2012年金华市中考数学试题及答案解析

2012 年浙江省金华市中考数学试卷 一．选择题（共 10 小题） 1．（2012 金华市）﹣2 的相反数是（ ） A．2 B．﹣2 C． D． 考点：相反数。 解答：解：由相反数的定义可知，﹣2 的相反数是﹣（﹣2）=2． 故选 A． 2．（2012 金华市）下列四个立体图形中，主视图为圆的是（ ） A． B． C． D． 考点：简单几何体的三视图。 解答：解：A、主视图是正方形，故此选项错误； B、主视图是圆，故此选项正确； C、主视图是三角形，故此选项错误； D、主视图是长方形，故此选项错误； 故选：B． 3．（2012 金华市）下列计算正确的是（ ） A．a3a2=a6 B．a2+a4=2a2 C．（a3）2=a6 D．（3a）2=a6 考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法。 解答：解：A、a3a2=a3+2=a5，故此选项错误； B、a2 和 a4 不是同类项，不能合并，故此选项错误； C、（a3）2=a6，故此选项正确； D、（3a）2=9a2，故此选项错误； 故选：C． 4．（2012 金华市）一个正方形的面积是 15，估计它的边长大小在（ ） A．2 与 3 之间 B．3 与 4 之间 C．4 与 5 之间 D．5 与 6 之间 考点：估算无理数的大小；算术平方根。 解答：解：∵一个正方形的面积是 15， ∴该正方形的边长为 ， ∵9＜15＜16， ∴3＜ ＜4． 故选 C． 5．（2012 金华市）在 x=﹣4，﹣1，0，3 中，满足不等式组 的 x 值是 （ ） A．﹣4 和 0 B．﹣4 和﹣1 C．0 和 3 D．﹣1 和 0 考点：解一元一次不等式组；不等式的解集。 解答：解： ， 由②得，x＞﹣2， 故此不等式组的解集为：﹣2＜x＜2， x=﹣4，﹣1，0，3 中只有﹣1、0 满足题意． 故选 D． 6．（2012 金华市）如果三角形的两边长分别为 3 和 5，第三边长是偶数，则第三边长可以是 （ ） A．2 B．3 C．4 D．8 考点：三角形三边关系。 解答：解：由题意，令第三边为 X，则 5﹣3＜X＜5+3，即 2＜X＜8， ∵第三边长为偶数，∴第三边长是 4 或 6． ∴三角形的三边长可以为 3、5、4． 故选：C． 7．（2012 金华市）如图，将周长为 8 的△ABC 沿 BC 方向平移 1 个单位得到△DEF，则四 边形 ABFD 的周长为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 考点：平移的性质。 解答：解：根据题意，将周长为 8 个单位的等边△ABC 沿边 BC 向右平移 1 个单位得到△DEF， ∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC； 又∵AB+BC+AC=8， ∴四边形 ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10． 故选；C． 8．（2012 金华市）下列计算错误的是（ ） A． B． C． D． 考点：分式的混合运算。 解答：解：A、 ，故本选项错误； B、 ，故本选项正确； C、 =﹣1，故本选项正确； D、 ，故本选项正确． 故选 A． 9．（2012 金华市）义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉 伯语，三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译．若从中随机挑选两名组成一组，则 该组能够翻译上述两种语言的概率是（ ） A． B． C． D． 考点：列表法与树状图法。 解答：解：将一名只会翻译阿拉伯语用 A 表示，三名只会翻译英语都用 B 表示，一名两种 语言都会翻译用 C 表示， 画树状图得： ∵共有 20 种等可能的结果，该组能够翻译上述两种语言的有 14 种情况， ∴该组能够翻译上述两种语言的概率为： = ． 故选 B． 10．（2012 金华市）如图，已知抛物线 y1=﹣2x2+2，直线 y2=2x+2，当 x 任取一值时，x 对 应的函数值分别为 y1、y2．若 y1≠y2，取 y1、y2 中的较小值记为 M；若 y1=y2，记 M=y1=y2．例 如：当 x=1 时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时 M=0．下列判断： ①当 x＞0 时，y1＞y2； ②当 x＜0 时，x 值越大，M 值越小； ③使得 M 大于 2 的 x 值不存在； ④使得 M=1 的 x 值是 或 ． 其中正确的是（ ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 考点：二次函数综合题。 解答：解：∵①当 x＞0 时，利用函数图象可以得出 y2＞y1；∴此选项错误； ∵抛物线 y1=﹣2x2+2，直线 y2=2x+2，当 x 任取一值时，x 对应的函数值分别为 y1、y2．若 y1≠y2，取 y1、y2 中的较小值记为 M； ∴②当 x＜0 时，根据函数图象可以得出 x 值越大，M 值越大；∴此选项错误； ∵抛物线 y1=﹣2x2+2，直线 y2=2x+2，与 y 轴交点坐标为：（0，2），当 x=0 时，M=2，抛物 线 y1=﹣2x2+2，最大值为 2，故 M 大于 2 的 x 值不存在； ∴③使得 M 大于 2 的 x 值不存在，此选项正确； ∵使得 M=1 时，可能是 y1=﹣2x2+2=1，解得：x1= ，x2=﹣ ， 当 y2=2x+2=1，解得：x=﹣ ， 由图象可得出：当 x= ＞0，此时对应 y2=M， ∵抛物线 y1=﹣2x2+2 与 x 轴交点坐标为：（1，0），（﹣1，0）， ∴当﹣1＜x＜0，此时对应 y1=M， 故 M=1 时，x1= ，x=﹣ ， 故④使得 M=1 的 x 值是 或 ．此选项正确； 故正确的有：③④． 故选：D． 11．（2012 金华市）分解因式：x2﹣9= （x+3）（x﹣3） ． 考点：因式分解-运用公式法。 解答：解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）． 12．（2012 金华市）如图，已知 a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线 b 上．若∠1=40°， 则∠2 的度数为 50° ． 考点：平行线的性质；余角和补角。 解答：解：∵∠1=40°， ∴∠3=180°﹣∠1﹣45°=180°﹣40°﹣90°=50°， ∵a∥b， ∴∠2=∠3=50°． 故答案为：50°． 13．（2012 金华市）在义乌市中小学生“人人会乐器”演奏比赛中，某班 10 名学生成绩统计 如图所示，则这 10 名学生成绩的中位数是 90 分，众数是 90 分． 考点：众数；折线统计图；中位数。 解答：解：观察折线图可知：成绩为 90 的最多，所以众数为 90； 这组学生共 10 人，中位数是第 5、6 名的平均分， 读图可知：第 5、6 名的成绩都为 90，故中位数 90． 故答案为：90，90． 14．（2012 金华市）正 n 边形的一个外角的度数为 60°，则 n 的值为 6 ． 考点：多边形内角与外角。 解答：解：∵正 n 边形的一个外角的度数为 60°， ∴其内角的度数为：180°﹣60°=120°， ∴ =120°，解得 n=6． 故答案为：6． 15．（2012 金华市）近年来，义乌市民用汽车拥有量持续增长，2007 年至 2011 年我市民用 汽车拥有量依次约为：11，13，15，19，x（单位：万辆），这五个数的平均数为 16，则 x 的值为 22 ． 考点：算术平均数。 解答：解：根据平均数的求法：共 5 个数，这些数之和为： 11+13+15+19+x=16×5， 解得：x=22． 故答案为：22． 16．（2012 金华市）如图，已知点 A（0，2）、B（ ，2）、C（0，4），过点 C 向右作平 行于 x 轴的射线，点 P 是射线上的动点，连接 AP，以 AP 为边在其左侧作等边△APQ，连 接 PB、BA．若四边形 ABPQ 为梯形，则： （1）当 AB 为梯形的底时，点 P 的横坐标是 ； （2）当 AB 为梯形的腰时，点 P 的横坐标是 2 ． 考点：圆周角定理；等边三角形的性质；梯形；解直角三角形。 解答：解：（1）如图 1：当 AB 为梯形的底时，PQ∥AB， ∴Q 在 CP 上， ∵△APQ 是等边三角形，CP∥x 轴， ∴AC 垂直平分 PQ， ∵A（0，2），C（0，4）， ∴AC=2， ∴PC=AC•tan30°=2× = ， ∴当 AB 为梯形的底时，点 P 的横坐标是： ； （2）如图 2，当 AB 为梯形的腰时，AQ∥BP， ∴Q 在 y 轴上， ∴BP∥y 轴， ∵CP∥x 轴， ∴四边形 ABPC 是平行四边形， ∴CP=AB=2 ， ∴当 AB 为梯形的腰时，点 P 的横坐标是：2 ． 故答案为：（1） ，（2）2 ． 17．（2012 金华市）计算：|﹣2|+（﹣1）2012﹣（π﹣4）0． 考点：实数的运算；零指数幂。 解答：解：原式=2+1﹣1，（4 分） =2．…（6 分 18．（2012 金华市）如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 的中点，作射线 AD，在线段 AD 及其 延长线上分别取点 E、F，连接 CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证 明．你添加的条件是 DE=DF（或 CE∥BF 或∠ECD=∠DBF 或∠DEC=∠DFB 等） ．（不 添加辅助线）． 考点：全等三角形的判定。 解答：解：（1）添加的条件是：DE=DF（或 CE∥BF 或∠ECD=∠DBF 或∠DEC=∠DFB 等）． （2）证明：在△BDF 和△CDE 中 ∵ ∴△BDF≌△CDE． 19．（2012 金华市）学习成为商城人的时尚，义乌市新图书馆的启用，吸引了大批读者．有 关部门统计了 2011 年 10 月至 2012 年 3 月期间到市图书馆的读者的职业分布情况，统计图 如下： （1）在统计的这段时间内，共有 16 万人到市图书馆阅读，其中商人所占百分比是 12.5% ，并将条形统计图补充完整（温馨提示：作图时别忘了用 0.5 毫米及以上的黑色签 字笔涂黑）； （2）若今年 4 月到市图书馆的读者共 28000 名，估计其中约有多少名职工？ 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图。 解答：解：（1）4÷25%=16 2÷16×100%=12.5% （2）职工人数约为： 28000× =10500 人 …（6 分） 20．（2012 金华市）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上，点 E 在⊙O 外， ∠EAC=∠D=60°． （1）求∠ABC 的度数； （2）求证：AE 是⊙O 的切线； （3）当 BC=4 时，求劣弧 AC 的长． 考点：切线的判定；圆周角定理；弧长的计算。 解答：解：（1）∵∠ABC 与∠D 都是弧 AC 所对的圆周角， ∴∠ABC=∠D=60°； （2）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°． ∴∠BAC=30°， ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°， 即 BA⊥AE， ∴AE 是⊙O 的切线； （3）如图，连接 OC， ∵OB=OC，∠ABC=60°， ∴△OBC 是等边三角形， ∴OB=BC=4，∠BOC=60°， ∴∠AOC=120°， ∴劣弧 AC 的长为 ． 21．（2012 金华市）如图，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，点 D 为对 角线 OB 的中点，点 E（4，n）在边 AB 上，反比例函数 （k≠0）在第一象限内的图象 经过点 D、E，且 tan∠BOA= ． （1）求边 AB 的长； （2）求反比例函数的解析式和 n 的值； （3）若反比例函数的图象与矩形的边 BC 交于点 F，将矩形折叠，使点 O 与点 F 重合，折 痕分别与 x、y 轴正半轴交于点 H、G，求线段 OG 的长． 考点：反比例函数综合题。 解答：解：（1）∵点 E（4，n）在边 AB 上， ∴OA=4， 在 Rt△AOB 中，∵tan∠BOA= ， ∴AB=OA×tan∠BOA=4× =2； （2）根据（1），可得点 B 的坐标为（4，2）， ∵点 D 为 OB 的中点， ∴点 D（2，1） ∴ =1， 解得 k=2， ∴反比例函数解析式为 y= ， 又∵点 E（4，n）在反比例函数图象上， ∴ =n， 解得 n= ； （3）如图，设点 F（a，2）， ∵反比例函数的图象与矩形的边 BC 交于点 F， ∴ =2， 解得 a=1， ∴CF=1， 连接 FG，设 OG=t，则 OG=FG=t，CG=2﹣t， 在 Rt△CGF 中，GF2=CF2+CG2， 即 t2=（2﹣t）2+12， 解得 t= ， ∴OG=t= ． 22．（2012 金华市）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发 0.5 小时后到达 甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家 1 小时 20 分钟后，妈妈驾车沿相同路线 前往乙地，如图是他们离家的路程 y（km）与小明离家时间 x（h）的函数图象．已知妈妈 驾车的速度是小明骑车速度的 3 倍． （1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间； （2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？ （3）若妈妈比小明早 10 分钟到达乙地，求从家到乙地的路程． 考点：一次函数的应用。 解答：解：（1）小明骑车速度： 在甲地游玩的时间是 1﹣0.5=0.5（h）． （2）妈妈驾车速度：20×3=60（km/h） 设直线 BC 解析式为 y=20x+b1， 把点 B（1，10）代入得 b1=﹣10 ∴y=20x﹣10 设直线 DE 解析式为 y=60x+b2，把点 D（ ，0） 代入得 b2=﹣80∴y=60x﹣80…（5 分） ∴ 解得 ∴交点 F（1.75，25）． 答：小明出发 1.75 小时（105 分钟）被妈妈追上，此时离家 25km． （3）方法一：设从家到乙地的路程为 m（km） 则点 E（x1，m），点 C（x2，m）分别代入 y=60x﹣80，y=20x﹣10 得： ， ∵ ∴ ∴m=30． 方法二：设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为 n（km）， 由题意得： ∴n=5 ∴从家到乙地的路程为 5+25=30（km）． 23．（2012 金华市）在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC 绕点 B 按逆 时针方向旋转，得到△A1BC1． （1）如图 1，当点 C1 在线段 CA 的延长线上时，求∠CC1A1 的度数； （2）如图 2，连接 AA1，CC1．若△ABA1 的面积为 4，求△CBC1 的面积； （3）如图 3，点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在△ABC 绕点 B 按逆时针 方向旋转过程中，点 P 的对应点是点 P1，求线段 EP1 长度的最大值与最小值． 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质。 解答：解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1， ∴∠CC1B=∠C1CB=45°，..…（2 分） ∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．…（3 分） （2）∵△ABC≌△A1BC1， ∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1， ∴ ，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1， ∴∠ABA1=∠CBC1， ∴△ABA1∽△CBC1．…（5 分） ∴ ， ∵S△ABA1=4， ∴S△CBC1= ；…（7 分） （3）过点 B 作 BD⊥AC，D 为垂足， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴点 D 在线段 AC 上， 在 Rt△BCD 中，BD=BC×sin45°= ，…（8 分） ①如图 1，当 P 在 AC 上运动至垂足点 D，△ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 在线段 AB 上时，EP1 最小，最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE= ﹣2；…（9 分） ②当 P 在 AC 上运动至点 C，△ABC 绕点 B 旋转，使点 P 的对应点 P1 在线段 AB 的延长线 上时，EP1 最大，最大值为：EP1=BC+AE=2+5=7．…（10 分） 24．（2012 金华市）如图 1，已知直线 y=kx 与抛物线 y= 交于点 A（3，6）． （1）求直线 y=kx 的解析式和线段 OA 的长度； （2）点 P 为抛物线第一象限内的动点，过点 P 作直线 PM，交 x 轴于点 M（点 M、O 不重 合），交直线 OA 于点 Q，再过点 Q 作直线 PM 的垂线，交 y 轴于点 N．试探究：线段 QM 与线段 QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由； （3）如图 2，若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点，点 E 在线段 OA 上（与点 O、A 不重合）， 点 D（m，0）是 x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m 在什 么范围时，符合条件的 E 点的个数分别是 1 个、2 个？ 考点：二次函数综合题。 解答：解：（1）把点 A（3，6）代入 y=kx 得； ∵6=3k， ∴k=2， ∴y=2x．（2012 金华市） OA= ．…（3 分） （2） 是一个定值，理由如下： 如答图 1，过点 Q 作 QG⊥y 轴于点 G，QH⊥x 轴于点 H． ①当 QH 与 QM 重合时，显然 QG 与 QN 重合， 此时 ； ②当 QH 与 QM 不重合时， ∵QN⊥QM，QG⊥QH 不妨设点 H，G 分别在 x、y 轴的正半轴上， ∴∠MQH=∠GQN， 又∵∠QHM=∠QGN=90° ∴△QHM∽△QGN…（5 分）， ∴ ， 当点 P、Q 在抛物线和直线上不同位置时，同理可得 ． …（7 分）①① （3）如答图 2，延长 AB 交 x 轴于点 F，过点 F 作 FC⊥OA 于点 C，过点 A 作 AR⊥x 轴于 点 R ∵∠AOD=∠BAE， ∴AF=OF， ∴OC=AC= OA= ∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC， ∴△AOR∽△FOC， ∴ ， ∴OF= ， ∴点 F（ ，0）， 设点 B（x， ）， 过点 B 作 BK⊥AR 于点 K，则△AKB∽△ARF， ∴ ， 即 ， 解得 x1=6，x2=3（舍去）， ∴点 B（6，2）， ∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4， ∴AB=5 …（8 分）； （求 AB 也可采用下面的方法） 设直线 AF 为 y=kx+b（k≠0）把点 A（3，6），点 F（ ，0）代入得 k= ，b=10， ∴ ， ∴ ， ∴ （舍去）， ， ∴B（6，2）， ∴AB=5…（8 分） （其它方法求出 AB 的长酌情给分） 在△ABE 与△OED 中 ∵∠BAE=∠BED， ∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB， ∴∠ABE=∠DEO， ∵∠BAE=∠EOD， ∴△ABE∽△OED．…（9 分） 设 OE=x，则 AE= ﹣x （ ）， 由△ABE∽△OED 得 ， ∴ ∴ （ ）…（10 分） ∴顶点为（ ， ） 如答图 3，当 时，OE=x= ，此时 E 点有 1 个； 当 时，任取一个 m 的值都对应着两个 x 值，此时 E 点有 2 个． ∴当 时，E 点只有 1 个…（11 分） 当 时，E 点有 2 个…（12 分）．