．．．．．7 分 （2）由于 m n ，所以 2 22 3 0a b  ① 且 2 2( ) ( ) 14      m n m n n m ，即 2 28 3 14b a  ② 联立①②解得 2 26, 4a b  ，故在直角 ABC 中， 6 , 2 , 10a b c   ．．．．．．．14 分 16、解（证明）（1）因为 AB⊥平面 BCD，所以 AB⊥BC，AB⊥BD． 因为 △BCD 是正三角形，且 AB＝BC＝a，所以 AD＝AC＝ 2a ． 设 G 为 CD 的中点，则 CG＝ 1 2 a ，AG＝ 7 2 a ． 所以 21 2ABC ABDS S a   ， 23 4BCDS a  ， 27 4ACDS a  ． 三棱锥 D－ABC 的表面积为 24 3 7 4ACDS a   ．．．．4 分 （2）取 AC 的中点 H，因为 AB＝BC，所以 BH⊥AC． 因为 AF＝3FC，所以 F 为 CH 的中点． 因为 E 为 BC 的中点，所以 EF∥BH．则 EF⊥AC． 因为 △BCD 是正三角形，所以 DE⊥BC． 因为 AB⊥平面 BCD，所以 AB⊥DE． 因为 AB∩BC＝B，所以 DE⊥平面 ABC．所以 DE⊥AC． 因为 DE∩EF＝E，所以 AC⊥平面 DEF．．．．．9 分 （3）存在这样的点 N， 当 CN＝ 3 8 CA 时，MN∥平面 DEF． 连 CM，设 CM∩DE＝O，连 OF． 由条件知，O 为△BCD 的重心，CO＝ 2 3 CM． 所以 当 CF＝ 2 3 CN 时，MN∥OF．所以 CN＝ 3 1 3 2 4 8CA CA  ．．．．．．．．．．．．．14 分 17、解：（1）设第 n 年底该县农村医保基金为 an 万元，则 1(1 10%) ( 2)n na a m n    ，即 1 9 ( 2)10n na a m n   . （3 分） 于是 1 910 ( 10 ) ( 2)10n na m a m n    . 所以 1 1 910 ( 10 ) ( )10 n na m a m    ， 即 1910 (1000 10 ) ( )10 n na m m    . （6 分） 故第 n 年底该县农村医保基金有 1910 (1000 10 ) ( )10 nm m   万元. （7 分） （2）若每年年底的医保基金逐年增加，则数列{ }na 单调递增. 因为 19( )10 ny  是减函数，则 1000－10m＜0 时，即 m＞100. （10 分） 又 1910 (1000 10 ) ( ) 150010 n na m m     恒成立，则 lim 1500nn a  . 即 10m≤1500，所以 m≤150. （13 分） 故每年新增医保基金 m 的控制范围是(100，150]. （14 分） 18、解：（1）圆 2 2 9 2 0x y x y     与 x 轴交点坐标为， ( 2,0)A  ， (0,1)F ，故 2, 1a c  ， …………………………………………2 分 所以 3b  ，椭圆方程是： 2 2 14 3 x y  …………………………5 分 （2）设直线 m 与 x 轴的交点是Q ，依题意 FQ FA ，即 2a c a cc    , 2 2a a cc   , 1 2a c c a   , 1 1 2ee   , 22 1 0e e   ， 10 2e  .………………………………9 分 （3）直线l 的方程是 4 0x y   ， 圆 D 的圆心是 1 3( , )2 2 ，半径是 3 2 2 ， 设 MN 与 PD 相交于 H ，则 H 是 MN 的中点，且 PM⊥MD， 2 2 2 22 2 2 2 1MD MP MD PD MD MDMN NH MDPD PD PD           ……12 分 当且仅当 PD 最小时， MN 有最小值， PD 最小值即是点 D 到直线l 的距离是 1 3| 4 | 52 2 2 2 d     ，…………………14 分 所以 MN 的最小值是 9 3 2 12 222 1 252 5 2     。 ……………………………16 分 19、解：（1） 41)1(2)1(  mmf 当 1m 时， 2)1)(1(  mm ，无解； （2 分） E C B D A F N M 当 1m 时， 2)1)(1(  mm ，解得 21m 。 （3 分） 所以 21m 。（4 分） （2）由于 mxm  ,0 。所以 mx mxxh 23)( 2  。 任取 21 xxm  ， 21 2 21 1212 )3)(()()( xx mxxxxxhxh  （5 分） 0,033,0 21 222 2112  xxmmmxxxx （7 分） 所以 0)()( 12  xhxh （8 分） 即： )(xh 在 ,m 为单调递增函数。 （3）、① 1m  时，  2 2 21,2 , ( ) 2 ( )( ) 3 2x f x x x m x m x mx m        ， ( )( ) 1f xh x x   恒成立 ( )f x x  恒成立 ，即： 2 2( ) 3 (2 1) 0g x x m x m     由于 ( )y g x 的对称轴为 x  2 1 16 m   故 ( )g x 在 1,2 为单调递增函数，故 2(1) 0 2 2 0g m m     。 所以 1m  。 （11 分） ② 当1 2m  时， 2 2 2 2 2 ( ) 3 2 mx mxh x mx mx       1 2 x m m x     易证 2 2 my x mx    在 1,m 为递增，由②得 2 3 2my x mx    在 ,2m 为递增， 所以， (1) 1h  ，即 0 2m  ， 所以 1 2m  。 （14 分） ③当 2m  时， 2 2( ) 2mh x x mx    （无解） （15 分） 综上所述 2m  。 （16 分） 20、解：（1）因为 1 ( ) 1 n n n n aa f a a    ， 所以 1 1 1 1 n na a   ，即 1 1 1 1 n na a   ， 1 1 ( 1) n n n a     ，即 2 1 na n  . ……………………………………（4分） 因为 22 1 2 2( 2 1) (1 )2 2 2n n S n n na          ， 当 1n  时， 1 1 2 1S b   ， 当 2n  时， 1 1 2n n nb S S n    ， 所以 *2 1( )nb n n N   . …………………………（6分） 又因为 4 6 4 2 1 6 2 1 10 2 2b b       ， 所以令 *10 2 2 ( )tb t N   ，则10 2 2 2 1t   得到 210 2t   与 *t N 矛盾，所以 4 6b b 不在数列 nb 中. ………（8分） （2）充分性：若存在整数 1m   ，使 1c md . 设 ,r tc c 为数列 nc 中不同的两项，则 1 1 1( 1) ( 1) ( 2)r tc c c r d c t d c r m t d             1 ( 1) 1c r m t d      . 又 3r t  且 1m   ,所以 1 1r m t    . 即 r tc c 是数列 nc 的第 1r m t   项. ……………………（11分） 必要性：若数列 nc 中任意不同两项之和仍为数列 nc 中的项， 则 1 ( 1)sc c s d   ， 1 ( 1)tc c t d   ，（ s ，t 为互不相同的正整数） 则 12 ( 2)s tc c c s t d     ，令 s t lc c c  ， 得到 1 12 ( 2) ( 1)c s t d c l d      *( , , )n t s N ， 所以 1 ( 1)c l s t d    ，令整数 1m l s t    ，所以 1c md . ……（14 分） 下证整数 1m   若设整数 1,m   则 2m  .令 k m  ， 由题设取 1, kc c 使 1 ( 1)k rc c c r   即 1 1 1( 1) ( 1)c c k d c r d      ，所以 ( 1) ( 1)md m d r d     即 0rd  与 1, 0r d  相矛盾，所以 1m   . 综上, 数列  nc 中任意不同两项之和仍为数列  nc 中的项的充要条件是存在整数 1m   ，使 1c md . ……………………（16 分）