高一数学综合练习一（苏教版必修5）

数学必修五-综合练习一 A 组题（共 100 分） 一．选择题：本大题共 5 题，每小题 7 分，共 35 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．已知△ABC 中，a＝4，b＝4 3 ，∠A＝30°，则∠B 等于( ) A．30° B．30°或 150° C．60° D．60°或 120° 2．在△ABC 中，已知 b＝4 3 ，c＝2 3 ，∠A＝120°，则 a 等于( ) A．2 21 B．6 C．2 21 或 6 D．2 3615  3．已知△ABC 中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC 的面积为( ) A．9 B．18 C．9 3 D．18 3 4．在△ABC 中，若 00 30,6,90  BaC ，则 bc  等于（ ） A．1 B． 1 C． 32 D． 32 5．在△ABC 中，sinA＞sinB 是 A＞B 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分。 6．在△ABC 中，若∠B＝30°，AB＝2 3 ，AC＝2，则△ABC 的面积是________． 7．在△ABC 中，若 b＝2csinB，则∠C＝________． 8．设△ABC 的外接圆半径为 R，且已知 AB＝4，∠C＝45°，则 R＝________． 9．在△ABC 中，∠B＝45°，∠C＝60°，a＝2( 3 ＋1)，那么△ABC 的面积为________． 三．解答题：本大题共 3 小题，共 41 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 10．在△ABC 中，已知 2b  ，c=1， 45B   ，求 a，A，C．（12 分） 11．在△ABC 中，求证： )coscos( a A b Bca b b a  （13 分） 12．△ABC 中，D 在边 BC 上，且 BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求 AC 的 长及△ABC 的面积．（16 分） B 组题（共 100 分） 四．选择题：本大题共 5 题，每小题 7 分，共 35 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 13．有一长为 1 公里的斜坡，它的倾斜角为 20°，现要将倾斜角改为 10°，则坡底要伸 长（ ） A. 1 公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里 14．已知在△ABC 中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是( ) A．135° B．90° C．120° D．150° 15．在△ABC 中，已知三边 a、b、c 满足(a＋b＋c)(a＋b-c)＝3ab，则∠C 等于( ) A．15° B．30° C．45° D．60° 16．已知△ABC 中，a∶b∶c＝1∶ 3 ∶2，则 A∶B∶C 等于( ) A．1∶2∶3 B．2∶3∶1 C．1∶3∶2 D．3∶1∶2 17．已知△ABC 中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k(k≠0)，则 k 的取值范围为( ) A．(2，＋∞) B．(-∞，0) C．(- 2 1 ，0) D．( 2 1 ，＋∞) 五．填空题：本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分。 18．已知△ABC 中，A＝60°，最大边和最小边是方程 x2-9x＋8＝0 的两个正实数根，那 么 BC 边长是________． 19．在△ABC 中，已知 a＝7，b＝8，cosC＝ 14 13 ，则最大角的余弦值是________． 20．已知△ABC 的面积为 2 3 ，且 b＝2，c＝ 3 ，则∠A＝________． 21．在△ABC 中，若 AB＝ 5 ，AC＝5，且 cosC＝ 10 9 ，则 BC＝________． 六．解答题：本大题共 3 小题，共 41 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22．化简   4cos4sin1 4cos4sin1   23．在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，a，b 是方程 02322  xx 的两个根，且   1cos2  BA 。求：(1)角 C 的度数； (2)AB 的长度。 24．在奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直 线成 15°方向把球击出，根据经验，通常情况下，球速为游击手最大跑速的 4 倍，问 按这样布置，游击手能否接着球？ C 组题（共 50 分） 七．选择或填空题：本大题共 2 题。 25．若三角形中有一个角为 60°，夹这个角的两边的边长分别是 8 和 5，则它的内切圆半 径等于________，外接圆半径等于________． 26．在△ABC 中，| AB |＝3，| AC |＝2，AB 与 AC 的夹角为 60°，则| AB - AC |＝________； | AB ＋ AC |＝________． 八．解答题：本大题共 2 小题，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 27．在△ABC 中，若  BACBA coscossinsinsin  . (1)判断△ABC 的形状； (2)在上述△ABC 中，若角 C 的对边 1c ，求该三角形内切圆半径的取值范围。 28．一缉私艇发现在北偏东 45 方向,距离 12 nmile 的海面上有一走私船正以 10 nmile/h 的 速度沿东偏南 15 方向逃窜.缉私艇的速度为 14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走 私船,缉私艇应沿北偏东 45 的方向去追,.求追及所需的时间和 角的正弦值. 参考答案 A 组题 一．选择题： A B C 北 东 1．D 分析：由正弦定理得， B b A a sinsin  ， ∴ sinB＝ 2 3sin  a Ab ， ∴ ∠B＝60°或∠B＝120°． 2．A 分析：由余弦定理得:a2＝b2＋c2-2bccosA＝48＋12-2×4 3 ×2 3 ×(- 2 1 )＝84， ∴ a＝2 21 ． 3．C 分析：∵ ∠A＝30°，∠B＝120°， ∴ ∠C＝30°，∴ BA＝BC＝6， ∴ S△ABC＝ 2 1 ×BA×BC×sinB＝ 2 1 ×6×6× 2 3 ＝9 3 ． 4．C 5．C 分析：A＞B  a＞b  2RsinA＞2RsinB  sinA＞sinB． 二．填空题： 6．2 3 或 3 分析：sinC＝ 2 3 2 30sin32  ，于是，∠C＝60°或 120°，故∠A＝ 90°或 30°，由 S△ABC＝ 2 1 ×AB×AC×sinA，可得 S△ABC＝2 3 或 S△ABC＝ 3 ． 7．30°或 150°分析：由 b＝2csinB 及正弦定理 C c B Bc C c B b sinsin sin2 sinsin  得 ， ∴ sinC＝ 2 1 ，∴ ∠C＝30°或 150°． 8．2 2 分析：∵ c＝2RsinC，∴ R＝ 22sin2  C c ． 9．6＋2 3 分析：∵ B b A a sinsin  ， ∴   45sin)6045180sin( )13(2 b ， ∴ b＝4． ∴ S△ABC＝ 2 1 absinC＝6＋2 3 ． 三．解答题： 10．a＝ 6 2 2  ，A＝105°，C＝30° 11．将 ac bcaB 2cos 222  ， bc acbA 2cos 222  代入右边即可。 12．1．在△ABC 中，∠BAD＝150o－60o＝90o，∴AD＝2sin60o＝ 3 ． 在△ACD 中，AD2＝( 3 )2＋12－2× 3 ×1×cos150o＝7，∴AC＝ 7 ． ∴AB＝2cos60o＝1．S△ABC＝ 2 1 ×1×3×sin60o＝ 34 3 ． B 组题 13．A 14．C 分析：由 sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7 知三角形的三边之比为 a∶b∶c＝3∶5∶7， 最大的边为 c，∴ 最大的角为∠C．由余弦定理得 cosC＝ 2 1 532 )7()5()3( 222   kk kkk ， 15．D 分析：由(a＋b＋c)(a＋b-c)＝3ab，得 a2＋2ab＋b2-c2＝3ab ∴ 2 1 2 222  ab cba ，∴ cosC＝60° 16．A 分析：由正弦定理得， C c B b A a sinsinsin  ， ∴ sinA∶sinB∶sinC＝1∶ 3 ∶2＝ 2 1 ∶ 2 3 ∶1， ∴ A∶B∶C＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3． 17．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边． 18． 57 分析：∵ A＝60°，∴ 最大边和最小边所夹的角为 A，AB、AC 为 x2-9x＋ 8＝0 的两个正实数根，则 AB＋AC＝9，AB×AC＝8 ∴ BC2＝AB2＋AC2-2×AC×AB×cosA ＝(AB＋AC)2-2×AC×AB×(1＋cosA) ＝92-2×8× 2 3 ＝57 19．- 7 1 分析：先由 c2＝a2＋b2-2abcosC 求出 c＝3，∴ 最大边为 b，最大角为 B， ∴ cosB＝ 7 1 2 222  ac bca ． A B D C2 1 20．60°或 120° 分析：∵ S△ABC＝ 2 1 bcsinA，∴ 2 3 ＝ 2 1 ×2× 3 sinA，∴ sinA＝ 2 3 。 21．4 或 5 分析：设 BC＝x，则 5＝x2＋25-2·5·x· 10 9 ，即 x2-9x＋20＝0，解得 x＝4 或 x＝5 22．原式=      2cot 2sin2cos2sin 2cos2cos2sin )2sin21(2cos2sin21 12cos22cos2sin21 2 2 2 2      23．解：（1）      2 1coscoscos  BABAC  C＝120° （2）由题设：      32 2 ba ab  120cos2cos2 22222 abbaCBCACBCACAB     10232 2222  abbaabba 10 AB 24．不能 C 组题 25． 3 3 37 分析：设 60°的角的对边长为 x，外接圆半径为 R，内切圆半径为 r， 则 x2＝82＋52-2×8×5×cos60°＝49，∴ x＝7 ∵ 7＝2Rsin60°，∴ R＝ 3 37 ∵ S△ABC＝ 2 1 ×8×5×sin60°＝ 2 1 ×r×(8＋5＋7)，∴ r＝ 3 26． 7 19 分析：由三角形法则知 | AB - AC |2＝| BC |2 ＝| AB |2＋| AC |2-2| AB |·| AC |·cosA ＝32＋22-2×3×2×cos60°＝7 ∴ | AB - AC |＝ 7 类似地由平行四边形及余弦定理可知 | AB ＋ AC |2＝32＋22-2×3×2×cos120°＝19 ∴ | AB ＋ AC |＝ 19 27. 解：（1）由  BACBA coscossinsinsin  可得 12sin2 2 C 0cos  C 即 C＝90° △ABC 是以 C 为直角顶点得直角三角形 （2）内切圆半径  cbar  2 1  1sinsin2 1  BA 2 12 2 1 4sin2 2       A 内切圆半径的取值范围是        2 12,0 28．解: 设 A,C 分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过 x 小时后在 B 处追上, 则有  120cos240)10(12)14(.120,10,14 222 xxxACBxBCxAB  , .14 35 28 120sin20sin,20,28,2   BCABx 所以所需时间 2 小时, .14 35sin 