2017年常州市中考数学模拟试题及答案

九 年 级 教 学 情 况 调 研 测 试 2017.3 数 学 试 题 注意事项：1．本试卷满分为 120 分，考试时间为 120 分钟． 2．学生在答题过程中不能使用任何型号的计算器和其它计算工具；若试题计算 没有要求取近似值，则计算结果取精确值（保留根号与 ）． 3．请将答案按对应的题号全部填写在答题纸上，在本试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16分．在每小题所给的四个选项中，只有 一个是正确的） 1．在函数 2y x  中，自变量 x 的取值范围是 A．x＜2 B．x≤2 C．x＞2 D．x≥2 2. 若一个三角形三个内角度数的比为 1∶2∶3，那么这个三角形最小角的正切值为 A． 1 3 B． 1 2 C． 3 3 D． 3 2 3．某社区青年志愿者小分队年龄情况如下表所示： 年龄（岁） 18 19 20 21 22 人数 2 5 2 2 1 则这 12 名队员年龄的众数、中位数分别是 A．2，20 岁 B．2，19 岁 C．19 岁，20 岁 D．19 岁，19 岁 4．如图，在△ABC 中，DE∥BC，分别交 AB，AC 于点 D，E． 若 AD＝1，DB＝2，则△ADE 的面积与△ABC 的面积的比等于 A． 2 1 B． 4 1 C． 8 1 D． 9 1 5． 如图，AB 是半圆的直径，点 D 是弧 AC 的中点，∠ABC＝50°， 则∠DAB 等于 A．60° B．65° C．70° D．75° 6. 在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2 为半径的圆必定 A．与 x 轴相离、与 y 轴相切 B．与 x 轴、y 轴都相离 C．与 x 轴相切、与 y 轴相离 D．与 x 轴、y 轴都相切 7. 若二次函数 2y x bx  的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于 y 轴的直线，则关于 x 的方程 2 5x bx  的解为 A． 1 0x  ， 2 4x  B． 1 1x  ， 2 5x  C． 1 1x  ， 2 5x   D． 1 1x   ， 2 5x  A B C D E B C D A 8．如图 1，一个电子蜘蛛从点 A 出发匀速爬行，它先沿线段 AB 爬到点 B，再沿半圆经过 点 M 爬到点 C．如果准备在 M、N、P、Q 四点中选定一点安装一台记录仪，记录电子 蜘蛛爬行的全过程．设电子蜘蛛爬行的时间为 x，电子蜘 蛛与记录仪之间的距离为 y，表示 y 与 x 函数关系的图象 如图 2 所示，那么记录仪可能位于图 1 中的 A．点 M B．点 N C．点 P D．点 Q 二、填空题(本大题共 10 小题．每小题 2 分，共 20 分) 9. 已知，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， 4tan 3B  ，则cos A ＝ ▲ ． 10．反比例函数 ky x  的图象经过点（1，6）和（m，－3），则 m＝ ▲ ． 11．某工厂 2014 年缴税 20 万元，2016 年缴税 24 万元，设这两年该工 厂缴税的年平均增 长率为 x，根据题意，可得方程为 ▲ ． 12．已知一组数据 1，2，x，5 的平均数是 4，则这组数据的方差是 ▲ ． 13．点 1 1( )A x y， 、B 2 2( )x y， 在二次函数 2 4 1y x x   的图象上，若当1＜ 1x ＜2，3＜ 2x ＜ 4 时，则 1y 与 2y 的大小关系是 1y ▲ 2y ．（用“＞”、“＜”、“＝”填空） 14．已知扇形的圆心角为 150°，它所对应的弧长 20 π cm，则此扇形的半径是 ▲ cm． 15．直角坐标系中点 A 坐标为（5，3），B 坐标为（1，0），将点 A 绕点 B 逆时针旋转 90°得到点 C，则点 C 的坐标为 ▲ ． 16．一次函数 1y x   与反比例函数 2y x   ，x 与 y 的对应值如下表： x 3 2 1 1 2 3 1y x   4 3 2 0 1 2 2y x   3 2 1 2 2 1 2 3  不等式 21x x   ＞ 的解为 ▲ ． 17．如右图，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（－3，5），B（－3，0）， C（2，0），将△ABC 绕点 B 顺时针旋转一定角度后使 A 落在 y 轴上， 与此同时顶点 C 恰好落在 ky x  的图象上，则 k 的值为 ▲ ． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点 (0,1)A 、点 (0, 1 )B t 、 (0, 1 ) ( 0)C t t  ，点 P 在以 (3, 3 )D 为圆心，1 为半径的圆上运 动，且始终满足 90BPC   ，则 t 的最小值是 ▲ . O C A B P D y x A B C y O A' C' x A B C D N P Q 图 1 O x y 图 2 M 三、解答题（本大题共有 10 小题，共 84 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤） 19．化简：（本题 8 分） ⑴ 2cos60 tan 45 sin 45sin30      ⑵ 01 9 sin30 ( 3)2       [ 20．解方程：（本题 10 分） ⑴ 24 1) 9 0x   （ ⑵ 23 2 2x x  （ ） 21．（本小题满分 7 分）某区对即将参加中考的 5000 名初中毕业生进行了一次视力抽样调 查，绘制出频数分布表和不完整的频数分布直方图．请根据图表信息回答下列问题： 初中毕业生视力抽样调查频数分布直方图 （每组数据含最小值，不含最大值） 频数(人) 0 10 20 30 40 50 60 70 4.0 4.3 4.6 4.9 5.2 5.5 视力 初中毕业生视力抽样调查频数分布表 视力 频数(人) 频率 4.0≤x＜4.3 20 0.1 4.3≤x＜4.6 40 0.2 4.6≤x＜4.9 70 0.35 4.9≤x＜5.2 a 0.3 5.2≤x＜5.5 10 b ⑴ 本次调查的样本容量为 ▲ ； ⑵ 在频数分布表中，a＝ ▲ ，b＝ ▲ ，并将频数分布直方图补充完整； ⑶ 若视力在 4.6 以上（含 4.6）均属正常，根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正 常的学生有多少人？ 22．（本小题满分 8 分）甲、乙、丙三位同学用质地、大小完全一样的纸片分别制作一张卡 片 a、b、c，收集后放在一个不透明的箱子中，然后每人从箱子中随机抽取一张，不 放回． ⑴ 用列表或画树状图的方法表示三位同学抽到卡片的所有可能的结果； ⑵ 求三位同学中至少有一人抽到自己制作卡片的概率． 23．（本小题满分 7 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们把以格 点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC 就是格点三角形，建立如图 所示的平面直角坐标系，点 C 的坐标为（0，－1）． ⑴ 在如图的方格纸中把△ABC 以点 O 为位似中心扩大，使扩大前后的位似比为 1∶2， 画出△A1B2C2（△ABC 与△A1B2C2 在位似中心 O 点的两侧，A、B、C 的对应点分 别是 A1、B2、C2）． ⑵ 利用方格纸标出△A1B2C2 外接圆的圆心 P，P 点坐标是 ▲ ，⊙P 的半径 ＝ ▲ （保留根号）. O A C B y x 24．（本小题满分 7 分） 已知：如图，等腰△ABC 中，AB＝BC，AE⊥BC 于 E，EF⊥AB 于 F，若 CE＝2， 4cos 5AEF  ，求 BE 的长. 25．(本小题满分 8 分)如图，轮船甲位于码头 O 的正西方向 A 处，轮船乙位于码头 O 的 正北方向 C 处，测得∠CAO＝45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方 向匀速行驶，它们的速度分别 为 45km/h 和 36km/h，经过 0.1h，轮船甲行驶至 B 处， 轮船乙行驶至 D 处，测得∠DBO＝58°，此时 B 处距离码头 O 多远?（参考数据： sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） 26．（本小题满分 9 分）旅游公司在景区内配置了 50 辆观光车供游客租赁使用，假定每辆 观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金是 x（元）．发现每天的运营规 律如下：当 x 不超过 100 元时，观光车能全部租出；当 x 超过 100 元时，每辆车的日 租金每增加 5 元，租出去的观光车就会减少 1 辆．已知所有观光车每天的管理费是 1100 元.当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入会最多？（注：净收入＝租车收入－ 管理费） D OBA C 北 东 A B CE F 27．（本小题满分 10 分）如图，射线 AM 上有一点 B，AB＝6. 点 C 是射线 AM 上异于 B 的一点，过 C 作 CD⊥AM，且CD＝ 4 3 AC. 过 D 点作 DE⊥AD，交射线 AM 于 E. 在 射线 CD 取点 F，使得 CF＝CB，连接 AF 并延长，交 DE 于点 G．设 AC＝3x． ⑴ 当 C 在 B 点右侧时，求 AD、DF 的长．(用关于 x 的代数式表示) ⑵ 当 x 为何值时，△AFD 是等腰三角形. ⑶ 作点 D 关于 AG 的对称点 'D ，连接 'FD ， 'GD ．若四边形 DF 'D G 是平行四边形， 求 x 的值．（直接写出答案）[来源:学#科#网] 28．(本小题满分 10 分)如图，在平面直角坐标系中，直线 1 12y x  与抛物线 21 4y x bx c    交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为－8．点 P 是直线 AB 上方的抛物线上的 一动点（不与点 A、B 重合）． ⑴ 求该抛物线的函数关系式； ⑵ 连接 PA、PB，在点 P 运动过程中，是否存在某一位置，使△PAB 恰好是一个以点 P 为 直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； ⑶ 过 P 作 PD∥y 轴交直线 AB 于点 D，以 PD 为直径作⊙E，求⊙E 在直线 AB 上截得的 线段的最大长度． A B C D' E M G F D O B A P y x （备用图） O B A y x 九年级教学情况调研测试数学参考答案及评分意见 一、选择题 （共 16 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 D C D D B A D D 二、填空题 （共 20 分） 9． 4 5 10． 2 11．20（1＋x）2＝24 12．5 13．＜ 14．24 15．(－2,4) 16．x＜－1，0＜x＜2 17． 1 2n 18． 13 1 三、计算题（共 84 分） 19．⑴ 2cos60 tan 45 sin 45sin30      ＝ 1 2 1 2 －1＋（ 2 2 ）2 -------------------------------------------------------------------- 3 分 ＝ 1 2 --------------------------------------------------------------------------------------- 4 分 ⑵  001 9 sin30 32      ＝ 1 2 ＋3－ 1 2 ＋1 ------------------------------------------------------------------------- 3 分 ＝ 4 ---------------------------------------------------------------------------------------- 4 分 20．⑴ (4x－1)2－9＝0 (4x－1)2 ＝9 ----------------------------------------------------------------------------- 1 分 4x－1＝±3 ------------------------------------------------------------------------------- 3 分 x1＝2,x2＝－1 --------------------------------------------------------------------------- 5 分 ⑵ 23( 2) 2x x   3(x－2)2 ＋(x－2) ＝0 ----------------------------------------------------------------- 1 分 (x－2) (3x－5) ＝0 ---------------------------------------------------------------------- 3 分 x1＝2,x2＝ 5 3 ---------------------------------------------------------------------------- 5 分 21．⑴ 200 ------------------------------------------------------------------------------------------ 1 分 ⑵ 60，0.05；画图略 ----------------------------------------------------------------------- 4 分 ⑶ 5000×(0.35＋0.3＋0.05)＝3500(人 )， 估计全区初中毕业生中视力正常的学生有 3500 人。 --------------------------- 7 分 22．画树状图表示三位同学抽到卡片的所有可能结果如下: 画出树状图 ------------------------------------------------------------------------------------ 2 分 写出所有的可能结果 ------------------------------------------------------------------------ 4 分 [ 来 源:Z_xx_k.Com] 三位同学抽到卡片的所有等可能的结果共有 6 种，三位同学中至少有一人抽 到自己制作卡片有 4 种，所以，三位同学中至少有一人抽到自己制作的卡片 的概率为 2 3 ------------------------------------------------------------------------------------ 8 分 23．⑴ 画图正确 ---------------------------------------------------------------------------------- 3 分 ⑵ （3，1） ---------------------------------------------------------------------------------- 5 分； 10 --------------------------------------------------------------------------------------- 7 分 24．∵AE⊥BC 于 E，EF⊥AB 于 F， ∴∠AEB＝∠AFE＝90 . ∴∠B＋∠BAE＝∠BAE＋∠AEF＝90 . ∴∠B＝∠AEF. ----------------------------------------------------------------------------- 2 分 ∵cos∠AEF＝ 4 5 ∴cos∠B＝ 4 5 --------------------------------------------------------------------------------- 3 分 ∵cos∠B＝ BE AB ，AB＝BC，CE＝2， ∴设 BE＝4a，则 AB＝5a，CE＝a. ---------------------------------------------------- 5 分 ∴a＝2. --------------------------------------------------------------------------------------- 6 分 ∴BE＝8. --------------------------------------------------------------------------------------- 7 分 25．设 B 处距离码头 Oxkm，在 Rt△CAO 中，∠CAO＝45°， ∵tan∠CAO＝ CD AO ， ∴CO＝AO•tan∠CAO＝（45×0.1＋x）•tan45°＝4.5＋x，……………2 分 在 Rt△DBO 中，∠DBO＝58 °， 甲 a a b b c c 乙 b c a c a b 丙 c b c a b a ∵tan∠DBO＝ DO BO ， ∴DO＝BO•tan∠DBO＝x•tan58°， ----------------------------------------------- 4 分 ∵DC＝DO－CO， ∴36×0.1＝x•tan58°－（4.5＋x）， ------------------------------------------------ 6 分 ∴x＝ 36 0.1 4.5 36 0.1 4.5 13.5tan58 1 1.60 1        ． 因此，B 处距离码头 O 大约 13.5km. --------------------------------------------------- 8 分 26．设每辆车的净收入为 y 元， 当 0＜x≤100 时，y1＝50x－1100， ----------------------------------------------------- 2 分 ∵y1 随 x 的增大而增大， ∴当 x＝100 时，y1 的最大值为 50×100－1100＝3900； ---------------------------- 4 分 当 x＞100 时，y2＝（50－ 100 5 x  ）x－1100……………6 分 ＝－ 1 5 x2＋70x－1100＝－ 1 5 （x－175）2＋5025， 当 x＝175 时，y2 的最大值为 5025， ---------------------------------------------------- 8 分 5025＞3900， 故当每辆车的日租金为 175 元时，每天的净收入最多是 5025 元． -------------- 9 分 27．⑴ xADAMCDxCDACCDxAC 543 4,3   ------------ 1 分 64,63,636  xCFxDFxCFxBCAB ， ------- 2 分 ⑵ ① 当 C 在 B 右侧时，∴AC>AB，∴F 必在线段 CD 上 ∵∠ACD＝90°， ∴∠AFD 为钝角 若△AFD 为等腰三角形，只可能 FA＝FD. ∴ 222 )63()3()6(  xxx 解得 17 48)(0 21  xx ，舍去 ------------- 4 分 ② 当 C 在线段 AB 上时， (ⅰ) CF4x) ∠ADF 为钝角 6 7 5x x  ，解得 1 2x  ----------------------------------------------------------- 8 分 综上所述，若△ADF 为等腰三角形，x 的取值可以是 48 17 , 48 31 , 1 2 ⑶ 4 或 4 3 -------------------------------------------------------------------------------------- 10 分 28．⑴ 抛物线的解析式：y＝ 1 4 x2－1； ----------------------------------------------- 1 分 ⑵ ① 将 P 点纵坐标代入⑴的解析式，得： ∴P（ 8 1t  ， 3 4  ＋2t），-------------------------------------------------- 3 分 ∴点 C 到直线 l 的距离：－ 3 8 ＋t－（－1）＝t＋ 5 8 ； 而 OP2＝8t＋1＋（－ 3 4 ＋2t） 2， 得 OP＝2t＋ 5 4 ，半径 OC＝t＋ 5 8 ；---------------------------------------- 5 分[来源: 学科网] ∴直线 l 与⊙C 始终保持相切． ② 当 0＜t＜ 5 4 时，直线 l 与⊙C 相交；……………7 分 ∵0＜t＜ 5 4 时，圆心 C 到直线 l 的距离为 d＝|2t－ 5 8 |， 又半径为 r＝t＋ 5 8 ， ∴a2＝4（r2－d2）＝4[（t＋ 5 8 ） 2－|2t－ 5 8 |2]＝－12t2＋15t， ∴t＝ 5 8 时，a 的平方取得最大值为 75 16 ． --------------------------- 10 分 不用注册，免费下载！