2016年深圳市中考数学试题解析版

2016 年广东省深圳市中考数学试卷 一、单项选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分 1．下列四个数中，最小的正数是（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2[来源:学,科,网] 2．把下列图标折成一个正方体的盒子，折好后与“中”相对的字是（ ） A．祝 B．你 C．顺 D．利 3．下列运算正确的是（ ） A．8a﹣a=8 B．（﹣a）4=a4C．a3•a2=a6D．（a﹣b）2=a2﹣b2 4．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 5．据统计，从 2005 年到 2015 年中国累积节能 1570000000 吨标准煤，1570000000 这个数用科学记 数法表示为（ ） A．0.157×1010B．1.57×108C．1.57×109D．15.7×108 6．如图，已知 a∥b，直角三角板的直角顶角在直线 b 上，若∠1=60°，则下列结论错误的是（ ） A．∠2=60° B．∠3=60° C．∠4=120° D．∠5=40° 7．数学老师将全班分成 7 个小组开展小组合作学习，采用随机抽签确定一个小组进行展示活动，则 第 3 个小组被抽到的概率是（ ） A． B． C． D． 8．下列命题正确的是（ ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．两边及其一角相等的两个三角形全等 C．16 的平方根是 4 D．一组数据 2，0，1，6，6 的中位数和众数分别是 2 和 6 9．施工队要铺设一段全长 2000 米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多 50 米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工 x 米，则根据题意所列方 程正确的是（ ） A． ﹣ =2 B． ﹣ =2 C． ﹣ =2 D． ﹣ =2 10．给出一种运算：对于函数 y=xn，规定 y′=nxn﹣1．例如：若函数 y=x4，则有 y′=4x3．已知函数 y=x3， 则方程 y′=12 的解是（ ） A．x1=4，x2=﹣4 B．x1=2，x2=﹣2 C．x1=x2=0 D．x1=2 ，x2=﹣2 11．如图，在扇形 AOB 中∠AOB=90°，正方形 CDEF 的顶点 C 是 的中点，点 D 在 OB 上，点E 在 OB 的延长线上，当正方形 CDEF 的边长为 2 时，则阴影部分的面积为（ ） A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4 12．如图，CB=CA，∠ACB=90°，点 D 在边 BC 上（与 B、C 不重合），四边形 ADEF 为正方形， 过点 F 作 FG⊥CA，交 CA 的延长线于点 G，连接 FB，交 DE 于点 Q，给出以下结论： ①AC=FG；②S△FAB：S 四边形 CEFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC， 其中正确的结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分 13．分解因式：a2b+2ab2+b3= ． 14．已知一组数据 x1，x2，x3，x4 的平均数是 5，则数据 x1+3，x2+3，x3+3，x4+3 的平均数是 ． 15．如图，在▱ ABCD 中，AB=3，BC=5，以点 B 的圆心，以任意长为半径作弧，分别交 BA、BC 于点 P、Q，再分别以 P、Q 为圆心，以大于 PQ 的长为半径作弧，两弧在∠ABC 内交于点 M，连 接 BM 并延长交 AD 于点 E，则 DE 的长为 ． 16．如图，四边形 ABCO 是平行四边形，OA=2，AB=6，点 C 在 x 轴的负半轴上，将▱ ABCO 绕点 A 逆时针旋转得到▱ ADEF，AD 经过点 O，点 F 恰好落在 x 轴的正半轴上，若点 D 在反比例函数 y= （x＜0）的图象上，则 k 的值为 ． 三、解答题：本大题共 7 小题，其中 17 题 5 分，18 题 6 分，19题 7 分，20 题 8 分，共 52 分 17．计算：|﹣2|﹣2cos60°+（ ）﹣1﹣（π﹣ ）0． 18．解不等式组： ． 19．深圳市政府计划投资 1.4 万亿元实施东进战略．为了解深圳市民对东进战略的关注情况．某校 数学兴趣小组随机采访部分深圳市民，对采访情况制作了统计图表的一部分如下： 关注情况 频数 频率 A．高度关注 M 0.1 B．一般关注 100 0.5 C．不关注 30 N D．不知道 50 0.25 （1）根据上述统计图可得此次采访的人数为 人，m= ，n= ； （2）根据以上信息补全条形统计图； （3）根据上述采访结果，请估计在 15000 名深圳市民中，高度关注东进战略的深圳市民约有 人． 20．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从 A 处水平飞行至 B 处需 8 秒，在地面 C 处同一方向上分别测得 A 处的仰角为 75°，B 处的仰角为 30°．已知无人飞机的飞行速度为 4 米/秒， 求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号） 21．荔枝是深圳的特色水果，小明的妈妈先购买了 2 千克桂味和 3 千克糯米糍，共花费 90 元；后又 购买了 1 千克桂味和 2 千克糯米糍，共花费 55 元．（每次两种荔枝的售价都不变） （1）求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元； （2）如果还需购买两种荔枝共 12 千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的 2 倍，请设计一种购 买方案，使所需总费用最低． 22．如图，已知⊙O 的半径为 2，AB 为直径，CD 为弦．AB 与 CD 交于点 M，将 沿 CD 翻折后， 点 A 与圆心 O 重合，延长 OA 至 P，使 AP=OA，连接 PC （1）求 CD 的长； （2）求证：PC 是⊙O 的切线； （3）点 G 为 的中点，在 PC 延长线上有一动点 Q，连接 QG 交 AB 于点 E．交 于点 F（F 与 B、 C 不重合）．问 GE•GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由． 23．如图，抛物线 y=ax2+2x﹣3 与 x 轴交于 A、B 两点，且 B（1，0） （1）求抛物线的解析式和点 A 的坐标； （2）如图 1，点 P 是直线 y=x 上的动点，当直线 y=x 平分∠APB 时，求点 P 的坐标； （3）如图 2，已知直线 y= x﹣ 分别与 x 轴、y 轴交于 C、F 两点，点 Q 是直线 CF 下方的抛物线 上的一个动点，过点 Q 作 y 轴的平行线，交直线 CF 于点 D，点 E 在线段 CD 的延长线上，连接 QE．问： 以 QD 为腰的等腰△QDE 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明 理由． 2016 年广东省深圳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分 1．下列四个数中，最小的正数是（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】先找到正数，再比较正数的大小即可得出答案． 【解答】解：正数有 1，2， ∵1＜2， ∴最小的正数是 1． 故选：C． 【点评】本题实质考查有理数大小的比较，较为简单，学生在做此题时，应看清题意和选项． 2．把下列图标折成一个正方体的盒子，折好后与“中”相对的字是（ ） A．祝 B．你 C．顺 D．利 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“祝”与面“利”相对，面“你”与面“考” 相对，面“中”与面“顺”相对． 故选 C． 【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及 解答问题． 3．下列运算正确的是（ ）， ∵OD=AD﹣OA=AB﹣OA=6﹣2=4， ∴MO=2，MD=2 ， ∴D（﹣2，﹣2 ）， ∴k=﹣2×（﹣2 ）=4 ． 故答案为：4 ． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出 D 点坐 标是解题关键． 三、解答题：本大题共 7 小题，其中 17 题 5 分，18 题 6 分，19 题 7 分，20 题 8 分，共 52 分 17．计算：|﹣2|﹣2cos60°+（ ）﹣1﹣（π﹣ ）0． 【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质、零指数幂的性质 分别化简求出答案． 【解答】解：|﹣2|﹣2cos60°+（ ）﹣1﹣（π﹣ ）0 =2﹣2× +6﹣1 =6． 【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质、零指数幂 的性质等知识，正确化简各数是解题关键． 18．解不等式组： ． 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【解答】解： ， 解①得 x＜2， 解②得 x≥﹣1， 则不等式组的解集是﹣1≤x＜2． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式 的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大 小小找不到． 19．深圳市政府计划投资 1.4 万亿元实施东进战略．为了解深圳市民对东进战略的关注情况．某校 数学兴趣小组随机采访部分深圳市民，对采访情况制作了统计图表的一部分如下： 关注情况 xk|b|1 频数 频率 A．高度关注 M 0.1 B．一般关注 100 0.5 C．不关注 30 N D．不知道 50 0.25 （1）根据上述统计图可得此次采访的人数为 200 人，m= 20 ，n= 0.15 ； （2）根据以上信息补全条形统计图； （3）根据上述采访结果，请估计在 15000 名深圳市民中，高度关注东进战略的深圳市民约有 1500 人． 【分析】（1）根据频数÷频率，求得采访的人数，根据频率×总人数，求得 m 的值，根据 30÷200，求 得 n 的值； （2）根据 m 的值为 20，进行画图； （3）根据 0.1×15000 进行计算即可． 【解答】解：（1）此次采访的人数为 100÷0.5=200（人），m=0.1×200=20，n=30÷200=0.15； （2）如图所示； （3）高度关注东进战略的深圳市民约有 0.1×15000=1500（人）． 【点评】本题主要考查了条形统计图以及频数与频率，解决问题的关键是掌握：频率是指每个对象 出现的次数与总次数的比值（或者百分比），即频率= ．解题时注意，用样本去估计总体 时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 20．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从 A 处水平飞行至 B 处需 8 秒，在地面 C 处同一方向上分别测得 A 处的仰角为 75°，B 处的仰角为 30°．已知无人飞机的飞行速度为 4 米/秒， 求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号） 【分析】如图，作 AD⊥BC，BH⊥水平线，根据题意确定出∠ABC 与∠ACB 的度数，利用锐角三 角函数定义求出 AD 与 BD 的长，由 CD+BD 求出 BC 的长，即可求出 BH 的长． 【解答】解：如图，作 AD⊥BC，BH⊥水平线， 由题意得：∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB∥CH， ∴∠ABC=30°，∠ACB=45°， ∵AB=32m， ∴AD=CD=AB•sin30°=16m，BD=AB•cos30°=16 m， ∴BC=CD+BD=（16+16 ）m， 则 BH=BC•sin30°=（8+8 ）m． 【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的 关键． 21．荔枝是深圳的特色水果，小明的妈妈先购买了 2 千克桂味和 3 千克糯米糍，共花费 90 元；后又 购买了 1 千克桂味和 2 千克糯米糍，共花费 55 元．（每次两种荔枝的售价都不变） （1）求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元； （2）如果还需购买两种荔枝共 12 千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的 2 倍，请设计一种购 买方案，使所需总费用最低． 【分析】（1）设桂味的售价为每千克 x 元，糯米糍的售价为每千克 y 元；根据单价和费用关系列出 方程组，解方程组即可； （2）设购买桂味 t 千克，总费用为 W 元，则购买糯米糍（12﹣t）千克，根据题意得出 12﹣t≥2t， 得出 t≤4，由题意得出 W=﹣5t+240，由一次函数的性质得出 W 随 t 的增大而减小，得出当 t=4 时， W 的最小值=220（元），求出 12﹣4=8 即可． 【解答】解：（1）设桂味的售价为每千克 x 元，糯米糍的售价为每千克 y 元； 根据题意得： ， 解得： ； 答：桂味的售价为每千克 15 元，糯米糍的售价为每千克 20 元； （2）设购买桂味 t 千克，总费用为 W 元，则购买糯米糍（12﹣t）千克， 根据题意得：12﹣t≥2t， ∴t≤4， ∵W=15t+20（12﹣t）=﹣5t+240， k=﹣5＜0， ∴W 随 t 的增大而减小， ∴当 t=4 时，W 的最小值=220（元），此时 12﹣4=8； 答：购买桂味 4 千克，糯米糍 8 千克时，所需总费用最低． 【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用；根据题意方程方程组和得出一次函 数解析式是解决问题的关键． 22．如图，已知⊙O 的半径为 2，AB 为直径，CD 为弦．AB 与 CD 交于点 M，将 沿 CD 翻折后， 点 A 与圆心 O 重合，延长 OA 至 P，使 AP=OA，连接 PC （1）求 CD 的长； （2）求证：PC 是⊙O 的切线； （3）点 G 为 的中点，在 PC 延长线上有一动点 Q，连接 QG 交 AB 于点 E．交 于点 F（F 与 B、 C 不重合）．问 GE•GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由． 【分析】（1）连接 OC，根据翻折的性质求出 OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可； （2）利用勾股定理列式求出 PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根据圆的切线的定 义证明即可； （3）连接 GA、AF、GB，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAG=∠AFG，然后根据两组角对应相 等两三角相似求出△AGE 和△FGA 相似，根据相似三角形对应边成比例可得 = ，从而得到 GE•GF=AG2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【解答】（1）解：如图，连接 OC， ∵ 沿 CD 翻折后，点 A 与圆心 O 重合， ∴OM= OA= ×2=1，CD⊥OA， ∵OC=2， ∴CD=2CM=2 =2 =2 ； （2）证明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM= CD= ，∠CMP=∠OMC=90°， ∴PC= = =2 ， ∵OC=2，PO=2+2=4， ∴PC2+OC2=（2 ）2+22=16=PO2， ∴∠PCO=90°， ∴PC 是⊙O 的切线； （3）解：GE•GF 是定值，证明如下： 如图，连接 GA、AF、GB， ∵点 G 为 的中点， ∴ = ， ∴∠BAG=∠AFG， 又∵∠AGE=∠FGA， ∴△AGE∽△FGA， ∴ = ， ∴GE•GF=AG2， ∵AB 为直径，AB=4， ∴∠BAG=∠ABG=45°， ∴AG=2 ， ∴GE•GF=8． 【点评】本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定 理，圆的切线的定义，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形． 23．如图，抛物线 y=ax2+2x﹣3 与 x 轴交于 A、B 两点，且 B（1，0）[来源:学|科|网 Z|X|X|K] （1）求抛物线的解析式和点 A 的坐标； （2）如图 1，点 P 是直线 y=x 上的动点，当直线 y=x 平分∠APB 时，求点 P 的坐标； （3）如图 2，已知直线 y= x﹣ 分别与 x 轴、y 轴交于 C、F 两点，点 Q 是直线 CF 下方的抛物线 上的一个动点，过点 Q 作 y 轴的平行线，交直线 CF 于点 D，点 E 在线段 CD 的延长线上，连接 QE．问： 以 QD 为腰的等腰△QDE 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明 理由． 【分析】（1）把 B 点坐标代入抛物线解析式可求得 a 的值，可求得抛物线解析式，再令 y=0，可解 得相应方程的根，可求得 A 点坐标； （2）当点 P 在 x 轴上方时，连接 AP 交 y 轴于点 B′，可证△OBP≌△OB′P，可求得 B′坐标，利用 待定系数法可求得直线 AP 的解析式，联立直线 y=x，可求得 P 点坐标；当点 P 在 x 轴下方时，同 理可求得∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO 在∠APO 的内部，可知此时没有满足条件的点 P； （3）过 Q 作 QH⊥DE 于点 H，由直线 CF 的解析式可求得点 C、F 的坐标，结合条件可求得 tan∠QDH， 可分别用 DQ 表示出 QH 和 DH 的长，分 DQ=DE 和 DQ=QE 两种情况，分别用 DQ 的长表示出△QDE 的面积，再设出点 Q 的坐标，利用二次函数的性质可求得△QDE 的面积的最大值． 【解答】解： （1）把 B（1，0）代入 y=ax2+2x﹣3， 可得 a+2﹣3=0，解得 a=1， ∴抛物线解析式为 y=x2+2x﹣3， 令 y=0，可得 x2+2x﹣3=0，解得 x=1 或 x=﹣3， ∴A 点坐标为（﹣3，0）； （2）若 y=x 平分∠APB，则∠APO=∠BPO， 如图 1，若 P 点在 x 轴上方，PA 与 y 轴交于点 B′， 由于点 P 在直线 y=x 上，可知∠POB=∠POB′=45°， 在△BPO 和△B′PO 中 ， ∴△BPO≌△B′PO（ASA）， ∴BO=B′O=1， 设直线 AP 解析式为 y=kx+b，把 A、B′两点坐标代入可得 ，解得 ， ∴直线 AP 解析式为 y= x+1， 联立 ，解得 ， ∴P 点坐标为（ ， ）； 若 P 点在 x 轴下方时，同理可得△BOP≌△B′OP， ∴∠BPO=∠B′PO， 又∠B′PO 在∠APO 的内部， ∴∠APO≠∠BPO，即此时没有满足条件的 P 点， 综上可知 P 点坐标为（ ， ）； （3）如图 2，作 QH⊥CF，交 CF 于点 H， ∵CF 为 y= x﹣ ， ∴可求得 C（ ，0），F（0，﹣ ）， ∴tan∠OFC= = ， ∵DQ∥y 轴， ∴∠QDH=∠MFD=∠OFC， ∴tan∠HDQ= ， 不妨设 DQ=t，DH= t，HQ= t， ∵△QDE 是以 DQ 为腰的等腰三角形， ∴若 DQ=DE，则 S△DEQ= DE•HQ= × t×t= t2， 若 DQ=QE，则 S△DEQ= DE•HQ= ×2DH•HQ= × t× t= t2， ∵ t2＜ t2， ∴当 DQ=QE 时△DEQ 的面积比 DQ=DE 时大． 设 Q 点坐标为（x，x2+2x﹣3），则 D（x， x﹣ ）， ∵Q 点在直线 CF 的下方， ∴DQ=t= x﹣ ﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣ x+ ， 当 x=﹣ 时，tmax=3， ∴（S△DEQ）max= t2= ， 即以 QD 为腰的等腰三角形的面积最大值为 ． 【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、角平分线的定义、全等三 角形的判定和性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、二次函数的性质及分类讨论等．在（2）中 确定出直线 AP 的解析式是解题的关键，在（3）中利用 DQ 表示出△QDE 的面积是解题的关键．本 题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大．