2012年安徽省中考数学试题及答案解析

2012 年安徽省初中毕业学业考试数学试题解析 本试卷共 8 大题，计 23 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 每小题都给出代号为 A、B、C、D 的四个选项，其中只有一个是正确的，请把 正确选项的代号写在题后的括号内，每一小题选对得 4 分，不选、选错或选出的 代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得 0 分. 1.（2012 安徽，1，4 分）下面的数中，与-3 的和为 0 的是 ………………………….（ ） A.3 B.-3 C. 3 1 D. 3 1 1. 解析：根据有理数的运算法则，可以把选项中的数字和－3 相加，进行筛选只有选项 A 符合，也可以利用相反数的性质，根据互为相反数的两数和为 0，必选－3 的相反数 3． 解答：A． 点评：本题考查了有理数的运算、及其概念，理解有关概念，掌握运算法则，是解答此类题 目的基础. 2. （2012 安徽，2，4 分）下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 解析：根据这几个常见几何题的视图可知：圆柱的主视图是矩形，正方体的主视图是正 方形，圆锥的主视图是三角形，三棱柱的主视图是宽相等两个靠着的矩形． 解答：C． 点评：此题是由立体图形到平面图形，熟悉常见几何体的三视图，如果要求画出几何体的三 视图，要注意它们之间的尺寸大小，和虚实线. 3. （2012 安徽，3，4 分）计算 32 )2( x 的结果是（ ） A. 52x B. 68x C. 62x D. 58x 3. 解析：根据积的乘方和幂的运算法则可得． 解答：解： 632332 8)()2()2( xxx  故选 B． 点评：幂的几种运算不要混淆，当底数不变时，指数运算要相应的降一级，还要弄清符号， 这些都是易错的地方，要熟练掌握，关键是理解乘方运算的意义. 4. （2012 安徽，4，4 分）下面的多项式中，能因式分解的是（） A. nm 2 B. 12  mm C. nm 2 D. 122  mm 4. 解析：根据分解因式的方法，首先是提公因式，然后考虑用公式，如果项数较多，要分 组分解，本题给出四个选项，问哪个可以分解，对照选项中的多项式，试用所学的方法分解．就 能判断出只有 D 项可以. 解答：解： 22 )1(12  mmm 故选 D． 得分 评卷人 点评：在进行因式分解时，首先是提公因式，然后考虑用公式，（两项考虑用平方差公式， 三项用完全平方公式，当然符合公式才可以.）如果项数较多，要分组分解，最后一定要分 解到每个因式不能再分为止. 5. （2012 安徽，5，4 分）某企业今年 3 月份产值为 a 万元，4 月份比 3 月份减少了 10％， 5 月份比 4 月份增加了 15％，则 5 月份的产值是（ ） A.（ a -10％）（ a +15％）万元 B. a （1-10％）（1+15％）万元 C.（ a -10％+15％）万元 D. a （1-10％+15％）万元 5. 解析：根据 4 月份比 3 月份减少 10﹪，可得 4 月份产值是（1－10﹪）a, 5 月份比 4 月份 增加 15﹪，可得 5 月份产值是（1－10﹪）（1+15﹪）a, 解答：A． 点评：此类题目关键是弄清楚谁是“基准”，把“基准”看作“单位 1”，在此基础上增加 还是减少，就可以用这个基准量表示出来了. 6. （2012 安徽，6，4 分）化简 x x x x  11 2 的结果是（ ） A. x +1 B. x -1 C.— x D. x 6. 解析：本题是分式的加法运算，分式的加减，首先看分母是否相同，同分母的分式加减， 分母不变，分子相加减，如果分母不同，先通分，后加减，本题分母互为相反数，可以化成 同分母的分式加减． 解答：解： xx xx x xx x x x x    1 )1( 111 22 故选 D． 点评：分式的一些知识可以类比着分数的知识学习，分式的基本性质是关键，掌握了分式的 基本性质，可以利用它进行通分、约分，在进行分式运算时根据法则，一定要将结果化成最 简分式． 7. （2012 安徽，7，4 分）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为 如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边 形与其内部小正方形的边长都为 a ，则阴影部分的面积为（ ） A.2 2a B. 3 2a C. 4 2a D.5 2a 7. 解析：图案中间的阴影部分是正方形，面积是 a2，由于原来地砖更换成正 八边形，四周一个阴影部分是对角线为 a 的正方形的一半，它的面积用对角线 积的一半来计算． 解答：解： 222 242 1 2 1 aaa  故选 A． 点评：本题考查了正多边形的性质，关键要找出正八边形和原来正方形的关系，尽量用所给 数据来计算. 8. （2012 安徽，8，4 分）给甲乙丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电 话给甲的概率为（ ） A. 6 1 B. 3 1 C. 2 1 D. 3 2 8. 解析：第 1 个打电话给甲、乙、丙（因为次序是任意的）的可能性是相同的，所以第一 个打电话给甲的概率是 3 1 ． 解答： 故选 B． 9. （2012 安徽，9，4 分）如图，A 点在半径为 2 的⊙O 上，过线段 OA 上的一点 P 作直线  ，与⊙O 过 A 点的切线交于点 B，且∠APB=60°，设 OP= x ，则△PAB 的面积 y 关于 x 的 函数图像大致是（ ） 9. 解析：利用 AB 与⊙O 相切，△BAP 是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来， 从而用 x 表示出三角形的面积，根据函数解析式确定函数的图象． 解答：解：∵AB 与⊙O 相切，∴∠BAP=90°， OP=x，AP=2－x,∠BPA=60°，所以 AB= )2(3 x ， 所以△APB 的面积 2)2(2 3 xy  ，（0≤x≤2）故选 D． 点评：此类题目一般都是根据图形性质，用字母表示出这个变量，把运动变化的问题转化成 静止的.再根据函数的性质解答.有时变化过程的有几种情况，注意它们的临界值. 10. （2012 安徽，10，4 分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点， 分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的 直角梯形，其中三边长分别为 2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是 （ ） A.10 B. 54 C. 10 或 54 D.10 或 172 10. 解析：考虑两种情况．要分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的. 解答：解：如下图， 54)44()22( 22  ， 1054)44()32( 22  故选 C． 点评：在几何题没有给出图形时，有的同学会忽略掉其中一种情况，错选 A 或 B；故解决本 题最好先画出图形，运用数形结合和分类讨论的数学思想进行解答，避免出现漏解． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11. （2012 安徽，11，5 分）2011 年安徽省棉花产量约 378000 吨，将 378000 用科学计数法 表示应是______________. 11. 解析：科学记数法形式：a×10n（1≤|a|＜10，n 为整数）中 n 的值是易错点，由于 378 000 有 6 位，所以可以确定 n=6﹣1=5，所以 378 000=3.78×105 答案： 3.78×105 12. （2012 安徽，12，5 分）甲乙丙三组各有 7 名成员，测得三组成员体重数据的平均数都 是 58，方差分别为 362 甲S ， 252 乙S ， 162 丙S ，则数据波动最小的一组是 ___________________. 12. 解析：平均数是反映数据集中趋势的特征量，方差反映数据离散程度的特征量，由于平 均数相等，方差越大，说明数据越离散，波动越大，方差越小，说明数据越集中，波动越小. 丙组方差最小，波动最小. 答案：丙组 13. （2012 安徽，13，5 分）如图，点 A、B、C、D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形 OABC 为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=_______________°. 13. 解析：根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以∠AOC=2∠D；又因为四边形 OABC 是平行四边形，所以∠B=∠AOC；圆内接四边形对角互补，∠B+∠D=180°，所以∠D= 60°，连接 OD，则 OA=OD,OD=OC,∠OAD=∠ODA,∠OCD=∠ODC,即有∠OAD+∠OCD=60°. 答案：60． 点评：本题是以圆为背景的几何综合题，在圆内圆周角和圆心角之间的关系非常重要，经常 会利用它们的关系来将角度转化，另外还考查了平行四边形对角相等，圆内接四边形对角互 补，以及等腰三角形的性质.解决此类题目除了数学图形的性质，还要学会识图，做到数形 结合. 14. （2012 安徽，14，5 分）如图，P 是矩形 ABCD 内的任意 一点，连接 PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、 △PDA，设它们的面积分别是 S1、S2、S3、S4，给出如下结论： ①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3 ③若 S3=2 S1，则 S4=2 S2 ④若 S1= S2，则 P 点在矩形 的对角线上 得分 评卷人 其中正确的结论的序号是_________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）. 14. 解析：过点 P 分别向 AD、BC 作垂线段，两个三角形的面积之和 42 SS  等于矩形面积的 一半，同理，过点 P 分别向 AB、CD 作垂线段，两个三角形的面积之和 31 SS  等于矩形面积 的一半. 31 SS  = 42 SS  ,又因为 21 SS  ，则 32 SS  = ABCDSSS 2 1 41  ,所以④一定成 立 答案：②④． 点评：本题利用三角形的面积计算，能够得出②成立，要判断④成立，在这里充分利用所给 条件，对等式进行变形.不要因为选出②，就认为找到答案了，对每个结论都要分析，当然 感觉不一定对的，可以举反例即可.对于 ④这一选项容易漏选. 三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15. （2012 安徽，15，8 分）计算： )2()1)(3(  aaaa 15. 解析：根据整式的乘法法则，多项式乘多项式时，用其中一个多项式的每一项乘另一个 多项式的每一项，再把所得的积相加；单项式乘多项式，可以按照乘法分配率进行．最后再 根据合并同类项法则进行整式加减运算. 解：原式=a2－a+3a－3+a2－2a =2a2－3 16. （2012 安徽，16，8 分）解方程： 1222  xxx 16. 解析：根据一元二次方程方程的几种解法，本题不能直接开平方，也不可用因式分解法. 先将方程整理一下，可以考虑用配方法或公式法. 解：原方程化为：x2－4x=1 配方，得 x2－4x+4=1+4 整理，得（x－2）2=5 ∴x－2= 5 ,即 521 x ， 522 x . 四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 17. （2012 安徽，17，8 分）在由 m×n（m×n＞1）个小正方形组成的矩形网格中，研究它 的一条对角线所穿过的小正方形个数 f， （1）当 m、n 互质（m、n 除 1 外无其他公因数）时，观察下列图形并完成下表： m n m n f 1 2 3 2 1 3 4 3 2 3 5 4 2 4 7 3 5 7 猜想：当 m、n 互质时，在 m×n 的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个 数 f 与 m、n 的关系式是______________________________（不需要证明）； 解： （2）当 m、n 不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立， 17：解析：（1）通过题中所给网格图形，先计算出 2×5，3×4，对角线所穿过的小正方形 个数 f，再对照表中数值归纳 f 与 m、n 的关系式. （2）根据题意，画出当 m、n 不互质时，结论不成立的反例即可. 解：（1）如表： f=m+n-1 （2）当 m、n 不互质时，上述结论不成立，如图 2×4 2×4 18. （2012 安徽，18，8 分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出 了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点 A1. （1）画出一个格点△A1B1C1，并使它与△ABC 全等且 A 与 A1 是对应点； m n m n f 1 2 3 2 1 3 4 3 2 3 5 4 2 4 7 6 3 5 7 6 （2）画出点 B 关于直线 AC 的对称点 D，并指出 AD 可以看作由 AB 绕 A 点经过怎样的旋 转而得到的. 解: 18.解析：（1）考查全等变化，可以通过平移、旋转、轴对称等来完成；（2）先作出图形， 因为要回答旋转角度，利用方格纸算出 AB、AD、BD 的长度，再计算角度. 解：（1）答案不唯一，如图，平移即可 (2)作图如上，∵AB= 10 ，AD= 10 ，BD= 52 ∴AB2+AD2=BD2 ∴△ABD 是直角三角形，AD 可以看作由 AB 绕 A 点逆时针旋转 90°得到的. 点评：图形变换有两种，全等变换和相似变换，掌握每种变换的概念、性质是作图的基础， 一般难度不大. 五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19. （2012 安徽，19，10 分）如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC= 32 ，求 第 19 题图 AB 的长， 解： 19. 解析：本题在一个三角形中已知两个角和一边，求三角形的边.不是直角三角形，要利 用三角函数必须构筑直角三角形，过点 C 作 CD⊥AB 于 D,利用构造的两个直角三角形来解答. 解:过点 C 作 CD⊥AB 于 D, 在 Rt△ACD 中，∠A=30°，AC= 32 ∴CD=AC×sinA= 32 ×0.5= 3 ， AD=AC×cosA= 32 × 2 3 =3， 在 Rt△BCD 中，∠B=45°，则 BD=CD= 3 ， ∴AB=AD+BD=3+ 3 点评：解直角三角形中，除了直角外，还知道两个元素（至少有一个是边），就能求出其余 的边和角. 一般三角形中，知道三个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角. 这 时将三角形转化为直角三角形时，注意尽量不要破坏所给条件. 20. （2012 安徽，20，10 分）九（1）班同学为了解 2011 年某小区家庭月均用水情况，随 机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理， 月均用水量 x (t) 频数(户) 频率 0 5x  6 0.12 5 10x  0.24 10 15x  16 0.32 15 20x  10 0.20 20 25x  4 25 30x  2 0.04 请解答以下问题： （1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整； （2）若该小区用水量不超过 15t 的家庭占被调查家庭总数的百分比； 解： （3）若该小区有 1000 户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过 20t 的家庭大约 有多少户？ 解： 20. 本题考查了数据的统计中的频数分布表和不完整的频数分布直方图.所有的频数和就是 样本容量，所有频率和等于 1，且有 n数据总数 频数频率  ， （1）数据总数 5012.0 6  频率 频数 ，50×0.24=12，4÷50=0.08， （2）用水量不超过 15 吨是前三组，（0.12+0.24+0.32）×100﹪=68﹪ 第 20 题图 （3）用样本来估计总体，根据抽取的样本超过 20 吨的家庭数，来估计该小区的情况.. 解：（1）统计中的频数分布表和不完整的频数分布直方图，补充如下 （2）用水量不超过 15 吨是前三组，（0.12+0.24+0.32）×100﹪=68﹪ （3）1000×（0.04+0.08）=120（户） 六、（本题满分 12 分） 21. （2012 安徽，21，12 分）甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“慢 200 减 100” 的促销方式，即购买商品的总金额满 200 元但不足 400 元，少付 100 元；满 400 元但不足 600 元，少付 200 元；……，乙商场按顾客购买商品的总金额打 6 折促销。 （1）若顾客在甲商场购买了 510 元的商品，付款时应付多少钱？ 解： （2）若顾客在甲商场购买商品的总金额为 x（400≤x＜600）元，优惠后得到商家的优惠率 为 p（p= 购买商品的总金额 优惠金额 ），写出 p 与 x 之间的函数关系式，并说明 p 随 x 的变化情 况； 解： （3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是 x（200≤x＜400） 元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由。 21.解析：这是关于打折销售问题，按照甲、乙商场的优惠方案计算.（1）400≤x＜600，少 付 200 元；（2）同问题（1），少付 200 元， xp 200 ；利用反比例函数性质可知 p 随 x 的变化情况；（3）分别计算出购 x（200≤x＜400）甲、乙商场的优惠额，进行比较即可. 解：（1）510－200=310（元） （2） xp 200 ；∴p 随 x 的增大而减小； （3）购 x 元（200≤x＜400）在甲商场的优惠额是 100 元，乙商场的优惠额是 x－0.6x=0.4x 当 0.4x＜100，即 200≤x＜250 时，选甲商场优惠； 当 0.4x=100，即 x=250 时，选甲乙商场一样优惠； 当 0.4x＞100，即 250＜x＜4000 时，选乙商场优惠； 七、（本题满分 12 分） 22. （2012 安徽，22，12 分）如图 1，在△ABC 中，D、E、F 分别为三边的中点，G 点在 边 AB 上，△BDG 与四边形 ACDG 的周长相等，设 BC=a、AC=b、AB=c. （1）求线段 BG 的长； 解： （2）求证：DG 平分∠EDF; 证： （3）连接 CG，如图 2，若△BDG 与△DFG 相似，求证：BG⊥CG. 证： 22.解析：已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证 明 . （ 1 ） 已 知 △ ABC 的 边 长 ， 由 三 角 形 中 位 线 性 质 知 cDEbDF 2 1,2 1  ，根据△BDG 与四边形 ACDG 周长相等，可 得 2 cbBG  .（2）由（1）的结论，利用等腰三角形性质和平行线性质可证. （3）利用两 个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边，BD=DG=CD，即可证明. 解（1）∵D、C、F 分别是△ABC 三边中点 ∴DE∥ 2 1 AB,DF∥ 2 1 AC， 又∵△BDG 与四边形 ACDG 周长相等 即 BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG ∴BG=AC+AG ∵BG=AB－AG ∴BG= 2 ACAB  = 2 cb  （2）证明：BG= 2 cb  ，FG=BG－BF= 2 cb  － 22 bc  ∴FG=DF,∴∠FDG=∠FGD 又∵DE∥AB ∴∠EDG=∠FGD ∠FDG=∠EDG ∴DG 平分∠EDF （3）在△DFG 中，∠FDG=∠FGD, △DFG 是等腰三角形, ∵△BDG 与△DFG 相似,∴△BDG 是等腰三角形, ∴∠B=∠BGD,∴BD=DG, 则 CD= BD=DG,∴B、CG、三点共圆, ∴∠BGC=90°,∴BG⊥CG 点评：这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成.后 面的问题可以结合前面问题来做. 八、（本题满分 14 分） 23. （2012 安徽，23，14 分）如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方 2m 的 A 处发出，把球看成点，其运行的高度 y（m）与运行的水平距离 x(m)满足关系式 y=a(x-6)2+h.已知球网与 O 点的水平距离为 9m，高度为 2.43m，球场的边界距 O 点的水平距 离为 18m。 （1）当 h=2.6 时，求 y 与 x 的关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围） （2）当 h=2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求 h 的取值范围。 23.解析：（1）根据函数图象上面的点的坐标应该满足函数解析式，把 x=0,y=2,及 h=2.6 代入到 y=a(x-6)2+h 中即可求函数解析式；（2）根据函数解析式确定函数图象上点的坐标， 并解决时间问题；（3）先把 x=0,y=2,代入到 y=a(x-6)2+h 中求出 36 2 ha  ；然后分别表示 出 x=9,x=18 时，y 的值应满足的条件，解得即可. 解：（1）把 x=0,y=2,及 h=2.6 代入到 y=a(x-6)2+h 即 2=a(0－6)2+2.6， ∴ 60 1a ∴y= 60 1 (x-6)2+2.6 （2）当 h=2.6 时，y= 60 1 (x-6)2+2.6 x=9 时，y= 60 1 (9－6)2+2.6=2.45＞2.43 ∴球能越过网 x=18 时，y= 60 1 (18－6)2+2.6=0.2＞0 ∴球会过界 （3）x=0,y=2,代入到 y=a(x-6)2+h 得 36 2 ha  ； x=9 时，y= 36 2 h (9－6)2+h 4 32 h ＞2.43 ① x=18 时，y= 36 2 h (18－6)2+h h38  ＞0 ② 由① ②得 h≥ 3 8 点评：本题是二次函数问题，利用函数图象上点的坐标确定函数解析式，然后根据函数性质 来结合实际问题求解. 第 23 题图