2012年达州市中考数学试题及答案

达州市 2012 年高中阶段教育学校招生统一考试 数 学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 10 页．考试时间 100 分钟，满分 100 分. 第Ⅰ卷（选择题 共 24 分） 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考证号、考试科目按要求填涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，不能将答案 答在试题卷上. 3.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：（本题 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分）在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．-2 的倒数是 A、2 B、-2 C、 2 1 D、 2 1 2．下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是 3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连结 OB、OC，若 OB=BC， 则∠BAC 等于 A、60° B、45° C、30° D、20° 4．今年我市参加中考的学生人数约为 41001.6  人.对于这个 近似数，下列说法正确的是 A、精确到百分位，有 3 个有效数字 B、精确到百位，有 3 个有效数字 C、精确到十位，有 4 个有效数字 D、精确到个位，有 5 个有效数字 5．2011 年达州市各县(市、区)的户籍人口统计表如下： 县(市、区) 通川区 达县 开江县 宣汉县 大竹县 渠 县 万源市 人口数（万人） 42 135 60 130 112 145 59 则达州市各县(市、区)人口数的极差和中位数分别是 A、145 万人 130 万人 B、103 万人 130 万人 C、42 万人 112 万人 D、103 万人 112 万人 6．一次函数 )0(1  kbkxy 与反比例函数 )0(2  mx my ， 在同一直角坐标系中的图象如图所示，若 1y ﹥ 2y ，则 x 的取值 范围是 A、-2﹤ x ﹤0 或 x ﹥1 B、 x ﹤-2 或 0﹤ x ﹤1 C、 x ﹥1 D、-2﹤ x ﹤1 7．为保证达万高速公路在 2012 年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务. 已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用 10 天，乙队单独完成这项工程比规定时间多 用 40 天,如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前 14 天完成任务.若设规定的时间为 x 天，由题意列出的方程是 A、 14 1 40 1 10 1  xxx B、 14 1 40 1 10 1  xxx C、 14 1 40 1 10 1  xxx D、 40 1 14 1 10 1  xxx 8．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E、F 分别是 AB、CD 的中点，则下列结论： ①EF∥AD； ②S△ABO=S△DCO；③△OGH 是等腰三角形；④BG=DG；⑤EG=HF.其中正确的个 数是 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 达州市 2012 年高中阶段教育学 校招生统一考试 数 学 注意事项： 1．用蓝黑色钢笔或蓝黑色圆珠笔直接答在试题卷上. 2．答卷前将密封线内各项目填写清楚. 题号 一 二 总分 总分人（一） （二） （三） （四） 得分 第Ⅱ卷（非选择题 共 76 分） 二、填空题（本题 7 个小题，每小题 3 分，共 21 分）把最后答案直接填 在题中的横线上． 9． 写一个比- 3 小的整数 . 10．实数 m 、 n 在数轴上的位置如右 图所示，化简： nm  = . 11．已知圆锥的底面半径为 4，母线长为 6，则它的侧面积是 .（不取近似值） 12．如右图，在某十字路口，汽车可直行、 可左转、可右转.若这三种可能性相 同，则两辆汽车．．．．经过该路口都向右转 的概率为 . 13．若关于 x 、 y 的二元一次方程组      22 132 yx kyx 的解满足 yx  ﹥1，则 k 的取值范围 是 . 14．将矩形纸片 ABCD，按如图所示的方式折叠，点 A、点 C 恰好落在对角线 BD 上，得到菱 形 BEDF.若 BC=6，则 AB 的长为 . 15.将边长分别为 1、2、3、4……19、20 的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠 放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 . 三、 解答题： （ 55 分）解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． （一）（本题 2 个小题，共 9 分） 16．（4 分）计算：  8)2012( 0 4sin 1)2 1(45  得分 评卷人 得分 评卷人 17．（5 分）先化简，再求值： 62 4)3 73(   a a aa ，其中 1a （二）（本题 2 个小题，共 12 分） 18.（6 分）今年 5 月 31 日是世界卫生组织发起的第 25 个“世界无烟日”.为了更好地宣传 吸烟的危害，某中学八年级一班数学兴趣小组设计了如下调查问卷，在达城中心广场随 机调查了部分吸烟人群，并将调查结果绘制成统计图. 得分 评卷人 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的总人数是 人，并把条形统计图补充完整. （2）在扇形统计图中， C 选项的人数百分比是 ，E 选项所在扇形的圆心角的度 数是 . （3）若通川区约有烟民 14 万人，试估计对吸烟有害持“无所谓”态度的约有多少人？ 你对这部分人群有何建议？ 19．（6 分）大学生王强积极响应“自主创业”的号召，准备投资销售一种进价为每件 40 元的小家电.通过试营销发现，当销售单价在 40 元至 90 元之间（含 40 元和 90 元）时， 每月的销售量 y （件）与销售单价 x （元）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象 如图所示. （1）求 y 与 x 的函数关系式. （2）设王强每月获得的利润为 p （元）,求 p 与 x 之间的函数关系式；如果王强想要每 月获得 2400 元的利润，那么销售单价应定为多少元？ （三）（本题 2 个小题，共 15 分） 20．（7 分）数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如 下： 小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线. 根据以上情境，解决下列问题： ①李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是_________. ②小聪的作法正确吗？请说明理由. 得分 评卷人 ③请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法.（要求：作出图形，写出作图步骤，不 予证明） 21．（8 分） 问题背景 若矩形的周长为 1，则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为 x ，面 积为 s ，则 s 与 x 的函数关系式为： xxxs (2 12  ﹥0），利用函数的图象或通过配方均 可 求得该函数的最大值. 提出新问题 若矩形的面积为 1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？ 分析问题 若设该矩形的一边长为 x ，周长为 y ，则 y 与 x 的函数关系式为： )1(2 xxy  （ x ﹥0），问题就转化为研究该函数的最大（小）值了. 解决问题 借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数 )1(2 xxy  （ x ﹥0）的最大（小）值. （1）实践操作：填写下表，并用描点法 画出函数 )1(2 xxy  （ x ﹥0）的图象： （2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当 x = 时，函数 )1(2 xxy  （ x ﹥0） 有最 值（填“大”或“小”），是 . （3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数 xxxs (2 12  ﹥0）的最 大值，请你尝试通过配方求函数 )1(2 xxy  （ x ﹥0）的最大（小）值，以证明你的 猜想. 〔提示：当 x ＞0 时， 2)( xx  〕 （四）（本题 2 个小题，共 19 分） 22．(7 分)如图，C 是以 AB 为直径的⊙O 上一点，过 O 作 OE⊥AC 于点 E，过点 A 作⊙O 的切 线交 OE 的延长线于点 F，连结 CF 并延长交 BA 的延长线于点 P. （1）求证：PC 是⊙O 的切线. （2）若 AF=1，OA= 22 ，求 PC 的长. 23．（12 分）如图 1，在直角坐标系中，已知点 A（0，2）、点 B（-2，0），过点 B 和线段 OA 的中点 C 作直线 BC，以线段 BC 为边向上作正方形 BCDE. （1）填空：点 D 的坐标为（ ），点 E 的坐标为（ ）. （2）若抛物线 )0(2  acbxaxy 经过 A、D、E 三点，求该抛物线的解析式. （3）若正方形和抛物线均以每秒 5 个单位长度的速度沿射线 BC 同时向上平移，直至正 方形的顶点 E 落在 y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动. ①在运动过程中，设正方形落在 y 轴右侧部分的面积为 s ，求 s 关于平移时间t（秒） 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围. ②运动停止时，求抛物线的顶点坐标. 得分 评卷人 达州市 2012 年高中阶段教育学校招生统一考试 数学参考答案及评分意见 一、选择题（本题 8 个小题. 每小题 3 分，共 24 分）在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.D 2.A 3.C 4.B 5.D 6.A 7.B 8.D 二、填空题：（本题 7 个小题.每小题 3 分，共 21 分）把最后答案直接填在题中的横线上. 9.-2（答案不唯一） 10.n-m 11.24π 12. 9 1 13.k＞2 14. 32 15.210 三、解答题：（55 分）解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 16.解：原式= 22 24221  ………………………………………………..（2 分） = 222221  ………………………………………………………………….（3 分） =3………………………………………………………………………………………..（4 分） 17.解：原式= )3(2 4 3 162    a a a a ……………………………………………………（1 分） = 4 )3(2 3 )4)(4(    a a a aa ……………………………………………………………（2 分） =2（ a +4） =2 a +8…………………………………………………………………………………….(3 分) 当 a=-1 时，原式=2×(-1)+8…………………………………………………………….（4 分） =6……………………………………………………………………….（5 分） 18.（1）300（1 分） 补全统计图如下： …………………………………………………………..（2 分） （2）26%……………………………………………….（3 分） 36°………………………………………………….（4 分） （3）解：A 选项的百分比为： 300 12 ×100%=4% 对吸烟有害持“无所谓” 态度的人数为：14×4%=0.56（万）………（5 分） 建议：只要答案合理均可得分………………………………………………..（6 分） 19.解（1）设 y 与 x 的函数关系式为： )0(  kbkxy 由题意得      10065 16050 bk bk …………………………………………………………………………..（1 分） 解得      360 4 b k ………………………………………………………………………….（2 分）. ∴ 3604  xy （40≤ x ≤90）……………………………………………………（3 分） （2）由题意得， p 与 x 的函数关系式为： )3604)(40(  xxp = 144005204 2  xx ………………………………………………………………..（4 分） 当 P=2400 时 2400144005204 2  xx …………………………………………………………（5 分） 解得 601 x , 702 x ∴ 销售单价应定为 60 元或 70 元……………………………………………………..（6 分） 20.(1)SSS………………………………………………………………………………（1 分） (2)解：小聪的作法正确. 理由：∵PM⊥OM , PN⊥ON ∴∠ OMP=∠ONP=90° 在 Rt△OMP 和 Rt△ONP 中 ∵OP=OP , OM=ON ∴ Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）……………………………………………………….（3 分） ∴∠ MOP=∠NOP ∴ OP 平分∠AOB………………………………………………………………………（4 分） （3）解：如图所示. …………………………………………………………………..（6 分） 步骤：①利用刻度尺在 OA、OB 上分别截取 OG=OH. ②连结 GH，利用刻度尺作出 GH 的中点 Q. ③作射线 OQ.则 OQ 为∠AOB 的 平分线. ………………………………………（7 分） 20.(1) …………………………………………..（1 分） ………………………………………….（3 分） （2）1、小、4………………………………………………………………………..（5 分） （3）证明：        2 2 )( 1)(2 x xy        2 )( 12)(2 2 2 x x  4)1(2 2  x x ………………………………………………（7 分） 当 01  x x 时， y 的最小值是 4 即 x =1 时， y 的最小值是 4………………………………………………………..（8 分） 22.（1）证明：连结 OC ∵ OE⊥AC ∴ AE=CE ∴ FA=FC ∴∠ FAC=∠FCA ∵ OA=OC ∴∠ OAC=∠OCA ∴∠ OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA 即∠FAO=∠FCO ………………………………………………………………….（2 分） ∵ FA 与⊙O 相切，且 AB 是⊙O 的直径 ∴ FA⊥AB ∴∠ FCO=∠FAO=90° ∴ PC 是⊙O 的切线………………………………………………………………..（3 分） （2）∵PC 是⊙O 的切线 ∴∠ PCO=90° 而∠FPA=∠OPC ∠ PAF=90° ∴△PAF∽△PCO …………………………………………………………………..（4 分） ∴ CO AF PC PA  ∵ CO=OA= 22 ,AF=1 ∴ PC= 22 PA …………………………………………………………………..（5 分） 设 PA= x ，则 PC= x22 在 Rt△PCO 中，由勾股定理得 222 )22()22()22(  xx …………………………………………..（6 分） 解得： 7 24x ∴ PC 7 16 ……………………………………………………………………….（7 分） 23.（1）D（-1，3）、E（-3，2）（2 分） （2）抛物线经过（0，2）、（-1，3）、（-3，2），则       239 3 2 cba cba c ……………………………………………………………….（3 分） 解得            2 3 1 2 1 c b a ∴ 22 3 2 1 2  xxy ……………………………………………………….（4 分） （3）①当点 D 运动到 y 轴上时，t=12. 当 0＜t≤ 2 1 时，如右图 设 D′C′交 y 轴于点 F ∵ tan∠BCO= OC OB =2,又∵∠BCO=∠FCC′ ∴ tan∠FCC′=2, 即 CO CF   =2 ∵ CC′=5t,∴FC′=25t. ∴S△CC′F = 2 1 CC′·FC′= 52 1 t× 52 t=5 t2…………………………………（5 分） 当点 B 运动到点 C 时，t=1. 当 2 1 ＜t≤1 时，如右图 设 D′E′交 y 轴于点 G，过 G 作 GH⊥B′C′于 H. 在 Rt△BOC 中，BC= 512 22  ∴ GH= 5 ,∴CH= 2 1 GH= 2 5 ∵CC′= 5 t,∴HC′= 5 t- 2 5 ,∴GD′= 5 t- 2 5 ∴ S 梯形 CC′D′G = 2 1 ( 5 t- 2 5 + 5 t) 5 =5t- 4 5 ……………………………（7 分） 当点 E 运动到 y 轴上时，t= 2 3 . 当 1＜t≤ 2 3 时，如右图所示 设 D′E′、E′B′分别交 y 轴于点 M、N ∵ CC′= 5 t，B′C′= 5 , ∴CB′= 5 t- 5 ,∴ B′N=2CB′= 52 t- 52 ∵B′E′= 5 ,∴E′N=B′E′-B′N= 53 - 52 t ∴ E′M= 2 1 E′N= 2 1 ( 53 - 52 t) ∴ S△MNE′ = 2 1 ( 53 - 52 t)· 2 1 ( 53 - 52 t)=5t2-15t+ 4 45 ∴ S 五边形 B′C′D′MN =S 正方形 B′C′D′E′ -S△MNE′ = 2)5( (5t2-15t+ 4 45 )=-5t2+15t- 4 25 综上所述，S 与 x 的函数关系式为： 当 0＜t≤ 2 1 时, S=5 2t 当 2 1 ＜t≤1 时，S=5t 4 5 当 1＜t≤ 2 3 时，S=-5t2+15t 4 25 ………………………………………………..（9 分） ②当点 E 运动到点 E′时，运动停止.如下图所示 ∵∠ CB′E′=∠BOC=90°，∠BCO=∠B′CE′ ∴△ BOC∽△E′B′C ∴ CE BC EB OB  ∵ OB=2，B′E′=BC= 5 ∴ CE 5 5 2 ∴ CE′= 2 5 ∴ OE′=OC+CE′=1+ 2 5 = 2 7 ∴ E′（0， 2 7 ）…………………………………………………………………..（10 分） 由点 E（-3，2）运动到点 E′（0， 2 7 ）,可知整条抛物线向右平移了 3 个单位，向上平 移了 2 3 个单位. ∵ 22 3 2 1 2  xxy = 8 25)2 3(2 1 2  xy ∴原抛物线顶点坐标为（ 2 3 ， 8 25 ）……………………………………………（11 分） ∴ 运动停止时，抛物线的顶点坐标为（ 2 3 ， 8 37 ）…………………………（12 分）