2017年海淀区初三二模数学试题及答案

海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 末 练 习 数 学 2017．6 学校 班级 姓名 准考证号 考 生 须 知 1．本试卷共 8 页，共三道大题，29 道小题，满分 120 分，考试时间 120 分钟。 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项填涂在答题卡相 应的位置． 1．如图，用圆规比较两条线段 A B 和 AB 的长短，其中正确的是 A． A B AB   B． A B AB   C． A B AB   D． 不确定 2．如图，在正方体的一角截去一个小正方体，所得立体图形的主视图是 A B C D 3．下列计算正确的是 A． 2 3a a a  B． 23 6a a C． 2 2a a    D． 6 3 2a aa  4．如图， ABCD 中，AD=5，AB=3，∠BAD 的平分线 AE 交 BC 于 E 点，则 EC 的长为 A．4 B．3 C．2 D．1 5．共享单车提供了便捷、环保的出行方式．小白同学在北京植物 正面看 园打开某共享单车 APP，如图，“ ”为小白同学的位置，“★”为检索到的共享单车停 放点．为了到达距离最近的共享单车停放点，下列四个区域中，小白同学应该前往的是 A．F6 B．E6 C．D5 D．F7 6．在单词 happy 中随机选择一个字母，选到字母为 p 的概率是 A． 1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5 7．如图，OA 为⊙O 的半径，弦 BC⊥OA 于 P 点．若 OA=5，AP=2，则弦 BC 的长为 A．10 B．8 C．6 D．4 8．在下列函数中，其图象与 x 轴没有交点的是 A． 2y x B． 3 1y x   C． 2y x D． 1y x  9．如图，在等边三角形三个顶点和中心处的每个“○”中各填有一个式 子，若图中任意三个“○”中的式子之和均相等，则 a 的值为 A．3 B．2 C．1 D．0 10．利用量角器可以制作“锐角正弦值速查卡”．制作方法如下：如图，设 OA=1，以 O 为 圆心，分别以 0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95 长为半径作半圆，再以 OA 为直径 作⊙M．利用“锐角正弦值速查卡”可以读出相应锐角正弦的近似值．例如： sin 60 0.87  ， sin 45 0.71  ．下列角度中正弦值最接近 0.94 的是 A．70° B．50° C．40° D．30° 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11．若分式 1 2x  有意义，则 x 的取值范围是 ． 12．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（3，4）为⊙O 上一点，B 为⊙O 内一点，请写出一个符合要求的点 B 的坐标 ． 13．计算： 1 1 1 m m m    = ． 14．某登山队从大本营出发，在向上攀登的过程中，测得所在位置的气温 y ℃与向上攀登 的高度 x km 的几组对应值如下表： 向上攀登的高度 x/km 0.5 1.0 1.5 2.0 气温 y/℃ 2.0 0.9 4.1 7.0 若每向上攀登 1 km，所在位置的气温下降幅度基本一致，则向上攀登的海拔高度为 2.5 km 时，登山队所在位置的气温约为 ℃． 15．下图是测量玻璃管内径的示意图，点 D 正对“10mm”刻度线，点 A 正对“30mm”刻 度线，DE∥AB．若量得 AB 的长为 6mm，则内径 DE 的长为 mm． 16．在一次飞镖比赛中，甲、乙两位选手各扔 10 次飞镖，下图记录了他们的比赛结果．你 认为两人中技术更好的是 ，你的理由是 ． 三、解答题（本题共 72 分，第 17～26 题每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分） 17．计算： 12 3 2 2 tan 60   ° 11 3      ． 18．解不等式组：  3 2 2 1 2 1 3 x x x x         ， ． 19．如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD．请你添加 甲 乙 一条线把它分成两个全等三角形，并给出证明． 20．若关于 x 的方程 4 1 2 m x x   的根是 2，求 24 2 8m m   的值． 21．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A（2，0）的 直线 l： 3y mx  与 y 轴交于点 B． （1）求直线 l 的表达式； （2）若点 C 是直线 l 与双曲线 ny x  的一个公共点， AB=2AC，直接写出 n 的值． 22．为了让市民享受到更多的优惠，某市针对乘坐地铁的人群进行了调查． （1）为获得乘坐地铁人群的月均花费信息，下列调查方式中比较合理的是 ； A．对某小区的住户进行问卷调查 B．对某班的全体同学进行问卷调查 C．在市里的不同地铁站，对进出地铁的人进行问卷调查 （2）调查小组随机调查了该市 1000 人上一年乘坐地铁的月均花费（单位：元），绘制 了频数分布直方图，如图所示． ① 根据图中信息，估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是 元； A．20—60 B．60—120 C．120—180 ②为了让市民享受到更多的优惠，相关部门拟确定一个折扣线，计划使 30%左右 的人获得折扣优惠．根据图中信息，乘坐地铁的月均花费达到 元的 人可以享受折扣． 23．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，线段 AC 的垂直平分线交 AC 于 D 点，交 BC 于 E 点，过点 A 作 BC 的平行线交直线 ED 于 F 点，连接 AE，CF． （1）求证：四边形 AECF 是菱形； （2）若 AB=10，∠ACB=30°，求菱形 AECF 的面积． 24．阅读下列材料： 2016 年，北京市坚持创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，围绕首都城市 战略定位，加快建设国际一流的和谐宜居之都，在教育、科技等方面保持平稳健康发展， 实现了“十三五”良好开局． 在教育方面，全市共有 58 所普通高校和 81 个科研机构培养研究生，全年研究生招 生 9.7 万人，在校研究生 29.2 万人．全市 91 所普通高校全年招收本专科学生 15.5 万人， 在校生 58.8 万人．全市成人本专科招生 6.1 万人，在校生 17.2 万人． 在科技方面，2016 年全年研究与试验发展（R&D）经费支出 1479.8 亿元，比 2015 年增长了 6.9%，全市研究与试验发展（R&D）活动人员 36.2 万人，比上年增长 1.1 万 人．2013 年，2014 年，2015 年全年研究与试验发展（R&D）经费支出分别为 1185.0 亿元，1268.8 亿元，1384.0 亿元，分别比前一年度增长 11.4%，7.1%，9.1%． （以上数据来源于北京市统计局） 根据以上材料解答下列问题： （1）请用统计图或统计表将北京市 2016 年研究生、普通高校本专科学生、成人本专科 学生的招生人数和在校生人数表示出来； （2）2015 年北京市研究与试验发展（R&D）活动人员为 万人； （3）根据材料中的信息，预估 2017 年北京市全年研究与试验发展（R&D）经费支出 约 亿元，你的预估理由是 ． 25．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，D 为 AC 的中点，AC，BD 相交于 E 点，过点 A 作 ⊙O 的切线交 BD 的延长线于 P 点． （1）求证：∠PAC=2∠CBE； （2）若 PD=m，∠CBE=α，请写出求线段 CE 长的思路． 26．已知 y 是 x 的函数，该函数的图象经过 A（1，6），B（3，2）两点． （1）请写出一个符合要求的函数表达式 ； （2）若该函数的图象还经过点 C（4，3），自变量 x 的取值范围是 0x≥ ，该函数无最小 值． ①如图，在给定的坐标系 xOy 中，画出一．个．符合条件的函数的图象； ②根据①中画出的函数图象，写出 6x  对应的函数值 y 约为 ； （3）写出（2）中函数的一条性质（题目中已给出的除外）． 27．抛物线 2 22 4y x mx m    与 x 轴交于 A，B 两点（A 点在 B 点的左侧），与 y 轴交于 点 C，抛物线的对称轴为 x=1． （1）求抛物线的表达式； （2）若 CD∥x 轴，点 D 在点 C 的左侧， 1 2CD AB ，求点 D 的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线在直线 x=t 右侧的部分沿直线 x=t 翻折后的图形记为 G，若图形 G 与线段 CD 有公共点，请直接写出 t 的取值范围． 28．在锐角△ABC 中，AB=AC，AD 为 BC 边上的高，E 为 AC 中点． （1）如图 1，过点 C 作 CF⊥AB 于 F 点，连接 EF．若∠BAD=20°，求∠AFE 的度数； （2）若 M 为线段 BD 上的动点（点 M 与点 D 不重合），过点 C 作 CN⊥AM 于 N 点，射 线 EN，AB 交于 P 点． ①依题意将图 2 补全； ②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点 M 运动的过程中，始终有∠APE=2∠MAD． 小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法 1：连接 DE，要证∠APE=2∠MAD，只需证∠PED=2∠MAD． 想法 2：设∠MAD=α，∠DAC=β，只需用α，β表示出∠PEC，通过角度计算得∠ APE=2α． 想法 3：在 NE 上取点 Q，使∠NAQ=2∠MAD，要证∠APE=2∠MAD，只需证 △NAQ∽△APQ． …… 请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE =2∠MAD．（一种方法即可） 29．在平面直角坐标系 xOy 中，对于 P，Q 两点给出如下定义：若点 P 到两坐标轴的距离 之和等于点 Q 到两坐标轴的距离之和，则称 P，Q 两点为同族点．下图中的 P，Q 两 图 1 图 2 点即为同族点． （1）已知点 A 的坐标为（ 3 ，1）， ①在点 R（0，4），S（2，2），T（2， 3 ）中，为点 A 的同族点的是 ； ②若点 B 在 x 轴上，且 A，B 两点为同族点，则点 B 的坐标为 ； （2）直线 l： 3y x  ，与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D， ①M 为线段 CD 上一点，若在直线 x n 上存在点 N，使得 M，N 两点为同族点， 求 n 的取值范围； ②M 为直线 l 上的一个动点，若以（m，0）为圆心， 2 为半径的圆上存在点 N， 使得 M，N 两点为同族点，直接写出 m 的取值范围． 海淀九年级第二学期期末练习 数 学 答 案 2017．6 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C A B B D C A 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11． 2x  12．答案不唯一，例如（0，0） 13．1 14．答案不唯一，在 10.8 9.6t    范围内即可 15．2 16．乙；乙的平均成绩更高，成绩更稳定． 三、解答题（本题共 72 分，第 17~26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分） 17．原式 = 2 3 2 3 2 3 3    -------------------------------------------------------------------------- 4 分 = 5 3 ． -------------------------------------------------------------------------- 5 分 18．解：原不等式组为  3 2 2 1 2 1 3 x x x x         ，　　① ．　　　② 由不等式①，得 3 6 2x x   ， ----------------------------------------------------------------- 1 分 解得 2x  ； ----------------------------------------------------------------- 2 分 由不等式①，得1 2 3 3x x   ， ------------------------------------------------------------------ 3 分 解得 4x  ； ------------------------------------------------------------------- 4 分 ∴ 原不等式组的解集是 2 4x  ． --------------------------------------------------------------- 5 分 19．连接 AC，则△ABC ≌ △ADC． 1 证明如下： 在△ABC 与△ADC 中， AB AD AC AC CB CD       ， ， ， 4 ∴△ABC ≌ △ADC． 5 20．解：∵关于 x 的方程 4 1 2 m x x   的根是 2， ∴ 4 1 2 4 m  ． ------------------------------------------------------------------------------1 分 ∴ 4m  ． ------------------------------------------------------------------------------2 分 ∴ 24 2 8m m    24 4 2 4 8     ------------------------------------------------------------------------------ 4 分 0 ． -------------------------------------------------------------------------------- 5 分 21．解：（1）∵ 直线 3l y mx ： 过点 A（2，0）， ∴ 0 2 3m  ． ------------------------------------------------------------------------------ 1 分 ∴ 3 2m  ． ------------------------------------------------------------------------------ 2 分 ∴ 直线 l 的表达式为 33 2y x  ． ----------------------------------------------------- 3 分 （2）n  3 2  或 9 2 ． ------------------------------------------------------------------------- 5 分 22．（1）C； ---------------------------------------------------------------------------------------------- 2 分 （2）① B； ---------------------------------------------------------------------------------------------- 4 分 ② 100． ---------------------------------------------------------------------------------------------- 5 分 23．（1）证明：∵ EF 垂直平分 AC， ∴ FA=FC，EA=EC， ---------------------------------------------------------------- 1 分 ∵ AF∥BC， ∴ ∠1=∠2． ∵ AE=CE， ∴ ∠2=∠3． ∴ ∠1=∠3． ∵ EF⊥AC， ∴ ∠ADF=∠ADE=90°． ∵ ∠1+∠4=90°，∠3+∠5=90°． ∴ ∠4=∠5． ∴ AF=AE． ---------------------------------------------------------------- 2 分 ∴ AF=FC=CE=EA． ∴ 四边形 AECF 是菱形． ---------------------------------------------------------------- 3 分 （2）解：∵∠BAC=∠ADF=90°， ∴AB∥FE． ∵AF∥BE， ∴四边形 ABEF 为平行四边形． ∵AB=10， ∴FE=AB=10． ----------------------------------------------------------------------------------- 4 分 ∵∠ACB=30°， ∴ 10 3 tan ABAC ACB    ． ∴ 1 50 3 2AECFS AC FE 菱形 ． ---------------------------------------------------------- 5 分 24．（1） 北京市 2016 年研究生、普通高校本专科学生、成人本专科学生 招生人数和在校生人数统计表（单位：万人） 类别 研究生 普通高校 本专科学生 成人 本专科学生 招生人数 9.7 15.5 6.1 在校生人数 29.2 58.8 17.2 北京市 2016 年研究生、普通高校本专科学生、成人本专科学生 招生人数和在校生人数统计图（单位：万人） 人数 项目 ---------------------------------- 2 分 （2）35.1 ； -------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 分 （3）答案不唯一，预估理由与预估结果相符即可． --------------------- 5 分 25．（1）证明：∵D 为 AC 的中点， ∴∠CBA=2∠CBE． ------------------------------------ 1 分 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠1+∠CBA=90°． ∴∠1+2∠CBE =90°． ∵AP 是⊙O 的切线， ∴∠PAB=∠1+∠PAC=90°． ----------------------------- 2 分 ∴∠PAC =2∠CBE． --------------------------------------3 分 （2）思路：①连接 AD，由 D 是 AC 的中点，∠2=∠CBE， 由∠ACB=∠PAB=90°，得∠P=∠3=∠4，故 AP=AE； ②由 AB 是⊙O 的直径，可得∠ADB=90°；由 AP=AE， 得 PE=2PD=2m，∠5= 1 2 ∠PAC =∠CBE= -------- 4 分 ③在 Rt△PAD 中，由 PD=m，∠5= ，可求 PA 的长； ④在 Rt△PAB 中，由 PA 的长和∠2= ，可求 BP 的长； 由 BE PB PE  可求 BE 的长； ⑤在 Rt△BCE 中，由 BE 的长和 CBE   ，可求 CE 的长． ------------------- 5 分 26．（1）答案不唯一，例如 6y x  ， 2 8y x   ， 2 6 11y x x   等； -------------------------------2 分 （2）答案不唯一，符合题意即可； ----------------------------------------------------------------- 4 分 （3）所写的性质与图象相符即可． ----------------------------------------------------------------- 5 分 27．（1）解：∵抛物线  2 2 22 4 4y x mx m x m       ，其对称轴为 1x  ， ∴ 1m  ． ∴该抛物线的表达式为 2 2 3y x x   ． ------------------------------------------------- 2 分 （2）解：当 0y  时， 2 2 3 0x x   ，解得 1 1x   ， 2 3x  ， ∴抛物线与 x 轴的交点为 A（ 1 ，0），B（3，0）． --------------------------------- 3 分 ∴ 4AB  ． 当 0x  时， 3y   ， ∴抛物线与 y 轴的交点为 C（0， 3 ）． ------------------------------------------- 4 分 ∵ 1 2CD AB ， ∴CD=2． ∵CD∥x 轴，点 D 在点 C 的左侧， ∴点 D 的坐标为（ 2 ， 3 ）． -------------------------------------------------- 5 分 （3） 1 1t   ． ------------------------------------------------------------------------------------ 7 分 28．（1）证明：∵AB=AC，AD 为 BC 边上的高，∠BAD=20°， ∴∠BAC=2∠BAD=40°． -------------------------------------- 1 分 ∵CF⊥AB， ∴∠AFC=90°． ∵E 为 AC 中点， ∴EF=EA= 1 2 AC ． ∴∠AFE=∠BAC=40°． ---------------------------------------- 2 分 （2）① 画出一种即可． ---------------------------------------------------------------------------------- 3 分 ②证明： 想法 1：连接 DE． ∵AB=AC，AD 为 BC 边上的高， ∴D 为 BC 中点． ∵E 为 AC 中点， ∴ED∥AB， ∴∠1=∠APE． --------------------------------- 4 分 ∵∠ADC=90°，E 为 AC 中点， ∴ 1 2AE DE CE AC   ． 同理可证 1 2AE NE CE AC   ． ∴AE=NE=CE=DE． ∴A，N，D，C 在以点 E 为圆心，AC 为直径的圆上． ----- 5 分 ∴∠1=2∠MAD． ------------------------------------------ 6 分 ∴∠APE=2∠MAD． ------------------------------------------- 7 分 想法 2：设∠MAD=α，∠DAC=β， ∵CN⊥AM， ∴∠ANC=90°． ∵E 为 AC 中点， ∴ 1 2AE NE AC  ． ∴∠ANE=∠NAC=∠MAD+∠DAC=α+β． --------------------- 4 分 ∴∠NEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β． ------------------------ 5 分 ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAC=2∠DAC=2β． ∴∠APE=∠PEC  ∠BAC=2α． --------------------------------- 6 分 ∴∠APE=2∠MAD． --------------------------------------------- 7 分 想法 3：在 NE 上取点 Q，使∠NAQ=2∠MAD，连接 AQ， ∴∠1=∠2． ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD． ∴∠BAD  ∠1=∠CAD  ∠2， 即∠3=∠4． ----------------------------------------- 4 分 ∴∠3+∠NAQ=∠4+∠NAQ， 即∠PAQ=∠EAN． ∵CN⊥AM， ∴∠ANC=90°． ∵E 为 AC 中点， ∴ 1 2AE NE AC  ． ∴∠ANE=∠EAN． ---------------------------------------------------------------- 5 分 ∴∠PAQ=∠ANE． ∵∠AQP=∠AQP， ∴△PAQ ∽ △ANQ． ---------------------------------------------------------------- 6 分 ∴∠APE=∠NAQ=2∠MAD． -------------------------------------------------------- 7 分 29．（1）①R，S； ----------------------------------------------------------------------------------------------- 2 分 ②（ 4 ，0）或（4，0）； ------------------------------------------------------------------------ 4 分 （2）①由题意，直线 3y x  与 x 轴交于 C（3，0），与 y 轴交于 D（0， 3 ）． 点 M 在线段 CD 上，设其坐标为（x，y），则有： 0x  ， 0y  ，且 3y x  ． 点 M 到 x 轴的距离为 y ，点 M 到 y 轴的距离为 x ， 则 3x y x y    ． ∴点 M 的同族点 N 满足横纵坐标的绝对值之和为 3． 即点 N 在右图中所示的正方形 CDEF 上． ∵点 E 的坐标为（ 3 ，0），点 N 在直线 x n 上， ∴ 3 3n   ． --------------------------------------------------------------------------------------- 6 分 ②m≤ 1 或 m≥1． ------------------------------------------------------------------------------------ 8 分 不用注册，免费下载！