2016年沈阳市中考数学试题及答案解析版

2016 年辽宁省沈阳市中考数学试卷 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题 2 分，共 20 分） 1．下列各数是无理数的是（ ） A．0B．﹣1C． D． 2．如图是由 4 个大小相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 3．在我市 2016 年春季房地产展示交易会上，全市房地产开发企业提供房源的参展面积达到 5400000 平方 米，将数据 5400000 用科学记数法表示为（ ） A．0.54×107B．54×105C．5.4×106D．5.4×107 4．如图，在平面直角坐标系中，点 P 是反比例函数 y= （x＞0）图象上的一点，分别过点 P 作 PA⊥x 轴 于点 A，PB⊥y 轴于点 B．若四边形 OAPB 的面积为 3，则 k 的值为（ ） A．3B．﹣3C． D．﹣ 5．“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ） A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件 6．下列计算正确的是（ ） A．x4+x4=2x8B．x3•x2=x6C．（x2y）3=x6y3D．（x﹣y）（y﹣x）=x2﹣y2 7．已知一组数据：3，4，6，7，8，8，下列说法正确的是（ ） A．众数是 2B．众数是 8C．中位数是 6D．中位数是 7 8．一元二次方程 x2﹣4x=12 的根是（ ） A．x1=2，x2=﹣6B．x1=﹣2，x2=6C．x1=﹣2，x2=﹣6D．x1=2，x2=6 9．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则 BC 的长是（ ） A． B．4C．8 D．4 10．在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+2x﹣3 的图象如图所示，点 A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次 函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（ ） A．y1＜y2B．y1＞y2 C．y 的最小值是﹣3D．y 的最小值是﹣4 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．分解因式：2x2﹣4x+2= ． 12．若一个多边形的内角和是 540°，则这个多边形是 边形． 13．化简：（1﹣ ）•（m+1）= ． 14．三个连续整数中，n 是最大的一个，这三个数的和为 ． 15．在一条笔直的公路上有 A，B，C 三地，C 地位于 A，B 两地之间，甲，乙两车分别从 A，B 两地出发， 沿这条公路匀速行驶至 C 地停止．从甲车出发至甲车到达 C 地的过程，甲、乙两车各自与 C 地的距离 y（km） 与甲车行驶时间 t（h）之间的函数关系如图表示，当甲车出发 h 时，两车相距 350km． 16．如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE 是△ABC 的中位线，点 M 是边 BC 上一点， BM=3，点 N 是线段 MC 上的一个动点，连接 DN，ME，DN 与 ME 相交于点 O．若△OMN 是直角三角形， 则 DO 的长是 ． 三、解答题 17．计算：（π﹣4）0+|3﹣tan60°|﹣（ ）﹣2+ ． 18．为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》 （分别用字母 A，B，C 依次表示这三个诵读材料），将 A，B，C 这三个字母分别写在 3 张完全相同的不 透明卡片的正面上，把这 3 张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小明和小亮参加诵读比赛，比赛时小明先 从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各 自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小明诵读《论语》的概率是 ； （2）请用列表法或画树状图（树形图）法求小明和小亮诵读两个不同材料的概率． 19．如图，△ABC≌△ABD，点 E 在边 AB 上，CE∥BD，连接 DE．求证： （1）∠CEB=∠CBE； （2）四边形 BCED 是菱形． 20．我市某中学决定在学生中开展丢沙包、打篮球、跳大绳和踢毽球四种项目的活动，为了解学生对四种 项目的喜欢情况，随机调查了该校 m 名学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择四种活动项目的 一种），并将调查结果绘制成如下的不完整的统计图表： 学生最喜欢的活动项目的人数统计表 项目 学生数（名） 百分比 丢沙包 20 10% 打篮球 60 p% 跳大绳 n 40% 踢毽球 40 20% 根据图表中提供的信息，解答下列问题：新*课标*第*一*网 （1）m= ，n= ，p= ； （2）请根据以上信息直接补全条形统计图； （3）根据抽样调查结果，请你估计该校 2000 名学生中有多少名学生最喜欢跳大绳． 21．如图，在△ABC 中，以 AB 为直径的⊙O 分别于 BC，AC 相交于点 D，E，BD=CD，过点 D 作⊙O 的 切线交边 AC 于点 F． （1）求证：DF⊥AC； （2）若⊙O 的半径为 5，∠CDF=30°，求 的长（结果保留π）． 22．倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进 A，B 两种型号的健身器材若干套，A，B 两种型号健身 器材的购买单价分别为每套 310 元，460 元，且每种型号健身器材必须整套购买． （1）若购买 A，B 两种型号的健身器材共 50 套，且恰好支出 20000 元，求 A，B 两种型号健身器材各购买 多少套？ （2）若购买 A，B 两种型号的健身器材共 50 套，且支出不超过 18000 元，求 A 种型号健身器材至少要购 买多少套？ 23．如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为（4，0），点 B 的坐标为 （0，1），点 C 为边 AB 的中点，正方形 OBDE 的顶点 E 在 x 轴的正半轴上，连接 CO，CD，CE． （1）线段 OC 的长为 ； （2）求证：△CBD≌△COE； （3）将正方形 OBDE 沿 x 轴正方向平移得到正方形 O1B1D1E1，其中点 O，B，D，E 的对应点分别为点 O1， B1，D1，E1，连接 CD，CE，设点 E 的坐标为（a，0），其中 a≠2，△CD1E1 的面积为 S． ①当 1＜a＜2 时，请直接写出 S 与 a 之间的函数表达式； ②在平移过程中，当 S= 时，请直接写出 a 的值． 24．在△ABC 中，AB=6，AC=BC=5，将△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0° ＜α＜180°），点 B 的对应点为点 D，点 C 的对应点为点 E，连接 BD，BE． （1）如图，当α=60°时，延长 BE 交 AD 于点 F． ①求证：△ABD 是等边三角形； ②求证：BF⊥AD，AF=DF； ③请直接写出 BE 的长； （2）在旋转过程中，过点 D 作 DG 垂直于直线 AB，垂足为点 G，连接 CE，当∠DAG=∠ACB，且线段 DG 与线段 AE 无公共点时，请直接写出 BE+CE 的值． 温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答． 25．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OCDE 的顶点 C 和 E 分别在 y 轴的正半轴和 x 轴的正半轴上，OC=8， OE=17，抛物线 y= x2﹣3x+m 与 y 轴相交于点 A，抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 B，与 CD 交于点 K． （1）将矩形 OCDE 沿 AB 折叠，点 O 恰好落在边 CD 上的点 F 处． ①点 B 的坐标为（ 、 ），BK 的长是 ，CK 的长是 ； ②求点 F 的坐标； ③请直接写出抛物线的函数表达式； （2）将矩形 OCDE 沿着经过点 E 的直线折叠，点 O 恰好落在边 CD 上的点 G 处，连接 OG，折痕与 OG 相 交于点 H，点 M 是线段 EH 上的一个动点（不与点 H 重合），连接 MG，MO，过点 G 作 GP⊥OM 于点 P， 交 EH 于点 N，连接 ON，点 M 从点 E 开始沿线段 EH 向点 H 运动，至与点 N 重合时停止，△MOG 和△NOG 的面积分别表示为 S1 和 S2，在点 M 的运动过程中，S1•S2（即 S1 与 S2 的积）的值是否发生变化？若变化， 请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值． 温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答． 2016 年辽宁省沈阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题 2 分，共 20 分） 1．下列各数是无理数的是（ ） A．0B．﹣1C． D． 【考点】无理数． 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【解答】解：0，﹣1， 是有理数， 是无理数， 故选：C． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如 π， ，0.8080080008…（每两个 8 之间依次多 1 个 0）等形式． 2．如图是由 4 个大小相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】画出从上往下看的图形即可． 【解答】解：这个几何体的俯视图为 ． 故选 A． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再 画它的三视图． 3．在我市 2016 年春季房地产展示交易会上，全市房地产开发企业提供房源的参展面积达到 5400000 平方 米，将数据 5400000 用科学记数法表示为（ ） A．0.54×107B．54×105C．5.4×106D．5.4×107 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变 成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于 10 时，n 是正数； 当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数． 【解答】解：5400000 用科学记数法表示为 5.4×106， 故选：C． 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为 整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4．如图，在平面直角坐标系中，点 P 是反比例函数 y= （x＞0）图象上的一点，分别过点 P 作 PA⊥x 轴 于点 A，PB⊥y 轴于点 B．若四边形 OAPB 的面积为 3，则 k 的值为（ ） A．3B．﹣3C． D．﹣ 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义． 【分析】因为过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积 S 是个定值，即 S=|k|．再由函数图象 所在的象限确定 k 的值即可． 【解答】解：∵点 P 是反比例函数 y= （x＞0）图象上的一点，分别过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴 于点 B．若四边形 OAPB 的面积为 3， ∴矩形 OAPB 的面积 S=|k|=3， 解得 k=±3． 又∵反比例函数的图象在第一象限， ∴k=3． 故选 A． 【点评】本题主要考查了反比例函数 y= 中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂线，所 得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解 k 的几 何意义． 5．“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ） A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件 【考点】随机事件． 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【解答】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件， 故选：D． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的 事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可 能发生也可能不发生的事件． 6．下列计算正确的是（ ） A．x4+x4=2x8B．x3•x2=x6C．（x2y）3=x6y3D．（x﹣y）（y﹣x）=x2﹣y2 【考点】整式的混合运算． 【专题】存在型． 【分析】先计算出各个选项中式子的正确结果，即可得到哪个选项是正确的，本题得以解决． 【解答】解：∵x4+x4=2x4，故选项 A 错误； ∵x3•x2=x5，故选项 B 错误； ∵（x2y）3=x6y3，故选项 C 正确； ∵（x﹣y）（y﹣x）=﹣x2+2xy﹣y2，故选项 D 错误； 故选 C． 【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法． 7．已知一组数据：3，4，6，7，8，8，下列说法正确的是（ ） A．众数是 2B．众数是 8C．中位数是 6D．中位数是 7 【考点】众数；中位数． 【分析】根据众数和中位数的定义求解． 【解答】解：数据：3，4，6，7，8，8 的众数为 8，中为数为 6.5． 故选 B． 【点评】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数定义． 8．一元二次方程 x2﹣4x=12 的根是（ ） A．x1=2，x2=﹣6B．x1=﹣2，x2=6C．x1=﹣2，x2=﹣6D．x1=2，x2=6 【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【专题】计算题；一次方程（组）及应用． 【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【解答】解：方程整理得：x2﹣4x﹣12=0， 分解因式得：（x+2）（x﹣6）=0， 解得：x1=﹣2，x2=6， 故选 B A．y1＜y2B．y1＞y2 C．y 的最小值是﹣3D．y 的最小值是﹣4 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值． 【分析】根据抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象的增减性进行解答． 【解答】解：y=x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1）， 则该抛物线与 x 轴的两交点横坐标分别是﹣3、1． 又 y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4， ∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为 x=﹣1． A、无法确定点 A、B 离对称轴 x=﹣1 的远近，故无法判断 y1 与 y2 的大小，故本选项错误； B、无法确定点 A、B 离对称轴 x=﹣1 的远近，故无法判断 y1 与 y2 的大小，故本选项错误； C、y 的最小值是﹣4，故本选项错误； D、y 的最小值是﹣4，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题时，利用了“数形结合”的数学思 想． 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．分解因式：2x2﹣4x+2= 2（x﹣1）2 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】先提取公因数 2，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2． 【解答】解：2x2﹣4x+2， =2（x2﹣2x+1）， =2（x﹣1）2． 【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因 式． 12．若一个多边形的内角和是 540°，则这个多边形是 五 边形． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据多边形的内角和公式求出边数即可． 【解答】解：设多边形的边数是 n，则 （n﹣2）•180°=540°， 解得 n=5， 故答案为：五． 【点评】本题考查了多边形的内角和定理，熟记公式是解题的关键． 13．化简：（1﹣ ）•（m+1）= m ． 【考点】分式的混合运算． 【专题】计算题；分式． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【解答】解：原式= •（m+1）=m， 故答案为：m 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．三个连续整数中，n 是最大的一个，这三个数的和为 3n﹣3 ． 【考点】列代数式． 【专题】应用题． 【分析】先利用连续整数的关系用 n 表示出最小的数和中间的整数，然后把三个数相加即可． 【解答】解：这三个数的和为 n﹣2+n﹣1+n=3n﹣3．[来源:Z+xx+ k.Com] 故答案为 3n﹣3． 【点评】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出 来，就是列代数式．本题的关键是表示出最小整数． 15．在一条笔直的公路上有 A，B，C 三地，C 地位于 A，B 两地之间，甲，乙两车分别从 A，B 两地出发， 沿这条公路匀速行驶至 C 地停止．从甲车出发至甲车到达 C 地的过程，甲、乙两车各自与 C 地的距离 y（km） 与甲车行驶时间 t（h）之间的函数关系如图表示，当甲车出发 \frac{3}{2} h 时，两车相距 350km． 【考点】一次函数的应用． 【分析】根据图象，可得 A 与 C 的距离等于 B 与 C 的距离，根据行驶路程与时间的关系，可得相应的速度， 根据甲、乙的路程，可得方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：由题意，得 AC=BC=240km， 甲的速度 240÷4=60km/h，乙的速度 240÷30=80km/h． 设甲出发 x 小时甲乙相距 350km，由题意，得 60x+80（x﹣1）+350=240×2， 解得 x= ， 答：甲车出发 h 时，两车相距 350km， 故答案为： ． 【点评】本题考查了一次函数的应用，利用题意找出等量关系是解题关键． 16．如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE 是△ABC 的中位线，点 M 是边 BC 上一点， BM=3，点 N 是线段 MC 上的一个动点，连接 DN，ME，DN 与 ME 相交于点 O．若△OMN 是直角三角形， 则 DO 的长是 \frac{25}{6}或\frac{50}{13} ． 【考点】三角形中位线定理． 【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°，根据 = 计算即可 ②∠MON=90°，利用△DOE∽△EFM，得 = 计算即可． 【解答】解：如图作 EF⊥BC 于 F，DN′⊥BC 于 N′交 EM 于点 O′，此时∠MN′O′=90°， ∵DE 是△ABC 中位线， ∴DE∥BC，DE= BC=10， ∵DN′∥EF， ∴四边形 DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′=90°， ∴四边形 DEFN′是矩形， ∴EF=DN′，DE=FN′=10， ∵AB=AC，∠A=90°， ∴∠B=∠C=45°， ∴BN′=DN′=EF=FC=5， ∴ = ， ∴ = ， ∴DO′= ． 当∠MON=90°时， ∵△DOE∽△EFM， ∴ = ， ∵EM= =13， ∴DO= ， 故答案为 或 ． 【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识， 解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 三、解答题 17．计算：（π﹣4） 0+|3﹣tan60°|﹣（ ）﹣2+ ． 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次 根式的性质分别化简求出答案． 【解答】解：原式=1+3﹣ ﹣4+3 ， =2 ． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确掌握相关性质进而化简是解题关键． 18．为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》 （分别用字母 A，B，C 依次表示这三个诵读材料），将 A，B，C 这三个字母分别写在 3 张完全相同的不 透明卡片的正面上，把这 3 张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小明和小亮参加诵读比赛，比赛时小明先 从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各 自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小明诵读《论语》的概率是 \frac{1}{3} ； （2）请用列表法或画树状图（树形图）法求小明和小亮诵读两个不同材料的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】（1）利用概率公式直接计算即可； （2）列举出所有情况，看小明和小亮诵读两个不同材料的情况数占总情况数的多少即可． 【解答】解： （1）∵诵读材料有《论语》，《三字经》，《弟子规》三种， ∴小明诵读《论语》的概率= ， 故答案为： ； （2）列表得： 小明 小亮 A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 由表格可知，共有 9 种等可能性结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料结果有 6 种． 所以小明和小亮诵读两个不同材料的概率= ． 【点评】本题考查了用列表法或画树形图发球随机事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情 况数之比；得到所求的情况数是解决本题的易错点． 19．如图，△ABC≌△ABD，点 E 在边 AB 上，CE∥BD，连接 DE．求证： （1）∠CEB=∠CBE； （2）四边形 BCED 是菱形． 【考点】菱形的判定；全等三角形的性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）欲证明∠CEB=∠CBE，只要证明∠CEB=∠ABD，∠CBE=∠ABD 即可． （2）先证明四边形 CEDB 是平行四边形，再根据 BC=BD 即可判定． 【解答】证明；（1）∵△ABC≌△ABD， ∴∠ABC=∠ABD， ∵CE∥BD， ∴∠CEB=∠DBE， ∴∠CEB=∠CBE． （2））∵△ABC≌△ABD， ∴BC=BD， ∵∠CEB=∠CBE， ∴CE=CB， ∴CE=BD ∵CE∥BD， ∴四边形 CEDB 是平行四边形， ∵BC=BD， ∴四边形 CEDB 是菱形． 【点评】本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的性 质是解题的关键，记住平行四边形、菱形的判定方法，属于中考常考题型． 20．我市某中学决定在学生中开展丢沙包、打篮球、跳大绳和踢毽球四种项目的活动，为了解学生对四种 项目的喜欢情况，随机调查了该校 m 名学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择四种活动项目的 一种），并将调查结果绘制成如下的不完整的统计图表： 学生最喜欢的活动项目的人数统计表 项目 学生数（名） 百分比 丢沙包 20 10% 打篮球 60 p% 跳大绳 n 40% 踢毽球 40 20% 根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）m= 200 ，n= 80 ，p= 30 ； （2）请根据以上信息直接补全条形统计图； （3）根据抽样调查结果，请你估计该校 2000 名学生中有多少名学生最喜欢跳大绳． 【考点】条形统计图；用样本估计总体． 【分析】（1）利用 20÷10%=200，即可得到 m 的值；用 200×40%即可得到 n 的值，用 60÷200 即可得到 p 的值． （2）根据 n 的值即可补全条形统计图； （3）根据用样本估计总体，2000×40%，即可解答． 【解答】解：（1）m=20÷10%=200；n=200×40%=80，60÷200=30%，p=30， 故答案为：200，80，30； （2）如图， （3）2000×40%=800（人）， 答：估计该校 2000 名学生中有 800 名学生最喜欢跳大绳． 【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图、概率公式，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解 决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 21．如图，在△ABC 中，以 AB 为直径的⊙O 分别于 BC，AC 相交于点 D，E，BD=CD，过点 D 作⊙O 的 切线交边 AC 于点 F． （1）求证：DF⊥AC； （2）若⊙O 的半径为 5，∠CDF=30°，求 的长（结果保留π）． 【考点】切线的性质；弧长的计算． 【分析】（1）连接 OD，由切线的性质即可得出∠ODF=90°，再由 BD=CD，OA=OB 可得出 OD 是△ABC 的中位线，根据三角形中位线的性质即可得出，根据平行线的性质即可得出∠CFD=∠ODF=90°，从而证出 DF⊥AC； （2）由∠CDF=30°以及∠ODF=90°即可算出∠ODB=60°，再结合 OB=OD 可得出△OBD 是等边三角形，根 据弧长公式即可得出结论． 【解答】（1）证明：连接 OD，如图所示． ∵DF 是⊙O 的切线，D 为切点， ∴OD⊥DF， ∴∠ODF=90°． ∵BD=CD，OA=OB， ∴OD 是△ABC 的中位线， ∴OD∥AC， ∴∠CFD=∠ODF=90°， ∴DF⊥AC． （2）解：∵∠CDF=30°， 由（1）得∠ODF=90°， ∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°． ∵OB=OD， ∴△OBD 是等边三角形， ∴∠BOD=60°， ∴ 的长= = = π． 【点评】本题考查了切线的性质、弧长公式、平行线的性质、三角形中位线定理以及等边三角形的判断， 解题的关键是：（1）求出∠CFD=∠ODF=90°；（2）找出△OBD 是等边三角形．本题属于中档题，难度不 大，解决该题型题目时，通过角的计算找出 90°的角是关键． 22．倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进 A，B 两种型号的健身器材若干套，A，B 两种型号健身 器材的购买单价分别为每套 310 元，460 元，且每种型号健身器材必须整套购买． （1）若购买 A，B 两种型号的健身器材共 50 套，且恰好支出 20000 元，求 A，B 两种型号健身器材各购买 多少套？ （2）若购买 A，B 两种型号的健身器材共 50 套，且支出不超过 18000 元，求 A 种型号健身器材至少要购 买多少套？ 【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用． 【分析】（1）设购买 A 种型号健身器材 x 套，B 型器材健身器材 y 套，根据：“A，B 两种型号的健身器材 共 50 套、共支出 20000 元”列方程组求解可得； （2）设购买 A 型号健身器材 m 套，根据：A 型器材总费用+B 型器材总费用≤18000，列不等式求解可得． 【解答】解：（1）设购买 A 种型号健身器材 x 套，B 型器材健身器材 y 套， 根据题意，得： ， 解得： ， 答：购买 A 种型号健身器材 20 套，B 型器材健身器材 30 套． （3）设购买 A 型号健身器材 m 套， 根据题意，得：310m+460（50﹣m）≤18000， 解得：m≥33 ， ∵m 为整数， ∴m 的最小值为 34， 答：A 种型号健身器材至少要购买 34 套． 【点评】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的应用，审清题意得到相等关系或不等关系是解 题的关键． 23．如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为（4，0），点 B 的坐标为 （0，1），点 C 为边 AB 的中点，正方形 OBDE 的顶点 E 在 x 轴的正半轴上，连接 CO，CD，CE． （1）线段 OC 的长为 \frac{\sqrt{17}}{2} ； （2）求证：△CBD≌△COE； （3）将正方形 OBDE 沿 x 轴正方向平移得到正方形 O1B1D1E1，其中点 O，B，D，E 的对应点分别为点 O1， B1，D1，E1，连接 CD，CE，设点 E 的坐标为（a，0），其中 a≠2，△CD1E1 的面积为 S． ①当 1＜a＜2 时，请直接写出 S 与 a 之间的函数表达式； ②在平移过程中，当 S= 时，请直接写出 a 的值． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）由点 A 的坐标为（4，0），点 B 的坐标为（0，1），利用勾股定理即可求得 AB 的长，然后 由点 C 为边 AB 的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得线段 OC 的长； （2）由四边形 OBDE 是正方形，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，易得 BD=OE，BC=OC， ∠CBD=∠COE，即可证得：△CBD≌△COE； （3）①首先根据题意画出图形，然后过点 C 作 CH⊥D1E1 于点 H，可求得△CD1E1 的高与底，继而求得答 案； ②分别从 1＜a＜2 与 a＞2 去分析求解即可求得答案． 【解答】解：（1）∵点 A 的坐标为（4，0），点 B 的坐标为（0，1）， ∴OA=4，OB=1，[来源:Z*xx*k.Com] ∵∠AOB=90°， ∴AB= = ， ∵点 C 为边 AB 的中点， ∴OC= AB= ； 故答案为： ． （2）证明：∵∠AOB=90°，点 C 是 AB 的中点， ∴OC=BC= AB， ∴∠CBO=∠COB， ∵四边形 OBDE 是正方形， ∴BD=OE，∠DBO=∠EOB=90°， ∴∠CBD=∠COE， 在△CBD 和△COE 中， ， ∴△CBD≌△COE（SAS）； （3）①解：过点 C 作 CH⊥D1E1 于点 H， ∵C 是 AB 边的中点， ∴点 C 的坐标为：（2， ） ∵点 E 的坐标为（a，0），1＜a＜2， ∴CH=2﹣a， ∴S= D1E1•CH= ×1×（2﹣a）=﹣ a+1； ②当 1＜a＜2 时，S=﹣ a+1= ， 解得：a= ； 当 a＞2 时，同理：CH=a﹣2， ∴S= D1E1•CH= ×1×（a﹣2）= a﹣1， ∴S= a﹣1= ， 解得：a= ， 综上可得：当 S= 时，a= 或 ． 【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的 判定与性质以及三角形面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键． 24．在△ABC 中，AB=6，AC=BC=5，将△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0° ＜α＜180°），点 B 的对应点为点 D，点 C 的对应点为点 E，连接 BD，BE． （1）如图，当α=60°时，延长 BE 交 AD 于点 F． ①求证：△ABD 是等边三角形； ②求证：BF⊥AD，AF=DF； ③请直接写出 BE 的长； （2）在旋转过程中，过点 D 作 DG 垂直于直线 AB，垂足为点 G，连接 CE，当∠DAG=∠ACB，且线段 DG 与线段 AE 无公共点时，请直接写出 BE+CE 的值． 温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答． 【考点】三角形综合题． 【分析】（1）①由旋转性质知 AB=AD，∠BAD=60°即可得证；②由 BA=BD、EA=ED 根据中垂线性质即 可得证；③分别求出 BF、EF 的长即可得； （2）由∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°、∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°、∠DAG=∠ACB、∠DAE=∠BA C 得 ∠BAE=∠BAC 且 AE=AC，根据三线合一可得 CE⊥AB、AC=5、AH=3，继而知 CE=2CH=8、BE=5，即可 得答案． 【解答】解：（1）①∵△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△ADE， ∴AB=AD，∠BAD=60°， ∴△ABD 是等边三角形； ②由①得△ABD 是等边三角形， ∴AB=BD， ∵△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△ADE， ∴AC=AE，BC=DE， 又∵AC=BC， ∴EA=ED， ∴点 B、E 在 AD 的中垂线上， ∴BE 是 AD 的中垂线， ∵点 F 在 BE 的延长线上， ∴BF⊥AD，AF=DF； ③由②知 BF⊥AD，AF=DF， ∴AF=DF=3， ∵AE=AC=5， ∴EF=4， ∵在等边三角形 ABD 中，BF=AB•sin∠BAF=6× =3 ， ∴BE=BF﹣EF=3 ﹣4； （2）如图所示， ∵∠DAG=∠ACB，∠DAE=∠BAC， ∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°， 又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°， ∴∠BAE=∠ABC， ∵AC=BC=AE， ∴∠BAC=∠ABC， ∴∠BAE=∠BAC， ∴AB⊥CE，且 CH=HE= CE， ∵AC=BC， ∴AH=BH= AB=3， 则 CE=2CH=8，BE=5， ∴BE+CE=13． 【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、中垂线的性质、三角形内角和定理等知识 点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OCDE 的顶点 C 和 E 分别在 y 轴的正半轴和 x 轴的正半轴上，OC=8， OE=17，抛物线 y= x2﹣3x+m 与 y 轴相交于点 A，抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 B，与 CD 交于点 K． （1）将矩形 OCDE 沿 AB 折叠，点 O 恰好落在边 CD 上的点 F 处． ①点 B 的坐标为（ 10 、 0 ），BK 的长是 8 ，CK 的长是 10 ； ②求点 F 的坐标； ③请直接写出抛物线的函数表达式； （2）将矩形 OCDE 沿着经过点 E 的直线折叠，点 O 恰好落在边 CD 上的点 G 处，连接 OG，折痕与 OG 相 交于点 H，点 M 是线段 EH 上的一个动点（不与点 H 重合），连接 MG，MO，过点 G 作 GP⊥OM 于点 P， 交 EH 于点 N，连接 ON，点 M 从点 E 开始沿线段 EH 向点 H 运动，至与点 N 重合时停止，△MOG 和△NOG 的面积分别表示为 S1 和 S2，在点 M 的运动过程中，S1•S2（即 S1 与 S2 的积）的值是否发生变化？若变化， 请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值． 温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）①根据四边形 OCKB 是矩形以及对称轴公式即可解决问题． ②在 RT△BKF 中利用勾股定理即可解决问题． ③设 OA=AF=x，在 RT△ACF 中，AC=8﹣x，AF=x，CF=4，利用勾股定理即可解决问题． （2）不变．S1•S2=189．由△GHN∽△MHG，得 = ，得到 GH2=HN•HM，求出 GH2，根据 S1•S2= •OG•HN• •OG•HM 即可解决问题． 【解答】解：（1）如图 1 中，①∵抛物线 y= x2﹣3x+m 的对称轴 x=﹣ =10， ∴点 B 坐标（10，0）， ∵四边形 OBKC 是矩形， ∴CK=OB=10，KB=OC=8， 故答案分别为 10，0，8，10． ②在 RT△FBK 中，∵∠FKB=90°，BF=OB=10，BK=OC=8， ∴FK= =6， ∴CF=CK﹣FK=4， ∴点 F 坐标（4，8）． ③设 OA=AF=x， 在 RT△ACF 中，∵AC2+CF2=AF2， ∴（8﹣x）2+42=x2， ∴x=5， ∴点 A 坐标（0，5），代入抛物线 y= x2﹣3x+m 得 m=5， ∴抛物线为 y= x2﹣3x+5． （2）不变．S1•S2=189． 理由：如图 2 中，在 RT△EDG 中，∵GE=EO=17，ED=8， ∴DG = = =15， ∴CG=CD﹣DG=2， ∴OG= = =2 ， ∵CP⊥OM，MH⊥OG， ∴∠NPN=∠NHG=90°， ∵∠HNG+∠HGN=90°，∠PNM+∠PMN=90°，∠HNG=∠PNM， ∴∠HGN=∠NMP， ∵∠NMP=∠HMG，∠GHN=∠GHM， ∴△GHN∽△MHG， ∴ = ， ∴GH2=HN•HM， ∵GH=OH= ， ∴HN•HM=17， ∵S1•S2= •OG•HN• •OG•HM=（ •2 ）2•17=289． 【点评】本题考查二次函数综合题、矩形的性质、翻折变换相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识， 解题的关键是证明△GHN∽△MHG 求出 HN•HM 的值，属于中考压轴题．