2012年泰安中考数学试卷答案解析

2012 年山东省泰安市中考数学试卷 一．选择题 1．（2012 泰安）下列各数比﹣3 小的数是（ ） A．0 B．1 C．﹣4 D．﹣1 考点：有理数大小比较。 解答：解：根据两负数比较大小，其绝对值大的反而小，正数都大于负数，零大于一切负数， ∴1＞﹣3，0＞﹣3， ∵|﹣3|=3，|﹣1|=1，|﹣4|=4， ∴比﹣3 小的数是负数，是﹣4． 故选 C． 2．（2012 泰安）下列运算正确的是（ ） A． 2( 5) 5   B． 21( ) 164   C． 6 3 2x x x  D． 3 2 5( )x x 考点：二次根式的性质与化简；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；负整数指数幂。 解答：解：A、 2( 5) 5 5    ，所以 A 选项不正确； B、 21( ) 164   ，所以 B 选项正确； C、 6 3 3x x x  ，所以 C 选项不正确； D、 3 2 6( )x x ，所以 D 选项不正确． 故选 B． 3．（2012 泰安）如图所示的几何体的主视图是（ ） A． B． C． D． 考点：简单组合体的三视图。 解答：解：从正面看易得第一层有 1 个大长方形，第二层中间有一个小正方形． 故选 A． 4．（2012 泰安）已知一粒米的质量是 0.000021 千克，这个数字用科学记数法表示为（ ） A． 421 10 千克 B． 62.1 10 千克 C． 52.1 10 千克 D． 42.1 10 千克 考点：科学记数法—表示较小的数。 解答：解：0.000021= 52.1 10 ； 故选：C． 5．（2012 泰安）从下列四张卡片中任取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是（ ） A．0 B． C． D． 考点：概率公式；中心对称图形。 解答：解：∵在这一组图形中，中心对称图形只有最后一个， ∴卡片上的图形是中心对称图形的概率是 ． 故选 D． 6．（2012 泰安）将不等式组 8 4 1 16 3 x x x x       的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ） A． B． C． D． 考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。 解答：解： 8 4 1 16 3 x x x x       ① ② ，由①得，x＞3；由②得，x≤4， 故其解集为：3＜x≤4． 在数轴上表示为： 故选 C． 7．（2012 泰安）如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 C 的直线 CE⊥AB，垂足为 E，若 ∠EAD=53°，则∠BCE 的度数为（ ） A．53° B．37° C．47° D．123° 考点：平行四边形的性质。 解答：解：∵在平行四边形 ABCD 中，过点 C 的直线 CE⊥AB， ∴∠E=90°， ∵∠EAD=53°， ∴∠EFA=90°﹣53°=37°， ∴∠DFC=37 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BCE=∠DFC=37°． 故选 B． 8．（2012 泰安）某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的 情况，从八年级的 400 名同学中选取 20 名同学统计了各自家庭一个月约节水情况．见表： 请你估计这 400 名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（ ） A．130m3 B．135m3 C．6.5m3 D．260m3 考点：用样本估计总体；加权平均数。 解答：解：20 名同学各自家庭一个月平均节约用水是： （0.2×2+0.25×4+0.3×6+04×7+0.5×1）÷20=0.325（m3）， 因此这 400 名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是： 400×0.325=130（m3）， 故选 A． 9．（2012 泰安）如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD、AC 于点 E、O，连接 CE，则 CE 的长为（ ） A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8 考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质。 解答：解：∵EO 是 AC 的垂直平分线， ∴AE=CE， 设 CE=x，则 ED=AD﹣AE=4﹣x， 在 Rt△CDE 中，CE2=CD2+ED2， 即 2 2 2=2 4 )x x （ ， 解得 2.5x  ， 即 CE 的长为 2.5． 故选 C． 10．（2012 泰安）二次函数 2y ax bx  的图象如图，若一元二次方程 2 0ax bx m   有 实数根，则 m 的最大值为（ ） A． 3 B．3 C． 6 D．9 考点：抛物线与 x 轴的交点。 解答：解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3， ∴a＞0. 2 34 b a    ，即 2 12b a ， ∵一元二次方程 2 0ax bx m   有实数根， ∴△= 2 4 0b am  ，即12 4 0a am  ，即12 4 0m  ，解得 3m  ， ∴m 的最大值为 3． 故选 B． 11．（2012 泰安）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 M，下列结论不成立的是 （ ） A．CM=DM B．  CB=DB C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD 考点：垂径定理。 解答：解：∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 M， ∴M 为 CD 的中点，即 CM=DM，选项 A 成立； B 为 的中点，即  CB=DB，选项 B 成立； 在△ACM 和△ADM 中， ∵AM=AM，∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM， ∴△ACM≌△ADM（SAS）， ∴∠ACD=∠ADC，选项 C 成立； 而 OM 与 MD 不一定相等，选项 D 不成立． 故选 D 12．（2012 泰安）将抛物线 23y x 向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，那么得到的 抛物线的解析式为（ ） A． 23( 2) 3y x   B． 23( 2) 3y x   C． 23( 2) 3y x   D． 23( 2) 3y x   考点：二次函数图象与几何变换。 解答：解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线 23y x 向上平移 3 个单位所得抛物线的解 析式为： 23 3y x  ； 由“左加右减”的原则可知，将抛物线 23 3y x  向左平移 2 个单位所得抛物线的解析式为： 23( 2) 3y x   ． 故选 A． 13．（2012 泰安）如图，为测量某物体 AB 的高度，在在 D 点测得 A 点的仰角为 30°，朝物 体 AB 方向前进 20 米，到达点 C，再次测得点 A 的仰角为 60°，则物体 AB 的高度为（ ） A．10 3 米 B．10 米 C． 20 3 米 D． 20 3 3 米 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。 解答：解：∵在直角三角形 ADC 中，∠D=30°， ∴ =tan30° ∴BD= = AB ∴在直角三角形 ABC 中，∠ACB=60°， ∴BC= = 3 3 AB ∵CD=20 ∴CD=BD﹣BC= AB﹣ 3 3 AB=20 解得：AB=10 3 ． 故选 A． 14．（2012 泰安）如图，菱形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 在 x 轴上，∠B=120°， OA=2，将菱形 OABC 绕原点顺时针旋转 105°至 OA′B′C′的位置，则点 B′的坐标为（ ） A．（ 2 ， 2 ） B．（ 2 ， 2 ） C．（2012 泰安） D．（ 3 ， 3 ） 考点：坐标与图形变化-旋转；菱形的性质。 解答：解：连接 OB，OB′，过点 B′作 B′E⊥x 轴于 E， 根据题意得：∠BOB′=105°， ∵四边形 OABC 是菱形， ∴OA=AB，∠AOB= ∠AOC= ∠ABC= ×120°=60°， ∴△OAB 是等边三角形， ∴OB=OA=2， ∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=105°﹣60°=45°，OB′=OB=2， ∴OE=B′E=OB′•sin45°= 22 22   ， ∴点 B′的坐标为：（ 2 ， 2 ）． 故选 A． 15．（2012 泰安）一个不透明的布袋中有分别标着数字 1，2，3，4 的四个乒乓球，现从袋 中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于 5 的概率为（ ） A． 1 6 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 考点：列表法与树状图法。 解答：解：列表得： ∵共有 12 种等可能的结果，这两个乒乓球上的数字之和大于 5 的有 4 种情况， ∴这两个乒乓球上的数字之和大于 5 的概率为： 4 12 3 1 ． 故选 B． 16．（2012 泰安）二次函数 2( )y a x m n   的图象如图，则一次函数 y mx n  的图象经 过（ ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第 一、三、四象限 考点：二次函数的图象；一次函数的性质。 解答：解：∵抛物线的顶点在第四象限， ∴﹣m＞0，n＜0， ∴m＜0， ∴一次函数 y mx n  的图象经过二、三、四象限， 故选 C． 17．（2012 泰安）如图，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 与 CD 的中点重合，若 AB=2， BC=3，则△FCB′与△B′DG 的面积之比为（ ） A．9：4 B．3：2 C．4：3 D．16：9 考点：翻折变换（折叠问题）。 解答：解：设 BF=x，则 CF=3﹣x，BF′=x， 又点 B′为 CD 的中点， ∴B′C=1， 在 Rt△B′CF 中，BF′2=B′C2+CF2，即 2 21 (3 )x x   ， 解得： 5 3x  ，即可得 CF= 5 43 3 3   ， ∵∠DB′G=∠DGB=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°， ∴∠DGB=∠CB′F， ∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′， 根据面积比等于相似比的平方可得： = = 24 16( )3 9  ． 故选 D． 18．（2012 泰安）如图，AB 与⊙O 相切于点 B，AO 的延长线交⊙O 于点 C，连接 BC，若 ∠ABC=120°，OC=3，则 的长为（ ） A．π B．2π C．3π D．5π 考点：切线的性质；弧长的计算。 解答：解：连接 OB， ∵AB 与⊙O 相切于点 B， ∴∠ABO=90°， ∵∠ABC=120°， ∴∠OBC=30°， ∵OB=OC， ∴∠OCB=30°， ∴∠BOC=120°， ∴ BC 的长为 120 3 2180 180 n r     ， 故选 B． 19．（2012 泰安）设 A 1( 2 )y ， ，B 2(1 )y， ，C 3(2 )y， 是抛物线 2( 1)y x a    上的三 点，则 1y ， 2y ， 3y 的大小关系为（ ） A． 21 3y y y  B． 31 2y y y  C． 3 2 1y y y  D． 3 1 2y y y  考点：二次函数图象上点的坐标特征。 解答：解：∵函数的解析式是 2( 1)y x a    ，如右图， ∴对称轴是 1x   ， ∴点 A 关于对称轴的点 A′是（0，y1）， 那么点 A′、B、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边 y 随 x 的增大而减小， 于是 21 3y y y  ． 故选 A． 20．（2012 泰安）如图，AB∥CD，E，F 分别为 AC，BD 的中点，若 AB=5，CD=3，则 EF 的长是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质。 解答：解：连接 DE 并延长交 AB 于 H， ∵CD∥AB， ∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE， ∵E 是 AC 中点， ∴DE=EH， ∴△DCE≌△HAE， ∴DE=HE，DC=AH， ∵F 是 BD 中点， ∴EF 是三角形 DHB 的中位线， ∴EF= 1 2 BH， ∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2， ∴EF=1． 故选 D． 二、填空题 21．（2012 泰安）分解因式： 3 26 9x x x  = ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用。 解答：解： 3 26 9x x x  ， = 2 2( 6 9) ( 3)x x x x x    ． 22．（2012 泰安）化简： 2 2( )2 2 4 m m m m m m     = ． 考点：分式的混合运算。 解答：解：原式= 2 ( 2)( 2) ( 2)( 2) 2 2 m m m m m m m m m m        = 2( 2) ( 2) 6m m m     ． 23．（2012 泰安）如图，在半径为 5 的⊙O 中，弦 AB=6，点 C 是优弧 上一点（不与 A， B 重合），则 cosC 的值为 ． 考点：圆周角定理；勾股定理；垂径定理；锐角三角函数的定义。 解答：解：连接 AO 并延长到圆上一点 D，连接 BD， 可得 AD 为⊙O 直径，故∠ABD=90°， ∵半径为 5 的⊙O 中，弦 AB=6，则 AD=10， ∴BD= 2 2 2 2AD -AB 10 6 8   ， ∵∠D=∠C， ∴cosC=cosD= BD 8 4 AD 10 5   ， 故答案为： 4 5 ． 24．（2012 泰安）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按 图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规 律，第 2012 个点的横坐标为 ． 考点：点的坐标。 解答：解：根据图形，到横坐标结束时，点的个数等于横坐标的平方， 例如：横坐标为 1 的点结束，共有 1 个，1=12， 横坐标为 2 的点结束，共有 2 个，4=22， 横坐标为 3 的点结束，共有 9 个，9=32， 横坐标为 4 的点结束，共有 16 个，16=42， … 横坐标为 n 的点结束，共有 n2 个， ∵452=2025， ∴第 2025 个点是（45，0）， 第 2012 个点是（45，13）， 所以，第 2012 个点的横坐标为 45． 故答案为：45． 三、解答题 25．（2012 泰安）如图，一次函数 y kx b  的图象与坐标轴分别交于 A，B 两点，与反比 例函数 ny x  的图象在第二象限的交点为 C，CD⊥x 轴，垂足为 D，若 OB=2，OD=4，△AOB 的面积为 1． （1）求一次函数与反比例的解析式； （2）直接写出当 0x  时， 0kkx b x    的解集． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。 解答：解：（1）∵OB=2，△AOB 的面积为 1 ∴B（﹣2，0），OA=1， ∴A（0，﹣1） ∴ 1 2 0 b k b      ， ∴ 1 2 1 k b       ， ∴ 1 12y x   又∵OD=4，OD⊥x 轴， ∴C（﹣4，y）， 将 4x   代入 1 12y x   得 y=1， ∴C（﹣4，1） ∴1 4 m  ， ∴ 4m   ， ∴ 4y x   （2）当 0x  时， 0kkx b x    的解集是 4x   ． 26．（2012 泰安）如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为 D，E， F 为 BC 中点，BE 与 DF，DC 分别交于点 G，H，∠ABE=∠CBE． （1）线段 BH 与 AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由； （2）求证：BG2﹣GE2=EA2． 考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。 解答：证明：（1）∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°， ∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°， ∴DB=DC，∠ABE=∠DCA， ∵在△DBH 和△DCA 中 ∵∠DBH=∠DCA，∠BDH=∠CDA，BD=CD， ∴△DBH≌△DCA， ∴BH=AC． （2）连接 CG， ∵F 为 BC 的中点，DB=DC， ∴DF 垂直平分 BC， ∴BG=CG， ∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC， ∴∠AEB=∠CEB， 在△ABE 和△CBE 中 ∵∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠CBE=∠ABE， ∴△ABE≌△CBE， ∴EC=EA， 在 Rt△CGE 中，由勾股定理得：BG2﹣GE2=EA2． 27．（2012 泰安）一项工程，甲，乙两公司合做，12 天可以完成，共需付施工费 102000 元； 如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的 1.5 倍，乙公司每天的施 工费比甲公司每天的施工费少 1500 元． （1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ （2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？ 考点：分式方程的应用；一元一次方程的应用。 解答：解：（1）设甲公司单独完成此项工程需 x 天，则乙公司单独完成此项工程需 1.5x 天． 根据题意，得 1 1 1 1.5 12x x   ， 解得 20x  ， 经检验知 20x  是方程的解且符合题意． 1.5 30x  ， 故甲，乙两公司单独完成此项工程，各需 20 天，30 天； （2）设甲公司每天的施工费为 y 元，则乙公司每天的施工费为（y﹣1500）元， 根据题意得 12（y+y﹣1500）=102000 解得 y=5000， 甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20×5000=100000（元）； 乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30×（5000﹣1500）=105000（元）； 故甲公司的施工费较少． 28．（2012 泰安）如图，E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点，EF⊥AE，EF 分别交 AC，CD 于 点 M，F，BG⊥AC，垂足为 C，BG 交 AE 于点 H． （1）求证：△ABE∽△ECF； （2）找出与△ABH 相似的三角形，并证明； （3）若 E 是 BC 中点，BC=2AB，AB=2，求 EM 的长． 考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形。 解答：（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABE=∠ECF=90°． ∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°． ∴∠AEB+∠BEA=90°， ∴∠BAE=∠CEF， ∴△ABE∽△ECF； （2）△ABH∽△ECM． 证明：∵BG⊥AC， ∴∠ABG+∠BAG=90°， ∴∠ABH=∠ECM， 由（1）知，∠BAH=∠CEM， ∴△ABH∽△ECM； （3）解：作 MR⊥BC，垂足为 R， ∵AB=BE=EC=2， ∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°， ∴∠MER=45°，CR=2MR， ∴MR=ER= 1 2 RC= 2 3 ， ∴EM= MR 2 2 sin 45 3  ． 29．（2012 泰安）如图，半径为 2 的⊙C 与 x 轴的正半轴交于点 A，与 y 轴的正半轴交于点 B，点 C 的坐标为（1，0）．若抛物线 23 3y x bx c    过 A、B 两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在点 P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在 说明理由； （3）若点 M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为 S，求 S 的最大 （小）值． 考点：二次函数综合题。 解答：解：（1）如答图 1，连接 OB． ∵BC=2，OC=1 ∴OB= 4 1 3  ∴B（0， 3 ） 将 A（3，0），B（0， 3 ）代入二次函数的表达式 得 3 9 3 03 3 b c c        ，解得： 2 3 3 3 b c     ， ∴ 23 2 3 33 3y x x    ． （2）存在． 如答图 2，作线段 OB 的垂直平分线 l，与抛物线的交点即为点 P． ∵B（0， 3 ），O（0，0）， ∴直线 l 的表达式为 3 2y  ．代入抛物线的表达式， 得 23 2 3 333 3 2y x x     ； 解得 101 2x   ， ∴P（ 10 31 2 2  ， ）． （3）如答图 3，作 MH⊥x 轴于点 H． 设 M（ m mx y， ）， 则 S△MAB=S 梯形 MBOH+S△MHA﹣S△OAB= 1 2 （MH+OB）•OH+ 1 2 HA•MH﹣ 1 2 OA•OB = 1 1 1( 3) (3 ) 3 32 2 2m m m my x x y      = 3 3 3 32 2 2m mx y  ∵ 23 2 3 33 3m m my x x    ， ∴ 2 ΔMAB 3 3 3 2 3 3 3( 3)2 2 3 3 2m m mS x x x      = 2 23 3 3 3 3 9 3( )2 2 2 2 8m m mx x x      ∴当 3 2mx  时， ΔMABS 取得最大值，最大值为 9 3 8 ．