高一数学测试向量
选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1． 条件甲：“ ABCD 是平行四边形”是条件乙：“ AB DC ”成立的（ ）
A .充分不必要条件 B .必要不充分条件
C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件
2． 已知向量 a
与b
不共线，且| | | | 0a b ，则下列结论中正确的是（ ）
A .向量 a b 与 a b 垂直 B .向量 a b 与 a
垂直
C .向量 a b 与 a
垂直 D .向量 a b 与 a b 共线
3． 如果向量 ( ,1)a n 与 (4, )b n 共线 ,且方向相反，则 n 的值为（ ）
A . 2 B . 2 C . 2 D . 0
4． 下列条件中，不能确定 A 、 B 、 P 三点共线的是（ ）
A . 2 2sin 33 cos 33MP MA MB
B . 2 2sec 33 tan 33MP MA MB
C . 2 2csc 33 cot 33MP MA MB
D . 2 2sin 33 cos 57MP MA MB
5． 已知 ( 4, 9)P ， (2,3)Q ，且 y 轴与线段 PQ 的交点为 M ，则 M 分 PQ
所成的比为
（ ）
A . 1
3 B . 1
2 C . 2 D . 3
6．已知向量 a
、 b
的夹角为 60 ，| | 3a ，| | 2b ，若 (3 5 ) ( )a b ma b ，则 m 的值为
（ ）
A . 32
23 B . 23
42 C . 29
42 D . 42
29
7．已知向量 ( 3,1)a ，向量 (sin ,cos )b m ， R ，且 //a b
，则 m 的最小值
为（ ）
A . 2 B . 1 C . 2 D . 3
8.若向量 (2,3)a ， ( 4,7)b ，则 a
在b
方向上的投影为（ ）
A . 3 B . 13
5 C . 65
5 D . 65
9.下列命题中：
⑴ 若 k R ，且 0kb ，则 0k 或 0b ;
⑵ 若 0a b
,则 0a 或 0b ;
⑶ 若不平行的两个非零向量 a
、b
满足| | | |a b ，则 ( ) ( ) 0a b a b
;
⑷ 若 a
与b
平行，则| | | || |a b a b
；
⑸ 若 //a b
， //b c
，则 //a c
； ⑹ 若 0a ，a b a c
，则b c ．
其中真命题的个数是（ ）
A .1 B . 2 C .3 D . 4
10．已知向量 ( 2, 1)a ， ( ,1)b ，若 a
与b
的夹角为钝角，则 的取值范围是（ ）
A . 1( ,2) (2, )2
B . (2, ) C . 1( , )2
D . 1( , )2
11．已知向量集合 { | (1,2) (3,4), }M a a R ， { | ( 2, 2) (4,5),N a a
}R ，则 M N ＝（ ）
A .{(1,1)} B .{(1,1),( 2, 2)} C .{( 2, 2)} D .
12．非零向量 OA a 、 OB b ，若点 B 关于OA
所在直线的对称点为 1B ，则向量 1OB
为
（ ）
A . 2
2( )
| |
a b a b
a
B . 2a b
C . 2
2( )
| |
a b a b
a
D . 2( )
| |
a b a b
a
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.
13．已知 (cos ,sin )A ， (cos ,sin )B ，则| |AB
的最大值为_________．
14．已知 ( 3,2)A ， (8,0)AB ，则 AB 的中点 M 的坐标是__________.
15．已知 2 8a b i j ， 8 16a b i j ，其中 i
、 j
是互相垂直的单位向量，则a b
的
值为＿＿＿＿＿．
16 ． 对 n 个 向 量 1 2 3, , , , na a a a ， 若 存 在 n 个 不 为 零 的 实 数 1 2 3, , , , ,nk k k k 使 得
1 1 2 2 3 3 0n nk a k a k a k a 成立，则称向量 1 2 3, , , , na a a a 是线性相关的．按此
规定，能说明 1 (1,0)a ， 2 (1, 1)a ， 3 (2,2)a ＂线性相关＂的实数 1 2 3, ,k k k ，依
次可以取__________(写出一组即可).
答 题 卡
姓名_________. 班级__________. 学号__________. 分数___________.
你认为此卷的难度系数是＿＿＿＿(填 0.1～0.9 之间的数,如 0.6,数字越小,表明难度越
大).
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
题号 13 14 15 16
答案
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.
17．如图所示， ABCD 中， 2
3BM BD ， 1
4CN CA ，
若 AB a ， AD b ，试用向量 a
，b
来表示 MN
．
18．已知 (cos ,sin )a x x ， (sin 2 ,1 cos2 )b x x ， (0,1)c ， (0, )x
⑴向量 a
、b
是否共线？请说明理由．
⑵求函数 ( ) | | ( )f x b a b c
的最大值．
A B
CD
M N
a
b
19．已知平面直角坐标系中， ( 1,0)A ， (1,0)B ，点C 的横坐标恒为 3
2
，且 AC AB
，CA CB
BA BC
成等差数列，记 为CA
与CB
的夹角，求 tan ．
20．已知向量 a
、b
、c
、d
及实数 x 、y 满足| | | | 1a b ， ( 3)c a x b ，d ya xb
若 a b ， c d 且| | 10c .
⑴求 y 关于 x 的函数关系式 ( )y f x 及其定义域;
⑵若 [1,2]x 时,不等式 ( ) 16f x mx 恒成立，求实数 m 的取值范围．
21．如图，在 Rt△ABC 中，已知 BC=a，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问 BCPQ与
的夹角 取何值时 CQBP 的值最大？并求出这个最大值.
a
B
C
A
22．已知向量 (1,1)m ，向量 n
与向量 m
的夹角为 3
4
，且 1m n
．
⑴求向量 n
；
⑵若向量 n
与向量 (1,0)q 的夹角为
2
,向量 2(cos ,2cos )2
Cp A ，其中 A 、B 、C
为 ABC 的内角，且 A 、 B 、C 依次成等差数列．求| |n p 的取值范围．
参考答案
1.A 2.A 3.B 4.D 5.C 6.C 7.A 8.C 9.C 10.A 11.C 12.A
13.2 14.(1,2) 15.-63 16.-4:2:1 即可
17. 3 3 1( )4 4 3MN AN AM AC AD DM a b b DB 5 1
12 12a b
18.(1) cos 1 cos2 sin sin 2x x x x , a 与b
共线
（2） 2 sin , 0, ,sin 0, 2sin ,b x x x b x
又 2sin 2sin ,a b c x x
2
2 1 12sin sin 2 sin ,4 8f x x x x
0, ,x 当 1sin 4x 时，函数 f x 取得最大值 1
8
。
19.设 3 ,2C y
，则 5 1, , 2,0 , ,2 2AC y AB BC y
，
255, , 1,4AC AB CA CB y BA BC
由 255, , 14 y 成等差数列，得 2 3
4y 。
2
2 2 3 3cos ,sin , tan 27 75 3 1 3
2 4 4 4
CA CB
CA CB
。
20.(1) , 0a b a b
,又 2 2 21, 3 1 3a b c c c a x b x
，
210, 1 3 10c x
，解得 0 6x ，
又 , 0c d c d
而 3 3 , 3 0c d a x b ya xb y x x y x x
，
3y f x x x ，其定义域为 0, 6 .
(2)当1 2x 时，欲使 16f x mx 恒成立，即使 2 3 16x x mx 恒成立，
亦即 16 3m x x
恒成立，令 16g x x x
，当1 2x 时， min 10g x ， 7m .
21. 解法一： ,AB AC
0.AB AC
, , ,AP AQ BP AP AB CQ AQ AC
( ) ( )BP CQ AP AB AQ AC
AP AQ AP AC AB AQ AB AC
2a AP AC AB AP
2 ( )a AP AB AC 2 1
2a PQ BC
2 1
2a PQ BC 2 2 cos .a a
故当 cos 1 ，即 0 （ PQ
与 BC
方向相同）时， BP CQ 最大，其最大值为 0。
解法二：以直角顶点 A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐
标系.
设| | | |AB c AC b ，则 (0,0), ( ,0), (0, ),A B c C b 且| | 2 ,| | .PQ a BC a
( , ), ( , ),BP x c y CQ x y b
设点 P 的坐标为 ( , )x y ，
则 ( , )Q x y ， ( , ), ( 2 , 2 ).BC c b PQ x y
( )( ) ( )BP CQ x c x y y b
2 2( ) .x y cx by
2cos .
| | | |
PQ BC cx by
aPQ BC
2 cos .cx by a 2 2 cos .BP CQ a a
故当 cos 1 ，即 0 （ PQ
与 BC
方向相同）时， BP CQ 最大，其最大值为 0。
22.设 ,n x y ，由 1m n
，有 1x y 。①
由 m
与 n
的夹角为 3
4
，有 3cos 14m n m n
， 1n ，则 2 2 1x y 。②
由①②解得 1,
0.
x
y
或 0,
1.
x
y
即 1,0n 或 0, 1n 。
由 n
与 q
垂直知 0, 1n ，由 2B=A+C 知 2 2, ,03 3 3B A C A ，
若 0, 1n ,则 2cos ,2cos 1 cos ,cos2
Cn p A A C
,
, 2 2 2 2 2 2 1cos cos cos cos 1 cos 23 2 3n p A C A A A
,
2 5 10 , 2 , 1 cos 2 ,3 3 3 3 3 2A A A
1 1 51 cos 22 2 3 4A
,
2 1 5 2 5, . ,2 4 2 2n p n p
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