第2章数列单元练习（苏教版必修5）

数列单元练习 1.在等比数列 }{ na 中，若 93 a ， 17 a ， 则 5a 的值为_____________。 1.-3.【解析】q4= 1 9   ,q2= 1 3 . 5a =-9× 1 3 =-3. 2．在正整数 100 至 500 之间能被 11 整除的个数 为 . 2.36.【解析】观察出 100 至 500 之间能被 11 整除的数为 110、121、132、…它们构成一个等差 数列，公差为 11，数 an=110+（n－1）·11=11n+99， 由 an≤500，解得 n≤36． 3．在数列{an}中，a1=1，an+1=an2－1（n≥1），则 a1+a2+a3+a4+a5 等于 。 3．－1.【解析】由已知：an+1=an2－1=（an+1） （an－1）， ∴a2=0，a3=－1，a4=0，a5=－1． 4．{an}是等差数列，且 a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=39， 则 a3+a6+a9= 。 4．33.【解析】a1+a4+a7，a2+a5+a8，a3+a6+a9 成等差数列，故 a3+a6+a9=2×39－45=33． 5 ． 正 项 等 比 数 列 {an} 中 ， S2=7 ， S6=91 ， 则 S4= 。 5．28.【解析】∵{an}为等比数列，∴S2，S4 －S2，S6－S4 也为等比数列，即 7，S4－7，91－S4 成等比数列，即（S4－7）2=7（91－S4），解得 S4=28 或－21（舍去）． 6．每次用相同体积的清水洗一件衣物，且每次能 洗去污垢的 4 3 ，若洗 n 次后，存在的污垢在 1%以 下，则 n 的最小值为_________． 6.4.【解析】每次能洗去污垢的 4 3 ，就是存留 了 4 1 ，故洗 n 次后，还有原来的（ 4 1 ）n，由题意， 有：（ 4 1 ）n100 得 n 的最小值为 4． 7．设 an=－n2+10n+11，则数列{an}从首项到第几项 的和最大是第 项。 7．第 10 项或 11 项.【解析】由 an=－n2+10n+11= －（n+1）（n－11），得 a11=0，而 a10>0，a120，q≠1，且 a2、 2 1 a3、a1 成等差数列，则 54 43 aa aa   = 。 10． 2 15  . 【解析】依题意：a3=a1+a2， 则有 a1q2=a1+a1q，∵a1>0，∴q2=1+q  q= 2 51 ． 又 ∵ an>0 ． ∴ q>0 ， ∴ q= 2 15  ， 54 43 aa aa   = q 1 = 2 15  ． 11．已知 an= n n n 10 )1(9  （n∈N*），则数列{an}的 最大项为_______． 11.a8 和 a9．【解析】设{an}中第 n 项最大，则 有        1 1 nn nn aa aa 即 1 1 1 1 9 ( 1) 9 10 10 9 ( 1) 9 ( 2) 10 10 n n n n n n n n n n n n           ，∴8≤n≤9。 即 a8、a9 最大． 12 ． 在 数 列 {an} 中 ， Sn=a1+a2+…+an,a1=1,an+1= 1 3 Sn(n≥1), 则 an= 。 12. 2 1 n 1, 1 4( ) , 2.3 3 n n    ， 【解析】∵an+1= Sn, ∴an= Sn-1(n≥2). 相减得,an+1-an= an,∴ (n≥2)， ∵a2= S1= ×1= ,∴当 n≥2 时， an= ·（ ）n-2. 13．将给定的 25 个数排成如图所示的数表， 若每 行 5 个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的 5 个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正 中间一个数 a33=1,则表中所有数之和为__________. 13．25.提示:第一行的和为 5a13,第二行的和为 5a 23，…，第五行的和为 5a53,故表中所有数之和为 5(a13+a23+a33+a43+a53)=5×5a 33=25. 14．函数 ( )f x 由下表定义： 若 0 5a  ， 1 ( )n na f a  ， 0,1,2,n   ，则 2007a  ． 14．4.【解析】令 0n  ，则 1 0( ) 2a f a  ， 令 1n  ，则 2 1( ) (2) 1a f a f   ， 令 2n  ， 则 3 2( ) (1) 4a f a f   ， 令 3n  ，则 4 3( ) (4) 5a f a f   ， 令 4n  ， 则 5 4( ) (5) 2a f a f   ， 令 5n  ，则 6 5( ) (2) 1a f a f   ， …，所以 2007 501 4 3 3 4a a a    ． 二．解答题 15．数列 3、9、…、2187，能否成等差数列或 等比数列？若能．试求出前 7 项和． 【解】（1）若 3，9，…，2187，能成等差数列， 则 a1=3，a2=9，即 d=6．则 an=3+6（n－1），令 3+6 （n－1）=2187，解得 n=365．可知该数列可构成等 差数列，S7=7×3+ 2 67  ×6=147． （2）若 3，9，…，2187 能成等比数列，则 a1=3， q=3，则 an=3·3n－1=3n，令 3n=2187，得 n=7∈N， 可知该数列可构成等比数列，S7= 31 )31(3 7   =3279． 16 ． 在 数 列 { }na 中 ， 14n na n  ， *n N ． （1）求数列{ }na 的前 n 项和 nS ；（2）证明 不等式 1 4n nS S  ，对任意 *n N 皆成立。 16 ．（ 1 ） 数 列 { }na 的 通 项 公 式 为 14n na n  x 2 5 3 1 4 ( )f x 1 2 3 4 5 所 以 数 列 { }na 的 前 n 项 和 1 (1 4 ) ( 1) 4 1 ( 1) 1 4 2 3 2 n n n n n n nS         （ 2 ） 任 意 *n N ， 1 1 4 1 ( 1)( 2) 4 1 ( 1)4 4( )3 2 3 2 n n n n n n n nS S            21 1(3 4) (3 4)( 1)2 2n n n n        当 1n  时 ， 1 2 1 2 1 2 1(1 1) (4 2) 8,4 4(1 1) 8, 4nS S a a S S S             ； 当 2n  且 *n N 时 ， 3 4 0, 1 0n n    ， ∴ 1(3 4)( 1) 02 n n    ，即 1 4n nS S  所 以 不 等 式 1 4n nS S  ， 对 任 意 *n N 皆成立。 17．已知等差数列{an}中，a2=8，前 10 项和 S10=185． （1）求通项 an； （2）若从数列{an}中依次取第 2 项、第 4 项、 第 8 项…第2n 项……按原来的顺序组成一个新的数 列{bn}，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 考查等差、等比数列性质、求和公式及转化能 力． 17. 【 解 】（ 1 ） 设 {an} 公 差 为 d ， 有      1852 91010 8 1 1 da da 解得 a1=5，d=3 ∴an=a1+（n－1）d=3n+2 （2）∵bn=a n2 =3×2n+2 ∴Tn=b1+b2+…+bn=（3×21+2）+（3×22+2）+… +（3×2n+2）=3（21+22+…+2n）+2n=6×2n+2n－6． 18．数列{an}中，a1＝8，a4＝2 且满足 an＋2＝2an ＋1－an n∈N （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求 sn; （3）设 bn＝ 1 n(12－an) ( n∈N)，Tn＝b1＋b2 ＋…＋bn( n∈N)，是否存在最大的整数 m，使得对 任意 n∈N，均有 Tn＞m 32 成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由。 18.解：（1）由 an＋2＝2an＋1－an an＋2－an＋1＝an＋1－an，可知{an}成等差数列，d ＝a4－a1 4－1 ＝－2 －∴an＝10－2n （2）由 an＝10－2n≥0 得 n≤5 ∴当 n≤5 时，Sn＝－n2＋9n 当 n>5 时，Sn＝n2－9n＋40 故 Sn＝ －n2＋9n 1≤n≤5 n2－9n＋40 n＞5 （n∈N） （ 3 ） bn ＝ 1 n(12－an) ＝ 1 n(2n＋2) ＝ 1 2 (1 n － 1 n＋1 ) ∴Tn＝ b1＋b2＋…＋bn ＝1 2 [(1－1 2 )＋(1 2 －1 3 )＋(1 3 －1 4 )＋……＋ ( 1 n－1 －1 n )]＝1 2 (1－ 1 n＋1 )＝ n 2(n＋1) ＞n－1 2n ＞Tn－1＞Tn－2＞……＞T1. ∴要使 Tn>m 32 总成立，需m 32