2016年威海市中考数学试题解析版

2016 年山东省威海市中考数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分 1．﹣ 的相反数是（ ） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 2．函数 y= 的自变量 x 的取值范围是（ ） A．x≥﹣2 B．x≥﹣2 且 x≠0 C．x≠0 D．x＞0 且 x≠﹣2 3．如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为 A，若∠ADC=35°，则∠1 的度数为（ ） A．65° B．55° C．45° D．35° 4．下列运算正确的是（ ） A．x3+x2=x5 B．a3•a4=a12 C．（﹣x3）2÷x5=1 D．（﹣xy）3•（﹣xy）﹣2=﹣xy 5．已知 x1，x2 是关于 x 的方程 x2+ax﹣2b=0 的两实数根，且 x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则 ba 的 值是（ ） A． B．﹣ C．4 D．﹣1 6．一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，其左视图和俯视图如图所示，则搭成这个 几何体的小正方体的个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．若 x2﹣3y﹣5=0，则 6y﹣2x2﹣6 的值为（ ） A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16 8．实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（ ） A．a﹣b B．b﹣a C．a+b D．﹣a﹣b 9．某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对 20 位销售员本月的销售量进行了统计， 绘制成如图所示的统计图，则这 20 位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是 （ ） A．19，20，14 B．19，20，20 C．18.4，20，20 D．18.4，25，20 10．如图，在△ABC 中，∠B=∠C=36°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，交 AB 于点 H， AC 的垂直平分线交 BC 于点 E，交 AC 于点 G，连接 AD，AE，则下列结论错误的是（ ） A． = B．AD，AE 将∠BAC 三等分 C．△ABE≌△ACD D．S△ADH=S△CEG 11．已知二次函数 y=﹣（x﹣a）2﹣b 的图象如图所示，则反比例函数 y= 与一次函数 y=ax+b 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 12．如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6，点 E 为 BC 的中点，将△ABE 沿 AE 折叠， 使点 B 落在矩形内点 F 处，连接 CF，则 CF 的长为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分 13．蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为 0.000073 米，将 0.000073 用科学记数法表 示为 ． 14．化简： = ． 15．分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2= ． 16．如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，其边长为 4，则⊙O 的内接正三角形 EFG 的边长 为 ． 17．如图，直线 y= x+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，△BOC 与△B′O′C′是以点 A 为 位似中心的位似图形，且相似比为 1：3，则点 B 的对应点 B′的坐标为 ． 18．如图，点 A1 的坐标为（1，0），A2 在 y 轴的正半轴上，且∠A1A2O=30°，过点 A2 作 A2A3⊥A1A2，垂足为 A2，交 x 轴于点 A3；过点 A3 作 A3A4⊥A2A3，垂足为 A3，交 y 轴于 点 A4；过点 A4 作 A4A5⊥A3A4，垂足为 A4，交 x 轴于点 A5；过点 A5 作 A5A6⊥A4A5，垂 足为 A5，交 y 轴于点 A6；…按此规律进行下去，则点 A2016 的纵坐标为 ． 三、解答题：本大题共 7 小题，共 66 分 19．解不等式组，并把解集表示在数轴上． ． 20．某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有 48 人达标，乙班有 45 人达标，甲班的达标率比乙班高 6%，求乙班的达标率． 21．一个盒子里有标号分别为 1，2，3，4，5，6 的六个小球，这些小球除标号数字外都相 同． （1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率； （2）甲、乙两人用着六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标 号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次 摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一 偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平． 22．如图，在△BCE中，点A 时边 BE 上一点，以 AB 为直径的⊙O 与 CE相切于点 D，AD∥OC， 点 F 为 OC 与⊙O 的交点，连接 AF． （1）求证：CB 是⊙O 的切线； （2）若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积． 23．如图，反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=kx+b 的图象交于 A，B 两点，点 A 的坐标 为（2，6），点 B 的坐标为（n，1）． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）点 E 为 y 轴上一个动点，若 S△AEB=5，求点 E 的坐标． 24．如图，在△ABC 和△BCD 中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延长 CA 至点 E，使 AE=AC；延长 CB 至点 F，使 BF=BC．连接 AD，AF，DF，EF．延长 DB 交 EF 于 点 N． （1）求证：AD=AF； （2）求证：BD=EF； （3）试判断四边形 ABNE 的形状，并说明理由． 25．如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（﹣2，0），点 B（4，0），点 D（2，4），与 y 轴交于点 C，作直线 BC，连接 AC，CD． （1）求抛物线的函数表达式； （2）E 是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO 的点 E 的坐标； （3）点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方，点 N 在直线 BC 上，点 P 为第一象限内抛物线上一 点，若以点 C，M，N，P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长． 2016 年山东省威海市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分 1．﹣ 的相反数是（ ） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 【考点】相反数． 【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号． 【解答】解：﹣ 的相反数是 ， 故选 C 2．函数 y= 的自变量 x 的取值范围是（ ） A．x≥﹣2 B．x≥﹣2 且 x≠0 C．x≠0 D．x＞0 且 x≠﹣2 【考点】函数自变量的取值范围． 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x+2≥0 且 x≠0， 解得 x≥﹣2 且 x≠0， 故选：B． 3．如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为 A，若∠ADC=35°，则∠1 的度数为（ ） A．65° B．55° C．45° D．35° 【考点】平行线的性质． 【分析】利用已知条件易求∠ACD 的度数，再根据两线平行同位角相等即可求出∠1 的度 数． 【解答】解： ∵DA⊥AC，垂足为 A， ∴∠CAD=90°， ∵∠ADC=35°， ∴∠ACD=55°， ∵AB∥CD， ∴∠1=∠ACD=55°， 故选 B． 4．下列运算正确的是（ ） A．x3+x2=x5 B．a3•a4=a12 C．（﹣x3）2÷x5=1 D．（﹣xy）3•（﹣xy）﹣2=﹣xy 【考点】整式的混合运算；负整数指数幂． 【分析】A、原式不能合并，即可作出判断； B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断； C、原式利用幂的乘方及单项式除以单项式法则计算得到结果，即可作出判断； D、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式不能合并，错误； B、原式=a7，错误； C、原式=x6÷x5=x，错误； D、原式=﹣xy，正确． 故选 D． 5．已知 x1，x2 是关于 x 的方程 x2+ax﹣2b=0 的两实数根，且 x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则 ba 的 值是（ ） A． B．﹣ C．4 D．﹣1 【考点】根与系数的关系． 【分析】根据根与系数的关系和已知 x1+x2 和 x1•x2 的值，可求 a、b 的值，再代入求值即可． 【解答】解：∵x1，x2 是关于 x 的方程 x2+ax﹣2b=0 的两实数根， ∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1， 解得 a=2，b=﹣ ， ∴ba=（﹣ ）2= ． 故选：A． 6．一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，其左视图和俯视图如图所示，则搭成这个 几何体的小正方体的个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】由三视图判断几何体． 【分析】易得这个几何体共有 2 层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由左视图可得第二 层立方体的个数，相加即可． 【解答】解：由题中所给出的俯视图知，底层有 3 个小正方体； 由左视图可知，第 2 层有 1 个小正方体． 故则搭成这个几何体的小正方体的个数是 3+1=4 个． 故选：B． 7．若 x2﹣3y﹣5=0，则 6y﹣2x2﹣6 的值为（ ） A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16 【考点】代数式求值． 【分析】把（x2﹣3y）看作一个整体并求出其值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：∵x2﹣3y﹣5=0， ∴x2﹣3y=5， 则 6y﹣2x2﹣6=﹣2（x2﹣3y）﹣6 =﹣2×5﹣6 =﹣16， 故选：D． 8．实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（ ） A．a﹣b B．b﹣a C．a+b D．﹣a﹣b 【考点】实数与数轴． 【分析】根据数轴可以判断 a、b 的正负，从而可以化简|a|﹣|b|，本题得以解决． 【解答】解：由数轴可得：a＞0，b＜0， 则|a|﹣|b|=a﹣（﹣b）=a+b． 故选 C． 9．某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对 20 位销售员本月的销售量进行了统计， 绘制成如图所示的统计图，则这 20 位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是 （ ） A．19，20，14 B．19，20，20 C．18.4，20，20 D．18.4，25，20 【考点】众数；扇形统计图；加权平均数；中位数． 【分析】根据扇形统计图给出的数据，先求出销售各台的人数，再根据平均数、中位数和众 数的定义分别进行求解即可． 【解答】解：根据题意得： 销售 20 台的人数是：20×40%=8（人）， 销售 30 台的人数是：20×15%=3（人）， 销售 12 台的人数是：20×20%=4（人）， 销售 14 台的人数是：20×25%=5（人）， 则这 20 位销售人员本月销售量的平均数是 =18.4（台）； 把这些数从小到大排列，最中间的数是第 10、11 个数的平均数， 则中位数是 =20（台）； ∵销售 20 台的人数最多， ∴这组数据的众数是 20． 故选 C． 10．如图，在△ABC 中，∠B=∠C=36°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，交 AB 于点 H， AC 的垂直平分线交 BC 于点 E，交 AC 于点 G，连接 AD，AE，则下列结论错误的是（ ） A． = B．AD，AE 将∠BAC 三等分 C．△ABE≌△ACD D．S△ADH=S△CEG 【考点】黄金分割；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质． 【分析】由题意知 AB=AC、∠BAC=108°，根据中垂线性质得∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°， 从而知△BDA∽△BAC，得 = ，由∠ADC=∠DAC=72°得 CD=CA=BA，进而根据黄金 分割定义知 = = ，可判断 A；根据∠DAB=∠CAE=36°知∠DAE=36°可判断 B； 根据∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE=72°可得∠BAE=∠CAD，可证△BAE≌△CAD，即可 判断 C；由△BAE≌△CAD 知 S△BAD=S△CAE，根据 DH 垂直平分 AB，EG 垂直平分 AC 可 得 S△ADH=S△CEG，可判断 D． 【解答】解：∵∠B=∠C=36°， ∴AB=AC，∠BAC=108°， ∵DH 垂直平分 AB，EG 垂直平分 AC， ∴DB=DA，EA=EC， ∴∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°， ∴△BDA∽△BAC， ∴ = ， 又∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=72°， ∴∠ADC=∠DAC， ∴CD=CA=BA， ∴BD=BC﹣CD=BC﹣AB， 则 = ，即 = = ，故 A 错误； ∵∠BAC=108°，∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°， ∴∠DAE=∠BAC﹣∠DAB﹣∠CAE=36°， 即∠DAB=∠DAE=∠CAE=36°， ∴AD，AE 将∠BAC 三等分，故 B 正确； ∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=72°，∠CAD=∠CAE+∠DAE=72°， ∴∠BAE=∠CAD， 在△BAE 和△CAD 中， ∵ ， ∴△BAE≌△CAD，故 C 正确； 由△BAE≌△CAD 可得 S△BAE=S△CAD，即 S△BAD+S△ADE=S△CAE+S△ADE， ∴S△BAD=S△CAE， 又∵DH 垂直平分 AB，EG 垂直平分 AC， ∴S△ADH= S△ABD，S△CEG= S△CAE， ∴S△ADH=S△CEG，故 D 正确． 故选：A． 11．已知二次函数 y=﹣（x﹣a）2﹣b 的图象如图所示，则反比例函数 y= 与一次函数 y=ax+b 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象． 【分析】观察二次函数图象，找出 a＞0，b＞0，再结合反比例（一次）函数图象与系数的 关系，即可得出结论． 【解答】解：观察二次函数图象，发现： 图象与 y 轴交于负半轴，﹣b＜0，b＞0； 抛物线的对称轴 a＞0． ∵反比例函数 y= 中 ab＞0， ∴反比例函数图象在第一、三象限； ∵一次函数 y=ax+b，a＞0，b＞0， ∴一次函数 y=ax+b 的图象过第一、二、三象限． 故选 B． 12．如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6，点 E 为 BC 的中点，将△ABE 沿 AE 折叠， 使点 B 落在矩形内点 F 处，连接 CF，则 CF 的长为（ ） A． B． C． D． 【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）． 【分析】连接 BF，根据三角形的面积公式求出 BH，得到 BF，根据直角三角形的判定得到 ∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案． 【解答】解：连接 BF， ∵BC=6，点 E 为 BC 的中点， ∴BE=3， 又∵AB=4， ∴AE= =5， ∴BH= ， 则 BF= ， ∵FE=BE=EC， ∴∠BFC=90°， ∴CF= = ． 故选：D． 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分 13．蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为 0.000073 米，将 0.000073 用科学记数法表 示为 7.3×10﹣5 ． 【考点】科学记数法—表示较小的数． 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较大数 的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面 的 0 的个数所决定． 【解答】解：将 0.000073 用科学记数法表示为 7.3×10﹣5． 故答案为：7.3×10﹣5． 14．化简： = ． 【考点】二次根式的加减法． 【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式=3 ﹣2 = ． 故答案为： ． 15．分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2= 3（a+b）（a﹣b） ． 【考点】因式分解-运用公式法． 【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b） =3（a+b）（a﹣b）． 故答案为：3（a+b）（a﹣b）． 16．如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，其边长为 4，则⊙O 的内接正三角形 EFG 的边长为 2 ． 【考点】正多边形和圆． 【分析】连接 AC、OE、OF，作 OM⊥EF 于 M，先求出圆的半径，在 RT△OEM 中利用 30 度角的性质即可解决问题． 【解答】解；连接 AC、OE、OF，作 OM⊥EF 于 M， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC=4，∠ABC=90°， ∴AC 是直径，AC=4 ， ∴OE=OF=2 ，∵OM⊥EF， ∴EM=MF， ∵△EFG 是等边三角形， ∴∠GEF=60°， 在 RT△OME 中，∵OE=2 ，∠OEM= ∠CEF=30°， ∴OM= ，EM= OM= ， ∴EF=2 ． 故答案为 2 ． 17．如图，直线 y= x+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，△BOC 与△B′O′C′是以点 A 为 位似中心的位似图形，且相似比为 1：3，则点 B 的对应点 B′的坐标为 （﹣8，﹣3）或（4， 3） ． 【考点】位似变换；一次函数图象上点的坐标特征． 【分析】首先解得点 A 和点 B 的坐标，再利用位似变换可得结果． 【解答】解：∵直线 y= x+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， 令 x=0 可得 y=1； 令 y=0 可得 x=﹣2， ∴点 A 和点 B 的坐标分别为（﹣2，0）；（0，1）， ∵△BOC 与△B′O′C′是以点 A 为位似中心的位似图形，且相似比为 1：3， ∴ = = ， ∴O′B′=3，AO′=6， ∴B′的坐标为（﹣8，﹣3）或（4，3）． 故答案为：（﹣8，﹣3）或（4，3）． 18．如图，点 A1 的坐标为（1，0），A2 在 y 轴的正半轴上，且∠A1A2O=30°，过点 A2 作 A2A3⊥A1A2，垂足为 A2，交 x 轴于点 A3；过点 A3 作 A3A4⊥A2A3，垂足为 A3，交 y 轴于 点 A4；过点 A4 作 A4A5⊥A3A4，垂足为 A4，交 x 轴于点 A5；过点 A5 作 A5A6⊥A4A5，垂 足为 A5，交 y 轴于点 A6；…按此规律进行下去，则点 A2016 的纵坐标为 ﹣（ ）2015 ． 【考点】坐标与图形性质． 【分析】先求出 A1、A2、A3、A4、A5 坐标，探究规律，利用规律解决问题． 【解答】解：∵A1（1，0），A2[0，（ ）1 ] ，A3[﹣（ ）2，0 ] ．A4[0，﹣（ ）3 ] ，A5[（ ） 4，0 ] …， ∴序号除以 4 整除的话在 y 轴的负半轴上，余数是 1 在 x 轴的正半轴上，余数是 2 在 y 轴的 正半轴上，余数是 3 在 x 轴的负半轴上， ∵2016÷4=504， ∴A2016 在 y 轴的负半轴上，纵坐标为﹣（ ）2015． 故答案为﹣（ ）2015． 三、解答题：本大题共 7 小题，共 66 分 19．解不等式组，并把解集表示在数轴上． ． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【解答】解：由①得：x≥﹣1， 由②得：x＜ ， ∴不等式组的解集为﹣1≤x＜ ， 表示在数轴上，如图所示： 20．某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有 48 人达标，乙班有 45 人达标，甲班的达标率比乙班高 6%，求乙班的达标率． 【考点】分式方程的应用． 【分析】设乙班的达标率是 x，则甲班的达标率为（x+6%），根据“甲、乙两班的学生数相 同”列出方程并解答． 【解答】解：设乙班的达标率是 x，则甲班的达标率为（x+6%）， 依题意得： = ， 解这个方程，得 x=0.9， 经检验，x=0.9 是所列方程的根，并符合题意． 答：乙班的达标率为 90%． 21．一个盒子里有标号分别为 1，2，3，4，5，6 的六个小球，这些小球除标号数字外都相 同． （1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率； （2）甲、乙两人用着六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标 号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次 摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一 偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平． 【考点】游戏公平性；列表法与树状图法． 【分析】（1）直接利用概率公式进而得出答案； （2）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出两次摸到小球的标号数字同为奇数或同 为偶数的情况数，即可求出所求的概率． 【解答】解：（1）∵1，2，3，4，5，6 六个小球， ∴摸到标号数字为奇数的小球的概率为： = ； （2）画树状图： 如图所示，共有 36 种等可能的情况，两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有 18 种， 摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有 18 种， ∴P（甲）= = ，P（乙）= = ， ∴这个游戏对甲、乙两人是公平的． 22．如图，在△BCE中，点A 时边 BE 上一点，以 AB 为直径的⊙O 与 CE相切于点 D，AD∥OC， 点 F 为 OC 与⊙O 的交点，连接 AF． （1）求证：CB 是⊙O 的切线； （2）若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积． 【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算． 【分析】（1）欲证明 CB 是⊙O 的切线，只要证明 BC⊥OB，可以证明△CDO≌△CBO 解 决问题． （2）首先证明 S 阴=S 扇形 ODF，然后利用扇形面积公式计算即可． 【解答】（1）证明：连接 OD，与 AF 相交于点 G， ∵CE 与⊙O 相切于点 D， ∴OD⊥CE， ∴∠CDO=90°， ∵AD∥OC， ∴∠ADO=∠1，∠DAO=∠2， ∵OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO， ∴∠1=∠2， 在△CDO 和△CBO 中， ， ∴△CDO≌△CBO， ∴∠CBO=∠CDO=90°， ∴CB 是⊙O 的切线． （2）由（1）可知∠3=∠BCO，∠1=∠2， ∵∠ECB=60°， ∴∠3= ∠ECB=30°， ∴∠1=∠2=60°， ∴∠4=60°， ∵OA=OD， ∴△OAD 是等边三角形， ∴AD=OD=OF，∵∠1=∠ADO， 在△ADG 和△FOG 中， ， ∴△ADG≌△FOG， ∴S△ADG=S△FOG， ∵AB=6， ∴⊙O 的半径 r=3， ∴S 阴=S 扇形 ODF= = π． 23．如图，反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=kx+b 的图象交于 A，B 两点，点 A 的坐标 为（2，6），点 B 的坐标为（n，1）． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）点 E 为 y 轴上一个动点，若 S△AEB=5，求点 E 的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）把点 A 的坐标代入 y= ，求出反比例函数的解析式，把点 B 的坐标代入 y= ， 得出 n 的值，得出点 B 的坐标，再把 A、B 的坐标代入直线 y=kx+b，求出 k、b 的值，从而 得出一次函数的解析式； （2）设点 E 的坐标为（0，m），连接 AE，BE，先求出点 P 的坐标（0，7），得出 PE=|m﹣ 7|，根据 S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5，求出 m 的值，从而得出点 E 的坐标． 【解答】解：（1）把点 A（2，6）代入 y= ，得 m=12， 则 y= ． 把点 B（n，1）代入 y= ，得 n=12， 则点 B 的坐标为（12，1）． 由直线 y=kx+b 过点 A（2，6），点 B（12，1）得 ， 解得 ， 则所求一次函数的表达式为 y=﹣ x+7． （2）如图，直线 AB 与 y 轴的交点为 P，设点 E 的坐标为（0，m），连接 AE，BE， 则点 P 的坐标为（0，7）． ∴PE=|m﹣7|． ∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5， ∴ ×|m﹣7|×（12﹣2）=5． ∴|m﹣7|=1． ∴m1=6，m2=8． ∴点 E 的坐标为（0，6）或（0，8）． 24．如图，在△ABC 和△BCD 中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延长 CA 至点 E，使 AE=AC；延长 CB 至点 F，使 BF=BC．连接 AD，AF，DF，EF．延长 DB 交 EF 于 点 N． （1）求证：AD=AF； （2）求证：BD=EF； （3）试判断四边形 ABNE 的形状，并说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=45°，求出∠ABF=135°， ∠ABF=∠ACD，证出 BF=CD，由 SAS 证明△ABF≌△ACD，即可得出 AD=AF； （2）由（1）知 AF=AD，△ABF≌△ACD，得出∠FAB=∠DAC，证出∠EAF=∠BAD，由 SAS 证明△AEF≌△ABD，得出对应边相等即可； （3）由全等三角形的性质得出得出∠AEF=∠ABD=90°，证出四边形 ABNE 是矩形，由 AE=AB，即可得出四边形 ABNE 是正方形． 【解答】（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABF=135°， ∵∠BCD=90°， ∴∠ABF=∠ACD， ∵CB=CD，CB=BF，∴BF=CD， 在△ABF 和△ACD 中， ， ∴△ABF≌△ACD（SAS）， ∴AD=AF； （2）证明：由（1）知，AF=AD，△ABF≌△ACD， ∴∠FAB=∠DAC， ∵∠BAC=90°， ∴∠EAB=∠BAC=90°， ∴∠EAF=∠BAD， 在△AEF 和△ABD 中， ， ∴△AEF≌△ABD（SAS）， ∴BD=EF； （3）解：四边形 ABNE 是正方形；理由如下： ∵CD=CB，∠BCD=90°， ∴∠CBD=45°， 由（2）知，∠EAB=90°，△AEF≌△ABD， ∴∠AEF=∠ABD=90°， ∴四边形 ABNE 是矩形， 又∵AE=AB， ∴四边形 ABNE 是正方形． 25．如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（﹣2，0），点 B（4，0），点 D（2，4），与 y 轴交于点 C，作直线 BC，连接 AC，CD． （1）求抛物线的函数表达式； （2）E 是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO 的点 E 的坐标； （3）点 M 在 y 轴上且位于点 C 上方，点 N 在直线 BC 上，点 P 为第一象限内抛物线上一 点，若以点 C，M，N，P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可． （2）分①点 E 在直线 CD 上方的抛物线上和②点 E 在直线 CD 下方的抛物线上两种情况， 用三角函数求解即可； （3）分①CM 为菱形的边和②CM 为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算； 【解答】解：（1）∵抛物线 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（﹣2，0），点 B（4，0），点 D（2， 4）， ∴设抛物线解析式为 y=a（x+2）（x﹣4）， ∴﹣8a=4， ∴a=﹣ ， ∴抛物线解析式为 y=﹣ （x+2）（x﹣4）=﹣ x2+x+4； （2）如图 1， ①点 E 在直线 CD 上方的抛物线上，记 E′， 连接 CE′，过 E′作 E′F′⊥CD，垂足为 F′， 由（1）知，OC=4， ∵∠ACO=∠E′CF′， ∴tan∠ACO=tan∠E′CF′， ∴ = ， 设线段 E′F′=h，则 CF′=2h， ∴点 E′（2h，h+4） ∵点 E′在抛物线上， ∴﹣ （2h）2+2h+4=h+4， ∴h=0（舍）h= ∴E′（1， ）， ②点 E 在直线 CD 下方的抛物线上，记 E， 同①的方法得，E（3， ）， 点 E 的坐标为（1， ），（3， ） （3）①CM 为菱形的边，如图 2， 在第一象限内取点 P′，过点 P′作 P′N′∥y 轴，交 BC 于 N′，过点 P′作 P′M′∥BC， 交 y 轴于 M′， ∴四边形 CM′P′N′是平行四边形， ∵四边形 CM′P′N′是菱形， ∴P′M′=P′N′， 过点 P′作 P′Q′⊥y 轴，垂足为 Q′， ∵OC=OB，∠BOC=90°， ∴∠OCB=45°， ∴∠P′M′C=45°， 设点 P′（m，﹣ m2+m+4）， 在 Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′= m， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴直线 BC 的解析式为 y=﹣x+4， ∵P′N′∥y 轴， ∴N′（m，﹣m+4）， ∴P′N′=﹣ m2+m+4﹣（﹣m+4）=﹣ m2+2m， ∴ m=﹣ m2+2m， ∴m=0（舍）或 m=4﹣2 ， 菱形 CM′P′N′的边长为 （4﹣2 ）=4 ﹣4． ②CM 为菱形的对角线，如图 3， 在第一象限内抛物线上取点 P，过点 P 作 PM∥BC， 交 y 轴于点 M，连接 CP，过点 M 作 MN∥CP，交 BC 于 N， ∴四边形 CPMN 是平行四边形，连接 PN 交 CM 于点 Q， ∵四边形 CPMN 是菱形， ∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ， ∵∠OCB=45°， ∴∠NCQ=45°， ∴∠PCQ=45°， ∴∠CPQ=∠PCQ=45°， ∴PQ=CQ， 设点 P（n，﹣ n2+n+4）， ∴CQ=n，OQ=n+2， ∴n+4=﹣ n2+n+4， ∴n=0（舍）， ∴此种情况不存在． ∴菱形的边长为 4 ﹣4． 2016 年 6 月 23 日