2017年丰台区初三一模数学试题及答案

丰台区 2017 年初三毕业及统一练习 数学试卷 2017. 05 考 生 须 知 1. 本试卷共 8 页，共三道大题，29 道小题，满分 120 分。考试时间 120 分钟。 2. 在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号。 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4. 在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5. 考试结束，将本试卷、答题卡一并交回。 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．随着“一带一路”的建设推进，北京丰台口岸进口货值业务量加速增长，2016 年北京丰台 口岸进口货值飙升至 189 000 000 美元，比上一年翻了三倍，创下历史新高．将 189 000 000 用科学记数法表示应为 A． 610189  B． 610891 . C． 710918 . D． 810891 . 2．实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 A． ba  B． ab  C． aa  D． ab  3．北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是 北京林业大学 北京体育大学 北京大学 中国人民大学 A． B． C． D． 4．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转 n°后能与原来的图案互相 重合，则 n 的最小值为 A．45 B．60 C．72 D．144 5．在与国际友好学校交流活动中，小敏打算制做一个正方体礼盒 送给外国朋友，每个面上分别书写一种中华传统美德，一共有 “仁义礼智信孝”六个字．如图是她设计的礼盒平面展开图，那 么“礼”字对面的字是 A．义 B．仁 C．智 D．信 6. 如果 0222  mm ，那么代数式 2 44 2       m m m mm 的值是 A．  2 B． 1 C．2 D．3 7．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚 AC 和 BD 交叉构成， 利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使 螺丝钉固定在刻度 3 的地方（即同时使 OA=3OC，OB=3OD），然后张开两 ◇仁 ◇义 ◇礼 ◇智 ◇信 ◇孝 a A B D C 脚，使 A，B 两个尖端分别在线段 a 的两个端点上，当 CD=1.8cm 时，则 AB 的长为 A．7.2 cm B．5.4 cm C．3.6 cm D．0.6 cm 8．如图，这是小新在询问了父母后绘制的去年全家的开支情况扇形统 计图，如果他家去年总开支为 6 万元，那么用于教育的支出为 A．3 万元 B． 3 5 万元 C．2.4 万元 D．2 万元 9．如图，在正方形网格中，如果点 A（1，1），B（2，0）， 那么点 C 的坐标为 A．（ 3， 2） B．（3， 2） C．（ 2， 3） D．（2， 3） 10．近年来由于空气质量的变化，以及人们对自身健康的关注程度不断提高，空气净化器成为 很多家庭的新电器．某品牌的空气净化器厂家为进一步了解市场，制定生产计划，根据 2016 年下半年销售情况绘制了如下统计图，其中同比增长率 %1001        去年同月销售量 当月销售量 ，下面有四 个推断： ①2016 年下半年各月销售量均比 2015 年同月销售量增多 ②第四季度销售量占下半年销售量 的七成以上 ③下半年月均销售量约为 16 万台 ④下半年月销售量的中位数不超过 10 万台 其中合理的是 A． ①② B． ①④ C． ②③ D． ③④ 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11．如果二次根式 4x 有意义，那么 x 的取值范围是__________． 12．右图中的四边形均为矩形，根据图形的面积关系，写出一 个正确的等式：_____________________． 13．一天上午林老师来到某中学参加该校的校园开放日活动， 他打算随机听一节九年级的课程，下表是他拿到的当天上午九年级的课表，如果每一个班 级的每一节课被听的可能性是一样的，那么听数学课的可能性是__________． 班级 节次 1 班 2 班 3 班 4 班 第 1 节 语文 数学 外语 化学 第 2 节 数学 政治 物理 语文 第 3 节 物理 化学 体育 数学 第 4 节 外语 语文 政治 体育 14．如下图，小量角器的 0°刻度线在大量角器的 0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的 外缘边上．如果它们外缘边上的公共点 P 在大量角器上对应的度数为 40°，那么在小量角 器上对应的度数为______________．（只考虑小于 90°的角度） 15．众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约， 或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联 系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有 一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多 13 首，总字数却反而少了 20 个字．问两种诗各多 少首？设七言绝句有 x 首，根据题意，可列方程为____________________． 16．在数学课上，老师提出如下问题： 小姗的作法如下： 老师说：“小姗的作法正确”． 请回答：得到△ABC 是等腰三角形的依据是：____________________________． 三、解答题（本题共 72 分，第 17~26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分， 第 29 题 8 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．计算：   3360cos412 0   ． 18．解不等式组：        .3 9 51 106 2 xx xx ， 19．如图，四边形 ABCD 中，AB∥DC，∠B = 90º，F 为 DC 上一点， 且 AB =FC，E 为 AD 上一点，EC 交 AF 于点 G，EA = EG． 如图， （1）作线段 BC=a； （2）作线段 BC 的垂直平分线 MN 交线段 BC 于点 D； （3）在 MN 上截取线段 DA =b，连接 AB，AC． 所以，△ABC 就是所求作的等腰三角形． 已知：线段 a，b． 求作：等腰△ABC，使 AB=AC，BC=a，BC 边上的高为 b． P 求证：ED = EC． 20．已知关于 x 的一元二次方程 043 2  kkxx ． （1）判断方程根的情况； （2）若此方程有一个整数根，请选择一个合适的 k 值，并求出此时方程的根． 21．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 mxy  3 与双曲线 x ky  相交于点 A（m，2）． （1）求双曲线 x ky  的表达式； （2）过动点 P(n，0)且垂直于 x 轴的直线与直线 mxy  3 及双曲线 x ky  的交点分别为 B 和 C，当点 B 位于点 C 下方时，求出 n 的取值范围． 22．课题学习：设计概率模拟实验． 在学习概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，大量重复实验后，正面朝上的概率约是 2 1 ．”小海、小东、小英分别设计了下列三个模拟实验： 小海找来一个啤酒瓶盖（如图 1）进行大量重复抛掷，然后计算瓶盖口朝上的次数与总次 数的比值； 小东用硬纸片做了一个圆形转盘，转盘上分成 8 个大小一样的扇形区域，并依次标上 1 至 8 个数字（如图 2），转动转盘 10 次，然后计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值； 小英在一个不透明的盒子里放了四枚除颜色外都相同的围棋子（如图 3），其中有三枚是白 子，一枚是黑子，从中随机同时摸出两枚棋子，并大量重复上述实验，然后计算摸出的两枚棋 子颜色不同的次数与总次数的比值． 图 1 图 2 图 3 根据以上材料回答问题： 小海、小东、小英三人中，哪一位同学的实验设计比较合理，并简要说出其他两位同学实 验的不足之处． 23．如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC=90°，DE⊥AC 于点 E，且 AE = CE，DE =5，EB =12． （1）求 AD 的长； （2）若∠CAB=30°，求四边形 ABCD 的周长． 24．阅读下列材料： 由于发展时间早、发展速度快，经过 20 多年大规模的高速开发建设，北京四环内，甚至五 环内可供开发建设的土地资源越来越稀缺，更多的土地供应将集中在五环外，甚至六环外的远 郊区县． 据中国经济网 2017 年 2 月报道，来自某市场研究院的最新统计，2016 年，剔除了保障房 后，在北京新建商品住宅交易量整体上涨之时，北京各区域的新建商品住宅交易量则是有涨有 跌．其中，昌平、通州、海淀、朝阳、西城、东城六区下跌，跌幅最大的为朝阳区，新建商品 住宅成交量比 2015 年下降了 46.82%．而延庆、密云、怀柔、平谷、门头沟、房山、顺义、大 兴、石景山、丰台十区的新建商品住宅成交量表现为上涨，涨幅最大的为顺义区，比 2015 年上 涨了 118.80%．另外，从环线成交量的占比数据上，同样可以看出成交日趋郊区化的趋势．根 据统计，2008 年到 2016 年，北京全市成交的新建商品住宅中，二环以内的占比逐步从 3.0%下 降到了 0.2%；二、三环之间的占比从 5.7%下降到了 0.8%；三、四环之间的占比从 12.3%下降 到了 2.3%；四、五环之间的占比从 21.9%下降到了 4.4%．也就是说，整体成交中位于五环之内 的新房占比，从 2008 年的 42.8%下降到了 2016 年的 7.7%，下滑趋势非常明显．由此可见，新 房市场的远郊化是北京房地产市场发展的大势所趋．（注：占比，指在总数中所占的比重，常用 百分比表示） 根据以上材料解答下列问题： （1）补全折线统计图； （2）根据材料提供的信息，预估 2017 年位于北京市五环之内新建商品住宅成交量占比约 _________，你的预估理由是________________________________． 25．如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上两点，CF⊥AB 于点 F，CE⊥AD 交 AD 的延长线 于点 E，且 CE=CF． （1）求证：CE 是⊙O 的切线； （2）连接 CD，CB．若 AD=CD=a，写出求四边形 ABCD 面积的思路． 26．【问题情境】 已知矩形的面积为 a（a 为常数， 0a ），当该矩形的长为多少时，它的周长 最小?最小值是多少? 【数学模型】 设该矩形的长为 x，周长为 y，则 y 与 x 的函数表达式为       x axy 2  0x ． 【探索研究】 小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数 xxy 1 的图象性质． （1）结合问题情境，函数 xxy 1 的自变量 x 的取值范围是 0x ， 下表是 y 与 x 的几组对应值． x … 4 1 3 1 2 1 1 2 3 m … y … 4 14 3 13 2 12 2 2 12 3 13 4 14 … ①写出 m 的值； ②画出该函数图象，结合图象，得出当 x =______时，y 有最小值，y 最小=________； 【解决问题】 （2）直接写出“问题情境”中问题的结论． 27．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线  01242  mmmxmxy 与平行于 x 轴的一条直 线交于 A，B 两点． （1）求抛物线的对称轴； （2）如果点 A 的坐标是（ 1， 2）， 求点 B 的坐标； （3）抛物线的对称轴交直线 AB 于点 C， 如果直线 AB 与 y 轴交点的纵坐标 为 1，且抛物线顶点 D 到点 C 的 距离大于 2，求 m 的取值范围． 28．在边长为 5 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 BC，DC 边上的两个动点（不与 点 B，C，D 重合），且 AE⊥EF． （1）如图 1，当 BE = 2 时，求 FC 的长； （2）延长 EF 交正方形 ABCD 外角平分线 CP 于点 P． ①依题意将图 2 补全； ②小京通过观察、实验提出猜想：在点 E 运动的过程中，始终有 AE=PE．小京把这个猜 想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法： 想法 1：在 AB 上截取 AG=EC，连接 EG，要证 AE=PE，需证△AGE≌△ECP． 想法 2：作点 A 关于 BC 的对称点 H，连接 BH，CH，EH．要证 AE=PE， 需证△EHP 为等腰三角形． 想法 3：将线段 BE 绕点 B 顺时针旋转 90°，得到线段 BM，连接 CM，EM， 要证 AE=PE，需证四边形 MCPE 为平行四边形． 请你参考上面的想法，帮助小京证明 AE=PE．（一种方法即可） 29．在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意三点 A，B，C，给出如下定义： 如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且 A，B，C 三点都在矩形的内部或边界 上，则称该矩形为点 A，B，C 的覆盖矩形．点 A，B，C 的所有覆盖矩形中，面积最小的矩 形称为点 A，B，C 的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形 A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3 都是点 A，B，C 的覆盖矩形，其中矩形 AB3C3D3 是点 A，B，C 的最优覆盖矩形． （1）已知 A( 2，3)，B(5，0)，C(t ， 2)． ①当 2t 时，点 A，B，C 的最优覆盖矩形的面积为_____________； ②若点 A，B，C 的最优覆盖矩形的面积为 40，求直线 AC 的表达式； （2）已知点 D(1，1)．E( m ， n )是函数 )0(4  xxy 的图象上一点，⊙P 是 点 O，D，E 的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P 的半径 r 的取值范围． 丰台区 2017 年初三毕业及统一练习 数 学 参 考 答 案 图 1 图 2 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C A C B D B C 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11. 4x ； 12. 答案不唯一，如：   ncnbnamcmbmacbanm  ； 13. 16 3 ； 14. 70°； 15.   20132028  xx ； 16. 垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等； 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 有两条边相等的三角形是等腰三角形. 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 17．解：原式= 332 1132  …………………………………………………………4 分 = 2 733  ．……………………………………………………………………5 分 18．解：解不等式①，得 2x ．……………………………………………………………2 分 解不等式②，得 3x ． ……………………………………………………………4 分 ∴原不等式组的解集是 3x ． ……………………………………………………5 分 19．证明：∵AB∥DC，FC=AB， ∴ 四 边 形 A B C F 是 平 行 四 边 形 ． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 分 ∵∠B=90°， ∴ 四 边 形 A B C F 是 矩 形 ． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 2 分 ∴∠AFC=90°， ∴ ∠ D = 9 0 ° - ∠ D A F ， ∠ E C D = 9 0 ° - ∠ C G F ． … … … … … … … … … 3 分 ∵EA=EG， ∴∠EAG=∠EGA．………………………………………………………………4 分 ∵∠EGA=∠CGF， ∴∠DAF=∠CGF． ∴∠D=∠ECD． ∴ E D = E C ． … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 5 分 20．解：（1）∵Δ=     01264812412 222  kkkkk）（ ．…………2 分 ∴方程有两个不等的实数根．…………………………………………………3 分 （2）当 k=4 时，Δ=16， 方程化为 043 2  xx ，∴ 01 x ， 3 4 2 x ；……………………………5 分 或当 k=8 时，Δ=16， 方程化为 0483 2  xx ，∴ 21 x ， 3 2 2 x ．………………………5 分 21.解：（1）∵点 A（m，2）在直线 mxy  3 上， ∴ mm  32 ，m = -1．……………………………………………………1 分 ∴A（-1，2）. ∵点 A 在双曲线 x ky  上， ∴ 12  k ，k =-2. ∴ xy 2 .………………………………………………………………………2 分 （2）令 xx 213  ，得到 11 x ， 3 2 2 x ．………………………………3 分 根据图形，点 B 位于点 C 下方，即反比例函数大于一次函数时， ∴ 01  n 或 3 2n .………………………………………………………5 分 22. 解：小英设计的模拟实验比较合理. ……………………………………………………2 分 小海选择的啤酒瓶盖质地不均匀；小东操作转盘时没有用力转动，而且实验次数 太少，没有进行大量重复实验. ……………………………………………………5 分 23. 解：（1）∵∠ABC=90°，AE= CE，EB=12， ∴EB=AE=CE=12. ∵DE⊥AC，DE=5， ∴在 Rt△ADE 中， 由勾股定理得 AD= 22 DEAE  = 22 512  =13．…………………2 分 （2）∵在 Rt△ABC 中，∠CAB=30°，AC=AE+CE=24， ∴BC=12，AB=AC·cos30°=12 3 ．………………………………………3 分 ∵DE⊥AC，AE=CE， ∴AD=DC=13． ………………………………………………………………4 分 ∴四边形 ABCD 的周长为 AB+BC+CD+AD=38+12 3 ．…………………5 分 24. 解：（1）正确画出折线. …………………………………………………………………3 分 （2）预估理由须包含材料中提供的信息，且支撑预估的数据. ………………5 分 25.（1）证明：连接 OC，AC． ∵CF⊥AB，CE⊥AD，且 CE=CF． ∴∠CAE=∠CAB. ……………………………………………………………… 1 分 ∵OC= OA， ∴∠CAB=∠OCA. ∴∠CAE=∠OCA. ∴OC∥AE． ∴∠OCE+∠AEC=180°， ∵∠AEC=90°， ∴∠OCE=90°即 OC⊥CE， ∵OC 是⊙O 的半径，点 C 为半径外端， ∴CE 是⊙O 的切线．………………………………………………………………2 分 （2）求解思路如下： ①由 AD=CD=a，得到∠DAC=∠DCA，于是∠DCA=∠CAB，可知 DC∥AB； ②由 OC∥AE，OC=OA，可知四边形 AOCD 是菱形； ③由∠CAE=∠CAB，得到 CD=CB，DC=BC=a，可知△OBC 为等边三角形； ④由等边△OBC 可求高 CF 的长，进而可求四边形 ABCD 面积. ………………………5 分 26. 解：（1）①m = 4；…………………………………………………………………………1 分 ⌒ ⌒ ②图象如图. ……………………………………………………………………2 分 1；2. …………………………………………………………………………4 分 （2）根据小彬的方法可知， 当 x ax  时，y 有最小值，即 ax  时， ay 4最小 ．…………………5 分 27. 解：（1）∵抛物线   122124 22  mxmmmxmxy ， ∴对称轴为 x= 2．………………………………………………………………2 分 （2）①∵抛物线是轴对称图形，∴点 A 点 B 关于 x= 2 轴对称， ∵A(﹣1，-2) ，∴B（5，-2）．……………………………………………3 分 ②∵抛物线   122124 22  mxmmmxmxy ， ∴顶点 D（2，﹣2m -1）． …………………………………………………4 分 ∵直线 AB 与 y 轴交点的纵坐标为 1， ∴C（2，-1）． ……………………………………………………………5 分 ∵顶点 D 到点 C 的距离大于 2， ∴﹣2m﹣1 +1 > 2 或﹣1+ 2m +1 > 2， ∴m 1．………………………………………………………… 7 分 28. 解：（1）∵正方形 ABCD 的边长为 5， BE=2， ∴EC=3. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠B=∠C= 90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵AE⊥EF， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠2. ∴△ABE∽△ECF， ∴ FC CE BE AB  ，即 FC 3 2 5  ∴FC= 5 6 . ………………………………………………………………………2 分 （2）①依题意补全图形. ……………………………………………………………3 分 F A D CB E 1 3 2 ②法 1： 证明：在 AB 上截取 AG=EC，连接 EG. ∵AB= BC，∴GB=EB. ∵∠B=90°，∴∠BGE=45°，∴∠AGE=135°. ∵∠DCB=90°，CP 是正方形 ABCD 外角平分线， ∴∠ECP=135°. ∴∠AGE=∠ECP. 又∵∠1=∠2，∴△AGE≌△ECP. ∴AE=PE. ………………………………………………………………7 分 法 2： 证明：作点 A 关于 BC 的对称点 H，连接 BH，CH，EH. ∴AB=BH=BC，∠1=∠4，∠ABE=∠HBE=90°. ∴∠BHC=∠BCH =45°，∠4+∠5=45°. ∵∠1=∠2， ∴∠2+∠5=45°. ∵∠ECP=135°， ∴∠HCP=180°，点 H，C，P 在同一条直线上. ∵∠6=∠2+∠P=45°， ∴∠5 =∠P. ∴AE=PE. ………………………………………………………………7 分 法 3： 证明：将线段 BE 绕点 B 顺时针旋转 90°，得到线段 BM，连接 CM，EM. ∴MB=EB，∴∠MEB=45°，∠MEC=135°. 由法 1∠ECP=135°，∴∠MEC=∠ECP. ∴ME∥PC. 又∵AB=BC，∠ABC=∠MBC=90°. ∴△ABE≌△CBF. ∴∠1=∠BCM，MC=AE. ∴MC∥EP. ∴四边形 MCPE 为平行四边形. ∴MC=PE. ∴AE=PE. ………………………………………………………………7 分 B CE DA F PG 1 2 B CE DA F P M 1 1 2 B CE DA F P H 4 5 6 29. 解：（1）①35；……………………………………………………………………………1 分 ②∵点 A，B，C 的最优覆盖矩形的面积为 40， ∴由定义可知，t =-3 或 6，即点 C 坐标为（-3，-2）或（6，-2）. 设 AC 表达式为 bkxy  ， ∴      .bk ,bk 32 23 或      .bk ,bk 62 23 ∴      .b ,k 13 5 或        .b ,k 4 7 8 5 ∴ 135  xy 或 4 7 8 5  xy .……………………………………………4 分 （2）如图 1，OD 所在的直线交双曲线于点 E，矩形 OFEG 是点 O，D，E 的一个面 积最小的最优覆盖矩形， ∵点 D（1，1）， ∴OD 所在的直线表达式为 y=x， ∴点 E 的坐标为（2，2）， ∴OE= 22 ， ∴⊙H 的半径 r = 2 ， 如图 2， ∵当点 E 的纵坐标为 1 时，1= 4 x ，解得 x=4， ∴OE= 22 41  = 17 ， ∴⊙H 的半径 r = 2 17 ， ∴ 2 172  r ．……………………………………………………8 分 不用注册，免费下载！ 图 2图 1