2012年重庆市中考数学试题及答案解析

2012 年重庆市中考数学试卷 一．选择题（本大题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）在每个小题的下面，都给出了代号 为 A．B．C．D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对 应的方框涂黑（或将正确答案的代号填人答题卷中对应的表格内）. 1．（2012 重庆）在﹣3，﹣1，0，2 这四个数中，最小的数是（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2 考点：有理数大小比较。 解答：解：这四个数在数轴上的位置如图所示： 由数轴的特点可知，这四个数中最小的数是﹣3． 故选 A． 2．（2012 重庆）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 考点：轴对称图形。 解答：解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选 B． 3．（2012 重庆）计算  2ab 的结果是（ ） A．2ab B． ba 2 C． 22ba D． 2ab 考点：幂的乘方与积的乘方。 解答：解：原式=a2b2． 故选 C． 4．（2012 重庆）已知：如图，OA，OB 是⊙O 的两条半径，且 OA⊥OB，点 C 在⊙O 上， 则∠ACB 的度数为（ ） A．45° B．35° C．25° D．20° 考点：圆周角定理。 解答：解：∵OA⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∴∠ACB=45°． 故选 A． 5．（2012 重庆）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ） A．调查市场上老酸奶的质量情况 B．调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命 C．调 查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品 D．调查我市市民对伦敦奥运会吉祥物的知晓率 考点：全面调查与抽样调查。 解答：解：A、数量较大，普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查； B、数量较大，具有破坏性的调查，应选择抽样调查； C、事关重大的调查往往选用普查； D、数量较大，普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查． 故选 C． 6．（2012 重庆）已知：如图，BD 平分∠ABC，点 E 在 BC 上，EF∥AB．若∠CEF=100°， 则∠ABD 的度数为（ ） A．60° B．50° C．40° D．30° 考点：平行线的性质；角平分线的定义。 解答：解：∵EF∥AB，∠CEF=100°， ∴∠ABC=∠CEF=100°， ∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD= ∠ABC= ×100°=50°． 故选 B． 7．（2012 重庆）已知关于 x 的方程 2 9 0x a   的解是 2x  ，则 a 的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点：一元一次方程的解。 解答：解；∵方程 2 9 0x a   的解是 x=2， ∴2×2+a﹣9=0， 解得 a=5． 故选 D． 8．（2012 重庆）2012 年“国际攀岩比赛”在重庆举行．小丽从家出发开车前去观看，途中发 现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一 会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为 t，小丽与比赛现场的距 离为 S．下面能反映 S 与 t 的函数关系的大致图象是（ ） A． B． C． D． 考点：函数的图象。 解答：解：根据题意可得，S 与 t 的函数关系的大致图象分为四段， 第一段，小丽从出发到往回开，与比赛现场的距离在减小， 第二段，往回开到遇到妈妈，与比赛现场的距离在增大， 第三段与妈妈聊了一会，与比赛现场的距离不变， 第四段，接着开往比赛现场，与比赛现场的距离逐渐变小，直至为 0， 纵观各选项，只有 B 选项的图象符合． 故选 B． 9．（2012 重庆）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一 共有 2 个五角星，第②个图形一共有 8 个五角星，第③个图形一共有 18 个五角星，…，则 第⑥个图形中五角星的个数为（ ） A．50 B．64 C．68 D．72 考点：规律型：图形的变化类。 解答：解：第①个图形一共有 2 个五角星， 第②个图形一共有 8 个五角星， 第③个图形一共有 18 个五角星， …， 则所以第⑥个图形中五角星的个数为 2×62=72； 故选 D． 10．（2012 重庆）已知二次函数 )0(2  acbxaxy 的图象如图所示对称轴为 2 1x ． 下列结论中，正确的是（ ） A ． 0abc  B ． 0a b  C ． 2 0b c  D． 4 2a c b  考点：二次函数图象与系数的关系。 解答：解：A、∵开口向上， ∴a＞0， ∵与 y 轴交与负半轴， ∴c＜0， ∵对称轴在 y 轴左侧， ∴﹣ ＜0， ∴b＞0， ∴abc＜0， 故本选项错误； B、∵对称轴：x=﹣ =﹣ ， ∴a=b， 故本选项错误； C、当 x=1 时，a+b+c=2b+c＜0， 故本选项错误； D、∵对称轴为 x=﹣ ，与 x 轴的一个交点的取值范围为 x1＞1， ∴与 x 轴的另一个交点的取值范围为 x2＜﹣2， ∴当 x=﹣2 时，4a﹣2b+c＜0， 即 4a+c＜2b， 故本选项正确． 故选 D． 二．填空题（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的答案直接填在答题卡 （卷）中对应的横线上， 11．（2012 重庆）据报道，2011 年重庆主城区私家车拥有量近 38000 辆．将数 380000 用科 学记数法表示为 ． 考点：科学记数法—表示较大的数。 解答：解：380 000=3.8×105． 故答案为：3.8×105． 12．（2012 重庆）已知△ABC∽△DEF，△ABC 的周长为 3，△DEF 的周长为 1，则 ABC 与△DEF 的面积之比为 ． 考点：相似三角形的性质。 解答：解：∵△ABC∽△DEF，△ABC 的周长为 3，△DEF 的周长为 1， ∴三角形的相似比是 3：1， ∴△ABC 与△DEF 的面积之比为 9：1． 故答案为：9：1． 13．（2012 重庆）重庆农村医疗保险已经全面实施．某县七个村中享受了住院医疗费用报销 的人数分别为：20，24，27，28，31，34，38，则这组数据的中位数是 ． 考点：中位数。 解答：解：把这一组数据从小到大依次排列为 20，24，27，28，31，34，38， 最中间的数字是 28， 所以这组数据的中位数是 28； 故答案为：28． 14．（2012 重庆）一个扇形的圆心角为 120°，半径为 3，则这个扇形的面积为 （结 果保留π） 考点：扇形面积的计算。 解答：解：由题意得，n=120°，R=3， 故 S 扇形= = =3π． 故答案为：3π． 15．（2012 重庆）将长度为 8 厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截成的三 段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5，2，1 和 1，5，2），那么截成的三段木棍能构 成三角形的概率是 ． 考点：概率公式；三角形三边关系。 解答：解：因为将长度为 8 厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米， 共有 4 种情况，分别是 1，2，5；1，3，4；2，3，3；4，2，2； 其中能构成三角形的是：2，3，3 一种情况， 所以截成的三段木棍能构成三角形的概率是 ； 故答案为： ． 16．（2012 重庆）甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌．规定每人最多两种取 法，甲每次取 4 张或（4﹣k）张，乙每次取 6 张或（6﹣k）张（k 是常数，0＜k＜4）．经统 计，甲共取了 15 次，乙共取了 17 次，并且乙至少取了一次 6 张牌，最终两人所取牌的总张 数恰好相等，那么纸牌最少有 张． 考点：应用类问题。 解答：解：设甲 a 次取（4﹣k）张，乙 b 次取（6﹣k）张，则甲（15﹣a）次取 4 张，乙（17 ﹣b）次取 6 张， 则甲取牌（60﹣ka）张，乙取牌（102﹣kb）张 则总共取牌：N=a（4﹣k）+4（15﹣a）+b（6﹣k）+6（17﹣b）=﹣k（a+b）+162， 从而要使牌最少，则可使 N 最小，因为 k 为正数，函数为减函数，则可使（a+b）尽可能的 大， 由题意得，a≤15，b≤16， 又最终两人所取牌的总张数恰好相等， 故 k（b﹣a）=42，而 0＜k＜4，b﹣a 为整数， 则由整除的知识，可得 k 可为 1，2，3， ①当 k=1 时，b﹣a=42，因为 a≤15，b≤16，所以这种情况舍去； ②当 k=2 时，b﹣a=21，因为 a≤15，b≤16，所以这种情况舍去； ③当 k=3 时，b﹣a=14，此时可以符合题意， 综上可得：要保证 a≤15，b≤16，b﹣a=14，（a+b）值最大， 则可使 b=16，a=2；b=15，a=1；b=14，a=0； 当 b=16，a=2 时，a+b 最大，a+b=18， 继而可确定 k=3，（a+b）=18， 所以 N=﹣3×18+162=108 张． 故答案为：108． 三．解答题（共 10 小题） 17．（2012 重庆）计算：     2 20120 3 11-|5|2-π4       ． 考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂。 解答：解：原式=2+1﹣5+1+9=8． 18．（2012 重庆）已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED． 考点：全等三角形的判定与性质。 解答：证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD， 即：∠EAD=∠BAC， 在△EAD 和△BAC 中 ， ∴△ABC≌△AED（ASA）， ∴BC=ED． 19．（2012 重庆）解方程： 2 1 1 2  xx ． 考点：解分式方程。 解答：解：方程两边都乘以（x﹣1）（x﹣2）得， 2（x﹣2）=x﹣1， 2x﹣4=x﹣1， x=3， 经检验，x=3 是原方程的解， 所以，原分式方程的解是 x=3． 20．（2012 重庆）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点 D 在 BC 边上，且△ABD 是等边 三角形．若 AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号） 考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理。 解答：解：∵△ABD 是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵∠BAC=90°， ∴∠C=180°﹣90°﹣60°=30°， ∴BC=2AB=4， 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC= = =2 ， ∴△ABC 的周长是 AC+BC+AB=2 +4+2=6+2 ． 答：△ABC 的周长是 6+2 ． 四、解答题：（本大题 4 个小题，每小题 10 分，共 40 分） 解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的 位置上． 21．（2012 重庆）先化简，再求值： 12 2 1 2 1 43 22          xx x xx x ，其中 x 是不等式组      152 04 x x 的整数解． 考点：分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解。 解答：解：原式=[ ﹣ ]• = • = • = ， 又 ， 由①解得：x＞﹣4， 由②解得：x＜﹣2， ∴不等式组的解集为﹣4＜x＜﹣2， 其整数解为﹣3， 当 x=﹣3 时，原式= =2． 22．（2012 重庆）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数 )0(  abaxy 的图象与 反比例函数 )0(  kx ky 的图象交于一、三象限内的 A．B 两点，与 x 轴交于 C 点，点 A 的 坐标为（2,m)，点 B 的坐标为（n，－2），tan∠BOC＝ 5 2 。 （l）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）在 x 轴上有一点 E（O 点除外），使得△BCE 与△BCO 的面积相等，求出点 E 的坐标． 考点：反比例函数综合题。 解答：解：（1）过 B 点作 BD⊥x 轴，垂足为 D， ∵B（n，﹣2），∴BD=2， 在 Rt△OBD 在，tan∠BOC= ，即 = ，解得 OD=5， 又∵B 点在第三象限，∴B（﹣5，﹣2）， 将 B（﹣5，﹣2）代入 y= 中，得 k=xy=10， ∴反比例函数解析式为 y= ， 将 A（2，m）代入 y= 中，得 m=5，∴A（2，5）， 将 A（2，5），B（﹣5，﹣2）代入 y=ax+b 中， 得 ，解得 ， 则一次函数解析式为 y=x+3； （2）由 y=x+3 得 C（﹣3，0），即 OC=3， ∵S△BCE=S△BCO，∴CE=OC=3， ∴OE=6，即 E（﹣6，0）． 23．（2012 重庆）高中招生指标到校是我市中考招生制度改革的一项重要措施．某初级中学 对该校近四年指标到校保送生人数进行了统计，制成了如下两幅不完整的统计图： （1）该校近四年保送生人数的极差是 ．请将折线统计图补充完整； （2）该校 2009 年指标到校保送生中只有 1 位女同学，学校打算从中随机选出 2 位同学了解 他们进人高中阶段的学习情况．请用列表法或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是 1 位男同学和 1 位女同学的概率． 考点：折线统计图；扇形统计图；极差；列表法与树状图法。 解答：解：（1）因为该校近四年保送生人数的最大值是 8，最小值是 3， 所以该校近四年保送生人数的极差是：8﹣3=5， 折线统计图如下： （2）列表如下： 由图表可知，共有 12 种情况，选两位同学恰好是 1 位男同学和 1 位女同学的有 6 种情况， 所以选两位同学恰好是 1 位男同学和 1 位女同学的概率是 = ． 24．（2012 重庆）已知：如图，在菱形 ABCD 中，F 为边 BC 的中点，DF 与对角线 AC 交 于点 M，过 M 作 ME⊥CD 于点 E，∠1=∠2． （1）若 CE=1，求 BC 的长； （2）求证：AM=DF+ME． 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质。 解答：（1）解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB∥CD， ∴∠1=∠ACD， ∵∠1=∠2， ∴∠ACD=∠2， ∴MC=MD， ∵ME⊥CD， ∴CD=2CE， ∵CE=1， ∴CD=2， ∴BC=CD=2； （2）证明：如图，∵F 为边 BC 的中点， ∴BF=CF= BC， ∴CF=CE， 在菱形 ABCD 中，AC 平分∠BCD， ∴∠ACB=∠ACD， 在△CEM 和△CFM 中， ∵ ， ∴△CEM≌△CFM（SAS）， ∴ME=MF， 延长 AB 交 DF 于点 G， ∵AB∥CD， ∴∠G=∠2， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠G， ∴AM=MG， 在△CDF 和△BGF 中， ∵ ， ∴△CDF≌△BGF（AAS）， ∴GF=DF， 由图形可知，GM=GF+MF， ∴AM=DF+ME． 25．（2012 重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种 是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为 12000 吨，由于污水厂处于 调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1 至 6 月，该企业向污水厂输送的污水量 y1（吨）与月份 x（1≤x≤6，且 x 取整数）之间满足 的函数关系如下表： 7 至 12 月，该企业自身处理的污水量 y2（吨）与月份 x（7≤x≤12，且 x 取整数）之间满足 二次函数关系式为 )0(2 2  acaxy ．其图象如图所示．1 至 6 月，污水厂处理每吨污水 的费用： 1z （元）与月份 x 之间满足函数关系式： xz 2 1 1  ，该企业自身处理每吨污水的 费用： 2z （元）与月份 x 之间满足函数关系式： 2 2 12 1 4 3 xxz  ；7 至 12 月，污水厂处 理每吨污水的费用均为 2 元，该企业自身处理每吨污水的费用均为 1.5 元． （1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识， 分别直接写出 21，yy 与 x 之间的函数关系式； （2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用 W（元）最多，并求出这个最多费用； （3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全 部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加 a%，同时每 吨污水处理的费用将在去年 12 月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业 负担，财政对企业处理污水的费用进行 50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为 18000 元，请计算出 a 的整数值． （参考数据： ≈15.2， ≈20.5， ≈28.4） 考点：二次函数的应用。 解答：解：（1）根据表格中数据可以得出 xy=定值，则 y1 与 x 之间的函数关系为反比例函 数关系： y1= ，将（1，12000）代入得： k=1×12000=12000， 故 y1= （1≤x≤6，且 x 取整数）； 根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点， 代入 得： ， 解得： ， 故 y2=x2+10000（7≤x≤12，且 x 取整数）； （2）当 1≤x≤6，且 x 取整数时： W=y1x1+（12000﹣y1）•x2= • x+（12000﹣ ）•（ x﹣ x2）， =﹣1000x2+10000x﹣3000， ∵a=﹣1000＜0，x=﹣ =5，1≤x≤6， ∴当 x=5 时，W 最大=22000（元）， 当 7≤x≤12 时，且 x 取整数时， W=2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000）， =﹣ x2+1900， ∵a=﹣ ＜0，x=﹣ =0， 当 7≤x≤12 时，W 随 x 的增大而减小， ∴当 x=7 时，W 最大=18975.5（元）， ∵22000＞18975.5， ∴去年 5 月用于污水处理的费用最多，最多费用是 22000 元； （3）由题意得：12000（1+a%）×1.5×[1+（a﹣30）%]×（1﹣50%）=18000， 设 t=a%，整理得：10t2+17t﹣13=0， 解得：t= ， ∵ ≈28.4， ∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去）， ∴a≈57， 答：a 的值是 57． 26．（2012 重庆）已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6， AB=3．E 为 BC 边上一点，以 BE 为边作正方形 BEFG，使正方形 BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的同侧． （1）当正方形的顶点 F 恰好落在对角线 AC 上时，求 BE 的长； （2）将（1）问中的正方形 BEFG 沿 BC 向右平移，记平移中的正方形 BEFC 为正方形 B′EFG， 当点 E 与点 C 重合时停止平移．设平移的距离为 t，正方形 B′EFG 的边 EF 与 AC 交于点 M， 连接 B′D，B′M，DM，是否存在这样的 t，使△B′DM 是直角三角形？若存在，求出 t 的值； 若不存在，请说明理由； （3）在（2）问的平移过程中，设正方形 B′EFG 与△ADC 重叠部分的面积为 S，请直接写 出 S 与 t 之间的函数关系式以及自变量 t 的取值范围． 考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角梯形。 解答：解：（1）如图①， 设正方形 BEFG 的边长为 x， 则 BE=FG=BG=x， ∵AB=3，BC=6， ∴AG=AB﹣BG=3﹣x， ∵GF∥BE， ∴△AGF∽△ABC， ∴ ， 即 ， 解得：x=2， 即 BE=2； （2）存在满足条件的 t， 理由：如图②，过点 D 作 DH⊥BC 于 H， 则 BH=AD=2，DH=AB=3， 由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t， 在 Rt△B′ME 中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣ t）2= t2﹣2t+8， ∵EF∥AB， ∴△MEC∽△ABC， ∴ ，即 ， ∴ME=2﹣ t， 在 Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13， 过点 M 作 MN⊥DH 于 N， 则 MN=HE=t，NH=ME=2﹣ t， ∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣ t）= t+1， 在 Rt△DMN 中，DM2=DN2+MN2= t2+t+1， （Ⅰ）若∠DB′M=90°，则 DM2=B′M2+B′D2， 即 t2+t+1=（ t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13）， 解得：t= ， （Ⅱ）若∠B′MD=90°，则 B′D2=B′M2+DM2， 即 t2﹣4t+13=（ t2﹣2t+8）+（ t2+t+1）， 解得：t1=﹣3+ ，t2=﹣3﹣ （舍去）， ∴t=﹣3+ ； （Ⅲ）若∠B′DM=90°，则 B′M2=B′D2+DM2， 即： t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（ t2+t+1）， 此方程无解， 综上所述，当 t= 或﹣3+ 时，△B′DM 是直角三角形； （3）①如图③，当 F 在 CD 上时，EF：DH=CE：CH， 即 2：3=CE：4， ∴CE= ， ∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣ = ， ∵ME=2﹣ t， ∴FM= t， 当 0≤t≤ 时，S=S△FMN= ×t× t= t2， ②当 G 在 AC 上时，t=2， ∵EK=EC•tan∠DCB=EC• = （4﹣t）=3﹣ t， ∴FK=2﹣EK= t﹣1， ∵NL= AD= ， ∴FL=t﹣ ， ∴当 ＜t≤2 时，S=S△FMN﹣S△FKL= t2﹣ （t﹣ ）（ t﹣1）=﹣ t2+t﹣ ； ③如图⑤，当 G 在 CD 上时，B′C：CH=B′G：DH， 即 B′C：4=2：3， 解得：B′C= ， ∴EC=4﹣t=B′C﹣2= ， ∴t= ， ∵B′N= B′C= （6﹣t）=3﹣ t， ∵GN=GB′﹣B′N= t﹣1， ∴当 2＜t≤ 时，S=S 梯形 GNMF﹣S△FKL= ×2×（ t﹣1+ t）﹣ （t﹣ ）（ t﹣1）=﹣ t2+2t ﹣ ， ④如图⑥，当 ＜t≤4 时， ∵B′L= B′C= （6﹣t），EK= EC= （4﹣t），B′N= B′C= （6﹣t）EM= EC= （4﹣t）， S=S 梯形 MNLK=S 梯形 B′EKL﹣S 梯形 B′EMN=﹣ t+ ． 综上所述： 当 0≤t≤ 时，S= t2， 当 ＜t≤2 时，S=﹣ t2+t﹣ ； 当 2＜t≤ 时，S=﹣ t2+2t﹣ ， 当 ＜t≤4 时，S=﹣ t+ ．