数列单元练习
1.在等比数列 }{ na 中，若 93 a ， 17 a ，则 5a 的值为_____________。
1.-3.提示：q4= 1
9
,q2= 1
3 . 5a =-9× 1
3 =-3.
2．在正整数 100 至 500 之间能被 11 整除的个数为 .
2.36.提示：观察出 100 至 500 之间能被 11 整除的数为 110、121、132、…它们构成一
个等差数列，公差为 11，数 an=110+（n－1）·11=11n+99，由 an≤500，解得 n≤36．
3．在数列{an}中，a1=1，an+1=an2－1（n≥1），则 a1+a2+a3+a4+a5 等于 。
3．－1.提示：由已知：an+1=an2－1=（an+1）（an－1），
∴a2=0，a3=－1，a4=0，a5=－1．
4．{an}是等差数列，且 a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=39，则 a3+a6+a9= 。
4．33.提示：a1+a4+a7，a2+a5+a8，a3+a6+a9 成等差数列，故 a3+a6+a9=2×39－45=33．
5．正项等比数列{an}中，S2=7，S6=91，则 S4= 。
5．28.提示：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4 也为等比数列，即 7，S4－7，91
－S4 成等比数列，即（S4－7）2=7（91－S4），解得 S4=28 或－21（舍去）．
6．每次用相同体积的清水洗一件衣物，且每次能洗去污垢的
4
3 ，若洗 n 次后，存在的污垢
在 1%以下，则 n 的最小值为_________．
6.4.提示：每次能洗去污垢的
4
3 ，就是存留了
4
1 ，故洗 n 次后，还有原来的（
4
1 ）n，由
题意，有：（
4
1 ）n100 得 n 的最小值为 4．
7．设 an=－n2+10n+11，则数列{an}从首项到第几项的和最大是第 项。
7．第 10 项或 11 项.提示：由 an=－n2+10n+11=－（n+1）（n－11），得 a11=0，而 a10>0，
a120，q≠1，且 a2、
2
1 a3、a1 成等差数列，则
54
43
aa
aa
= 。
10．
2
15 . 提示：依题意：a3=a1+a2，则有 a1q2=a1+a1q，∵a1>0，∴q2=1+q q=
2
51 ．
又∵an>0．∴q>0，∴q= 2
15 ，
54
43
aa
aa
= q
1 = 2
15 ．
11．已知 an= n
n n
10
)1(9 （n∈N*），则数列{an}的最大项为_______．
11.a8 和 a9．提示：设{an}中第 n 项最大，则有
1
1
nn
nn
aa
aa
即
1
1
1
1
9 ( 1) 9
10 10
9 ( 1) 9 ( 2)
10 10
n n
n n
n n
n n
n n
n n
，∴8≤n≤9。即 a8、a9 最大．
12．在数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an,a1=1,an+1= 1
3
Sn(n≥1),则 an= 。
12. 2
1 n 1,
1 4( ) , 2.3 3
n n
，
提示：∵an+1= Sn,∴an= Sn-1(n≥2).
相减得,an+1-an= an,∴ (n≥2)，
∵a2= S1= ×1= ,∴当 n≥2 时，an= ·（ ）n-2.
13．将给定的 25 个数排成如图所示的数表，若每行 5 个数按从左至右的顺序构成等差数列，
每列的 5 个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数 a33=1,则表中所有数之
和为__________.
13．25.提示:第一行的和为 5a13,第二行的和为 5a 23，…，第五行的和为 5a53,故表中所有数之
和为 5(a13+a23+a33+a43+a53)=5×5a 33=25.
14．函数 ( )f x 由下表定义：
若 0 5a ， 1 ( )n na f a ， 0,1,2,n ，则 2007a ．
14．4.提示：令 0n ，则 1 0( ) 2a f a ，令 1n ，则 2 1( ) (2) 1a f a f ，
令 2n ，则 3 2( ) (1) 4a f a f ，令 3n ，则 4 3( ) (4) 5a f a f ，
令 4n ，则 5 4( ) (5) 2a f a f ，令 5n ，则 6 5( ) (2) 1a f a f ，
…，所以 2007 501 4 3 3 4a a a ．
二．解答题
15．数列 3、9、…、2187，能否成等差数列或等比数列？若能．试求出前 7 项和．
【解】（1）若 3，9，…，2187，能成等差数列，则 a1=3，a2=9，即 d=6．则 an=3+6（n
－1），令 3+6（n－1）=2187，解得 n=365．可知该数列可构成等差数列，S7=7×3+
2
67 ×
6=147．
（2）若 3，9，…，2187 能成等比数列，则 a1=3，q=3，则 an=3·3n－1=3n，令 3n=2187，
得 n=7∈N，可知该数列可构成等比数列，S7=
31
)31(3 7
=3279．
16．在数列{ }na 中， 14n
na n ， *n N ．
（1）求数列{ }na 的前 n 项和 nS ；（2）证明不等式 1 4n nS S ，对任意 *n N 皆成立。
16．（1）数列{ }na 的通项公式为 14n
na n
所以数列{ }na 的前 n 项和 1 (1 4 ) ( 1) 4 1 ( 1)
1 4 2 3 2
n n
n
n n n nS
（2）任意 *n N ，
1
1
4 1 ( 1)( 2) 4 1 ( 1)4 4( )3 2 3 2
n n
n n
n n n nS S
21 1(3 4) (3 4)( 1)2 2n n n n
当 1n 时， 1 2 1 2 1 2 1(1 1) (4 2) 8,4 4(1 1) 8, 4nS S a a S S S ；
当 2n 且 *n N 时，3 4 0, 1 0n n ，∴ 1(3 4)( 1) 02 n n ，即 1 4n nS S
所以不等式 1 4n nS S ，对任意 *n N 皆成立。
17．已知等差数列{an}中，a2=8，前 10 项和 S10=185．
x 2 5 3 1 4
( )f x 1 2 3 4 5
（1）求通项 an；
（2）若从数列{an}中依次取第 2 项、第 4 项、第 8 项…第 2n 项……按原来的顺序组成
一个新的数列{bn}，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
考查等差、等比数列性质、求和公式及转化能力．
17.【解】（1）设{an}公差为 d，有
1852
91010
8
1
1
da
da
解得 a1=5，d=3
∴an=a1+（n－1）d=3n+2
（2）∵bn=a n2 =3×2n+2
∴Tn=b1+b2+…+bn=（3×21+2）+（3×22+2）+…+（3×2n+2）=3（21+22+…+2n）+2n=6
×2n+2n－6．
18．数列{an}中，a1＝8，a4＝2 且满足 an＋2＝2an＋1－an n∈N
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求 sn;
（3）设 bn＝ 1
n(12－an)
( n∈N)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn( n∈N)，是否存在最大的整数 m，
使得对任意 n∈N，均有 Tn＞m
32
成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由。
18.解：（1）由 an＋2＝2an＋1－an
an＋2－an＋1＝an＋1－an，可知{an}成等差数列，d＝a4－a1
4－1
＝－2
－∴an＝10－2n
（2）由 an＝10－2n≥0 得 n≤5
∴当 n≤5 时，Sn＝－n2＋9n
当 n>5 时，Sn＝n2－9n＋40
故 Sn＝
－n2＋9n 1≤n≤5
n2－9n＋40 n＞5 （n∈N）
（3）bn＝ 1
n(12－an)
＝ 1
n(2n＋2)
＝1
2 (1
n
－ 1
n＋1
)
∴Tn＝ b1＋b2＋…＋bn
＝1
2 [(1－1
2 )＋(1
2
－1
3 )＋(1
3
－1
4 )＋……＋( 1
n－1
－1
n )]＝1
2 (1－ 1
n＋1
)＝ n
2(n＋1)
＞n－1
2n
＞Tn－1＞Tn－2＞……＞T1.
∴要使 Tn>m
32
总成立，需m
32
微信/支付宝扫码支付