正视图 侧视图
俯视图
5
3
4 3
（6 题图）
2015 年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中高中毕
业班“最后一卷”联考理科数学学科试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第 21 题为选考题，其他题为必考
题．满分 150 分．考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1．设集合 0232 xxxM , 集合 1{ | ( ) 4}2
xN x ，则 MUN 为( )
A． 2xx B． 1xx C． 1xx D． 2xx
2.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为( )
A．9 B．16 C．25 D．36
3．等差数列 }{ na 中， 7,10 451 aaa ，则数列 }{ na 的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.“ 1cos 2
”是“
3
”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.已知直线
3
2
3
1 xy 与幂函数 )0()( mxxf m 的图像将于 BA、 两点，且 10AB
则 m 的值为（ ）.
A． 2 B．
2
1 C．
2
1 D． 2
6. 若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的体积等于( )
A． 310cm B． 320cm C． 330cm D． 340cm
7． 如图，四边形 ABCD 为矩形， 3AB ， 1BC ，以 A 为圆心，1 为 半
径画圆，交线段 AB 于 E，在圆弧 DE 上任取一点 P，则直线 AP 与线段 BC 有
公共点率为（ ）
A． 1
6
B． 1
4
C． 1
3
D．
3
2
8.已知半圆的直径 10AB ，O 为圆心，C 为半圆上不同于 BA, 的任意一点，
若 P 为半径OC 上的动点，则 PCPBPA 的最小值是（ ）
Ａ．
2
25 Ｂ. 25 Ｃ． 25 Ｄ.
2
25
9．设方程 02
1log 2
x
x 与 04
1log
4
1
x
x 的根分另为 21, xx ，则（ ）
A． 10 21 xx B． 121 xx C． 21 21 xx D． 221 xx
10.已知函数 , ,若 ,使
,则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.）
11.复数 (1 )Z i i (i 为虚数单位)的共轭复数是
12.若变量 ,x y 满足约束条件
2
1
1
y x
x y
y
,则 2x y 的最大值是
13． 2 +2x（ ） 5
2
1( )mxx
展开式中 2x 项的系数 490,则实数 m 的值为 .
14.已知正项 n na S数列 的前n项和为 ，奇数项成公差为 1 的等差数列，当 n 为偶数时点
2 1 2 2( , ) 3 2 1, 2, { } 2n n n na a y x a a a n S 在直线 上,又知 则数列 的前 项和 等于
15.平面内两定点 M（0，-2）和 N(0,2），动点 P（x，y）满足 ，动点 P
的轨迹为曲线 E，给出以下命题：
① m，使曲线 E 过坐标原点；
②对 m，曲线 E 与 x 轴有三个交点；
③曲线 E 只关于 y 轴对称，但不关于 x 轴对称；
④若 P、M、N 三点不共线，则△ PMN 周长的最小值为 2 ＋4;
⑤曲线 E 上与 M,N 不共线的任意一点 G 关于原点对称的另外一点为 H，则四边形 GMHN 的面积不
大于 m。
其中真命题的序号是 ．（填上所有真命题的序号）
三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．在 ABC 中,角 CBA 、、 所对的边分别为 cba 、、 ， 4,34 ba ， 1cos 2A ．
(Ⅰ)求角 B 的大小；
（Ⅱ）若 Bxcxxf 2sin22cos ，求函数 ( )f x 的单调递增区间
17．4 月 10 日，2015《中国汉字听写大会》全国巡回赛正式启动，并拉开第三届“汉听大会”
全国海选的帷幕。某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千
名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分
布直方图如图所示．
（Ⅰ）求频率分布直方图中 a 的值,试估计全市学生参加汉字
听写考试的平均成绩；
（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取 1 名同学，求这
名同学考试成绩在 80 分以上（含 80 分）的概率；
（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取 3 名同学，这 3
名同学中考试成绩在 80 分以上（含 80 分）的人数记为 X ，
求 X 的分布列及数学期望．
（注：频率可以视为相应的概率）
18.如图,在四棱锥 B-AA1C1C 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形,平面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求证:AA1⊥平面 ABC;
(Ⅱ)求二面角 A1-BC1-C 的余弦值;
(Ⅲ)证明:在线段上 1BC 存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求
1
BD
BC
的值.
19.
19.已知椭圆C：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的一个焦点与短轴的两个端为的连线互相垂直，椭圆
上的点到焦点的最大距离 21
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）过 X 轴上一点 )0,(mM （ )0 am 的直线 l 交椭圆C于A，B两点，试问：在椭
圆C上是否存在定点T，使得无论直线 l 如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T?若存在，求
出 m 的值及点T的坐标，若不存在，请说明理由.
20.已知函数 1 ln( ) .xf x x
（Ⅰ）求函数 ( ) 1f x x 在 处的切线方程;
（Ⅱ）若 a 为实数，函数 ( ) ( , 1)f x a a 在区间 上的有极值，求 a 的取值范围；
（Ⅲ）试问是否存在 ,k b N ，使得 ( )xe kx b f x 恒成立？若存在，请写出 ,k b 的值，并证
明你的结论；若不存在，请说明理由。
21．（本小题满分 14 分）本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题 7 分，请考生任选两题作答，
共 14 分．如果多做，则按所做的前两题计分．
(1)（本小题满分 7 分）选修 4-2：矩阵与变换
已知矩阵 A＝
1 0
1 1
，B＝
0 2
3 2
.
（Ⅰ）求满足条件 AM＝B 的矩阵 M；
（Ⅱ）若矩阵 M 对应的变换将曲线 C：x2＋y2＝1 变换为曲线 C′，求曲线 C′的方程
(2)（本小题满分 7 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 3
3
x t
y t
，
（t 为参数），在极坐标系（与直角
坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐
标方程为 2 4 s 3 0co .
（Ⅰ）求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点 P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围.
(3)（本小题满分 7 分）选修 4－5：不等式选讲
设不等式 的解集与关于 的不等式 的解集相同．
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）求函数 的最大值，以及取得最大值时 的值.
正视图 侧视图
俯视图
5
3
4 3
（6 题图）
2015 年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中高中毕
业班“最后一卷”联考理科数学学科试卷答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第 21 题为选考题，其他题为必考
题．本试卷共 5 页．满分 150 分．考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设集合 0232 xxxM , 集合 1{ | ( ) 4}2
xN x , 则 MUN 为
A． 2xx B． 1xx C． 1xx D． 2xx
2.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为( B )
A．9 B．16 C．25 D．36
3．等差数列 }{ na 中， 7,10 451 aaa ，则数列 }{ na 的公差为（B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.“ 1cos 2
”是“
3
”的( B )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 已 知 直 线
3
2
3
1 xy 与 幂 函 数 )0()( mxxf m 的 图 像 将 于 BA、 两 点 ， 且
10AB ，则 m 的值为（ C ）.
A． 2 B．
2
1 C．
2
1 D． 2
6. 若某几何体的三视图(单位： cm )如图所示，则该几何体的体积等于
( B )
A． 310cm B． 320cm C． 330cm D． 340cm
7． 如图，四边形 为矩形， ， ，以 为圆心， 为半径
画圆，交线段 于 ，在圆弧 上任取一点 ，则直线 与线段 有公共点的概
率为（ C ）
A． B． C． D．
8.已知半圆的直径 10AB ，O 为圆心，C 为半圆上不同于 BA, 的任意一点，若 P 为半径OC
上的动点，则 PCPBPA 的最小值是( D )
Ａ．
2
25 Ｂ. 25 Ｃ． 25 Ｄ.
2
25
9．设方程 02
1log 2
x
x 与 04
1log
4
1
x
x 的根分另为 21, xx ，则（ A ）
A． 10 21 xx B． 121 xx C． 21 21 xx D． 221 xx
10.已知函数 , ,若 ,使
,则实数 的取值范围是（ B ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分.
11.复数 z＝i(i＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是－1－i
12.若变量 ,x y 满足约束条件
2
1
1
y x
x y
y
,则 2x y 的最大值是 5/3
13． 2 +2x（ ） 5
2
1( )mxx
展开式中 2x 项的系数 490,则实数 m 的值为 .
答案： 7
14.已知正项 n na S数列 的前n项和为 ，奇数项成公差为 1 的等差数列，当 n 为偶数时点
2 1 2 2( , ) 3 2 1, 2, { } 2n n n na a y x a a a n S 在直线 上,又知 则数列 的前 项和 等于
答案： 2 13 3
2
nn n
15.平面内两定点 M（0，-2）和 N(0,2），动点 P（x，y）满足 ，动点 P
的轨迹为曲线 E，给出以下命题：
① m，使曲线 E 过坐标原点；
②对 m，曲线 E 与 x 轴有三个交点；
③曲线 E 只关于 y 轴对称，但不关于 x 轴对称；
④若 P、M、N 三点不共线，则△ PMN 周长的最小值为 2 ＋4;
⑤曲线 E 上与 M,N 不共线的任意一点 G 关于原点对称的另外一点为 H，则四边形 GMHN
的面积不大于 m。
其中真命题的序号是 ．（填上所有真命题的序号）1、4、5
三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．在 ABC 中,角 CBA 、、 所对的边分别为 cba 、、 ， 4,34 ba ， 1cos 2A ．
(1).求角 B 的大小；
(2).若 Bxcxxf 2sin22cos ，求函数 ( )f x 的单调递增区间
16.解：（Ⅰ）由 1cos 2A 得 3sin 2A
由
sin sin
a b
A B
得 1sin 2B ,又 ab ， AB 得
6B
（Ⅱ）由余弦定理 Abccba cos2222 可得 4c
2( ) cos2 2sin ( )6f x x x = cos2 cos(2 ) 13x x
1 3cos2 cos2 sin 2 12 2x x x sin(2 ) 16x
由 kx
262 得
26
kx 所以，函数 ( )f x 的对称轴为
26
kx
由 2 2 2 ,2 6 2k x k k Z ，得 ,3 6k x k k Z
所以所求函数的单调递增区间为[ , ],3 6k k k Z
17．4 月 10 日，2015《中国汉字听写大会》全国巡回赛正式启动，并拉开第三届“汉听大会”
全国海选的帷幕。某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千
名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求频率分布直方图中 a 的值,试估计全市学生参加汉字
听写考试的平均成绩；
（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取 1 名同学，求这
名同学考试成绩在 80 分以上（含 80 分）的概率；
（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取 3 名同学，这 3
名同学中考试成绩在 80 分以上（含 80 分）的人数记为 X ，
求 X 的分布列及数学期望．
（注：频率可以视为相应的概率）
解：（Ⅰ） aaaaaa 2076322 ,
11020 a ,∴ 005.0a , ……………………… 2 分
估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：
5.76951.0853.07535.06515.0551.0 ……… 4 分
（Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在 80 分以上为事件 A．
4.01001.01003.0)( AP
答：被抽到的这名同学考试成绩在 80 分以上的概率为 0.4． ……………… 6 分
（Ⅲ）由（2）知，从参加考试的同学中随机抽取 1 名同学的成绩在 80 分以上的概率为
5
2 ，
X 可能的取值是 0，1，2，3．
125
27)5
3()5
2()0( 300
3 CXP ；
125
54)5
3()5
2()1( 211
3 CXP ；
125
36)5
3()5
2()2( 122
3 CXP ；
125
8)5
3()5
2()3( 033
3 CXP ．
X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P 125
27
125
54
125
36
125
8
………………11 分
所以
27 54 36 8 6( ) 0 1 2 3125 125 125 125 5E X
． ……… 13 分
（或
2~ (3, )5X B ，所以
2 6( ) 3 5 5E X np
．）
18.如图,在四棱锥 B-AA1C1C 中,AA1C1C 是边长为 4 的正方形,平面 ABC⊥平面 AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求证:AA1⊥平面 ABC;
(Ⅱ)求二面角 A1-BC1-C 的余弦值;
(Ⅲ)证明:在线段上 1BC 存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求
1
BD
BC
的值.
(I)因为 AA1C1C 为正方形,所以 AA1 ⊥AC.
因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C,且 AA1 垂直于这两个平面的交线 AC,所以 AA1⊥平面 ABC.
(II)由(I)知 AA1 ⊥AC,AA1 ⊥AB. 由题知 AB=3,BC=5,AC=4,所以 AB⊥AC. 如图,以 A 为
原点建立空间直角坐标系 A- xyz ,则 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),
设平面 A1BC1 的法向量为 , , )x y zn = ( ,则 1
1 1
0
0
A B
AC
n
n
,即 3 4 0
4 0
y z
x
,
令 3z ,则 0x , 4y ,所以 (0,4,3)n = .
同理可得,平面 BCC1 的法向量为 (3,4,0)m = ,所以 16cos 25
n mn,m | n || m |
. 由题知
二面角 A1-BC1-C 为钝角,所以二面角 A1-BC1-C 的余弦值为 16
25
.
(III)设 D ( , , )x y z 是直线 BC1 上一点,且 1BD BC . 所以 ( , 3, ) (4, 3,4)x y z .解
得 4x , 3 3y , 4z .
所以 (4 ,3 3 ,4 )AD .
由 1· 0AD A B ,即9 25 0 .解得 9
25
.
因为 9 [0,1]25
,所以在线段 BC1 上存在点 D,
使得 AD⊥A1B. 此时,
1
9
25
BD
BC
.
19．（本小题满分 13 分）
已知椭圆C：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的一个焦点与短轴的两个端为的连线互相垂直，椭圆上的
点到焦点的最大距离 21
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）过 X 轴上一点 )0,(mM （ )0 am 的直线 l 交椭圆C于A，B两点，试问：在椭
圆C上是否存在定点T，使得无论直线 l 如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T?若存在，求
出 m 的值及点T的坐标，若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）设椭圆 C：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的右焦点为 )0,(1 cF
依题目意得：
222
21
cba
ca
cb
分2
解得：
1
1
2
c
b
a
分3
所以，椭圆方程为： 12
2
2
yx 分4
（Ⅱ）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 mx ，
由 12
2
2
ym ，得：
21
2
2 my
此时以 AB 为直径的圆的方程为： 121)(
2
22 mymx 分5
当：直线 l 的斜率为 0 时，直线 l 的方程为 0y
此时以 AB 为直径的圆的方程为： 2222 yx 分6
要使定点 T 存在，可知方程 2,1 联立方程组只有一解，
0
4
3
2
1
y
mmx 分7
20
2)4
3
2
1( 2
m
mm 解得
3
2m 分8
所以点 M 的坐标为 )0,3
2( 时，可能椭圆上存在定点 )0,2(T 满足题意. 分9
当过点 )0,3
2(M 直线 l 斜率存在时，存在定点 )0,2(T 满足题意，
设直线 l 的方程为：
3
2 kyx ， ),(),,( 2211 yxByxA
由
12
3
2
2
2
yx
kyx
，得： 09
16
3
22)2( 22 kyyk 分10
0)2(9
64
9
8 22 kk
)2(9
16,
)2(3
22
221221
k
yy
k
kyy 分11
此时， ),2(),,2( 2211 yxTByxTA
09
8]
)2(3
22[3
22]
)2(9
16)[1(9
8)(3
22)1( 22
2
2121
2
k
kk
k
kyykyykTBTA
分12
因些，过点 )0,3
2(M 直线 l 斜率存在时，以 AB 为直径的圆过定点 )0,2(T
综上所述：存在定点 )0,2(T 满足题意。 分13
20.已知函数 1 ln( ) .xf x x
（Ⅰ）求函数 ( ) 1f x x 在 处的切线方程。
（Ⅱ）若 a 为实数，函数 ( ) ( , 1)f x a a 在区间 上的有极值，求 a 的取值范围；
（Ⅲ）试问是否存在 ,k b N ，使得 ( )xe kx b f x 恒成立？若存在，请写出 ,k b 的值，
并证明你的结论；若不存在，请说明理由。
解：（Ⅰ）因为 2
ln( ) xf x x
， (1) 0f ……………………………………… 1 分
所以函数 ( )f x 在 1x 处的切线方程为 y=1…………………… 3 分
（Ⅱ）因为 1 ln( ) xf x x
， 0x ，由 2
ln( ) xf x x
，令 ( ) 0f x ，得 1x
当 0 1x 时， ( ) 0f x ；当 1x 时， ( ) 0f x ………………………… 4 分
所以 ( )f x 在区间 (0,1) 上单调递增，在区间 (1, ) 上单调递减。
所以函数 ( )f x 在 1x 处取得极大值。………………………… 5 分
因为函数 ( )f x 在区间 , 1a a 上有极值，
所以 1 1a a ，解得 0 1a 。………………………… 7 分
（III）因为 xy e 过点 (0,1) ，结合函数 xy e 的图象可知，当 1b 时，直线 y kx b 与函
数 xy e 的图象恒有公共点，不合题意，所以 1b ，又b N ，故 0b 。
在不等式 ( )xe kx b f x 中，令 1x ，得 1e k ，又 k N ，所以 2k 。
以下证明 2k ， 0b 时命题成立，即证 ( )xe kx b f x 恒成立……………… 8
分
方法一：因为 2
1 ln2 ( ) 2
x
x e xe x f x x x
。（*）
（i）设 ( )
xeg x x
，则 2( )
x xxe eg x x
，令 ( ) 0g x ，得 1x 。
则 ( )g x 在区间 (0,1) 上单调递减，在区间 (1, ) 上单调递增。
所以 ( ) (1) 2g x g e ，即不等式 2
xe
x
成立。…………………………… 10 分
（ii）设 2
1 ln( ) xh x x
，则 4 3
2 (1 ln ) 1 2ln( ) ( 0)x x x xh x xx x
，
令 ( ) 0h x ，得 1x
e
，
则 ( )h x 在区间 1(0, )
e
上单调递增，在区间 1( , )
e
上单调递减。
所以 1( ) ( ) 22
eh x h
e
，即不等式 2
1 ln 2x
x
成立。…………………………… 13 分
综上可知（*）式成立，即存在 2k ， 0b 满足题意。……………………… 14 分
方法二： 2 ( ) 2x xe x f x e x ，且 22 1 lnx x 。（*）
（i）设 ( ) 2xg x e x ， ( ) 2xg x e 。令 ( ) 0g x ，得 ln 2x 。
则 ( )g x 在区间 (0,ln 2) 上单调递减，在区间 (ln 2, ) 上单调递增。
所以 ( ) (ln 2) 2 ln 2 2(1 ln 2) 0g x g ，即 2xe x 恒成立。…………… 10
分
（ii）设 2( ) 2 ln 1h x x x ，则 1( ) 4 ( 0)h x x xx
，令 ( ) 0h x ，得 1
2x ，
则 ( )h x 在区间 1(0, )2
上单调递减，在区间 1( , )2
上单调递增。
所以 1 1 1 1 1( ) ( ) ln 1 ln 2 ln 02 2 2 2 2h x h e ，
即 22 1 lnx x 恒成立。…………………………… 13 分
综上可知（*）式成立，即存在 2k ， 0b 满足题意。……………………… 14 分
21、1、已知矩阵 A＝
1 0
1 1
，B＝
0 2
3 2
.
(1)求满足条件 AM＝B 的矩阵 M；
(2)矩阵 M 对应的变换将曲线 C：x2＋y2＝1 变换为曲线 C′，求曲线 C′的方程
解 (1)设 M＝
a b
c d
，
AM＝
1 0
1 1
a b
c d
＝
a b
a＋c b＋d
＝
0 2
3 2
，
得 a＝0，b＝2，c＝3，d＝0.∴M＝
0 2
3 0
.
(2)设曲线 C 上任意一点 P(x，y)在矩阵 M 对应的变换作用下变为点 P′(x′，y′)，
则 M
x
y
＝
0 2
3 0
x
y
＝
2y
3x
＝
x′
y′
，∴
2y＝x′，
3x＝y′，
即
y＝x′
2
，
x＝y′
3
，
代入曲线 C：x2＋y2＝1，得(x′
2
)2＋(y′
3
)2＝1.
∴曲线 C′的方程是x2
4
＋y2
9
＝1.
2、已知在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 3
3
x t
y t
，
（ t 为参数），在极坐标系（与
直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的
极坐标方程为 2 4 s 3 0co .
①求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
②设点 P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围.
【答案】①直线 l 的普通方程为： 3 3 3 0x y . …………………2 分
曲线C 的直角坐标方程为： 2 2 4 3 0x y x 【或 2 2( 2) 1x y 】.
…………………4 分
②曲线 C 的标准方程为 2 2( 2) 1x y ，圆心 (2,0)C ，半径为 1；
∴圆心 (2,0)C 到直线l 的距离为: |2 3 0 3 3| 5 3
2 2d …………………6 分
所以点 P 到直线l 的距离的取值范围是 5 3 5 3[ 1, 1]2 2
………………7 分
（3）（本小题满分 7 分）选修 4—5：不等式选讲
设不等式 的解集与关于 的不等式 的解集相同．
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）求函数 的最大值，以及取得最大值时 的值.
（3）（本小题满分 7 分）选修 4－5：不等式选讲
解：（Ⅰ）不等式 的解集为 ，
所以，不等式 的解集为 ， ．……3 分
（Ⅱ）函数的定义域为 ，显然有 ，由柯西不等式可得：
，……5 分
当且仅当 时等号成立,即 时,函数取得最大值 .…7 分
2015 年南侨中学、荷山中学、永春侨中、南安三中、永春三中高
中毕业班“最后一卷”联考理科数学学科试卷
数学(文)答题卡
学
校
班
级
姓
名
号
数
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
密
…
…
…
…
封
…
…
…
…
线
…
…
…
…
内
…
…
…
…
…
不
…
…
…
…
…
要
…
…
…
…
…
答
…
…
…
…
…
题
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题：（本大题 共 5 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 20 分 ）
11． 12．
13． 14． 15．
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（ 本
小 题 13 分 ）
17．（ 本 小 题 13 分 ）
18．（ 本 小 题 13 分 ）
19．（ 本 小 题 13 分 ）
20．（ 本 小 题 14 分 ）
21．（本小题满分 14 分）本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题 7 分，请考生任选两题作答，
共 14 分．如果多做，则按所做的前两题计分
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