高一数学测试三答案详解（苏教版必修5）

必修五模块测试三 江苏省苏州工业园区第二高级中学（215121）耿道永 电话：13914076136 一．填空题。 1．在△ABC 中，角 ,A B 均为锐角，且 ,sincos BA  则△ABC 的形状是 。 1. 钝角三角形。提示：由提示知： sin( ) sin ,2 2 2A B A B A B        即 。 2．在△ ABC 中，若 Bab sin2 ，则 A 等于 。 2. 00 15030 或 。提示：由题设以及正弦定理得：sinB=2sinAsinB,sinA= 1 2 . 3.一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为 65 千克，已知最轻的一只羊重 7 千克，除去一只 10 千克的羊外，其余各只羊的千克数恰能组成一等差数列，则这群羊共有 . 3.5.提示：设这群羊共有 n+1 只，公差为 d（d∈N*）. 由题意，得 7n+ dnn 2 )1(  =55，整理，得 14n+n（n-1）d=110. 分别把 A、B、C、D 代入验证，只有 B 符合题意，此时 n=5，d=2. 4.已知点 P（x，y）满足 x+2y=3，那么 2x+4y 的最小值是 。 4. 4 2 。提示：可求 AB 的直线方程为 x+2y=3. ∴2x+4y=2x+22y≥ 242222222 322   yxyx . 5.设变量 x 、 y 满足约束条件       1 1 22 yx yx yx ，则 z＝2x＋3y 的最大值为 5．18 。提示：由约束条件作出可行域如右图的△ABC， 依题意得 A（1,0），B（0,1），C（3，4）作直线 l0:2x＋3y＝0， 平移直线 l0，得目标函数 z＝2x＋3y 在 C 点处取得最大值， 最大值为 18. 6. 在 等 差 数 列  na 中 , 1 2008a   ， 其 前 n 项 的 和 为 nS , 若 2007 2005 22007 2005 S S  , 则 2008 _______S  . 6.-2008.提示：设公差是 d ，由 2007 2005 22007 2005 S S  ，得    1 11003 1002 2a d a d    ， 2d  ， 2008 12008 1004 2007S a d     12008 2007 2008a     。 7.已知数列 na 中， 11 a ， 321  nn aa ，则 na = . x y O 2x－y＝2 x＋y＝1 A x－y＝－1 B C 2x＋3y＝0 7. 32 1  n na 。提示：设递推公式 321  nn aa 可以转化为 )(21 tata nn  即 321  ttaa nn . 故 递 推 公 式 为 )3(231  nn aa , 令 3 nn ab ， 则 4311  ab ,且 23 311    n n n n a a b b .所以 nb 是以 41 b 为首项，2 为公比的等比数列， 则 11 224   nn nb ,所以 32 1  n na . 8.已知函数 y=f（x）是偶函数，当 x＞0 时，f（x）=x+ x 4 .当 x∈［-3，-1］时，记 f（x）的 最大值为 m，最小值为 n，则 m-n=______________. 8.1.提示：∵y=f（x）是偶函数，∴即求 f（x）在 x∈［1，3］上的最值. ∵x＞0 时，f（x）=x+ x 4 ≥4（x=2 时，等号成立）， ∴n=f（x）min=4.而 m=f（x）max=f（1）=5，∴m-n=5-4=1. 9. 若 A 为不等式组 0 0 2 x y y x       表示的平面区域，则 当 a 从－2 连续变化到 1 时，动直线 x y a  扫过 A 中的那部分区域的面积为 。 9. 7 4 。提示：如图知区域的面积是△OAB 去掉一个 小直角三角形。 10.已知凸函数的性质定理：如果函数 f（x）在区间 D 上是凸函数，则对于区间内的任意 x1， x2，…，xn，有 n 1 ［f（x1）+f（x2）+…+f（xn）］≤ )( 21 n xxxf n .已知 y=sinx 在区间 （0，π）上是凸函数，那么在△ABC 中，sinA+sinB+sinC 的最大值为 。 10. 2 33 。提示：据题意得 3 1 （sinA+sinB+sinC）≤ 2 3 3sin3sin  CBA . ∴sinA+sinB+sinC≤ 2 33 . 11.已知 yx 35  =2（x＞0，y＞0），则 xy 的最小值是 。 11.15.提示：∵x＞0，y＞0，∴2= xyyx 15235  .∴xy≥15，当且仅当 yx 35  等号成立. 12.设集合 P={m|-1＜m＜0}，Q={m∈R|mx2+4mx-4＜0,对任意实数 x 恒成立}，则下列关系 中成立的是 。 12. P Q。提示：由 mx2+4mx-4＜0 对 x∈R 恒成立        01616 0 2 mm m -1＜m ＜0.当 m=0 时，-4＜0.∴Q={m|-1＜m≤0}.∴P Q. 13. 若 数 列 )}({ *Nnan  是 等 差 数 列 ， 则 有 数 列 ;)(,...... *321 也是等差数列Nnn aaaab n n  类比上述性质，相应地：若数列 )}({ *Nncn  是 等 比 数 列 ， 且 0nc ， 则 有 数 列 。Nnd n 也是等比数列)(_______,__________ * 13. 1 2 3 .......n n nd c c c c    。提示：若 )}({ *Nnan  是等差数列， )}({ *Nncn  是等比数列，则 an= 1 1 2 n na a  ， 1 1n n nc c c  。因此由已知“等差数列前 n 项的算术平均 值是等差数列”可类比联想“等比数列前 n 项的几何平均值也应该是等比数列”不难得到 。Nnccccd n nn 也是等比数列)(,....... * 321  14..设 x、y∈R+，S=x+y，P=xy，以下四个命题中正确命题的序号是_________________.（把 你认为正确的命题序号都填上） ①若 P 为定值 m，则 S 有最大值 m2 ；②若 S=P，则 P 有最大值 4；③若 S=P，则 S 有最 小值 4；④若 S2≥kP 总成立，则 k 的取值范围为 k≤4. 14. ③④。提示：为定值 m 时，S 应有最小值 m2 ，故①不正确. S=P 时，x+y=xy  xy≥ xyxy 2 ≥2 xy≥4 Pmin=4，∴②也不正确. 由 S=P x+y=xy≤ 4 )( 2yx   x+y≥4 Smin=4，∴③正确. S2≥kP  k≤ P S 2 ，又 xy xyxy xy xyyx P S 222222  =4，∴（ P S 2 ）min=4.∴k≤4. ∴④正确. 二、解答题 15 ．⑴在△ABC 中， 3,21,,1200  ABCSabcA ，求 cb, 。 ⑵在△ABC 中，设 ,3,2  CAbca 求 Bsin 的值。 15.解：（1） 1 sin 3, 4,2ABCS bc A bc    2 2 2 2 cos , 5a b c bc A b c     ， 而 c b ，所以 4,1  cb （2）∵ 2 ,a c b  ∴sin sin 2sinA C B  ，即 2sin cos 4sin cos2 2 2 2 A C A C B B   ， ∴ 1 3sin cos2 2 2 4 B A C  ，而 0 ,2 2 B   ∴ 13cos 2 4 B  ， ∴ 3 13sin 2sin cos 22 2 4 4 B BB      8 39 16．已知 x 、 y 满足约束条件       .1 ,1 , y yx xy （1）求 yxz  21 的最小值，以及相应的 x 、 y 值； （2）求 22 2 yxz  的最大值，以及相应的 x 、 y 值 16 解：作出区域如右图 （1）直线 yxz  21 经过点 )1,2( C 时，有最小值 3 （2） 22 2 yxz  OP ，其中点 ),( yxP 为三角形 ABC 内 部及其边界上的点，可知当点 P 与点 C 重合时， 5)( max2 z 17．已知数列 na 的前 n 项和 )34()1(...13951 1   nS n n ， （1）求 312215 SSS  的值。 （2）求 nS 的表达式 17.解： （1） 15S = 29741  ； 22S 44114  ； 61154131 S ∴ 312215 SSS  76614429  （2） n 为偶数时 nnSn 2)4(2  ； n 为奇数时 12]3)1(4[)1(211   nnnaSS nnn ∴      为奇数 为偶数 nn nnSn 12 2 18。某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉 6 吨，每吨面粉的价格为 1800 元，面 粉的保管等其它费用为平均每吨每天 3 元，购面粉每次需支付运费 900 元．求该厂多少天购 买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 18.解：设该厂 x 天购买一次面粉，平均每天所支付的总费用为 y 元． ∴购买面粉的费用为6 1800 10800x x  元， 保管等其它费用为3 (6 12 6 ) 9 ( 1)x x x      ， ∴ 10800 9 ( 1) 900 10010809 9( )x x xy xx x       10010809 9 2 10989x x      ，即当 100x x  ，即 10x  时， y 有最小值10989， 答：该厂10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． 19．已知二次函数 ( )y f x 的图像经过坐标原点，其导函数为 ' ( ) 6 2f x x  ，数列{ }na 的 前 n 项和为 nS ，点 ( , )( )nn S n N  均在函数 ( )y f x 的图像上。 （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）设 1 1 n n n b a a   ， nT 是数列{ }nb 的前 n 项和，求使得 20n mT  对所有 n N  都成立的 最小正整数 m； 19.解：（1）设这二次函数 f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点 ( , )( )nn S n N  均在函数 ( )y f x 的图像上，所以 nS ＝3n2－2n. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－ )1(2)13 2  nn（ ＝6n－5. 当 n＝1 时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （ n N  ） （2）由（1）得知 1 3   nn n aab ＝  5)1(6)56( 3  nn ＝ )16 1 56 1(2 1  nn ， 故 Tn＝   n i ib 1 ＝ 2 1      )16 1 56 1(...)13 1 7 1()7 11( nn ＝ 2 1 （1－ 16 1 n ）. 因此，要使 2 1 （1－ 16 1 n ）< 20 m （ n N  ）成立的 m,必须且仅须满足 2 1 ≤ 20 m ，即 m≥10，所以满足要求的最小正整数 m 为 10. 20。已知数列{ }na 中， 1 1a  ， 1 1 3 ( 2n n na a n    且 *)n N （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）设函数 3( ) log ( ) ( *)9 n n af n n N  ，数列{ }nb 的前 n 项和为 ( )f n ，求{ }nb 的通项公 式； （3）求数列{| |}nb 的前 n 项和 nS 。 20.解：（1）∵ *),2(3 1 1 Nnnaa n nn    且 ∴ 1 1 3    n n n a a ∴ ,3,3 2 2 3 1 2  a a a a ， 1 1 3    n n n a a 累乘，得 2 )1( 3   nn na 。 （2） *)(2 5) 9 (log)( 2 3 Nnnnanf n n  ∴ 2)1(1  fb 当 2n 时，   3)]1(5)1[(2 152 1)1()( 22  nnnnnnfnfbn 1n 时， 3121 b 也符合 ∴{ }nb 的通项公式是 *)(3 Nnnbn  （3）数列{ }nb 是首项为 2 ，公差 1d 的等差数列 当 03  nbn ，即 3n 时， 2 5|)(| 2nnnfSn  ； 当 4n 时， |||||| 21 nn bbbS   = ||2|| 32121 bbbbbb n   2 125|)3(|2)( 2  nnfnf 综上所述，          ),3(2 125 *),3(2 5 2 2 Nnnnn Nnnnn Sn