2016年深圳市中考数学试题（word版，含解析）

2016 年广东省深圳市中考数学试卷 第一部分 选择题 （本部分共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。每小题给出 4 个选项，其中只有一个选项是正确的） 1．下列四个数中，最小的正数是（ ） A．—1 B. 0 C. 1 D. 2 答案：C 考点：实数大小比较。 解析：正数大于 0，0 大于负数，A、B 都不是正数，所以选 C。 2．把下列图形折成一个正方体的盒子，折好后与“中”相对的字是（ ） A．祝 B.你 C.顺 D.利 答案：C 考点：正方体的展开。 解析：若以“考”为底，则“中”是左侧面，“顺”是右侧面，所以，选 C。 3．下列运算正确的是（ ） A.8a－a＝8 B.(－a)4＝a4 C. 3 2 6a a a  D. 2( )a b =a2-b2 答案：B 考点：整式的运算。 解析：对于 A，不是同类项，不能相加减；对于 C， 3 2 5a a a  ，故错。对于 D， 2( )a b ＝ 2 22a ab b  ，错误，只有 D 是正确的。 4．下列图形中，是轴对称图形的是（ ） 答案：B 考点：轴对称图形的辨别。 解析：轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，只有 B 符 合。 5．据统计，从 2005 年到 2015 年中国累积节能 1570000000 吨标准煤，1570000000 这个数用科学计 数法表示为（ ） A.0.157×1010 B.1.57×108 C.1.57×109 D.15.7×108 答案：C 考点：本题考查科学记数法。 解析：科学记数的表示形式为 10na 形式，其中1 | | 10a  ，n 为整数，1570000000＝1.57×109。 故选 C。 6．如图，已知 a∥b,直角三角板的直角顶点在直线 b 上，若∠1=60°，则下列结论错误的是（ ） A. ∠2=60° B. ∠3=60° C. ∠4=120° D. ∠5=40° 答案：D 考点： 解析： 7．数学老师将全班分成 7 个小组开展小组合作学习，采用随机抽签法确定一个小组进行展示活动。 则第 3 小组被抽到的概率是（ ） A. 7 1 B. 3 1 C. 21 1 D. 10 1 答案：A 考点：考查概率的求法。 解析：共 7 个小组，第 3 小组是 1 个小组，所以，概率为 7 1 8．下列命题正确是（ ） A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.两边及一角对应相等的两个三角形全等 C.16 的平方根是 4 D.一组数据 2,0,1,6,6 的中位数和众数分别是 2 和 6 答案：D 考点：命题的真假，平行边形、三角形的判定，平方根、中位数、众数的概念。 解析：A 错误，因为有可能是等腰梯形；B 错误，因为两边及其夹角对应相等的两个三角形才全等； 因为 16 的平方根是 4 ，所以，C 错误；对于 D，数据由小到大排列：0，1，2，6，6，所以，中位 数和众数分别是 2 和 6，正确。 9.施工队要铺设一段全长 2000 米，的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划 多 50 米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米。设原计划每天施工 x 米，则根据题意所列 方程正确的是（ ） A. 250 20002000  xx B. 22000 50 2000  xx C. 250 20002000  xx D. 22000 50 2000  xx 答案：A 考点：列方程解应用题，分式方程。 解析：设原计划每天施工 x 米，则实际每天施工为（x＋50）米， 根据时间的等量关系，可得： 250 20002000  xx 10.给出一种运算：对于函数 nxy  ，规定 1 nnxy丿 。例如：若函数 4xy  ，则有 34xy 丿 。已知 函数 3xy  ，则方程 12丿y 的解是（ ） A. 4,4 21  xx B. 2,2 21  xx C. 021  xx D. 32,32 21  xx 答案：B 考点：学习新知识，应用新知识解决问题的能力。 解析：依题意，当 3xy  时， 2' 3 12y x  ，解得： 2,2 21  xx 11.如图，在扇形 AOB 中∠AOB=90°，正方形 CDEF 的顶点 C 是弧 AB 的中点，点 D 在 OB 上，点 E 在 OB 的延长线上，当正方形 CDEF 的边长为 22 时，则阴 影部分的面积为（ ） A. 42  B. 84  C. 82  D. 44  答案：A 考点：扇形面积、三角形面积的计算。 解析：∵C 为 AB 的中点，CD= 2 2 4-2222 1-48 1- 4,45 22 0 ππSSS OCCOD OCDOBC   ）（△扇形阴影 12.如图，CB=CA，∠ACB=90°，点 D 在边 BC 上（与 B、C 不重合），四边形 ADEF 为正方形，过 点 F 作 FG⊥CA，交 CA 的延长线于点 G，连接 FB，交 DE 于点 Q，给出以下结论：①AC=FG；② 2:1 CEFGFAB SS 四边形△ ;③∠ABC=∠ABF；④ ACFQAD 2 , 其中正确的结论个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D 考点：三角形的全等，三角形的相似，三角形、四边形面积的计算。 解析： 90 , , , 90 1 1 2 2FAB CBFG G C FAD CAD AFD AD AF FGA ACD AC FG FG AC BC FG BC C CBFG S FB FG S                               四边形 故①正确 四边形 为矩形 ，故②正确 ∵CA=CB, ∠C=∠CBF=90° ∴∠ABC=∠ABF=45°,故正确 ∵∠FQE=∠DQB=∠ADC,∠E=∠C=90° ∴△ACD∽△FEQ ∴AC∶AD=FE∶FQ ∴AD·FE=AD²=FQ·AC,故④正确 第二部分 非选择题 填空题（本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13.分解因式： 2 2 32 ________.a b ab b   答案：  2bab  考点：因式分解，提公因式法，完全平方公式。 解析：原式＝ 2 2( 2 )b a ab b  ＝  2bab  14.已知一组数据 4321 ,,, xxxx 的平均数是 5，则数据 3,3,3,3 4321  xxxx 的平均数是 _____________. 答案：8 考点：平均数的计算，整体思想。 解析：依题意，得： 1 2 3 4 1 ( ) 54 x x x x    ， 数据 3,3,3,3 4321  xxxx 的平均数 1 2 3 4 1 ( 3 3 3 3)4 x x x x       ＝ 1 2 3 4 1 ( 12) 5 3 84 x x x x       15.如图，在 ABCD 中， ,5,3  BCAB 以点 B 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 BCBA、 于点 QP、 ，再分别以 QP、 为圆心，以大于 PQ2 1 的长为半径作弧，两弧在 ABC 内交于点 M， 连接 BM 并延长交 AD 于点 E，则 DE 的长为____________. 答案：.2 考点：角平分线的作法，等角对等边，平行四边形的性质。 解析：依题意，可知，BE 为角平分线，所以，∠ABE＝∠CBE， 又 AD∥BC，所以，∠AEB＝∠CBE，所以，∠AEB＝∠ABE，AE＝AB＝3， AD＝BC＝5，所以，DE＝5－3＝2。 16.如图，四边形 ABCO是平行四边形， ,6,2  ABOA 点 C 在 x 轴的负半轴上，将 ABCO 绕 点 A 逆时针旋转得到平行四边形 ADEF，AD 经过点 O，点 F 恰好落在 x 轴的正半轴上.若点 D 在反 比例函数 )0(y  xx k 的图像上，则 k 的值为_________. 答案： 34 考点：平行四边形的性质，反比例函数。 解析：如图，作 DM⊥ x 轴 由题意∠BAO=∠OAF, AO=AF, AB∥OC 所以∠BAO=∠AOF=∠AFO=∠OAF ∴∠AOF=60°=∠DOM ∵OD=AD-OA=AB-OA=6-2=4 ∴MO=2， MD= 32 ∴D(-2，- 32 ) ∴k=-2×（ 32- ）= 34 解答题（本题共 7 小题，其中第 17 题 5 分，第 18 题 6 分，第 19 题 7 分，第 20 题 8 分，第 21 题 8 分，第 22 题 9 分，第 23 题 9 分，共 52 分） 17.（5 分）计算： 010 )3-()6 1(60cos2-2- π  考点：实数的运算，三角函数。 解析：原式=2-1+6-1=6 18. （6 分）解不等式组 )1(315  xx 2 1513 12  xx 考点：不等式组的解法。 解析：5x-1＜3x+3，解得 x＜2 4x-2-6≤15x+3，解得 x≥-1 ∴-1≤x＜2 19.（7 分）深圳市政府计划投资 1.4 万亿元实施东进战略，为了解深圳市民对东进战略的关注情况. 某学校数学兴趣小组随机采访部分深圳市民.对采访情况制作了统计图表的一部分如下： （1）根据上述统计表可得此次采访的人数为 人，m= n= ； （2）根据以上信息补全条形统计图； （3）根据上述采访结果，请估计 15000 名深圳市民中，高度关注东进战略的深圳市民约有 人； 考点：统计图。 解析：（1）200；20；0.15；（2）如下图所示；（3）1500 东进战略关注情况条形统计图 20.（8 分）某兴趣小组借助无人飞机航拍校园，如图，无人飞机从 A 初飞行至 B 处需 8 秒，在地面 C 处同一方向上分别测得 A 处的仰角为 75°.B 处的仰角为 30°.已知无人飞机的飞行速度为 4 米/ 秒，求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号) 考点：三角函数，两直线平等的性质。 解析：如图，作 AD⊥BC，BH⊥水平线 由题意∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB∥CH ∴∠ABC=30°, ∠ACB=45° ∵AB=4×8=32m ∴AD=CD=AB·sin30°=16m BD=AB·cos30°=16 3 m ∴BC=CD+BD=16+16 3 m ∴BH=BC·sin30°=8+8 3 m 21.（8 分）荔枝是深圳特色水果，小明的妈妈先购买了 2 千克桂味和 3 千克糯米糍，共花费 90 元； 后又购买了 1 千克桂味和 2 千克糯米糍，共花费 55 元.（每次两种荔枝的售价都不变） （1）求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元; (2)如果还需购买两种荔枝共 12 千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的两倍，请设计一种购买 方案，使所需总费用最低. 考点：列方程组解应用题，二元一次方程组。 解析：（1）设桂味售价为每千克 x 元，糯米味售价为每千克 y 元， 则： 2x+3y=90 x+2y=55 解得： x=15 y=20 答：桂味售价为每千克 15 元，糯米味售价为每千克 20 元。 （2）设购买桂味 t 千克，总费用为 w 元，则购买糯米味 12-t 千克， ∴12-t≥2t ∴t≤4 W=15t+20（12-t）=-5t+240. ∵k=-5＜0 ∴w 随 t 的增大而减小 ∴当 t=4 时，wmin=220. 答：购买桂味 4 千克，糯米味 8 千克是，总费用最少。 22.（9 分）如图，已知⊙O 的半径为 2，AB 为直径，CD 为弦，AB 与 CD 交于点 M，将弧 CD 沿着 CD 翻折后，点 A 与圆心 O 重合，延长 OA 至 P，使 AP=OA，链接 PC。 （1）求 CD 的长； （2）求证：PC 是⊙O 的切线； （3）点 G 为弧 ADB 的中点，在 PC 延长线上有一动点 Q，连接 QG 交 AB 于点 E，交弧 BC 于点 F （F 与 B、C 不重合）。问 GE▪GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由。 考点：勾股定理，圆的切线的判定，三角形的相似。 解析： 1)如答图 1，连接 OC ∵ DC  沿 CD 翻折后，A 与 O 重合 ∴OM= 2 1 OA=1，CD⊥OA ∵OC=2 ∴CD=2CM=2 22 OMOC  =2 3 (2)∵PA=OA=2,AM=OM=1,CM= 3 又∵  CMP=∠OMC=90° ∴PC= 22 PMMC  =2 3 ∵OC=2,PO=4 ∴PC 2 +OC 2 =PO 2 ∴∠PCO=90° ∴PC 与☉O 相切 （3）GE·GF 为定值，证明如下： 如答图 2，连接 GA、AF、GB ∵G 为 BAD  中点 ∴ BGAG   ∴∠BAG=∠AFG ∵∠AGE=∠FGA ∴△AGE∽ △ FGA ∴ AG FG GE AG  ∴GE·GF=AG 2 ∵AB 为直径，AB=4 ∴∠BAG=∠ABG=45° ∴AG=2 2 ∴GE·GF=AG 2 =8 23.（9 分）如图，抛物线 322  xaxy 与 x 轴交于 A、B 两点，且 B（1 , 0）。 （1）求抛物线的解析式和点 A 的坐标； （2）如图 1，点 P 是直线 xy  上的动点，当直线 xy  平分∠APB 时，求点 P 的坐标；（3）如图 2，已知直线 9 4 3 2  xy 分别与 x 轴 y 轴 交于 C、F 两点。点 Q 是直线 CF 下方的抛物线上的一 个动点，过点 Q 作 y 轴的平行线，交直线 CF 于点 D，点 E 在线段 CD 的延长线上，连接 QE。问 以 QD 为腰的等腰△QDE 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明 理由。 考点：二次函数的解析式、图象及其性质，三角形的全等，三角函数，应用数学知识解决问题的能 力。 解析：（1）把 B（1,0）代入 y=ax 2 +2x-3 得 a+2-3=0,解得 a=1 ∴y=x 2 +2x-3 ,A(-3,0) （2）若 y=x 平分∠APB，则∠APO=∠BPO 如答图 1，若 P 点在 x 轴上方，PA 与 y 轴交于 B点 ∵∠POB=∠PO B=45°，∠APO=∠BPO，PO=PO ∴△ BOP  ≌△OPB ∴ OBBO  =1, )1,0(B ∴PA: y=3x+1 ∴ ），（ 2 3 2 3P 若 P 点在 x 轴下方时， APOPOBBPO  综上所述，点 P 的坐标为 ），（ 2 3 2 3 （3）如图 2，做 QH  CF，  CF:y= 2 3  - 4 9 ，C 2 3 ,0 ,F  4 90, tan∠OFC= 2 3 OC OF  DQ∥y 轴 ∠QDH=∠MFD=∠OFC tan∠HDQ= 3 2 不妨记 DQ=1,则 DH= 2 13 t ,HQ= 3 13 t   QDE 是以 DQ 为腰的等腰三角形 若 DQ=DE,则 21 3 13 2 26DEQS DE HQ t   若 DQ=QE,则 21 1 4 3 6 2 2 1313 13DEQS DE HQ t t t       23 13 26 t ＜ 26 13t  当 DQ=QE 时则 △ DEQ 的面积比 DQ=DE 时大 设 Q  2 2 4, 2 3 , , 3 9x x x D x x      则  当 DQ=t=  2 22 4 4 232 33 9 3 9x x x x x        max 2 3.3x t   当 时，    2 max 6 54 13 13S DEQ t   以 QD 为腰的等腰 54 13QDE 的面积最大值为 2016 年广东省深圳市中考数学试卷 参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C C B B C D A D A B A D 压轴题解析： 11∵C 为 AB 的中点，CD= 2 2 4-2222 1-48 1- 4,45 22 0 ππSSS OCCOD OCDOBC   ）（△扇形阴影 12. 90 , , , 90 1 1 2 2FAB CBFG G C FAD CAD AFD AD AF FGA ACD AC FG FG AC BC FG BC C CBFG S FB FG S                               四边形 故①正确 四边形 为矩形 ，故②正确 ∵CA=CB, ∠C=∠CBF=90° ∴∠ABC=∠ABF=45°,故正确 ∵∠FQE=∠DQB=∠ADC,∠E=∠C=90° ∴△ACD∽△FEQ ∴AC∶AD=FE∶FQ ∴AD·FE=AD²=FQ·AC,故④正确 二、填空题 13 14 15 16  2bab  8 2 34 压轴题解析： 16.如图，作 DM⊥ x 轴 由题意∠BAO=∠OAF, AO=AF, AB∥OC 所以∠BAO=∠AOF=∠AFO=∠OAF ∴∠AOF=60°=∠DOM ∵OD=AD-OA=AB-OA=6-2=4 ∴MO=2， MD= 32 ∴D(-2，- 32 ) ∴k=-2×（ 32- ）= 34 三、解答题 17.解：原式=2-1+6-1=6 18.解：5x-1＜3x+3，解得 x＜2 4x-2-6≤15x+3，解得 x≥-1 ∴-1≤x＜2 19.（1）200；20；0.15；（2）如下图所示；（3）1500 东进战略关注情况条形统计图 20.解：如图，作 AD⊥BC，BH⊥水平线 由题意∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB∥CH ∴∠ABC=30°, ∠ACB=45° ∵AB=4×8=32m ∴AD=CD=AB·sin30°=16m BD=AB·cos30°=16 3 m ∴BC=CD+BD=16+16 3 m ∴BH=BC·sin30°=8+8 3 m 21.解：（1）设桂味售价为每千克 x 元，糯米味售价为每千克 y 元， 则： 2x+3y=90 x+2y=55 解得： x=15 y=20 答：桂味售价为每千克 15 元，糯米味售价为每千克 20 元。 （2）设购买桂味 t 千克，总费用为 w 元，则购买糯米味 12-t 千克， ∴12-t≥2t ∴t≤4 W=15t+20（12-t）=-5t+240. ∵k=-5＜0 ∴w 随 t 的增大而减小 ∴当 t=4 时，wmin=220. 答：购买桂味 4 千克，糯米味 8 千克是，总费用最少。 22.(1)如答图 1，连接 OC ∵ DC  沿 CD 翻折后，A 与 O 重合 ∴OM= 2 1 OA=1，CD⊥OA ∵OC=2 ∴CD=2CM=2 22 OMOC  =2 3 (3)∵PA=OA=2,AM=OM=1,CM= 3 又∵  CMP=∠OMC=90° ∴PC= 22 PMMC  =2 3 ∵OC=2,PO=4 ∴PC 2 +OC 2 =PO 2 ∴∠PCO=90° ∴PC 与☉O 相切 （4）GE·GF 为定值，证明如下： 如答图 2，连接 GA、AF、GB ∵G 为 BAD  中点 ∴ BGAG   ∴∠BAG=∠AFG ∵∠AGE=∠FGA ∴△AGE∽ △ FGA ∴ AG FG GE AG  ∴GE·GF=AG 2 ∵AB 为直径，AB=4 ∴∠BAG=∠ABG=45° ∴AG=2 2 ∴GE·GF=AG 2 =8 [注]第（2）题也可以利用相似倒角证∠PCO=90° 第（3）题也可以证 △ GBE∽ △ GFB 23.解：（1）把 B（1,0）代入 y=ax 2 +2x-3 得 a+2-3=0,解得 a=1 ∴y=x 2 +2x-3 ,A(-3,0) （2）若 y=x 平分∠APB，则∠APO=∠BPO 如答图 1，若 P 点在 x 轴上方，PA 与 y 轴交于 B点 ∵∠POB=∠PO B=45°，∠APO=∠BPO，PO=PO ∴△ BOP  ≌△OPB ∴ OBBO  =1, )1,0(B ∴PA: y=3x+1 ∴ ），（ 2 3 2 3P 若 P 点在 x 轴下方时， APOPOBBPO  综上所述，点 P 的坐标为 ），（ 2 3 2 3 （3）如图 2，做 QH  CF，  CF:y= 2 3  - 4 9 ，C 2 3 ,0 ,F  4 90, tan∠OFC= 2 3 OC OF  DQ∥y 轴 ∠QDH=∠MFD=∠OFC tan∠HDQ= 3 2 不妨记 DQ=1,则 DH= 2 13 t ,HQ= 3 13 t   QDE 是以 DQ 为腰的等腰三角形 若 DQ=DE,则 21 3 13 2 26DEQS DE HQ t   若 DQ=QE,则 21 1 4 3 6 2 2 1313 13DEQS DE HQ t t t       23 13 26 t ＜ 26 13t  当 DQ=QE 时则 △ DEQ 的面积比 DQ=DE 时大 设 Q  2 2 4, 2 3 , , 3 9x x x D x x      则  当 DQ=t=  2 22 4 4 232 33 9 3 9x x x x x        max 2 3.3x t   当 时，    2 max 6 54 13 13S DEQ t   以 QD 为腰的等腰 54 13QDE 的面积最大值为