10．2 质量
物理课上讲的“质量”与日常生活中表示产品优劣的那个“质量”是一回事吗？天平是物
理实验中重要的测量工具，那么怎样用它来测量物体的质量呢？使用它有些什么技巧
呢？
智 能 提 要
问：怎样理解质量的概念？
答：物体是在空间中占有一定位置的形体，如放在地面上的一个铁球，而构成物体的材料叫
物质，如铁球是由铁这种物质构成，而质量代表这种物质的多少，如大铁球的质量就大于小
铁球的质量．“质”指物质，“量”是多少的意思，即物质的多少．物理学中的“质量”与日
常生活中表示产品优劣的那个“质量”含义是完全不同的．物理学中把物体中含有物质的多
少叫做质量．
组成其物质的多少是不会改变的，只要这个物体还是它自己，而没有变成其他物体，它的质
量是确定的．即物体的质量不随物体的形状、状态和地理位置而改变．所以说物体的质量是
物体的一种属性．
问：如何使用托盘天平测物体的质量？
答：天平是一种测质量的仪器，托盘天平的使用方法：
（1）把天平放在水平桌面上；
（2）把游码放在标尺左端的零刻度线处，调节横梁上的螺母，使横梁平衡；
（3）将被测物体轻放在左盘上，估测物体的质量，将适当的砝
码轻放在右盘上；
（4）增减砝码，并移动标尺上的游码，直到横梁恢复平衡；
（5）算出右盘中砝码的总质量，再加上游码所对的刻度，即得
出左盘中被测物体的质量，然后将砝码放回砝码盒中，注意使用天平不能超出它的最大称量
值，用镊子去取砝码时要轻拿轻放，另外要保持天平的干燥、清洁．
问：使用天平时，为什么要把物体放在天平的左盘，砝码放在天平的右盘内，如果二者颠
倒了，应怎样得出物体的质量？
答：因为在调节天平横梁平衡时，游码是放在横梁的左端零刻度线处，添加砝码和移动游码，
最后可使左盘物体和右盘的砝码共同使得横梁平衡，因游码向右移动相当于在右盘内增加砝
码，所以物体的质量由砝码和游标读数之和决定，若物体质量为 ，砝码质量为 ，游
码所示质量为 ，那么有 ．如果左右盘放颠倒那么会有 ，所
以物体质量变为 ．也就是说如果左右盘放颠倒了，这时物体的质量就为砝码
质 量
初步概念、单位及换算
天平的使用
固体质量测量
液体质量测量
千万注意：此时不能调节
平衡螺母使横梁平衡！
的质量减去游码所示的质量．
问：如何测量微小物体的质量？
答：可采用“聚少成多，测多算少”的方法．如课本上提到的如何称出一枚大头针的质量，
可采用以下步骤：
①把天平放在水平工作台上．
②把游码放在标尺的零刻度线处．
③调节横梁上的平衡螺母，使横梁平衡．
④将 100根相同的大头针放在左盘里．
⑤在右盘中加减砝码，并移动游码位置使天平再次平衡．
⑥右盘中砝码总质量与游码在标尺上的读数之和就是 100根大头针的质量 m．
⑦求出一根大头针的质量 m1＝ m/100．
⑧将砝码放入盒中，整理仪器．
问：怎样测量液体的质量？
答：可按以下步骤进行：①用天平称出容器的质量 m1.②将容器灌上适量的液体后，用天平
称出液体和容器的总质量 m2.③液体的质量 m 液＝m2－m1．
如果先测容器与液体的总质量，倒去液体后再测容器的质量，那么由于容器内还有残留
的液体，测量误差就较大，因此这种方法一般不可取．
中 考 撷 要
三年以来，中考试题中出现的质量的考点比较多．对本节知识的考查，出现最多的题型
是实验题，其次是填空与选择题．正确使用天平测量质量是考查的重点
智 能 拓 展
1．你知道这些质量单位吗？
据报载：“跳水皇后”高敏以 80万元人民币拍卖的一枚奥运会金牌含有 5.2盎司黄金．你
知道这枚金牌中到底含有多少克黄金吗？
原来，国际上常用“盎司（oz）”作为贵重金属的质量单位．1oz=28.35g．
除了“盎司”以外，宝石常以“克拉”为质量单位，1克拉=200mg=0.2g．世界上已发
现的最大钻石是“卡利南钻石”，质量达 3106克拉，现在你能知道它的质量了吧！
另外，国际上还流行“磅（b）”这种质量单位， 1b=0.4536kg．
2．电子秤
电子秤是目前城市商店中应用较广的称
量、计价工具．它最大的优点是能够自动快速
准确地称量和计价，另外，它还有累计顾客购
买的不同货物金额、累计总金额、去皮等多种
功能．
如图是一般电子秤的外形图．前面的三个
数字显示窗口，最左面的为质量显示，中间的
为商品单价显示，右面的为计价显示．右端的装置为指令键盘，上面的平板秤盘是放商品的
地方．
当接通 220V 电源并开机后，单价显示窗口显示出“0.00”；如果商品单价为 12.34
元，就分别按数字键 1、2、3、4，即可将商品单价自动输入．把商品放在秤盘上，左边窗
口就显示出商品的质量数，右边的计价窗口就显示
出商品的金额．
如图是电子秤的工作原理示意图．当商品放在
秤盘上后，电阻应变式传感器将商品的轻重信号传
递给中心控制电路，中心控制电路再将处理后的各
种信号输入给数字荧光显示屏．在质量显示窗口就
显示出商品的质量；如果质量为“0.195”，单价显
示窗口的数字如果是“12.34”，那么计价窗口就显示出“2.40”．如果该顾客同时还买了
另一种商品，则须重新输入该商品的单价，然后按一下“累计”键，把商品放在秤盘上，即
可在金额显示窗口显示出累计金额值．
当给另一位顾客计价时，必须先按一下“清除”键，即清除前一位顾客的金额，才
能开始新的金额计价．
如果需要查看一天的营业额时，可先按“功能”键，再按“累计”键，在金额显示
窗口即显示出总金额累计值．
电子秤是目前比较先进、比较方便的称量工具．其称量规格一般有 15kg、6kg、3kg
等．其精度为 1／3000，即称量 15kg 时误差在 5g 左右．
目前，电子秤还在朝着高精度、多功能的方向发展着．
3．有 9 颗规格相同的钢珠，已知其中有一颗内部有气孔，是属废品.给你一架无砝码的天平，
只准许你称量两次，把废品钢珠找出来，说出你的做法．
将 9颗钢珠平均分成 3份，每份 3 颗钢珠，先将任意 2份放在天平左右盘里.若天平平
衡，则废品钢珠肯定在另 1份钢珠内；若天平不平衡，则废品钢珠肯定在较轻的那份钢珠内，
这是第 1次称量，然后，在废品钢珠认定的那份钢珠内，任意取 2颗，若天平平衡，则剩余
的那颗就是废品钢珠；若天平不平衡，则较轻的那颗钢珠就是废品钢珠，这样称量 2次就把
废品钢珠找了出来.
智 能 归 例
题型一 本组题型考查对质量概念的理解，对质量单位的认识
例 一根铜棒，在下列情况下，其质量会变化的是（ ）
A．把铜棒扎成一薄铜片 B．把铜棒加热到 300℃
C．宇航员将铜棒带到月球上 D．钳工用锉刀对它进行加工
知识点 质量的初步概念
闯关点拨 质量是物体的一个基本属性，它的大小与物体所含物质的多少有关，而与物体
的温度、形状、状态和地理位置无关．本题中 A形状变了，B温度变了，C 地理位置变
了，但都没有改变物体所含物质的多少，故质量不变．当钳工用锉刀对铜棒进行加工时，
铜棒中所含的铜在减少，其质量将变小，故选项 D是正确的．
答 选 D
题型二 考查操作托盘天平的技能，掌握托盘天平的调节和称量质量的方法
例 小明同学在用天平测物体质量的实验中，首先取来托盘天平放在水平桌面上，发现如
图 10-2所示情况．
(1)他应采取的措施是__________________________________；
(2)天平调节平衡后，小明按图 10-3所示的方法来称量物体的质量，小华立即对小明说：
“你操作时至少犯了两个错误．”小华所说的两个错误是：
①______________________________________________________________________，
②______________________________________________________________________.
(3)小明虚心地听取了小华的建议，重新进行操作．在称量过程中，又出现了如图 10-2
所示的情况，他_____________________________________________________________；
(4)天平再次平衡后，所用砝码和游码位置如图 10-4所示，那么小明所称量物体的质量
是_________g．
知识点 托盘天平的调节和称量质量的方法
闯关点拨 (1)天平调节分水平调节和横梁调节两步．在调节
横梁平衡时，应通过调节平衡螺母来实现．图 10-2 显示天平
的左端下沉，应将平衡螺母向右调节．
(2)称量时，必须把被测物体放在左盘内，在右盘内增减
砝码，而且砝码应该用镊子夹取，轻拿轻放．因此，图 6-2中小明犯了两个错误：①用手拿
砝码；②物体和砝码放反了托盘．
(3)称量过程中使天平平衡是通过增减砝码和移动游码来实现的．出现了如图 10-2情况，
显示物体质量偏大，应向右盘内增加砝码或向右移动游码(相当于向右盘内增加小砝码)．应
注意的是，此时不能调节平衡螺母来使天平的横梁平衡，否则，天平称量前的平衡被破坏，
测出的质量就不对了．
(4)天平平衡后，右盘内砝码的总质量加游码指示的左边的质量值即为被测物体的质
量．因此，称量物体的质量是 m 物＝20 g＋20 g+5 g+2.4 g＝47.4 g．
答 (1) 将平衡螺母向右调节．
（2）①用手拿砝码；②物体和砝码放反了托盘．
（3）应向右盘内增加砝码或向右移动游码．
（4）47.4 g
[变形题] 小明在练习使用天平称物体质量时，怎么也想不通老师为什么反复强调：
(1)调节横梁平衡时，要把游码放在横梁左端的零刻度线；
可简记为：指针左偏，螺
母右调；指针右偏，螺母
左调。
图 10-2 图 10-3 图 10-4
(2)物体与砝码的放置遵循“左物右码”的原则．
他想了许久，针对老师强调的两点，进行了如下实验：
(1)按天平正确操作程序测物体的质量 m 物，天平平衡时，砝码个数与游码位置如图 10-5
所示，则该物体的质量为__________g．
(2)故意将游码放在 0.2 g的位置，再调节平衡后，继续对此物体进行称量．天平平衡后，
砝码个数与游码的位置如图 10-6所示．
(3)天平调节平衡后，故意将此物体放在右盘，砝码放在左盘内．天平平衡后，砝码个
数与游码位置如图 10-7所示．
图 10-5 图 10-6 图 10-7
请你帮小明分析—下，为什么第二次和第三次测量时砝码总质量与游码所指示的质量
值与第一次不同?
闯关点拨 托盘天平测物体的质量，强调“左物右码”的原则是因为：游码向右移动，
相当于直接给右盘加小砝码．因此，如果按要求操作，物体的质量就直接等于 m 码+m 游．
第一次测量的物体的质量为 m 物＝20g+10 g+5 g+1.6 g＝36.6 g．
调节天平平衡时，若游码未归零，而是故意将游码放在 0.2 g的位置，则游码的真正零点应
在 0.2 g处．读数时应将游码指示的质量值减去 0.2g．
如将两者放反，实际也能测量物体质量，理解游码的作用后，不难得到 m 物＝m 码－m 游
答 （1）36.6g
（2）第二次测量的物体的质量为 m 物＝20g+10g＋5 g+1.8 g－0.2 g＝36.6 g，结果与第
一次测量值相同．
（3）第三次测量的物体的质量为 m 物＝(20 g＋10 g＋10 g)－3.4 g＝36.6 g，与第一次
测量值相同．
说明 虽然实验的第二、第三步也能称出物体的质量，但却很不方便，且容易出错．为
保证能快速、准确地称量出物体的质量，请你仍按照天平的使用说明进行操作．
题型三 会熟练使用天平测量固体和液体的质量
例 1 某同学使用托盘天平称物体质量时，采用了如下步骤：
（1）把天平放在水平桌上，把游码放在标尺左端零点上；
（2）调节天平横梁右端螺母；
（3）将被测物体放在右盘里
（4）根据估计，用手拿砝码放在左盘里，再移动游码直到横梁平衡
（5）计算砝码的总质是，并观察游码所对应的刻度值，得出所称物体的质量
（6）称量完毕把砝码放回盒内
以上有三个步骤中各有遗漏，请在下列横线前的括号内写出这些遗漏和错误步骤的序号，并
在横梁上加以补充或纠正
( )___________________________________________
( )___________________________________________
( )___________________________________________
知识点 会用天平测量物体质量的实验步骤和天平的使用方法，
闯关点拨 对于天平的横梁平衡调节，要说出横梁平衡的标志；对于物体和砝码放置的位
置，要注意不能颠倒，另外，取砝码时，不能直接用手拿取．
答 （2）使指针对准标尺中央的红线处，这时横梁平衡；
（3）将“右”改为“左”
（4）将“手拿”改为“镊子夹”，将“左”改为“右”
例 2 用天平称量出 100 g的水步骤如下，其顺序合理的是 （ ）
(1)把天平放在水平台上
(2)调节横梁的螺母，使横梁平衡
(3)在右盘中加减砝码，并移动游码位置使天平可以平衡
(4)将空杯放在右盘里
(5)右盘中砝码总质量与游码在标尺上的读数之和就是空烧杯的质量
(6)把游码放在标尺的零刻度线处
(7) 在右盘内放入 100 g的砝码
(8)在左盘烧杯内加水，直到天平平衡
A．(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) B．(1)(6)(2)(4)(3)(5)(7)(8)
C．(1)(3)(2)(4)(5)(6)(7)(8) D．(1)(2)(5)(4)(3)(6)(7)(8)
知识点 会用天平测量液体的质量
闯关点拨 要称量一定质量的水，即液体的质量作了限
制，可在称完空杯子的质量后，在右盘内直接放入 100g
的砝码，再在左盘烧杯内加水，直到天平平衡，则左盘
烧杯内水的质量即为 100g．
答 选 B
题型四 会用天平测量微小物体的质量
例 用天平称一粒米的质量，下列方法中相对比较简便而又正确的是…( )
A．先测出 100粒米的质量，再通过计算求得
B．把一粒米放在一只杯子中，测出其质量，再减去杯子的质量
C．把一粒米放在天平盘里仔细测量
D．把一粒米放在天平盘里，反复测量，再求平均值
知识点 会用间接测量的方法测量微小的质量
闯关点拨 利用天平测量一些细小物体的质量，是一类既有思考性又有趣味性的问题．一
架托盘天平的感量是有限的．所谓感量即天平能直接测出的最小质量数，常见的有 0.1 g、
0.2 g或 0.5 g几种，一粒米显然不足天平的感量，所以不管怎样仔细、反复测量单粒米的质
量，肯定是不准确的，也没有意义．因此选项 C、D不正确；而选项 B提示的方法也不可
小助手：当称取所需质
量一定的液体或固体
时，应先在右盘放上所
需质量的砝码。
行，有无一粒米的杯子质量几乎没有差别．联系“测多算少”的思路，选项 A方案是可行
的．
答 选 A
说明 测一张邮票的质量，测一根大头针的质量，测 1cm长的棉线的质量等，方法类似．
[变形题] 有一盒大头针，估计有几百枚．你能只利用一架天平就知道这盒大头针的确切
数目吗?请把你的做法告诉大家．
闯关点拨 一枚大头针的质量较小，用普通天平不能准确测出一枚大头针的质量．要想准
确测出一枚大头针的质量，可采用累计法．
答 方法一：先数出 20枚大头针，用天平测出它们的质量 m(g)，则一枚大头针的质量就
是 m/20．再用天平测出一盒大头针的总质量M(g)，则这盒大头针的个数为：N＝20M/m(枚)．
方法二：数出 50枚大头针，放在已调节好的天平的左盘，在右盘内放大头针，直到
天平平衡，这时右盘内的大头针的个数就是 50枚．如此继续下去，经 N次直到天平不能平
衡时为止，再数出盘内大头针的个数 n．这盒大头针的总个数为：50N+n(枚)．
说明 此法可以扩展到测量数量很多的钮扣粒数、书的本数、面值相等的钱数、衣服件数等．
中考典题精析
考题 1 质量为 1.8 610 mg的物体，可能是下列的（ ）（江苏省 2003年盐城市中考题）
A．一头大象 B．一位小学生
C．一只鸡 D．一颗小铁钉
闯关点拨 解答本题要求你对质量的单位有感性化的认识和对日常物品的质量大小有定性
的了解．可以先把所给的质量换算成我们较为熟悉的 kg，1.8 610 mg=1.8kg．一头大象
的质量远大于 1.8kg，一位小学生的质量肯定也大于 1.8kg，一只鸡的质量有可能是 1.8kg，
而一颗小铁钉的质量远小于 1.8kg．这样可以排除 A、B、D三个选项．
答 选 C
考题 2 小明同学用托盘天平测量物体的质量，操作情况如下图所示，其中的错误是：
（1）______________________________________________；
（2）______________________________________________；
（3）______________________________________________.
（江苏省泰州市 2004 年中考题）
闯关点拨 本题考查天平的使用规则． 由天平的构造设计原
因，在移动游码时，相当于给天平的右盘添加了质量等于游码所对刻度值的一个砝码，所以
使用天平必须遵守“左物右码”的原则．
解 使用天平测量时，应先把游码放在“0”位置，被测物体应
放在天平的左盘，在右盘中放砝码．在加减砝码时，应使用镊
子，而不能直接用手拿砝码．
答
这样主要是为了防止因砝
码生锈而使它的质量发生
变化．
智 能 训 练
基础知识训练
1．在实验室里用________测物体的质量，
在某次实验中所用砝码的个数和游码的位
置如图 10-8 所示，那么该物体的质量是
__________g．（题型二）
2．中国赠送给联合国的“世纪宝鼎”质量
是 1.6t，由中国运抵联合国总部，其质量______，神州号飞船将一面质量为 500g 的国旗载
入太空，在太空中，国旗的质量将__________（填“变大”，“变小”或“不变”） （题型一）
3．一只普通鸡的质量大约是 2.0_______；一个中学生的质量约为 50___________；一张邮
票的质量约为 0.06__________．（题型一）
4．用托盘天平称物体质量时，当把一只最小的砝码加入右盘时嫌多，而取出这只最小的砝
码又嫌少，这时应通过___________使天平平衡，从而称出物体的质量．（题型二）
5．下面是用托盘天平称石块质量的实验步骤，请按正确的顺序重新排序，并将实验步骤的
标号写在横线上．
①把天平放在水平桌面上
②将被测物体放在天平的左盘，右盘放砝码，调节游码位置，使指针指在分度盘中央
③将游码拨到标尺左侧零刻线上
④调节横梁平衡螺母，使横梁平衡
⑤计算砝码的总质量加上游码所对刻度值得出物体质量
正确的顺序为__________________________．（题型三）
6．一个物体的质量大小取决于 ( ) （题型一）
A．物体的形状 B．物体所含物质的多少
C．物体所在的位置 D．物体所含物质的多少和它的形状
7．某同学用托盘天平称一物体的质量，将天平调节平衡后，估计这物体的质量约为 50g，
就把物体和砝码分别正确地放入盘中，发现指针明显地偏向分度盘中线的左侧，那么他应该
（ ）（题型二）
A．减少砝码 B．增加砝码
C．将横梁右端的平衡螺母向右移动 D．将横梁右端的平衡螺母向左移动
8．下列质量中，最小的是 ( ) （题型一）
A．1.19×10－7t B．125 mg C． 0.13 g D．0.000 12 kg
9．托盘天平横梁上都有标尺和游码，向右移动游码的作用是（ ）（题型二）
A．相当于向左调节平衡螺母 B．代替指针用来指示平衡
C．相当于在左盘中加小砝码 D．相当于在右盘中加小砝码
10．1kg的棉花和 1kg的铁块相比较，下列说法中正确的是（ ）（题型一）
A．棉花所含物质较多 B．铁块所含物质较多
C．棉花和铁块所含物质一样多 D．无法比较棉花和铁块所含物质的多少
图 10-8
11．一架天平的称量范围为 0～1000g，用它可称下列哪个物体的质量（ ）（题型二）
A．一个铅球 B．一个苹果 C．一位学生 D．一袋大米
12．某同学用天平称 2cm 长的棉线的质量，他先将棉线与铁块一起称，后将棉线拿掉，只
称铁块质量，这样测量的结果，棉线的质量等于零，你认为应该怎么称？ （题型四）
综合提高训练
1．一颗尘埃微粒的质量是 6.7×10－10kg，一个氢原子质量为 1.67×10－24g，那么一颗尘埃的
质量相当于________个氢原子的质量．（题型一）
2．若天平所配备的砝码盒中备有下列砝码：200g1个，100g2 个、50g1个、20g2个、10g1
个、5g1个、2g2个、1g1个．天平标尺上游码所示的刻度如图 10-9所示，天平的最大称量
是____________g，它能达到的精确度是______g，用此天平称量某物体的质量时，当天平右
盘放 20g砝码各 1个，2g和 1g砝码各 1个，游码位置如图所示，天平横梁平衡时，被测物
体的质量是______________（题型二）
3．某同学用已调好的托盘天平测量物体的质量，操作情况如图 10-10所示，其中错误的是：
（1）_____________________(2)______________________ ．（题型三）
4．如下两项实验：①刻度尺测细钢丝直径：把细铜丝在铅笔上紧密排绕 50圈，然后用刻度
尺量出线圈总长度再除以 50；②测一个大头针的质量：先测出 100个大头针的总质量，再
除以 100．上述两项实验的思想方法是相同的，这两项实验遇到的问题的共同特点是
_______________________________________________ ， 解 决 办 法 的 共 同 特 点 是
_________________________________________________．（题型四）
5．某同学用天平称量物体的质量时，发现砝码已经磨损，则测量结果与真实值相比较 ( )
（题型二）
A．偏小 B．相等 C．偏大 D．无法确定
6．某同学用托盘天平测一物体的质量，测量完毕后才发现错误地
将物体放在了右盘，而将砝码放在了左盘，因无法重测，只能根
据测量数据来定值，他记得当时用了 50g、20g二个砝码，游码位
置如图 10-11所示，则物体的质量为 ( ) （题型三）
A．68.0g B．72.0g C．72.5g D．67.5g
7．工厂里生产的薄铁皮是卷成圆筒形的，为了计算铁皮的总长度，先剪下长为 l 的一段铁
皮，称得它的质量为 m，再称得整筒铁皮的总质量为 M，那么铁皮的总长度 L 应为（ ）
（题型四）
图 10-9 图 10-10
10-11
A． M/m B．M/(ml) C．Ml/m D．Ml/m
8．一架托盘天平砝码的质量和个数见下表，天平的游码标尺如图 10-12所示，调节该天平
平衡后，用它称某物体的质量，将被测物体放在天平的左盘，在右盘中放入 20g、10g和 5g
的砝码各一个后，横梁指针停在右图所示位置．问：
（1）用下列哪一步骤可正确称出该物体的质量？答______（填入选项前的字母）
A．将平衡螺钉母向左旋
B．将平衡螺母向右旋
C．将游码向右移一些
D．在天平右盘加一个砝码
（2）该物体质量可能在 35g与________g之间，（选填：30、40或 55）（题型二）
9．测盐水的质量，小明设计如下实验步骤：
A、把天平放在水平桌面上；
B、旋动天平横梁右端螺母，使指针正对分度盘中央；
C、把盐水装入烧杯，放在天平左盘，右盘中添加砝码，并移动游码，使天平平衡，读出质
量数 m；
D、取下砝码放入砝码盒内，整理好仪器；
E、把空烧杯放右盘，在左盘先加小砝码再加大砝码使天平平衡，读出质量数 m．
试分析：（1）哪些步骤错误，错在哪？（2）漏的重要步骤是什么？（3）改正、补漏后合理
的操作顺序是什么？ （题型三）
10．某实验室有一架托盘天平（带有一盒砝码）横梁上的调节螺母已无法旋动，其他元件均
保持完好，天平的等臂性没有改变，将它放在水平桌面上观察横梁的平衡时，指针总偏向分
度盘的左端，调换左、右两盘的位置也无法改变这种状况，请你使用这架天平，测出一个小
金属块的质量，要求简述测量过程，表达出测量结果．（可以选用生活中常见的材料）
11．某试卷按 30份一袋分装，在试卷分装结束后，发现多出 10份，经分析原因是装好的某
试卷袋中少装了 10份．现要求在不拆开已密封的试卷袋的情况下，想出一种科学准确的方
法在这批试卷中找出只装了 20份试卷的那一袋（需要的仪器，保证提供）．
12．托盘天平是实验室里常用的测量工具，根据你对天平的了解，请你列举托盘天平的几个
缺点，并针对这些缺点找到改进方法．
图 10-12
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