南京市高三二模数学试题及答案

南京市 2010 届高三第二次模拟考试数学 2010.3.24 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分） 1、已知集合  | lgM x y x  ，  | 1N x y x   ，则 M N = 2、已经复数 z 满足 ( 2) 1z i i   （i 是虚数单位），则复数 z 的模是 3、若 0, 0x y  ，且 1 1x   ，则 z x y  的最大值是 4、已知函数 2( ) 2 1,f x x ax   其中  2,2a  ，则函数 ( )f x 有 零点的概率是 5、下图是根据某小学一年级 10 名学生的身高（单位：cm）画出的 茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位 数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，则选 10 名学生平均身高 是 cm 6、根据如图所示的算法语句，可得输出的结果是 7、等比数列 na 的公比 q ﹥0，已知 1 1 11 6n m ma a a a     ，则 na 的 前四项和是 8、过点（1，2）的直线l 与 x 轴的正半轴， y 轴的正半轴分别交于 A 、 B 两点，O 为坐标原点，当 AOB D 的面积最小时，直线l 的方程是 9、若平面向量 a,b 满足｛a+b｝=1,a+b 平行于 y 轴，a=(2,-1),则 b= 10、定义在 R 上的奇函数 ( )f x ,当 x∈（0，+∞）时，f(x)= 2log x ,则不等式 f(x)b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点 O， 且与该椭圆的右准线交与 A，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭 圆的离心率是 。 12、定义在 R 上的 ( )f x 满足 ( )f x = 13 , 0, ( 1) ( 2), 0, x x f x f x x        则 (2010)f  13、讲一个半径为 5cm 的水晶球放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆 PA、PB、 PC 组成，它们两两成 600 角。则水晶球的球心到支架 P 的距离是 cm. 14、已知定义域为 D 的函数 f(x),如果对任意 x∈D,存在正数 K, 都有∣f(x)∣≤K∣x∣成立， 1 1 9 1 Print S I While I I I S S I End While S        那么称函数 f(x)是 D 上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f(x)=2x② ( )f x = 2sin( )4x  ； ③ ( )f x = 1x  ；④ ( )f x = 2 1 x x x  ，其中是“倍约束函数的是 二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本题满分 14 题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分） 在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 sin 3 cosA C a c  （1）求角 C 的大小；（2）如果 a+b=6， 4CA CN   ,求 c 的值。Wwm 16.（本题满分 14 分，第 1 小题 8 分，第 2 小题 6 分） 在三棱柱 ABC  1 1 1A B C 中, 1AA BC , 1 60A AC   , 1 11, 2.A A AC BC A B    (1) 求证：平面 1 1 1ACC AA BC  平面 ; (2) 如果 D 为 AB 中点，求证： 1 1A CDBC  平面 17. （本题满分 14 分，第 1 小题 8 分，第 2 小题 6 分） 如图，现在要在一块半径为 1m。圆心角为 60°的扇形纸板 AOB 上剪出一个平行四边形 MNPQ， 使点 P 在 AB 弧上，点 Q 在 OA 上，点 M,N 在 OB 上，设 BOP= . MNPQ  的面积为 S。 （1） 求 S 关于 的函数关系式； （2） 求 S 的最大值及相应 的值 18. （本题满分 16 分，第 1 小题 7 分，第 2 小题 9 分） 已知圆 O： 2 2 4x y  和点 M（1，a）， （1） 若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切，求实数 a 的值，并求出切线方程； （2） 若 2a  ，过点 M 的圆的两条弦 AC.BD 互相垂直，求 AC+BD 的最大值。 19. （本题满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分） 已知函数 2( ) (2 1) lnf x x a x a x    （1） 当 a=1 时，求函数 f(x)的单调增区间 （2） 求函数 f(x)区间【1，e】上的最小值； （3） 设 ( ) (1 )g x a x  ，若存在 0 1 ,x ee      ，使得 0 0( ) ( )f x g x 成立，求实数 a 的取值 范围。 20. （本题满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 10 分， ） 设数列 na 的前 n 项积为 , 1n n nT T a  ；数列 nb 的前 n 项和为 , 1n n nS S b  （1） 设 1 n n c T  。○1证明数列 nc 成等差数列；○2求证数列 na 的通项公式； （2） 若 ( 2)n nT nb n kn n N    对 恒成立，求实数 k 的取值范围 附加题 解答题（本大题满分 40 分，1-4 题为选做题，每小题 10 分，考生只需选做其中 2 题，多选 做的按前两题计分，5-6 题为必做题，每题 10 分） 1.（几何证明选讲选做题） 如图，在△ABC 中，∠C=900,BE 是角平分线，DE⊥BE 交 AB 于 D，⊙O 是△BDE 的外接 圆。 （1）求证：AC 是⊙O 的切线。 （2）如果，AD=6,AE=6 ,求 BC 的长。 2.（矩阵与变换选做题） 在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为 A（0，0），B（2，0），C（2，1），求△ABC 在矩阵 MN 作用下变换所得到的图形的面积，这里矩 阵： 3.（坐标系与参数方程选做题） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 L 的参数方程为（t 为参数），椭圆 C 的方程为 试在椭圆 C 上求一点 P,使得 P 到直线 L 的距离最小。 4.（不等式选做题） 已知实数 a,b,c∈R,a+b+c=1,求 4a+4b+4c2 的最小值，并求出取最小值时 a,b,c 的值。 5.袋中有 8 个除颜色不同其他都相同的球，其中 1 个为黑球，2 个为白球，5 个为红球， （1）如果从袋中遗传摸出 2 个球，求所摸出的 2 个球颜色不同的概率； （2）如果从袋中一次摸出 3 个球，记得到红球的个数为 X,求随机变量 X 的分布概率及数学 期望 E(X) 6.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的顶点在原点，焦点 F 的坐标为（1，0）。 （1）求抛物线 C 的标准方程； （2）设 M,N 是抛物线 C 的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为-4，直线 MO,NO 与 抛物线的焦点分别为点 A、B,求证：动直线 AB 恒过一个定点。 南京市 2010 届高三第二次模拟考试数学试题参考答案 一、填空题： 1. (0, 1] 2. 10 3. 1 4. 2 1 5. 115 6. 55 7. 2 15 8. 042  yx 9. （－2, 0）或（－2, 2） 11. 3 6 12. 3 1 13. 35 14. ① ③ ④ 二、解答题：