2012年六盘水市中考数学试卷解析

2012 年六盘水中考数学试卷解析 一、选择题（每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的， 请将正确选项的代号填写在答题卷相应的空格内） 1．（2012•六盘水）﹣3 的倒数是（ ） A． B．﹣3 C．3 D． 考点： 倒数。 分析： 根据乘积是 1 的两个数互为倒数解答． 解答： 解：∵﹣3×（﹣ ）=1， ∴﹣3 的倒数是﹣ ． 故选 A． 点评： 本题考查了互为倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 2．（2012•六盘水）如图是教师每天在黑板上书写用的粉笔，它的主视图是（ ） A． B． C． D． 考点： 简单几何体的三视图。 分析： 首先判断该几何体是圆台，然后确定从正面看到的图形即可． 解答： 解：该几何体是圆台，主视图是等腰梯形． 故选 C． 点评： 本题考查了简单几何体的三视图，属于基础题，比较简单． 3．（2012•六盘水）已知不等式 x﹣1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式。 专题： 计算题。 分析： 根据不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 解答： 解：∵x﹣1≥0， ∴x≥1， 在数轴上表示不等式的解集为： ， 故选 C． 点评： 本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集等知识 点的应用，注意：在数轴上表示不等式的解集时，包括该点，用“黑点”，不包括该点 时，用“圆圈”． 4．（2012•六盘水）下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A．正三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．正方形 考点： 中心对称图形；轴对称图形。 分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项图形分析判断即可解答． 解答： 解：A、正三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误； C、等腰梯形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； D、正方形是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确． 故选 D． 点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念： 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合； 中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合是解题的关键． 5．（2012•六盘水）数字 ， ，π， ，cos45°， 中是无理数的个数有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 考点： 无理数；特殊角的三角函数值。 分析： 根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数， 结合所给的数据判断即可． 解答： 解： =2，cos45°= ， 所以数字 ， ，π， ，cos45°， 中无理数的有： ，π，cos45°，共 3 个． 故选 C． 点评： 此题考查了无理数的定义，属于基础题，关键是掌握无理数的三种形式． 6．（2012•六盘水）下列计算正确的是（ ） A． B．（a+b）2=a2+b2 C．（﹣2a）3=﹣6a3 D．﹣（x﹣2）=2﹣x 考点： 完全平方公式；去括号与添括号；幂的乘方与积的乘方；二次根式的加减法。 分析： 利用完全平方公式、去括号与添括号法则、幂的乘方与积的乘方及二次根式的加减 法等性质进行计算后即可确定答案． 解答： 解：A、不是同类二次根式，因此不能进行运算，故本答案错误； B、（a+b）2=a2+b2+2ab，故本答案错误； C、（﹣2a）3=﹣8a3，故本答案错误； D、﹣（x﹣2）=﹣x+2=2﹣x，故本答案正确； 故选 D． 点评： 本题考查了完全平方公式、去括号与添括号法则、幂的乘方与积的乘方及二次根式 的加减法等性质，属于基本运算，要求学生必须掌握． 7．（2012•六盘水）下列命题为真命题的是（ ） A．平面内任意三点确定一个圆 B．五边形的内角和为 540° C．如果 a＞b，则 ac2＞bc2 D．如果两条直线被第三条直线所截，那么所截得的同位角相等 考点： 确定圆的条件；不等式的性质；同位角、内错角、同旁内角；多边形内角与外角； 命题与定理。 分析： 利用确定圆的条件、不等式的性质及多边形的内角与外角等知识进行判断找到正确 的即可． 解答： 解：A、平面内不在同一直线上的三点确定一个圆，故本答案错误； B、五边形的内角和为（5﹣2）×180°=540°，故本选项正确； C、当 c=0 时，原式不成立，故本答案错误； D、两直线平行，同位角相等，故本答案错误． 故选 B． 点评： 本题考查了确定圆的条件、不等式的性质及多边形的内角与外角等知识，属于基础 题，知识点比较多． 8．（2012•六盘水）定义：f（a，b）=（b，a），g（m，n）=（﹣m，﹣n）．例如 f（2，3）= （3，2），g（﹣1，﹣4）=（1，4）．则 g[f（﹣5，6）]等于（ ） A．（﹣6，5） B．（﹣5，﹣6） C．（6，﹣5） D．（﹣5，6） 考点： 点的坐标。 专题： 新定义。 分析： 根据新定义先求出 f（﹣5，6），然后根据 g 的定义解答即可． 解答： 解：根据定义，f（﹣5，6）=（6，﹣5）， 所以，g[f（﹣5，6）]=g（6，﹣5）=（﹣6，5）． 故选 A． 点评： 本题考查了点的坐标，读懂题目信息，掌握新定义的运算规则是解题的关键． 9．（2012•六盘水）如图是邻居张大爷去公园锻炼及原路返回时离家的距离 y（千米）与时 间 t（分钟）之间的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（ ） A．张大爷去时所用的时间少于回家的时间 B．张大爷在公园锻炼了 40 分钟 C．张大爷去时走上坡路，回家时直下坡路 D．张大爷去时速度比回家时的速度慢 考点： 函数的图象。 分析： 根据图象可以得到张大爷去时所用的时间和回家所用的时间，在公园锻炼了多少分 钟，也可以求出去时的速度和回家的速度，根据可以图象判断去时是否走上坡路， 回家时是否走下坡路． 解答： 解：如图， A、张大爷去时所用的时间为 15 分钟，回家所用的时间为 5 分钟，故选项错误； B、张大爷在公园锻炼了 40﹣15=25 分钟，故选项错误； C、据（1）张大爷去时走上坡路，回家时走下坡路，故选项错误． D、张大爷去时用了 15 分钟，回家时候用了 5 分钟，因此去时的速度比回家时的速 度慢，故选项正确． 故选 D． 点评： 本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义， 理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统 一． 10．（2012•六盘水）如图为反比例函数 在第一象限的图象，点 A 为此图象上的一动点， 过点 A 分别作 AB⊥x 轴和 AC⊥y 轴，垂足分别为 B，C．则四边形 OBAC 周长的最小值为 （ ） A．4 B．3 C．2 D．1 考点： 反比例函数综合题。 分析： 首先表示出矩形边长，再利用长与宽的积为定值，且为正数，故考虑利用基本不等 式即可解决． 解答： 解：∵反比例函数 在第一象限的图象，点 A 为此图象上的一动点，过点 A 分别 作 AB⊥x 轴和 AC⊥y 轴，垂足分别为 B，C． ∴四边形 OBAC 为矩形， 设宽 BO=x，则 AB= ， 则 s=x+ ≥2 =2， 当且仅当 x= ，即 x=1 时，取等号． 故函数 s=x+ （x＞0）的最小值为 2． 故 2（x+ ）=2×2=4， 则四边形 OBAC 周长的最小值为 4． 故选：A． 点评： 此题考查了反比例函数的综合应用以及函数的最值问题，解答本题的关键是掌握不 等式的基本性质，即 a+b≥2 ，难度一般． 二、填空题（每小题 4 分，满分 32 分，请将答案填写在答题卷相应题号后的横线上） 11．（2012•六盘水）2012 年前 4 个月，我国城镇保障性安居工程己开工 228 套，开工率为 30%，完成投资 2470 亿元．投资金额 2470 亿元用科学记数法表示为 2.47×103 亿元． 考点： 科学记数法—表示较大的数。 分析： 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答： 解：2470=2.47×103， 故答案为：2.47×103． 点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 12．（2012•六盘水）分解因式：2x2+4x+2= 2（x+1）2 ． 考点： 提公因式法与公式法的综合运用。 分析： 先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b） 2． 解答： 解：2x2+4x+2 =2（x2+2x+1） =2（x+1）2． 故答案为：2（x+1）2． 点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二 次分解，注意分解要彻底． 13．（2012•六盘水）某班派 7 名同学参加数学竞赛，他们的成绩分别为：50，60，70，72， 65，60，57．则这组数据的众数的中位数分别是 60 ， 60 ． 考点： 众数；中位数。 分析： 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数 为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个． 解答： 解：在这一组数据中 60 是出现次数最多的，故众数是 60； 而将这组数据从小到大的顺序排列 50，57，60，60，65，70，72， 处于中间位置的那个数是 60， 那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 60． 故答案为：60，60． 点评： 本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大 到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的 中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 14．（2012•六盘水）已知两圆的半径分别为 2 和 3，两圆的圆心距为 4，那么这两圆的位置 关系是 相交 ． 考点： 圆与圆的位置关系。 分析： 由两圆的半径分别为 2 和 3，两圆的圆心距为 4，利用两圆位置关系与圆心距 d，两 圆半径 R，r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系． 解答： 解：∵两圆的半径分别为 2 和 3，两圆的圆心距为 4， ∴2+3=5，3﹣2=1， ∵1＜4＜5， ∴这两圆的位置关系是相交． 故答案为：相交． 点评： 此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，注意掌握两圆位置关系与圆心距 d， 两圆半径 R，r 的数量关系间的联系． 15．（2012•六盘水）如图，已知∠OCB=20°，则∠A= 70 度． 考点： 圆周角定理。 分析： 由 OB=OC 与∠OCB=20°，根据等边对等角，即可求得∠OBC，又由三角形内角和 定理，求得∠BOC 的度数，然后利用圆周角定理，即可求得∠A 的度数． 解答： 解：∵OC=OB， ∴∠OBC=∠OCB=20°， ∴∠BOC=180°﹣∠OCB﹣∠OBC=180°﹣20°﹣20°=140°， ∴∠A= ∠BOC=70°． 故答案为：70． 点评： 此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题比较简单， 注意数形结合思想的应用，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这 条弧所对的圆心角的一半定理的应用． 16．（2012•六盘水）两块大小一样斜边为 4 且含有 30°角的三角板如图水平放置．将△CDE 绕 C 点按逆时针方向旋转，当 E 点恰好落在 AB 上时，△CDE 旋转了 30 度，线段 CE 旋转过程中扫过的面积为 ． 考点： 旋转的性质；扇形面积的计算。 分析： 根据含有 30°角的直角三角形的性质可知 CE′是△ACB 的中线，可得△E′CB 是等边 三角形，从而得出∠ACE′的度数和 CE′的长，从而得出△CDE 旋转的度数；再根据 扇形面积公式计算求解． 解答： 解：∵三角板是两块大小一样斜边为 4 且含有 30°的角， ∴CE′是△ACB 的中线， ∴CE′=BC=BE′=2， ∴△E′CB 是等边三角形， ∴∠BCE′=60°， ∴∠ACE′=90°﹣60°=30°， ∴线段 CE 旋转过程中扫过的面积为： = ． 故答案为：30， ． 点评： 考查了含有 30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定，旋转的性质和扇形面积 的计算，本题关键是得到 CE′是△ACB 的中线． 17．（2012•六盘水）当宽为 3cm 的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的 读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为 cm． 考点： 垂径定理的应用；勾股定理。 专题： 探究型。 分析： 连接 OA，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，由垂径定理可知，AD= AB= （9﹣1）=4， 设 OA=r，则 OD=r﹣3，在 Rt△OAD 中利用勾股定理求出 r 的值即可． 解答： 解：连接 OA，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D， ∵OD⊥AB， ∴AD= AB= （9﹣1）=4， 设 OA=r，则 OD=r﹣3， 在 Rt△OAD 中， OA2﹣OD2=AD2，即 r2﹣（r﹣3）2=42，解得 r= cm． 故答案为： ． 点评： 本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解 答此题的关键． 18．（2012•六盘水）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比 西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三 角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n 为非负整数）的展开式中 a 按次数从大到小排列的项的系数．例如，（a+b）2=a2+2ab+b2 展开式中的系数 1、2、1 恰好 对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 展开式中的系数 1、3、3、1 恰好 对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出（a+b）4 的展开式，（a+b）4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ． 考点： 规律型：数字的变化类；完全平方公式。 专题： 规律型。 分析： 由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 可得（a+b）n 的各 项展开式的系数除首尾两项都是 1 外，其余各项系数都等于（a+b）n﹣1 的相邻两个 系数的和，由此可得（a+b）4 的各项系数依次为 1、4、6、4、1． 解答： 解：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 故答案为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 点评： 本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的 式子寻找规律，是快速解题的关键． 三、解答题（本大题共 7 道题，满分 88 分，请在答题卷中作答，必须写出运算步骤，推理 过程，文字说明或作图痕迹） 19．（2012•六盘水）（1）计算： （2）先化简代数式 ，再从﹣2，2，0 三个数中选一个恰当的数 作为 a 的值代入求值． 考点： 分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。 专题： 开放型。 分析： （1）将原式第一项利用负指数公式化简，第二项判断 1﹣ 小于 0，利用负数的绝 对值等于它的相反数化简，第三项利用零指数公式化简，第四项利用特殊角的三角 函数值化简，最后一项分子化为最简二次根式，约分后得到结果，去括号整理后， 即可得到原式的最后结果； （2）将原式括号中的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除式的分子利用 完全平方公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于 乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后得到最简结果，然后从﹣2，2， 0 三个数中选择一个数 0（﹣2 与 2 使分母为 0，不合题意，舍去），将 a=0 代入化简 后的式子中计算，即可求出原式的值． 解答： 解：（1）（﹣ ）﹣2﹣|1﹣ |﹣（ ﹣1）0+2sin60°+ =4﹣（ ﹣1）﹣1+2× + =4﹣ +1﹣1+ + =4+ ； （2）（1﹣ ）÷ = ÷ = • = ， 当 a=0 时，原式= =2． 点评： 此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，涉及的知识有：零指数、负指数公 式，绝对值的代数意义，二次根式的化简，以及特殊角的三角函数值，分式的加减 运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分 的关键是找公因式．本题第二小题 a 的取值注意不能选 2 和﹣2，只能选择 a=0． 20．（2012•六盘水）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形．Rt△ABC 的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点 A 的坐标为（﹣4，1），点 B 的坐标为（﹣ 1，1）． （1）先将 Rt△ABC 向右平移 5 个单位，再向下平移 1 个单位后得到 Rt△A1B1C1．试在图 中画出图形 Rt△A1B1C1，并写出 A1 的坐标； （2）将 Rt△A1B1C1 绕点 A1 顺时针旋转 90°后得到 Rt△A2B2C2，试在图中画出图形 Rt△A2B2C2．并计算 Rt△A1B1C1 在上述旋转过程中 C1 所经过的路程． 考点： 作图-旋转变换；弧长的计算；作图-平移变换。 专题： 作图题。 分析： （1）根据网格结构找出点 A、B、C 平移后的对应点 A1、B1、C1 的位置，然后顺次 连接即可，再根据平面直角坐标系写出点 A1 的坐标即可； （2）根据网格结构找出点 A1、B1、C1 绕点 A1 顺时针旋转 90°后的对应点 A2、B2、 C2 的位置，然后顺次连接即可，再根据勾股定理求出 A1C1 的长度，然后根据弧长公 式列式计算即可得解． 解答： 解：（1）如图所示，△A1B1C1 即为所求作的三角形， 点 A1 的坐标为（1，0）； （2）如图所示，△A2B2C2 即为所求作的三角形， 根据勾股定理，A1C1= = ， 所以，旋转过程中 C1 所经过的路程为 = π． 点评： 本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，弧长的计算公式，熟练掌握网 格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键． 21．（2012•六盘水）假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到 A、B、C、D 四个地方进 行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票．如图 1 是未制作完成的车票种类和数 量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题： （1）若去 C 地的车票占全部车票的 30%，则去 C 地的车票数量是 30 张，补全统计图． （2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完 全相同且充分洗匀），那么余老师抽到去 B 地的概率是多少？ （3）若有一张去 A 地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其 中甲转盘被分成四等份且标有数字 1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字 7、8、9，如 图 2 所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李 老师，否则票给张老师（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规 定对双方是否公平． 考点： 游戏公平性；扇形统计图；条形统计图；概率公式；列表法与树状图法。 分析： （1）根据去 A、B、D 的车票总数除以所占的百分比求出总数，再减去去 A、B、D 的车票总数即可； （2）用去 B 地的车票数除以总的车票数即可； （3）根据题意用列表法分别求出当指针指向的两个数字之和是偶数时的概率，即可 求出这个规定对双方是否公平． 解答： 解：（1）根据题意得： 总的车票数是：（20+40+10）÷（1﹣30%）=100， 则去 C 地的车票数量是 100﹣70=30； 故答案为：30． （2）余老师抽到去 B 地的概率是 = ； （3）根据题意列表如下： 因为两个数字之和是偶数时的概率是 = ， 所以票给李老师的概率是 ， 所以这个规定对双方公平． 点评： 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率 相等就公平，否则就不公平． 22．（2012•六盘水）如图，已知 E 是▱ ABCD 中 BC 边的中点，连接 AE 并延长 AE 交 DC 的延长线于点 F． （1）求证：△ABE≌△FCE． （2）连接 AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：四边形 ABFC 为矩形． 考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质。 专题： 证明题。 分析： （1）由 ABCD 为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到 AB 与 DC 平行，根 据两直线平行内错角相等得到一对角相等，由 E 为 BC 的中点，得到两条线段相等， 再由对应角相等，利用 ASA 可得出三角形 ABE 与三角形 FCE 全等； （2）由△ABE 与△FCE 全等，根据全等三角形的对应边相等得到 AB=CF；再由 AB 与 CF 平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到 ABFC 为平行四边 形，根据平行四边形的对角线互相平分得到 AE=EF，BE=EC；再由∠AEC 为三角形 ABE 的外角，利用外角的性质得到∠AEB 等于∠ABE+∠EAB，再由 ∠AEC=2∠ABC，得到∠ABE=∠EAB，利用等角对等边可得出 AE=BE，可得出 AF=BC，利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出 ABFC 为矩形． 解答： 证明：（1）∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠ABE=∠ECF， 又∵E 为 BC 的中点， ∴BE=CE， 在△ABE 和△FCE 中， ∵ ， ∴△ABE≌△FCE（ASA）； （2）∵△ABE≌△FCE， ∴AB=CF，又 AB∥CF， ∴四边形 ABFC 为平行四边形， ∴BE=EC，AE=EF， 又∵∠AEC=2∠ABC，且∠AEC 为△ABE 的外角， ∴∠AEC=∠ABC+∠EAB， ∴∠ABC=∠EAB， ∴AE=BE， ∴AE+EF=BE+EC，即 AF=BC， 则四边形 ABFC 为矩形． 点评： 此题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判 定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 23．（2012•六盘水）如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下 数据：小丽在河岸边选取点 A，在点 A 的对岸选取一个参照点 C，测得∠CAD=30°；小丽 沿岸向前走 30m 选取点 B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识， 帮小丽计算小河的宽度． 考点： 解直角三角形的应用。 专题： 应用题。 分析： 先根据题意画出示意图，过点 C 作 CE⊥AD 于点 E，设 BE=x，则在 RT△ACE 中， 可得出 CE，利用等腰三角形的性质可得出 BC，继而在 RT△BCE 中利用勾股定理可 求出 x 的值，也可得出 CE 的长度． 解答： 解：过点 C 作 CE⊥AD 于点 E， 由题意得，AB=30m，∠CAD=30°，∠CBD=60°， 故可得∠ACB=∠CAB=30°， 即可得 AB=BC=30m， 设 BE=x，在 Rt△BCE 中，可得 CE= x， 又∵BC2=BE2+CE2，即 900=x2+3x2， 解得：x=15，即可得 CE=15 m． 答：小丽自家门前的小河的宽度为 15 m． 点评： 此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是画出示意图，将实际问题转化 为解直角三角形的问题，注意直角三角形的构造，难度一般． 24．（2012•六盘水）为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每 月用水量不超过 15 吨时（包括 15 吨），采用基本价收费；当每月用水量超过 15 吨时，超过 部分每吨采用市场价收费．小兰家 4、5 月份的用水量及收费情况如下表： 月份 用水量（吨） 水费（元） 4 22 51 5 20 45 （2）设每月用水量为 n 吨，应缴水费为 m 元，请写出 m 与 n 之间的函数关系式． （3）小兰家 6 月份的用水量为 26 吨，则她家要缴水费多少元？ 考点： 一次函数的应用。 分析： （1）利用已知得出 4 月份用水 22 吨，水费 51 元，5 月份用水 20 吨，水费 45 元， 求出市场价收费标准为：（51﹣45）÷（22﹣20）=3（元/吨），进而得出每吨水的基本 价； （2）利用（1）中所求不同水价，再利用当 n≤15 时，m=2n，当 n＞15 时，分别求出 即可． （3）根据（1）中所求得出，用水量为 26 吨时要缴水费． 解答： 解：（1）根据当每月用水量不超过 15 吨时（包括 15 吨），采用基本价收费；当每月 用水量超过 15 吨时，超过部分每吨采用市场价收费， ∵4 月份用水 22 吨，水费 51 元，5 月份用水 20 吨，水费 45 元， ∴市场价收费标准为：（51﹣45）÷（22﹣20）=3（元/吨）， 设基本价收费为 x 元/吨， 根据题意得出：15x+（22﹣15）×3=51， 解得：x=2， 故该市每吨水的基本价和市场价分别为：3 元/吨，2 元/吨； （2）当 n≤15 时，m=2n， 当 n＞15 时，m=15×2+（n﹣15）×3=3n+15， （3）∵小兰家 6 月份的用水量为 26 吨， ∴她家要缴水费 15×2+（26﹣15）×3=63 元． 点评： 此题主要考查了一次函数的应用关键是分段函数的写法以及求自变量时把函数值正 确代入相对应的函数，此题难度不大，是初中阶段考查重点． 25．（2012•六盘水）如图 1，已知△ABC 中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点 P 由 B 出发沿 BA 方向点 A 匀速运动，同时点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的 速度均为 2cm/s．连接 PQ，设运动的时间为 t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题： （1）当 t 为何值时，PQ∥BC． （2）设△AQP 面积为 S（单位：cm2），当 t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值． （3）是否存在某时刻 t，使线段 PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在，求出此时 t 的值； 若不存在，请说明理由． （4）如图 2，把△AQP 沿 AP 翻折，得到四边形 AQPQ′．那么是否存在某时刻 t，使四边形 AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由． 考点： 相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用；二次函数的最值；勾股定理；勾 股定理的逆定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）。 专题： 代数几何综合题；压轴题。 分析： （1）由 PQ∥BC 时的比例线段关系，列一元一次方程求解； （2）如解答图 1 所示，过 P 点作 PD⊥AC 于点 D，构造比例线段，求得 PD，从而 可以得到 S 的表达式，然后利用二次函数的极值求得 S 的最大值； （3）要点是利用（2）中求得的△AQP 的面积表达式，再由线段 PQ 恰好把△ABC 的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于 0，则可以得出 结论：不存在这样的某时刻 t，使线段 PQ 恰好把△ABC 的面积平分； （4）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得 PQ、QD 和 PD 的长度； 然后在 Rt△PQD 中，求得时间 t 的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面 积等于△AQP 面积的 2 倍，从而可以利用（2）中△AQP 面积的表达式，这样可以 化简计算． 解答： 解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm， ∴由勾股定理逆定理得△ABC 为直角三角形，∠C 为直角． （1）BP=2t，则 AP=10﹣2t． ∵PQ∥BC，∴ ，即 ，解得 t= ， ∴当 t= s 时，PQ∥BC． （2）如答图 1 所示，过 P 点作 PD⊥AC 于点 D． ∴PD∥BC，∴ ，即 ，解得 PD=6﹣ t． S= ×AQ×PD= ×2t×（6﹣ t）=﹣ t2+6t=﹣ （t﹣ ）2+ ， ∴当 t= s 时，S 取得最大值，最大值为 cm2． （3）假设存在某时刻 t，使线段 PQ 恰好把△ABC 的面积平分， 则有 S△AQP= S△ABC，而 S△ABC= AC•BC=24，∴此时 S△AQP=12． 由（2）可知，S△AQP=﹣ t2+6t， ∴﹣ t2+6t=12，化简得：t2﹣5t+10=0， ∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解， ∴不存在某时刻 t，使线段 PQ 恰好把△ABC 的面积平分． （4）假设存在时刻 t，使四边形 AQPQ′为菱形，则有 AQ=PQ=BP=2t． 如答图 2 所示，过 P 点作 PD⊥AC 于点 D，则有 PD∥BC， ∴ ，即 ， 解得：PD=6﹣ t，AD=8﹣ t， ∴QD=AD﹣AQ=8﹣ t﹣2t=8﹣ t． 在 Rt△PQD 中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2， 即（8﹣ t）2+（6﹣ t）2=（2t）2， 化简得：13t2﹣90t+125=0， 解得：t1=5，t2= ， ∵t=5s 时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t= ． 由（2）可知，S△AQP=﹣ t2+6t ∴S 菱形 AQPQ′=2S△AQP=2×（﹣ t2+6t）=2×[﹣ ×（ ）2+6× ]= cm2． 所以存在时刻 t，使四边形 AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为 cm2． 点评： 本题是非常典型的动点型综合题，全面考查了相似三角形线段比例关系、菱形的性 质、勾股定理及其逆定理、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法与判别式、 二次函数的极值等知识点，涉及的考点众多，计算量偏大，有一定的难度．本题考 查知识点非常全面，是一道测试学生综合能力的好题．