2012年资阳市中考数学试卷解析

2012 年四川省资阳市中考数学试卷解析 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项符合题意． 1．（2012•资阳）﹣2 的相反数是（ ） A．2 B．﹣2 C． D． 考点： 相反数。 专题： 探究型。 分析： 根据相反数的定义进行解答即可． 解答： 解：由相反数的定义可知，﹣2 的相反数是﹣（﹣2）=2． 故选 A． 点评： 本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 2．（2012•资阳）下列事件为必然事件的是（ ） A．小王参加本次数学考试，成绩是 150 分 B．某射击运动员射靶一次，正中靶心 C．打开电视机，CCTV 第一套节目正在播放新闻 D．口袋中装有 2 个红球和 1 个白球，从中摸出 2 个球，其中必有红球 考点： 随机事件。 专题： 计算题。 分析： 根据事件的分类的定义及分类对四个选项进行逐一分析即可． 解答： 解：A、小王参加本次数学考试，成绩是 150 分是随机事件，故本选项错误； B、某射击运动员射靶一次，正中靶心是随机事件，故本选项错误； C、打开电视机，CCTV 第一套节目正在播放新闻是随机事件，故本选项错误． D、口袋中装有 2 个红球和 1 个白球，从中摸出 2 个球，其中必有红球是必然事件， 故本选项正确； 故选 D． 点评： 本题考查的是随机事件，即在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随 机事件． 3．（2012•资阳）如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 考点： 简单组合体的三视图；截一个几何体。 分析： 根据俯视图是从上面看到的图形判定则可． 解答： 解：从上面看，是正方形右边有一条斜线， 故选：A． 点评： 本题考查了三视图的知识，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图得出是解题关 键． 4．（2012•资阳）下列图形：①平行四边形；②菱形；③圆；④梯形；⑤等腰三角形； ⑥直角三角形；⑦国旗上的五角星．这些图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有 （ ） A．1 种 B．2 种 C．3 种 D．4 种 考点： 中心对称图形；轴对称图形。 分析： 根据中心对称图形的定义旋转 180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以 及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重 合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案． 解答： 解：①平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形； ②菱形是中心对称图形，也是轴对称图形； ③圆是中心对称图形，也是轴对称图形； ④梯形不是中心对称图形，是轴对称图形； ⑤等腰三角形不是中心对称图形，是轴对称图形； ⑥直角三角形不是中心对称图形，也不是轴对称图形； ⑦国旗上的五角星不是中心对称图形，是轴对称图形， 故是轴对称图形又是中心对称图形的有②③， 故选：B． 点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称 轴． 5．（2012•资阳）下列计算或化简正确的是（ ） A．a2+a3=a5 B． C． D． 考点： 二次根式的加减法；算术平方根；合并同类项；分式的基本性质。 专题： 计算题。 分析： A、根据合并同类项的法则计算； B、化简成最简二次根式即可； C、计算的是算术平方根，不是平方根； D、利用分式的性质计算． 解答： 解：A、a2+a3=a2+a3，此选项错误； B、 +3 = + ，此选项错误； C、 =3，此选项错误； D、 = ，此选项正确． 故选 D． 点评： 本题考查了合并同类项、二次根式的加减法、算术平方根、分式的性质，解题的关 键是灵活掌握有关运算法则，并注意区分算术平方根、平方根． 6．（2012•资阳）小华所在的九年级一班共有 50 名学生，一次体检测量了全班学生的身高， 由此求得该班学生的平均身高是 1.65 米，而小华的身高是 1.66 米，下列说法错误的是（ ） A．1.65 米是该班学生身高的平均水平 B．班上比小华高的学生人数不会超过 25 人 C．这组身高数据的中位数不一定是 1.65 米 D．这组身高数据的众数不一定是 1.65 米 考点： 算术平均数；中位数；众数。 分析： 根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，它是反映数据集中 趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据 的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数 是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，中位数代表了这组数据 值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息，对每一项进 行分析即可． 解答： 解：A、1.65 米是该班学生身高的平均水平，正确； B、因为小华的身高是 1.66 米，不是中位数， 所以班上比小华高的学生人数不会超过 25 人错误； C、这组身高数据的中位数不一定是 1.65 米，正确； D、这组身高数据的众数不一定是 1.65 米，正确． 故选 B． 点评： 此题考查了算术平均数、中位数、众数，解答此题不是直接求平均数、中位数、众 数，而是利用平均数、中位数、众数的概念进行综合分析，平均数受极值的影响较 大，而中位数不易受极端值影响． 7．（2012•资阳）如图所示的球形容器上连接着两根导管，容器中盛满了不溶于水的比空气 重的某种气体，现在要用向容器中注水的方法来排净里面的气体．水从左导管匀速地注入， 气体从右导管排出，那么，容器内剩余气体的体积与注水时间的函数关系的大致图象是 （ ） A． B． C． D． 考点： 函数的图象。 分析： 根据水从左导管匀速地注入，气体从右导管排出时，容器内剩余气体的体积随着注 水时间的增加而匀速减少，即可得出函数关系的大致图象． 解答： 解：∵水从左导管匀速地注入，气体从右导管排出时， 容器内剩余气体的体积随着注水时间的增加而匀速减少， ∴容器内剩余气体的体积与注水时间的函数关系的大致图象是 C． 故选 C． 点评： 本题主要考查了函数的图象问题，在解题时要结合题意找出正确的函数图象是本题 的关键． 8．（2012•资阳）如图，△ABC 是等腰三角形，点 D 是底边 BC 上异于 BC 中点的一个点， ∠ADE=∠DAC，DE=AC．运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？ （ ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一组对边平行的四边形是梯形 C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 D．对角线相等的四边形是矩形 考点： 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的判定； 梯形；命题与定理。 分析： 已知条件应分析一组边相等，一组角对应相等的四边不是平行四边形，根据全等三 角形判定方法得出∠B=∠E，AB=DE，进而得出一组对边相等，一组对角相等的四 边形不是平行四边形，得出答案即可． 解答： 解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，根据等腰梯形符合 要求，得出故此选项错误； B．有一组对边平行的四边形是梯形，若另一组对边也平行，则此四边形是平行四边 形，故此选项错误； C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形， ∵△ABC 是等腰三角形， ∴AB=AC，∠B=∠C， ∵DE=AC，AD=AD，∠ADE=∠DAC， 即 ， ∴△ADE≌△DAC， ∴∠E=∠C， ∴∠B=∠E，AB=DE， 但是四边形 ABDE 不是平行四边形， 故一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，因此 C 符合题意， 故此选项正确； D．对角线相等的四边形是矩形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误； 故选：C． 点评： 此题主要考查了平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定，结合已知选项，得 出已知条件应分析一组边相等，一组角对应相等的四边不是平行四边形是解题关键． 9．（2012•资阳）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c＜0 的解集是（ ） A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1 且 x＞5 D．x＜﹣1 或 x＞5 考点： 二次函数与不等式（组）。 分析： 利用二次函数的对称性，可得出图象与 x 轴的另一个交点坐标，结合图象可得出 ax2+bx+c＜0 的解集． 解答： 解：由图象得：对称轴是 x=2，其中一个点的坐标为（5，0）， ∴图象与 x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）． 利用图象可知： ax2+bx+c＜0 的解集即是 y＜0 的解集， ∴x＜﹣1 或 x＞5． 故选：D． 点评： 此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合， 题目非常典型． 10．（2012•资阳）如图，在△ABC 中，∠C=90°，将△ABC 沿直线 MN 翻折后，顶点 C 恰 好落在 AB 边上的点 D 处，已知 MN∥AB，MC=6，NC= ，则四边形 MABN 的面积是 （ ） A． B． C． D． 考点： 翻折变换（折叠问题）。 分析： 首先连接 CD，交 MN 于 E，由将△ABC 沿直线 MN 翻折后，顶点 C 恰好落在 AB 边上的点 D 处，即可得 MN⊥CD，且 CE=DE，又由 MN∥AB，易得△CMN∽△CAB， 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比， 即可得 ，又由 MC=6，NC= ，即可求得四边形 MABN 的 面积． 解答： 解：连接 CD，交 MN 于 E， ∵将△ABC 沿直线 MN 翻折后，顶点 C 恰好落在 AB 边上的点 D 处， ∴MN⊥CD，且 CE=DE， ∴CD=2CE， ∵MN∥AB， ∴CD⊥AB， ∴△CMN∽△CAB， ∴ ， ∵在△CMN 中，∠C=90°，MC=6，NC= ， ∴S△CMN= CM•CN= ×6×2 =6 ， ∴S△CAB=4S△CMN=4×6 =24 ， ∴S 四边形 MABN=S△CAB﹣S△CMN=24 ﹣6 =18 ． 故选 C． 点评： 此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难 度适中，解此题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用． 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11．（2012•资阳）为了保护人类居住环境，我国的火电企业积极做好节能环保工作．2011 年，我国火电企业的平均煤耗继续降低，仅为 330000 毫克/千瓦时，用科学记数法表示并保留三个有效数字为 3.30×105 毫克/千瓦时． 考点： 科学记数法与有效数字。 分析： 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数． 解答： 解：根据题意 330 000 用科学记数法表示为 3.30×105 人． 故答案为：3.30×105． 点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 12．（2012•资阳）直角三角形的两边长分别为 16 和 12，则此三角形的外接圆半径是 10 或 8 ． 考点： 三角形的外接圆与外心；勾股定理。 专题： 探究型。 分析： 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①16 为斜边长；②16 和 12 为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长， 进而可求得外接圆的半径． 解答： 解：由勾股定理可知： ①当直角三角形的斜边长为 16 时，这个三角形的外接圆半径为 8； ②当两条直角边长分别为 16 和 12，则直角三角形的斜边长= =20， 因此这个三角形的外接圆半径为 10． 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于 8 或 10． 故答案为：10 或 8． 点评： 本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜 边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆． 13．关于 x 的一元二次方程 kx2﹣x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k＜ 且 k≠0 ． 考点： 根的判别式。 专题： 方程思想。 分析： 根据一元二次方程 kx2﹣x+1=0 有两个不相等的实数根，知△=b2﹣4ac＞0，然后据此 列出关于 k 的方程，解方程即可． 解答： 解：∵kx2﹣x+1=0 有两个不相等的实数根， ∴△=1﹣4k＞0，且 k≠0， 解得，k＜ 且 k≠0； 故答案是：k＜ 且 k≠0． 点评： 本题主要考查了一元二次方程的根的判别式．解题时，注意一元二次方程的“二次项 系数不为 0”这一条件． 14．（2012•资阳）某果园有苹果树 100 棵，为了估计该果园的苹果总产量，小王先按长势把 苹果树分成了 A、B、C 三个级别，其中 A 级 30 棵，B 级 60 棵，C 级 10 棵，然后从 A、B、 C 三个级别的苹果树中分别随机抽取了 3 棵、6 棵、1 棵，测出其产量，制成了如下的统计 表．小李看了这个统计表后马上正确估计出了该果园的苹果总产量，那么小李的估计值是 7600 千克． 苹果树长势 A 级 B 级 C 级 随机抽取棵数（棵） 3 6 1 所抽取果树的平均产量（千克） 80 75 70 考点： 用样本估计总体；加权平均数。 分析： 利用样本估计总体的方法结合图表可以看出：A 级每颗苹果树平均产量是 80 千克， B 级每颗苹果树平均产量是 75 千克，C 级每颗苹果树平均产量是 70 千克，用 A 级 每颗苹果树平均产量是 80 千克×30 棵+B 级每颗苹果树平均产量是 75 千克×60 棵+C 级每颗苹果树平均产量是 70 千克×10 棵=该果园的苹果总产量． 解答： 解：由题意得：80×30+75×60+70×10=7600． 故答案为：7600． 点评： 此题主要考查了用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代 表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 15．（2012•资阳）如图，O 为矩形 ABCD 的中心，M 为 BC 边上一点，N 为 DC 边上一点， ON⊥OM，若 AB=6，AD=4，设 OM=x，ON=y，则 y 与 x 的函数关系式为 ． 考点： 相似三角形的判定与性质；矩形的性质。 分析： 求两条线段的关系，把两条线段放到两个三角形中，利用两个三角形的关系求解． 解答： 解：如图，作 OF⊥BC 于 F，OE⊥CD 于 E， ∵ABCD 为矩形 ∴∠C=90° ∵OF⊥BC，OE⊥CD ∴∠EOF=90° ∴∠EON+∠FON=90° ∵ON⊥OM ∴∠EON=∠FOM ∴△OEN∽△OFM = ∵O 为中心 ∴ = = = ∴ = 即 y= x， 故答案为：y= x， 点评： 此题主要考查的是相似三角形的判定与性质，解题的关键是合理的在图中作出辅助 线，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质． 16．（2012•资阳）观察分析下列方程：① ，② ，③ ；请利用它们 所蕴含的规律，求关于 x 的方程 （n 为正整数）的根，你的答案是： x=n+3 或 x=n+4 ． 考点： 分式方程的解。 专题： 规律型。 分析： 首先求得分式方程①②③的解，即可得规律：方程 x+ =a+b 的根为：x=a 或 x=b， 然后将 x+ =2n+4 化为（x﹣3）+ =n+（n+1），利用规律求解即可求得 答案． 解答： 解：∵由①得，方程的根为：x=1 或 x=2， 由②得，方程的根为：x=2 或 x=3， 由②得，方程的根为：x=3 或 x=4， ∴方程 x+ =a+b 的根为：x=a 或 x=b， ∴x+ =2n+4 可化为（x﹣3）+ =n+（n+1）， ∴此方程的根为：x﹣3=n 或 x﹣3=n+1， 即 x=n+3 或 x=n+4． 故答案为：x=n+3 或 x=n+4． 点评： 此题考查了分式方程的解的知识．此题属于规律性题目，注意找到规律：方程 x+ =a+b 的根为：x=a 或 x=b 是解此题的关键． 三、解答题：本大题共 9 个小题，共 72 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算 步骤． 17．（2012•资阳）先化简，再求值： ，其中 a 是方程 x2﹣x=6 的根． 考点： 分式的化简求值；一元二次方程的解。 分析： 先根据分式混合运算的顺序把原式进行化简，再根据 a 是方程 x2﹣x=6 的根求出 a 的值，代入原式进行计算即可． 解答： 解：原式= = = = ． ∵a 是方程 x2﹣x=6 的根， ∴a2﹣a=6， ∴原式= ． 点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 18．（2012•资阳）为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券，甲和乙设计了如下的一个 游戏： 口袋中有编号分别为 1、2、3 的红球三个和编号为 4 的白球一个，四个球除了颜色或编号不 同外，没有任何别的区别，摸球之前将小球搅匀，摸球的人都蒙上眼睛．先甲摸两次，每次 摸出一个球；把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一个球．如果甲摸出的两个球 都是红色，甲得 1 分，否则，甲得 0 分；如果乙摸出的球是白色，乙得 1 分，否则，乙得 0 分；得分高的获得入场券，如果得分相同，游戏重来． （1）运用列表或画树状图求甲得 1 分的概率； （2）这个游戏是否公平？请说明理由． 考点： 游戏公平性；列表法与树状图法。 分析： （1）首先根据题意列出表格或画出树状图图，然后求得所有等可能的结果与甲得 1 分的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案； （2）由（1）求得乙的得分，比较概率不相等，即可得这个游戏是不公平． 解答： 解：（1）列表得：…（3 分） 1 2 3 4 1 ﹣ 1 分 1 分 0 分 2 1 分 ﹣ 1 分 0 分 3 1 分 1 分 ﹣ 0 分 4 0 分 0 分 0 分 ﹣ ∴P（甲得 1 分）= …（4 分） （2）不公平．…（5 分） ∵P（乙得 1 分）= …（6 分） ∴P（甲得 1 分）≠P（乙得 1 分）， ∴不公平．…（7 分） 点评： 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率 相等就公平，否则就不公平． 19．（2012•资阳）已知：一次函数 y=3x﹣2 的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的 横坐标为 1． （1）求该反比例函数的解析式； （2）将一次函数 y=3x﹣2 的图象向上平移 4 个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的 交点坐标； （3）请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式： ①函数的图象能由一次函数 y=3x﹣2 的图象绕点（0，﹣2）旋转一定角度得到； ②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点． 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换。 分析： （1）先求出两函数的交点坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）平移后的图象对应的解析式为 y=3x+2，联立两函数解析式，进而求得交点坐 标； （3）常数项为﹣2，一次项系数小于﹣1 的一次函数均可． 解答： 解：（1）把 x=1 代入 y=3x﹣2，得 y=1， 设反比例函数的解析式为 ， 把 x=1，y=1 代入得，k=1， ∴该反比例函数的解析式为 ； （2）平移后的图象对应的解析式为 y=3x+2， 解方程组 ，得 或 ． ∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为（ ，3）和（﹣1，﹣1）； （3）y=﹣2x﹣2． （结论开放，常数项为﹣2，一次项系数小于﹣1 的一次函数均可） 点评： 考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象与几何变换，解题的关键 是待定系数法求函数解析式，掌握各函数的图象和性质． 20．（2012•资阳）小强在教学楼的点 P 处观察对面的办公大楼．为了测量点 P 到对面办公 大楼上部 AD 的距离，小强测得办公大楼顶部点 A 的仰角为 45°，测得办公大楼底部点 B 的 俯角为 60°，已知办公大楼高 46 米，CD=10 米．求点 P 到 AD 的距离（用含根号的式子表 示）． 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题。 分析： 连接 PA、PB，过点 P 作 PM⊥AD 于点 M；延长 BC，交 PM 于点 N，将实际问题中 的已知量转化为直角三角形中的有关量，设 PM=x 米，在 Rt△PMA 中，表示出 AM， 在 Rt△PNB 中，表示出 BN，由 AM+BN=46 米列出方程求解即可． 解答： 解：连接 PA、PB，过点 P 作 PM⊥AD 于点 M；延长 BC，交 PM 于点 N 则∠APM=45°，∠BPM=60°，NM=10 米 设 PM=x 米 在 Rt△PMA 中，AM=PM×tan∠APM=xtan45°=x（米） 在 Rt△PNB 中，BN=PN×tan∠BPM=（x﹣10）tan60°=（x﹣10） （米） 由 AM+BN=46 米，得 x+（x﹣10） =46 解得， ， ∴点 P 到 AD 的距离为 米．（结果分母有理化为 米也可） 点评： 此题考查了解直角三角形的知识，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 21．（2012•资阳）已知 a、b 是正实数，那么， 是恒成立的． （1）由 恒成立，说明 恒成立； （2）填空：已知 a、b、c 是正实数，由 恒成立，猜测： 也 恒成立； （3）如图，已知 AB 是直径，点 P 是弧上异于点 A 和点 B 的一点，PC⊥AB，垂足为 C， AC=a，BC=b，由此图说明 恒成立． 考点： 相似三角形的判定与性质；完全平方公式；一元一次不等式的应用；圆周角定理。 分析： （1）由（ ﹣ ）2≥0，利用完全平方公式，即可证得 恒成立； （2）由 a3+b3+c3﹣3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）= （a+b+c）[（a﹣b） 2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，可证得 a3+b3+c3≥3abc，即可得 也恒成立； （3）首先证得 Rt△APC∽Rt△PBC，由相似三角形的对应边成比例，可求得 PC 的 值，又由 OP 是半径，可求得 OP= ，然后由点到线的距离垂线段最短，即可证得 恒成立． 解答： 解：（1）∵（ ﹣ ）2≥0， ∴a﹣2 +b≥0，…（1 分） ∴a+b≥2 ，…（2 分） ∴ ≥ ；…（3 分） （2） …（6 分） 理由：a3+b3+c3﹣3abc =（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac） = （a+b+c）（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac） = （a+b+c）[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2] ∵a、b、c 是正实数， ∴a3+b3+c3﹣3abc≥0， ∴a3+b3+c3≥3abc， 同理： 也恒成立； 故答案为： ； （3）如图，连接 OP， ∵AB 是直径， ∴∠APB=90°， 又∵PC⊥AB， ∴∠ACP=∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=∠A+∠APC=90°， ∴∠APC=∠B， ∴Rt△APC∽Rt△PBC， ∴ ， ∴PC2=AC•CB=ab， ∴PC= ，…（7 分） 又∵PO= ， ∵PO≥PC， ∴ ．…（8 分） 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、几何不等式的应用与证明以及 完全平方公式等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注 意完全平方式的非负性的应用． 22．（2012•资阳）为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划 2012 年秋季学期 扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课 桌凳与办公桌椅的数量比为 20：1，购买电脑的资金不低于 16000 元，但不超过 24000 元．已 知一套办公桌椅比一套课桌凳贵 80 元，用 2000 元恰好可以买到 10 套课桌凳和 4 套办公桌 椅．（课桌凳和办公桌椅均成套购进） （1）一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？ （2）求出课桌凳和办公桌椅的购买方案． 考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。 分析： （1）根据一套办公桌椅比一套课桌凳贵 80 元以及用 2000 元恰好可以买到 10 套课 桌凳和 4 套办公桌椅，得出等式方程求出即可； （2）利用购买电脑的资金不低于 16000 元，但不超过 24000 元，得出 16000≤80000 ﹣120×20m﹣200×m≤24000 求出即可． 解答： 解：（1）设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为 x 元、y 元，得： ，…（2 分） 解得 ∴一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为 120 元、200 元…（3 分）； （2）设购买办公桌椅 m 套，则购买课桌凳 20m 套，由题意得： 16000≤80000﹣120×20m﹣200×m≤24000…（5 分） 解得： …（6 分）， ∵m 为整数， ∴m=22、23、24，有三种购买方案：…（7 分） 方案一 方案二 方案三 课桌凳（套） 440 460 480 办公桌椅（套） 22 23 24 点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用和不等式组的应用，根据已知得出不等式关 系是解题关键． 23．（2012•资阳）（1）如图（1），正方形 AEGH 的顶点 E、H 在正方形 ABCD 的边上，直 接写出 HD：GC：EB 的结果（不必写计算过程）； （2）将图（1）中的正方形 AEGH 绕点 A 旋转一定角度，如图（2），求 HD：GC：EB； （3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知 DA：AB=HA：AE=m：n，此 时 HD：GC：EB 的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的 结果（不必写计算过程）． 考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形； 正方形的性质。 分析： （1）首先连接 AG，由正方形 AEGH 的顶点 E、H 在正方形 ABCD 的边上，易证得 ∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，即 A，G，C 共线，继而可得 HD=BE， GC= BE，即可求得 HD：GC：EB 的值； （2）连接AG、AC，由△ADC和△AHG 都是等腰直角三角形，易证得△DAH∽△CAG 与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得 HD： GC：EB 的值； （3）由矩形 AEGH 的顶点 E、H 在矩形 ABCD 的边上，由 DA：AB=HA：AE=m： n，易证得△ADC∽△AHG，△DAH∽△CAG，△ADH∽△ABE，利用相似三角形 的对应边成比例与勾股定理即可求得 HD：GC：EB 的值． 解答： 解：（1）连接 AG， ∵正方形 AEGH 的顶点 E、H 在正方形 ABCD 的边上， ∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD， ∴A，G，C 共线，AB﹣AE=AD﹣AH， ∴HD=BE， ∵AG= = AE，AC= = AB， ∴GC=AC﹣AG= AB﹣ AE= （AB﹣AE）= BE， ∴HD：GC：EB=1： ：1…（3 分） （2）连接 AG、AC， ∵△ADC 和△AHG 都是等腰直角三角形， ∴AD：AC=AH：AG=1： ，∠DAC=∠HAG=45°， ∴∠DAH=∠CAG，…（4 分） ∴△DAH∽△CAG， ∴HD：GC=AD：AC=1： ，…（5 分） ∵∠DAB=∠HAE=90°， ∴∠DAH=∠BAE， 在△DAH 和△BAE 中， ， ∴△DAH≌△BAE（SAS）， ∴HD=EB， ∴HD：GC：EB=1： ：1；…（6 分） （3）有变化， 连接 AG、AC， ∵矩形 AEGH 的顶点 E、H 在矩形 ABCD 的边上，DA：AB=HA：AE=m：n， ∴∠ADC=∠AHG=90°， ∴△ADC∽△AHG， ∴AD：AC=AH：AG=m： ，∠DAC=∠HAG， ∴∠DAH=∠CAG，…（4 分） ∴△DAH∽△CAG， ∴HD：GC=AD：AC=m： ，…（5 分） ∵∠DAB=∠HAE=90°， ∴∠DAH=∠BAE， ∵DA：AB=HA：AE=m：n， ∴△ADH∽△ABE， ∴DH：BE=AD：AB=m：n， ∴HD：GC：EB=m： ：n．…（8 分） 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的 判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的 作法，注意数形结合思想的应用． 24．（2012•资阳）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=30°，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，连接 DE，过点 B 作 BP 平行于 DE，交⊙O 于点 P，连接 EP、CP、OP． （1）BD=DC 吗？说明理由； （2）求∠BOP 的度数； （3）求证：CP 是⊙O 的切线； 如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息： 为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在 进行小组交流的时候，小明说：“设 OP 交 AC 于点 G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点 C 作 CH⊥AB 于点 H，证四边形 CHOP 是矩形”． 考点： 切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理。 专题： 探究型。 分析： （1）连接 AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，再由 AB=AC 可知△ABC 是等腰三 角形，故 BD=DC； （2）由于 AD 是等腰三角形 ABC 底边上的中线，所以∠BAD=∠CAD，故 = ， 进而可得出 BD=DE，故 BD=DE=DC， 所以∠DEC=∠DCE，△ABC 中由等腰三角形的性质可得出∠ABC=75°，故 ∠DEC=75°由三角形内角和定理得出∠EDC 的度数，再根据 BP∥DE 可知 ∠PBC=∠EDC=30°，进而得出∠ABP 的度数，再由 OB=OP，可知∠OBP=∠OPB， 由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°； （3）设 OP 交 AC 于点 G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°在 Rt△AOG 中，由 ∠OAG=30°，可知 = ，由于 = = ，所以 = ， = ，再根据 ∠AGO=∠CGP 可得出△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性质可知 ∠GPC=∠AOG=90°，故可得出 CP 是⊙O 的切线． 解答： （1）解：BD=DC． 连接 AD，如图 1， ∵AB 是直径， ∴∠ADB=90°， ∵AB=AC， ∴BD=DC； （2）解：∵AD 是等腰三角形 ABC 底边上的中线， ∴∠BAD=∠CAD， ∴ = ， ∴BD=DE， ∴BD=DE=DC， ∴∠DEC=∠DCE， ∵△ABC 中，AB=AC，∠A=30° ∴∠DCE=∠ABC= （180°﹣30°）=75°， ∴∠DEC=75° ∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30° ∵BP∥DE， ∴∠PBC=∠EDC=30°， ∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45° ∵OB=OP， ∴∠OBP=∠OPB=45°， ∴∠BOP=90°； （3）证明：证法一：设 OP 交 AC 于点 G，则∠AOG=∠BOP=90° 在 Rt△AOG 中， ∵∠OAG=30°， ∴ = ， 又∵ = = ， ∴ = ， ∴ = ， 又∵∠AGO=∠CGP ∴△AOG∽△CPG， ∴∠GPC=∠AOG=90°， ∴CP 是⊙O 的切线） 证法二：过点 C 作 CH⊥AB 于点 H，如图 2，则∠BOP=∠BHC=90°， ∴PO∥CH 在 Rt△AHC 中， ∵∠HAC=30°， ∴CH= AC， 又∵PO= AB= AC， ∴PO=CH， ∵四边形 CHOP 是平行四边形 ∴四边形 CHOP 是矩形， ∴∠OPC=90°， ∴CP 是⊙O 的切线． 点评： 本题考查的是切线的判定定理、等腰三角形的性质、圆周角定理及相似三角形的判 定与性质，在判定圆的切线时构造直角三角形，再利用直角三角形的性质去证明过 圆心的直线与切线垂直． 25．（2012•资阳）抛物线 的顶点在直线 y=x+3 上，过点 F（﹣2，2）的直线交 该抛物线于点 M、N 两点（点 M 在点 N 的左边），MA⊥x 轴于点 A，NB⊥x 轴于点 B． （1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含 m 的代数式表示），再求 m 的值； （2）设点 N 的横坐标为 a，试用含 a 的代数式表示点 N 的纵坐标，并说明 NF=NB； （3）若射线 NM 交 x 轴于点 P，且 PA•PB= ，求点 M 的坐标． 考点： 二次函数综合题。 专题： 压轴题。 分析： （1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案 即可； （2）首先利用点 N 在抛物线上，得出 N 点坐标，再利用勾股定理得出 NF2=NC2+FC2， 进而得出 NF2=NB2，即可得出答案； （3）求点 M 的坐标，需要先求出直线 PF 的解析式．首先由（2）的思路得出 MF=MA， 然后连接 AF、FB，通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将 PA•PB 的值转 化为 PF 的值，进而求出点 F 的坐标和直线 PF 的解析式，即可得解． 解答： 解：（1）y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1） ∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1） ∵顶点在直线 y=x+3 上， ∴﹣2+3=m﹣1， 得 m=2； （2）∵点 N 在抛物线上， ∴点 N 的纵坐标为： a2+a+2， 即点 N（a， a2+a+2） 过点 F 作 FC⊥NB 于点 C， 在 Rt△FCN 中，FC=a+2，NC=NB﹣CB= a2+a， ∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（a+2）2， =（ a2+a）2+（a2+4a）+4， 而 NB2=（ a2+a+2）2， =（ a2+a）2+（a2+4a）+4 ∴NF2=NB2， NF=NB； （3）连接 AF、BF， 由 NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的结论知，MF=MA， ∴∠MAF=∠MFA， ∵MA⊥x 轴，NB⊥x 轴， ∴MA∥NB，∴∠AMF+∠BNF=180° ∵△MAF 和△NFB 的内角总和为 360°， ∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°， ∵∠MAB+∠NBA=180°， ∴∠FBA+∠FAB=90°， 又∵∠FAB+∠MAF=90°， ∴∠FBA=∠MAF=∠MFA， 又∵∠FPA=∠BPF， ∴△PFA∽△PBF， ∴ = ，PF2=PA×PB= ， 过点 F 作 FG⊥x 轴于点 G，在 Rt△PFG 中， PG= = ， ∴PO=PG+GO= ， ∴P（﹣ ，0） 设直线 PF：y=kx+b，把点 F（﹣2，2）、点 P（﹣ ，0）代入 y=kx+b， 解得 k= ，b= ， ∴直线 PF：y= x+ ， 解方程 x2+x+2= x+ ， 得 x=﹣3 或 x=2（不合题意，舍去）， 当 x=﹣3 时，y= ， ∴M（﹣3， ）． 点评： 考查了二次函数综合题，在该二次函数综合题中，融入了勾股定理、相似三角形等 重点知识，（3）题通过构建相似三角形将 PA•PB 转化为 PF 的值是解题的关键，也 是该题的难点．