2016年宜昌市中考数学试题解析版

2016 年湖北省宜昌市中考数学试卷 一、选择题（共 15 小题，每小题 3 分，满分 45 分） 1．如果“盈利 5%”记作+5%，那么﹣3%表示（ ） A．亏损 3% B．亏损 8% C．盈利 2% D．少赚 3% 2．下列各数：1.414， ，﹣ ，0，其中是无理数的为（ ） A．1.414 B． C．﹣ D．0 3．如图，若要添加一条线段，使之既是轴对称图形又是中心对称图形，正确的添加位置是（ ） A． B． C． D． 4．把 0.22×105 改成科学记数法的形式，正确的是（ ） A．2.2×103B．2.2×104C．2.2×105D．2.2×106 5．设四边形的内角和等于 a，五边形的外角和等于 b，则 a 与 b 的关系是（ ） A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180° 6．在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次 数分别为 10 次、50 次、100 次，200 次，其中实验相对科学的是（ ） A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 7．将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是（ ） A． B． C． D． 8．分式方程 =1 的解为（ ） A．x=﹣1 B．x= C．x=1 D．x=2 9．已知 M、N、P、Q 四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ） A．∠NOQ=42° B．∠NOP=132° C．∠PON 比∠MOQ 大 D．∠MOQ 与∠MOP 互补 10．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要 小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．经过两点，有且仅有一条直线 D．两点之间，线段最短 11．在 6 月 26 日“国际禁毒日”来临之际，华明中学围绕“珍爱生命，远离毒品”主题，组织师生到当地戒毒 所开展相关问题的问卷调查活动，其中“初次吸毒时的年龄”在 17 至 21 岁的统计结果如图所示，则这些年 龄的众数是（ ） A．18 B．19 C．20 D．21 12．任意一条线段 EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接 EH、HF、FG，GE，则下列结论 中，不一定正确的是（ ） A．△EGH 为等腰三角形 B．△EGF 为等边三角形 C．四边形 EGFH 为菱形 D．△EHF 为等腰三角形 13．在公园的 O 处附近有 E、F、G、H 四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建 一座以 O 为圆心，OA 为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则 E、F、G、H 四棵树中需要被移除的为 （ ） A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F 14．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2， a2﹣b2 分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2 因式分解，结果 呈现的密码信息可能是（ ） A．我爱美 B．宜晶游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌 15．函数 y= 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 二、解答题（共 9 小题，满分 75 分） 16．计算：（﹣2）2×（1﹣ ）． 17．先化简，再求值：4x•x+（2x﹣1）（1﹣2x）．其中 x= ． 18．杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由 A 步行到达 B 处的过程中，通过隔离带的空隙 O，刚好浏览 完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下： 如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD 相交于 O，OD⊥CD．垂足为 D，已知 AB=20 米，请根据上述信息求标语 CD 的长度． 19．如图，直线 y= x+ 与两坐标轴分别交于 A、B 两点． （1）求∠ABO 的度数； （2）过 A 的直线 l 交 x 轴半轴于 C，AB=AC，求直线 l 的函数解析式． 20．某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师 傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品． （1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 事件；（可能，必然，不可能） （2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率． 21．如图，CD 是⊙O 的弦，AB 是直径，且 CD∥AB，连接 AC、AD、OD，其中 AC=CD，过点 B 的切 线交 CD 的延长线于 E． （1）求证：DA 平分∠CDO； （2）若 AB=12，求图中阴影部分的周长之和（参考数据：π=3.1， =1.4， =1.7）． 22．某蛋糕产销公司 A 品牌产销线，2015 年的销售量为 9.5 万份，平均每份获利 1.9 元，预计以后四年每 年销售量按 5000 份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在 2104 年 底就投入资金 10.89 万元，新增一条 B 品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求，B 品牌产销线 2015 年的销售量为 1.8 万份，平均每份获利 3 元，预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按 上述递减百分数的 2 倍逐年递增；这样，2016 年，A、B 两品牌产销线销售量总和将达到 11.4 万份，B 品 牌产销线 2017 年销售获利恰好等于当初的投入资金数． （1）求 A 品牌产销线 2018 年的销售量； （2）求 B 品牌产销线 2016 年平均每份获利增长的百分数． 23．（11 分）（2016•宜昌）在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，D 是△ABC 内部或 BC 边上的一个动 点（与 B、C 不重合），以 D 为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比 k＞1），EF∥BC． （1）求∠D 的度数； （2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形 AGDH． ①如图 1，连接 GH、AD，当 GH⊥AD 时，请判断四边形 AGDH 的形状，并证明； ②当四边形 AGDH 的面积最大时，过 A 作 AP⊥EF 于 P，且 AP=AD，求 k 的值． 24．（12 分）（2016•宜昌）已知抛物线 y=x2+（2m+1）x+m（m﹣3）（m 为常数，﹣1≤m≤4）．A（﹣m ﹣1，y1），B（ ，y2），C（﹣m，y3）是该抛物线上不同的三点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点 O 逆 时针旋转 90°得到直线 a，过抛物线顶点 P 作 PH⊥a 于 H． （1）用含 m 的代数式表示抛物线的顶点坐标； （2）若无论 m 取何值，抛物线与直线 y=x﹣km（k 为常数）有且仅有一个公共点，求 k 的值； （3）当 1＜PH≤6 时，试比较 y1，y2，y3 之间的大小． 2016 年湖北省宜昌市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 15 小题，每小题 3 分，满分 45 分） 1．如果“盈利 5%”记作+5%，那么﹣3%表示（ ） A．亏损 3% B．亏损 8% C．盈利 2% D．少赚 3% 【考点】正数和负数． 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【解答】解：∵盈利 5%”记作+5%， ∴﹣3%表示表示亏损 3%． 故选：A． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反 意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 2．下列各数：1.414， ，﹣ ，0，其中是无理数的为（ ） A．1.414 B． C．﹣ D．0 【考点】无理数． 【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，解答即可． 【解答】解： 是无理数． 故选 B． 【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，② 无限不循环小数，③含有π的数． 3．如图，若要添加一条线段，使之既是轴对称图形又是中心对称图形，正确的添加位置是（ ） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、是轴对称图形，不是中心对称图形． 故选 A． 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折 叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 4．把 0.22×105 改成科学记数法的形式，正确的是（ ） A．2.2×103B．2.2×104C．2.2×105D．2.2×106 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数 变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数； 当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 0.22×105 用科学记数法表示为 2.2×104． 故选 B． 【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为 整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 5．设四边形的内角和等于 a，五边形的外角和等于 b，则 a 与 b 的关系是（ ） A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180° 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论． 【解答】解：∵四边形的内角和等于 a， ∴a=（4﹣2）•180°=360°． ∵五边形的外角和等于 b， ∴b=360°， ∴a=b． 故选 B． 【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键． 6．在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次 数分别为 10 次、50 次、100 次，200 次，其中实验相对科学的是（ ） A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 【考点】模拟实验． 【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计 值． 【解答】解：根据模拟实验的定义可知，实验相对科学的是次数最多的丁组． 故选：D． 【点评】考查了模拟实验，选择和抛硬币类似的条件的试验验证抛硬币实验的概率，是一种常用的模拟试 验的方法． 7．将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单几何体的三视图． 【分析】根据三视图的确定方法，判断出钢管无论如何放置，三视图始终是下图中的其中一个，即可． 【解答】解：∵一根圆柱形的空心钢管任意放置， ∴不管钢管怎么放置，它的三视图始终是 ， ， ，主视图是它们中一个， ∴主视图不可能是 ． 故选 A， 【点评】此题是简单几何体的三视图，考查的是三视图的确定方法，解本题的关键是物体的放置不同，主 视图，俯视图，左视图，虽然不同，但它们始终就图中的其中一个． 8．分式方程 =1 的解为（ ） A．x=﹣1 B．x= C．x=1 D．x=2 【考点】分式方程的解． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：2x﹣1=x﹣2， 解得：x=﹣1， 经检验 x=﹣1 是分式方程的解， 则分式方程的解为 x=﹣1． 故选：A． 【点评】此题考查了分式方程的解，解分式方程利用了转化的思想，还有注意不要忘了检验． 9．已知 M、N、P、Q 四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ） A．∠NOQ=42° B．∠NOP=132° C．∠PON 比∠MOQ 大 D．∠MOQ 与∠MOP 互补 【考点】余角和补角． 【分析】根据已知量角器上各点的位置，得出各角的度数，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：∠NOQ=138°，故选项 A 错误； ∠NOP=48°，故选项 B 错误； 如图可得：∠PON=48°，∠MOQ=42°，故∠PON 比∠MOQ 大，故选项 C 正确； 由以上可得，∠MOQ 与∠MOP 不互补，故选项 D 错误． 故选：C． 【点评】此题主要考查了余角和补角，正确得出各角的度数是解题关键． 10．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要 小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．经过两点，有且仅有一条直线 D．两点之间，线段最短 【考点】线段的性质：两点之间线段最短． 【分析】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得 到线段 AB 的长小于点 A 绕点 C 到 B 的长度，从而确定答案． 【解答】解：∵用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小， ∴线段 AB 的长小于点 A 绕点 C 到 B 的长度， ∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短， 故选 D． 【点评】本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单． 11．在 6 月 26 日“国际禁毒日”来临之际，华明中学围绕“珍爱生命，远离毒品”主题，组织师生到当地戒毒 所开展相关问题的问卷调查活动，其中“初次吸毒时的年龄”在 17 至 21 岁的统计结果如图所示，则这些年 龄的众数是（ ） A．18 B．19 C．20 D．21 【考点】众数；条形统计图． 【分析】根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，求解即可． 【解答】解：由条形图可得：年龄为 20 岁的人数最多， 故众数为 20． 故选 C． 【点评】本题考查了众数的知识，解答本题的关键是掌握众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫 做众数． 12．任意一条线段 EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接 EH、HF、FG，GE，则下列结论 中，不一定正确的是（ ） A．△EGH 为等腰三角形 B．△EGF 为等边三角形 C．四边形 EGFH 为菱形 D．△EHF 为等腰三角形 【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质． 【分析】根据等腰三角形的定义、菱形的定义、等边三角形的定义一一判断即可． 【解答】解：A、正确．∵EG=EH， ∴△EGH 是等边三角形． B、错误．∵EG=GF， ∴△EFG 是等腰三角形， 若△EFG 是等边三角形，则 EF=EG，显然不可能． C、正确．∵EG=EH=HF=FG， ∴四边形 EHFG 是菱形． D、正确．∵EH=FH， ∴△EFH 是等边三角形． 故选 B． 【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质、作图﹣基本作图、等腰三角形的定义等知识，解题的关键是 灵活一一这些知识解决问题，属于中考常考题型． 13．在公园的 O 处附近有 E、F、G、H 四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建 一座以 O 为圆心，OA 为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则 E、F、G、H 四棵树中需要被移除的为 （ ） A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F 【考点】点与圆的位置关系． 【专题】应用题． 【分析】根据网格中两点间的距离分别求出，OE，OF，OG，OH 然后和 OA 比较大小．最后得到哪些树 需要移除． 【解答】解：∵OA= = ， ∴OE=2＜OA，所以点 E 在⊙O 内， OF=2＜OA，所以点 E 在⊙O 内， OG=1＜OA，所以点 E 在⊙O 内， OH= =2 ＞OA，所以点 E 在⊙O 外， 故选 A 【点评】此题是点与圆的位置关系，主要考查了网格中计算两点间的距离，比较线段长短的方法，计算距 离是解本题的关键．点到圆心的距离小于半径，点在圆内，点到圆心的距离大于半径，点在圆外，点到圆 心的距离大于半径，点在圆内． 14．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2， a2﹣b2 分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2 因式分解，结果 呈现的密码信息可能是（ ） A．我爱美 B．宜晶游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌 【考点】因式分解的应用． 【分析】对（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2 因式分解，即可得到结论． 【解答】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b）， ∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b 四个代数式分别对应爱、我，宜，昌， ∴结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”， 故选 C． 【点评】本题考查了公式法的因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 15．函数 y= 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【考点】反比例函数的图象． 【分析】函数 y= 是反比例 y= 的图象向左移动一个单位，根据反比例函数的图象特点判断即可． 【解答】解：函数 y= 是反比例 y= 的图象向左移动一个单位， 即函数 y= 是图象是反比例 y= 的图象双曲线向左移动一个单位． 故选 C 【点评】此题是反比例函数的图象，主要考查了反比例函数的图象是双曲线，掌握函数图象的平移是解本 题的关键． 二、解答题（共 9 小题，满分 75 分） 16．计算：（﹣2）2×（1﹣ ）． 【考点】有理数的混合运算． 【分析】直接利用有理数乘方运算法则化简，进而去括号求出答案． 【解答】解：（﹣2）2×（1﹣ ） =4×（1﹣ ） =4× =1． 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键． 17．先化简，再求值：4x•x+（2x﹣1）（1﹣2x）．其中 x= ． 【考点】整式的混合运算—化简求值． 【分析】直接利用整式乘法运算法则计算，再去括号，进而合并同类项，把已知代入求出答案． 【解答】解：4x•x+（2x﹣1）（1﹣2x） =4x2+（2x﹣4x2﹣1+2x） =4x2+4x﹣4x2﹣1 =4x﹣1， 当 x= 时，原式=4× ﹣1=﹣ ． 【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握整式乘法运算是解题关键． 18．杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由 A 步行到达 B 处的过程中，通过隔离带的空隙 O，刚好浏览 完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下： 如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD 相交于 O，OD⊥CD．垂足为 D，已知 AB=20 米，请根据上述信息求标语 CD 的长度． 【考点】全等三角形的应用；平行线之间的距离． 【分析】由 AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABO=∠CDO，由垂直的定义可得∠CDO=90°，易得 OB⊥AB，由相邻两平行线间的距离相等可得 OD=OB，利用 ASA 定理可得 △ABO≌△CDO，由全等三角形的性质可得结果． 【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO， ∵OD⊥CD，∴∠CDO=90°， ∴∠ABO=90°，即 OB⊥AB， ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴OD=OB， 在△ABO 与△CDO 中， ， ∴△ABO≌△CDO（ASA）， ∴CD=AB=20（m） 【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关 键． 19．如图，直线 y= x+ 与两坐标轴分别交于 A、B 两点． （1）求∠ABO 的度数； （2）过 A 的直线 l 交 x 轴半轴于 C，AB=AC，求直线 l 的函数解析式． 【考点】待定系数法求一次函数解析式． 【分析】（1）根据函数解析式求出点 A、B 的坐标，然后在 Rt△ABO 中，利用三角函数求出 tan∠ABO 的值，继而可求出∠ABO 的度数； （2）根据题意可得，AB=AC，AO⊥BC，可得 AO 为 BC 的中垂线，根据点 B 的坐标，得出点 C 的坐标， 然后利用待定系数法求出直线 l 的函数解析式． 【解答】解：（1）对于直线 y= x+ ， 令 x=0，则 y= ， 令 y=0，则 x=﹣1， 故点 A 的坐标为（0， ），点 B 的坐标为（﹣1，0）， 则 AO= ，BO=1， 在 Rt△ABO 中， ∵tan∠ABO= = ， ∴∠ABO=60°； （2）在△ABC 中， ∵AB=AC，AO⊥BC， ∴AO 为 BC 的中垂线， 即 BO=CO， 则 C 点的坐标为（1，0）， 设直线 l 的解析式为：y=kx+b（k，b 为常数）， 则 ， 解得： ， 即函数解析式为：y=﹣ x+ ． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，涉及了的知识点有：待定系数法确定一次函数解析式， 一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 20．某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师 傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品． （1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 不可能 事件；（可能，必然，不可能） （2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率． 【考点】列表法与树状图法；随机事件． 【分析】（1）根据随机事件的概念可知是随机事件； （2）求概率要画出树状图分析后得出． 【解答】解：（1）小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件； （2）树状图法 即小张同学得到猪肉包和油饼的概率为 = ． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适 合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放 回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21．如图，CD 是⊙O 的弦，AB 是直径，且 CD∥AB，连接 AC、AD、OD，其中 AC=CD，过点 B 的切 线交 CD 的延长线于 E． （1）求证：DA 平分∠CDO； （2）若 AB=12，求图中阴影部分的周长之和（参考数据：π=3.1， =1.4， =1.7）． 【考点】切线的性质；弧长的计算． 【分析】（1）只要证明∠CDA=∠DAO，∠DAO=∠ADO 即可． （2）首先证明 = = ，再证明∠DOB=60°得△BOD 是等边三角形，由此即可解决问题． 【解答】证明：（1）∵CD∥AB， ∴∠CDA=∠BAD， 又∵OA=OD， ∴∠ADO=∠BAD， ∴∠ADO=∠CDA， ∴DA 平分∠CDO． （2）如图，连接 BD， ∵AB 是直径， ∴∠ADB=90°， ∵AC=CD， ∴∠CAD=∠CDA， 又∵CD∥AB， ∴∠CDA=∠BAD， ∴∠CDA=∠BAD=∠CAD， ∴ = = ， 又∵∠AOB=180°， ∴∠DOB=60°， ∵OD=OB， ∴△DOB 是等边三角形， ∴BD=OB= AB=6， ∵ = ， ∴AC=BD=6， ∵BE 切⊙O 于 B， ∴BE⊥AB， ∴∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=30°， ∵CD∥AB， ∴BE⊥CE， ∴DE= BD=3，BE=BD×cos∠DBE=6× =3 ， ∴ 的长= =2π， ∴图中阴影部分周长之和为 2 =4π+9+3 =4×3.1+9+3×1.7=26.5． 【点评】本题考查切线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质、弧长公式等知识，解题的关键 是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 22．某蛋糕产销公司 A 品牌产销线，2015 年的销售量为 9.5 万份，平均每份获利 1.9 元，预计以后四年每 年销售量按 5000 份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在 2104 年 底就投入资金 10.89 万元，新增一条 B 品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求，B 品牌产销线 2015 年的销售量为 1.8 万份，平均每份获利 3 元，预计以后四年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按 上述递减百分数的 2 倍逐年递增；这样，2016 年，A、B 两品牌产销线销售量总和将达到 11.4 万份，B 品 牌产销线 2017 年销售获利恰好等于当初的投入资金数． （1）求 A 品牌产销线 2018 年的销售量； （2）求 B 品牌产销线 2016 年平均每份获利增长的百分数． 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】（1）根据题意容易得出结果； （2）设 A 品牌产销线平均每份获利的年递减百分数为 x，B 品牌产销线的年销售量递增相同的份数为 k 万份；根据题意列出方程，解方程即可得出结果． 【解答】解：（1）9.5﹣（2018﹣2015）×0.5=8（万份）； 答：品牌产销线 2018 年的销售量为 8 万份； （2）设 A 品牌产销线平均每份获利的年递减百分数为 x，B 品牌产销线的年销售量递增相同的份数为 k 万份； 根据题意得： ， 解得： ，或 （不合题意，舍去）， ∴ ， ∴2x=10%； 答：B 品牌产销线 2016 年平均每份获利增长的百分数为 10%． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用中平均变化率的方法．若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1±x）2=b． 23．（11 分）（2016•宜昌）在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，D 是△ABC 内部或 BC 边上的一个动 点（与 B、C 不重合），以 D 为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比 k＞1），EF∥BC． （1）求∠D 的度数； （2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形 AGDH． ①如图 1，连接 GH、AD，当 GH⊥AD 时，请判断四边形 AGDH 的形状，并证明； ②当四边形 AGDH 的面积最大时，过 A 作 AP⊥EF 于 P，且 AP=AD，求 k 的值． 【考点】相似形综合题． 【分析】（1）先判断△ABC 是直角三角形，即可； （2）①先判断 AB∥DE，DF∥AC，得到平行四边形，再判断出是正方形； ②先判断面积最大时点 D 的位置，由△BGD∽△BAC，找出 AH=8﹣ GA，得到 S 矩形 AGDH=﹣ AG2+8AG， 确定极值，AG=3 时，面积最大，最后求 k 得值． 【解答】解：（1）∵AB2+AC2=100=BC2， ∴∠BAC=90°， ∵△DEF∽△ABC， ∴∠D=∠BAC=90°， （2）①四边形 AGDH 为正方形， 理由：如图 1， 延长 ED 交 BC 于 M，延长 FD 交 BC 于 N， ∵△DEF∽△ABC， ∴∠B=∠C， ∵EF∥BC， ∴∠E=∠EMC， ∴∠B=∠EMC， ∴AB∥DE， 同理：DF∥AC， ∴四边形 AGDH 为平行四边形， ∵∠D=90°， ∴四边形 AGDH 为矩形， ∵GH⊥AD， ∴四边形 AGDH 为正方形； ②当点 D 在△ABC 内部时，四边形 AGDH 的面积不可能最大， 理由：如图 2， 点 D 在内部时（N 在△ABC 内部或 BC 边上），延长 GD 至 N，过 N 作 NM⊥AC 于 M， ∴矩形 GNMA 面积大于矩形 AGDH， ∴点 D 在△ABC 内部时，四边形 AGDH 的面积不可能最大， 只有点 D 在 BC 边上时，面积才有可能最大， 如图 3， 点 D 在 BC 上， ∵DG∥AC， ∴△BGD∽△BAC， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴AH=8﹣ GA， S 矩形 AGDH=AG×AH=AG×（8﹣ AG）=﹣ AG2+8AG， 当 AG=﹣ =3 时，S 矩形 AGDH 最大，此时，DG=AH=4， 即：当 AG=3，AH=4 时，S 矩形 AGDH 最大， 在 Rt△BGD 中，BD=5， ∴DC=BC﹣BD=5， 即：点 D 为 BC 的中点， ∵AD= BC=5， ∴PA=AD=5， 延长 PA，∵EF∥BC，QP⊥EF， ∴QP⊥BC， ∴PQ 是 EF，BC 之间的距离， ∴D 是 EF 的距离为 PQ 的长， 在△ABC 中， AB×AC= BC×AQ ∴AQ=4.8 ∵△DEF∽△ABC， ∴k= = = ． 【点评】此题是相似三角形的综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形，矩形，正方形 的判定和性质，极值的确定，勾股定理的逆定理，解本题的关键是作出辅助线， 24．（12 分）（2016•宜昌）已知抛物线 y=x2+（2m+1）x+m（m﹣3）（m 为常数，﹣1≤m≤4）．A（﹣m ﹣1，y1），B（ ，y2），C（﹣m，y3）是该抛物线上不同的三点，现将抛物线的对称轴绕坐标原点 O 逆 时针旋转 90°得到直线 a，过抛物线顶点 P 作 PH⊥a 于 H． （1）用含 m 的代数式表示抛物线的顶点坐标； （2）若无论 m 取何值，抛物线与直线 y=x﹣km（k 为常数）有且仅有一个公共点，求 k 的值； （3）当 1＜PH≤6 时，试比较 y1，y2，y3 之间的大小． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据顶点坐标公式即可解决问题． （2）列方程组根据△=0 解决问题． （3）首先证明 y1=y3，再根据点 B 的位置，分类讨论，①令 ＜﹣m﹣1，求出 m 的范围即可判断，②令 =﹣m﹣1，则 A 与 B 重合，此情形不合题意，舍弃． ③令 ＞﹣m﹣1，求出 m 的范围即可判断，④令﹣ ≤ ＜﹣m，求出 m 的范围即可判断，⑤令 = ﹣m，B，C 重合，不合题意舍弃．⑥令 ＞﹣m，求出 m 的范围即可判断． 【解答】解：（1）∵﹣ =﹣ ， = =﹣ ， ∴顶点坐标（﹣ ，﹣ ）． （2）由 消去 y 得 x2+2mx+（m2+km﹣3m）=0， ∵抛物线与 x 轴有且仅有一个公共点， ∴△=0，即（k﹣3）m=0， ∵无论 m 取何值，方程总是成立， ∴k﹣3=0， ∴k=3， （3）PH=|﹣ ﹣（﹣ ）|=| |， ∵1＜PH≤6， ∴当 ＞0 时，有 1＜ ≤6，又﹣1≤m≤4， ∴ ＜m ， 当 ＜0 时，1＜﹣ ≤6，又∵﹣1≤m≤4， ∴﹣1 ， ∴﹣1≤m＜﹣ 或 ＜m≤ ， ∵A（﹣m﹣1，y1）在抛物线上， ∴y1=（﹣m﹣1）2+（2m+1）（﹣m﹣1）+m（m+3）=﹣4m， ∵C（﹣m，y3）在抛物线上， ∴y3=（﹣m）2+（2m+1）（﹣m）+m（m﹣3）=﹣4m， ∴y1=y3， ①令 ＜﹣m﹣1，则有 m＜﹣ ，结合﹣1≤m≤﹣ ， ∴﹣1≤m＜﹣ ， 此时，在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而减小，如图 1， ∴y2＞y1=y3， 即当﹣1≤m＜﹣ 时，有 y2＞y1=y3． ②令 =﹣m﹣1，则 A 与 B 重合，此情形不合题意，舍弃． ③令 ＞﹣m﹣1，且 ≤﹣ 时，有﹣ ＜m≤﹣ ，结合﹣1≤m＜﹣ ， ∴﹣ ＜m≤﹣ ， 此时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，如图 2， ∴y1=y3＞y2， 即当﹣ ＜m≤﹣ 时，有 y1=y3＞y2， ④令﹣ ≤ ＜﹣m，有﹣ ≤m＜0，结合﹣1≤m＜﹣ ， ∴﹣ ≤m＜﹣ ， 此时，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大，如图 3， ∴y2＜y3=y1． ⑤令 =﹣m，B，C 重合，不合题意舍弃． ⑥令 ＞﹣m，有 m＞0，结合 ＜m≤ ， ∴ ＜m≤ ， 此时，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大，如图 4， ∴y2＞y3=y1， 即当 ＜m≤ 时，有 y2＞y3=y1， 综上所述，﹣1≤m＜﹣ 或 ＜m≤ 时，有 y2＞y1=y3， ﹣ ＜m＜﹣ 时，有 y2＜y1=y3． 【点评】本题考查二次函数综合题、顶点坐标公式等知识，解题的关键是熟练掌握利用根的判别式解决抛 物线与直线的交点问题，学会分类讨论，学会利用函数图象判断函数值的大小，属于中考压轴题．