必修五模块测试二
江苏省苏州工业园区第二高级中学（215121）耿道永 电话：13914076136
一．填空题
1. 2x2－3x－2≥0 的解集是 。
2.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等比数列，且 c=2a,则 cosB= 。
3.如果点(5，b)在两条平行直线 6x－8y＋1＝0 和 3x－4y＋5＝0 之间，则 b 应取的整数值
为 。
4.设α、β是方程 x2-2x+k2=0 的两根，且α,α+β,β成等比数列，则 k= 。
5.已知 m＝a＋ 1
a－2
(a＞2)，n＝ 2x 21
2
（ ） (x＜0)，则 m 与 n 的大小关系为 .
6.若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为 m,则 m 的范围是
7.若以 2,3，x 为三边组成一个锐角三角形，则 x 的范围为 .
8. 数 列{an} 中 ，an ＞ 0 且 {anan+1} 是 公比 为 q(q ＞ 0)的 等比 数 列， 满 足 anan+1+an+1an+2 ＞
an+2an+3(n∈N*)，则公比 q 的取值范围是 。
9.三角形两条边长分别为 3 cm,5 cm，其夹角的余弦值是方程 5x2-7x-6=0 的根，则此三角形
的面积是____________________.
10.数列{an}的通项公式为 an=2n-49，Sn 达到最小时，n 等于_______________.
11.一段长为 L m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积是 。
12. 在△ABC 中,若 sinB、cos
2
A 、sinC 成等比数列,则此三角形的形状为 。
13．将给定的 25 个数排成如图所示的数表，若每行 5 个数按从左至右的顺序构成等差数列，
每列的 5 个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数 a33=1,则表中所有数之
和为__________.
14.半圆 O 的直径为 2，A 为直径延长线上的一点，OA＝2，B 为半圆上任意一点，以 AB 为
一边作等边三角形 ABC.则四边形 OACB 的面积最大值是 。
二、解答题
15.已知 na 是等差数列，其中 1 425, 16a a
（1）求 na 的通项;
（2）数列 na 从哪一项开始小于 0;
（3）求 1 3 5 19a a a a 值。
16. 在 △ ABC 中 ， BC ＝ a ， AC ＝ b ， a ， b 是 方 程 02322 xx 的 两 个 根 ， 且
1cos2 BA 。
求：(1)角 C 的度数；
(2)AB 的长度。
17.已知不等式 2 2 3 0x x 的解集为 A，不等式 2 6 0x x 的解集为 B。
（1）求 A∩B；
（2）若不等式 2 0x ax b 的解集为 A∩B，求不等式 2 0ax x b 的解集。
18.一缉私艇发现在北偏东 45 方向,距离 12 nmile 的海面上有一走私船正以 10 nmile/h 的速
度沿东偏南 15 方向逃窜.缉私艇的速度为 14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,
缉私艇应沿北偏东 45 的方向去追,.求追击所需的时间和 角的正弦值.
19．某公司今年年初用 25 万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为 21 万元。该公司
第 n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用 na 的信息如下图。
（1）求 na ；
（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；
（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？
A
B
C
北
东
20．设{an}是正数组成的数列，其前 n 项和为 Sn ，并且对于所有的 n N+ ，都有
2)2(8 nn aS 。
（1）写出数列{an}的前 3 项；
（2）求数列{an}的通项公式(写出推证过程)；
（3）设
1
4
nn
n aab ， nT 是数列{bn}的前 n 项和，求使得
20
mTn 对所有 n N+都成立
的最小正整数 m 的值。
答案
1. 1. {x|x≥2 或 x≤－1
2}。提示：十字相乘法即可。
2.
4
3 。提示:∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac.又∵c=2a,∴b2=2a2.
∴cosB=
ac
bca
2
222 = 2
222
4
24
a
aaa =
4
3 .
3. 由题意知 6×5－8b＋1＜0
3×5－4b＋5＞0
，解得31
8
＜b＜5，∵b 为整数，∴b＝4.
4. ±2。提示：α+β=2，αβ=k2,又(α+β)2=αβ，∴4=k2.∴k=±2.
5.m＞n．提示：m＝a－2＋ 1
a－2
＋2≥2＋2＝4(当且仅当 a＝3 时取等号)
而 x2－2＞－2(∵x＜0)，∴n＝ 2x 21
2
（ ） ＜(1
2)－2＝4.∴m＞n
6. m＞2.提示:设 A＞B＞C,则 B=
3
,A+C=
3
2 ,0＜C＜
6
,于是
m=
c
a =
C
A
sin
sin =
C
CC
C
C
sin
sin2
1cos2
3
sin
)3
2sin(
=
2
3 cotC+
2
1 ,∵ 3 ＜cotC,∴m＞2.
7. 5＜x 13。提示：由余弦定理可知：cosA＝4＋9－x2
12
＞0，cosB＝4＋x2－9
4x
＞0，
cosC＝9＋x2－4
6x
＞0，由此联立得： 5＜x 13。
8. 0＜q＜
2
51 .提示：令 n=1，不等式变为 a1a2+a2a3＞a3a4，
∴a1a2+a1a2q＞a1a2q2，∵a1a2＞0,∴1+q＞q2.解得 0＜q＜
2
51 .
9. 6 cm2.提示：由 5x2-7x-6=0,得 x1=-
5
3 , x2=2(舍去),
∴cosθ=-
5
3 ,sinθ=
5
4 .∴S=
2
1 ×3×5×
5
4 =6 (cm2).
10.24.提示：∵an=2n-49,∴{an}是等差数列，且首项为-47，公差为 2.
由
0,49-1)-2(na
0,49-2na
1-n
n 解得 n=25.
∴从第 25 项开始为正，前 24 项都为负数，故前 24 项之和最小.
11. L2
8
。提示：由题意设长、宽各为 x、ym，则 x＋2y＝L
又∵S＝xy，∴L＝x＋2y≥2 2xy ∴xy≤L2
8
。
12.等腰三角形。提示:易知 cos2 =sinB·sinC,∴1+cosA=2sinBsinC,
即 1-cos(B+C)=2sinBsinC,即 1-cosBcosC+sinBsinC=2sinBsinC.
∴1-cosBcosC=sinB sinC，∴cos(B-C)=1.∵0＜B＜π,0＜C＜π,∴-π＜B-C＜π.
∴B-C=0,B=C，∴△ABC 为等腰三角形.
13. 25.提示:第一行的和为 5a13,第二行的和为 5a 23，…，第五行的和为 5a53,故表中所有数
之和为 5(a13+a23+a33+a43+a53)=5×5a 33=25.
14. 14. 2＋5
4 3。提示:设∠AOB＝α，在△AOB 中，由余弦定理得
AB2＝12＋22－2×1×2cosα＝5－4cosα，于是，四边形 OACB 的面积为
S＝S△AOB＋S△ABC＝1
2OA·OBsinα＋ 3
4 AB2
＝1
2×2×1×sinα＋ 3
4 (5－4cosα)
＝sinα－ 3cosα＋5
4 3
＝2sin(α－π
3)＋5
4 3
∵0＜α＜π，
∴当α－π
3
＝π
2
，α＝5
6π，即∠AOB＝5π
6
时，四边形 OACB 面积最大为 2＋5
4 3.
15.解：（1） 4 1 3 3a a d d 28 3na n
（2） 128 3 0 9 3n n
∴数列 na 从第 10 项开始小于 0
（3） 1 3 5 19a a a a 是首项为 25，公差为 6 的等差数列，共有 10 项
其和 10 910 25 ( 6) 202S
16. 解：（1）
2
1coscoscos BABAC C＝120°
（2）由题设： 2 3
2
a b
ab
120cos2cos2 22222 abbaCBCACBCACAB
10232 2222 abbaabba
10 AB 。
17.解：（1）由 2 2 3 0x x 得 1 3x ，所以 A=（-1，3）
由 2 6 0x x 得 3 2x ，所以 B=（-3，2），
∴A∩B=（-1，2）
（2）由不等式 2 0x ax b 的解集为（-1，2），
所以 1 0
4 2 0
a b
a b
，解得 1
2
a
b
∴ 2 2 0x x ，解得解集为 R.
18.解: 设 A,C 分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过 x 小时后在 B 处追上,
则有 14 , 10 , 120 .AB x BC x ACB
2 2 2(14 ) 12 (10 ) 240 cos120x x x
2, 28, 20,x AB BC
∴ sin120 20sin120 5 3sin .28 14
BC
AB
所以所需时间 2 小时, .14
35sin
19.解：（1）由题意知，每年的费用是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，求得：
1 2( 1) 2na a n n
（2）设纯收入与年数 n 的关系为 f(n),则：
2( 1)( ) 21 [2 2] 25 20 252
n nf n n n n n
由 f(n)>0 得 n2-20n+25
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