2012石景山区初三数学二模试卷及答案

石景山区 2012 年初三第二次统一练习 数 学 试 卷 考 生 须 知 1．本试卷共 10 页．第 10 页为草稿纸，全卷共五道大题，25 道小题． 2．本试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟． 3．在试卷密封线内准确填写区（县）名称、毕业学校、姓名和准考证号． 4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回． 第Ⅰ卷（共 32 分） 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母填在 题后的括号内． 1． 2 的算术平方根是（ ） A． 2 1 B． 2 C． 2 D． 2 2．2012 年 2 月，国务院同意发布新修订的《环境空气质量标准》增加了 PM2.5 监测指标．PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如果 1 微米=0．000 001 米，那么数据 0.000 002 5 用科学记数法可以表示为（ ） A． 6105.2  B． 5105.2  C． 5105.2  D． 6105.2  3．如图 ，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为 120 的 菱形，剪口与折痕所成的角 的度数应为（ ） A．15或 30 B．30或 45 C．45或 60 D．30或 60 4．北京市 2001-2010 年星级饭店客房出租率（%）的情况如下表： 年份 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 出租率 62 62 52 65 62 61 60 52 49 56 表中出租率（%）的中位数和众数分别为（ ） A．61、62 B．62、62 C．61.5、62 D．60.5、62 5．如图，有 6 张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京精神——“爱国、创 新、包容、厚德”的字样．背面完全相同，现将这 6 张卡片洗匀后正面向下放在桌子上， 从中随机抽取一张，抽出的卡片恰好是“创新”的概率是（ ） A． 3 1 B． 3 2 C． 6 1 D． 4 1 第 3 题图 爱国 创新 爱国 包容 爱国 厚德 爱国 爱国 创新 爱国 6．若一个多边形的内角和是 900°，则这个多边形的边数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．将二次函数 2xy  的图象如何平移可得到 342  xxy 的图象（ ） A．向右平移 2 个单位，向上平移一个单位 B．向右平移 2 个单位，向下平移一个单位 C．向左平移 2 个单位，向下平移一个单位 D．向左平移 2 个单位，向上平移一个单位 8．已知正方形纸片的边长为 18，若将它按下图所示方法折成一个正方体纸盒，则纸盒的边 （棱）长是（ ） A． 6 B． 23 C． 2 9 D． 32 第Ⅱ卷（共 88 分） 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．分式 3x x 有意义的条件为 ． 10．分解因式：  33 9abba ______ ________． 11．已知：如图是斜边为 10 的一个等腰直角三角形与两个半径为 5 的 扇形的重叠情形，其中等腰直角三角形顶角平分线与两扇形相切， 则图中阴影部分面积的和是 ． 12．如图所示，圆圈内分别标有 1，2，…，12，这 12 个数字，电子跳 蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤 所在圆圈的数字为 n ，则电子跳蚤连续跳（ 2-3n ）步作为一次跳 跃，例如：电子跳蚤从标有数字 1 的圆圈需跳 12-13  步到标有数 字 2 的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳 42-23  步到达 标有数字 6 的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，那么第 3 次能 跳到的圆圈内所标的数字为 ；第 2012 次电子跳蚤能跳到的圆圈 内所标的数字为 ． 第 8 题图 第 11 题图 11 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 第 12 题图 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．   2 0 2 145cos314.38        ． 解： 14．解分式方程 12 3 4 8 2    x x x ． 解： 15．已知，如图，点 D 在边 BC 上，点 E 在△ ABC 外部，DE 交 AC 于 F， 若 AD=AB，∠1=∠2=∠3． 求证：BC=DE． 证明： 16．已 知： 0162  xx ，求代数式       331212 2  xxxxx 的值． 解： 17．已知一次函数 y kx b  的图象与直线 3y x  平行且经过点  3,2  ，与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点． (1)求此一次函数的解析式； (2)点 C 是坐标轴上一点，若△ ABC 是底角为 30 的等腰三角形，求点C 的坐标． 解： 3 2 1 F E A B C D 18．列方程（组）解应用题： 如图是一块长、宽分别为 60 m、50 m 的矩形草坪，草坪中有宽度均为 x m 的一横两纵 的甬道． （1）用含 x 的代数式表示草坪的总面积 S ； （2）当甬道总面积为矩形总面积的 4.10 %时，求甬道的宽． 解： 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．如图，梯形纸片 ABCD 中，AD//BC，∠B=30º．折叠纸片使 BC 经过点 A，点 B 落在点 B’ 处，EF 是折痕，且 BE=EF=4， AF ∥CD ． （1）求∠BAF 的度数； （2）当梯形的上底 AD 多长时，线段 DF 恰为该梯形的高？ 解： 20．以下是根据全国 2011 年国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制的统计图的 一 部 分． 请 根 据 以 上 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ： （ 产 量 相 关 数 据精确到 1 万吨） （1）请补全扇形统计图； （2）通过计算说明全国的粮食产量与上一年相比，增长最多的是 年； （3）2011 年早稻的产量为 万吨； （4）2008-2011 这三年间，比上一年增长的粮食产量的平均数为多少万吨，若按此平均 数增长，请你估计 2012 年的粮食产量为多少万吨．（结果保留到整数位） 解： A B D E C B ' F 6% 22% % 早稻 夏粮 秋粮 2011 年各类粮食占全体 粮食的百分比分组统计图 21．已知：如图，M 是⊙O 的直径 AB 上任意一点，过点 M 作 AB 的垂线 MP ，D 是 MP 的延长线上一点，联结 AD 交⊙O 于点C ，且 PCPD  ． （1）判断直线 PC 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若 2 2tan D ， 3OA ，过点 A 作 PC 的平行线 AN 交⊙O 于 点 N ．求弦 AN 的长． 解： 22．阅读下面材料： 小 阳 遇 到 这 样 一 个 问 题 ： 如 图 （ 1 ）， O 为 等 边 △ ABC 内 部 一 点 ， 且 3:2:1:: OCOBOA ，求 AOB 的度数. 小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形 的某个顶点旋转 60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的.他的作法是： 如图（2），把△ COA 绕点 A 逆时针旋转 60°，使点 C 与点 B 重合，得到△ OAB  ，连 结 OO  . 则△ OAO  是等边三角形，故 OAOO  ，至此，通过旋转将线段 OA、OB、 OC 转移到同一个三角形 BOO  中. （1）请你回答： AOB . （2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题： 已知：如图（3），四边形 ABCD 中，AB=AD，∠DAB=60°，∠DCB=30°，AC=5，CD=4.求四 边形 ABCD 的面积. 解： D C B A 图（3） M C O D P B A 图⑴ 图⑵ 图⑶ 五、解答题（本题满分 22 分,第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．已知：直线 1 22y x  分别与 x 轴、y 轴交于点 A、点 B，点 P（ a ，b）在直线 AB 上， 点 P 关于 y 轴的对称点 P′ 在反比例函数 x ky  图象上． (1) 当 a=1 时，求反比例函数 x ky  的解析式； (2) 设直线 AB 与线段 P'O 的交点为 C．当P'C =2CO 时，求 b 的值； (3) 过点 A 作 AD//y 轴交反比例函数图象于点 D，若 AD= 2 b ，求△P’DO 的面积． 解： 24．在△ ABC 中， ACAB  , D 是底边 BC 上一点， E 是线段 AD 上一点,且 ∠ BACCEDBED  2 ． (1) 如图 1,若∠  90BAC ,猜想 DB 与 DC 的数量关系为 ； (2) 如图 2,若∠  60BAC ，猜想 DB 与 DC 的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠  BAC ，请直接写出 DB 与 DC 的数量关系. 解： A B C D E A E B C D 图 1 图 2 备用图 25．已知：抛物线 y＝－x2＋2x＋m-2 交 y 轴于点 A（0，2m-7）．与直线 y＝ 2 x 交于点 B、C（B 在右、C 在左）． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为 E，在抛物线的对称轴上是否存在一点 F，使得 BFE CFE   ， 若存在，求出点 F 的坐标，若不存在，说明理由； （3）射线 OC 上有两个动点 P、Q 同时从原点出发，分别以每秒 5 个单位长度、每秒 2 5 个单位长度的速度沿射线 OC 运动，以 PQ 为斜边在直线 BC 的上方作直角三角形 PMQ （直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为 t 秒，若△PMQ 与抛物线 y＝－x2＋2x＋ m-2 有公共点，求 t 的取值范围． 解： 备用图 石景山区 2012 初三第二次统一练习 数学参考答案 阅卷须知： 1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅． 2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考 生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确 做到这一步应得的累加分数． 一、选择题（本题共 8 道小题，每小题 4 分，共 32 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 Ｂ A D D A C C Ｂ 二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 4 分，共 16 分） 9． 3x ； 10．   babaab 33  ； 11． 2 25-2 25 ； 12．10；6． 三、解答题（本题共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分） 13．解：   2 0 2 145cos3--14.38        = 42 23122  ……………………………4 分 = 32 2  …………………………………………………5 分 14． 12 3 4 8 2    x x x 解：    12 3 22 8   x x xx ……………………………1 分     4238 2  xxx ……………………………3 分 468 22  xxx ……………………………4 分 ∴ 10x 经检验： 10x 是原方程的根．………………………5 分 15．证明：∵∠1=∠2=∠3 ∴ DAEBAC  …………………………… 1 分 又∵ AFEDFC  ∴ EC  …………………………… 2 分 在△ ABC 和△ ADE 中       ADAB EC DAEBAC …………………………… 3 分 ∴△ ABC ≌△ ADE ……………………………………………………… 4 分 ∴BC=DE． ……………………………………………………… 5 分 16．解：原式 222 922144 xxxxx  …………………………………2 分 1062  xx ………………………………… 3 分 当 0162  xx 时， 162  xx ………………………………… 4 分 原式 11 ． …………………………………5 分 17．解：(1)∵一次函数 y kx b  的图象与直线 3y x  平行且经过点  3,2  ∴      32 3 bk k 解得      3 3 b k ∴一次函数解析式为 33  xy …………………………………1 分 (2)令 0y ，则 1x ；令 0x 则 3y ∴    3,0,0,1 BA ∵ 1OA , 3OB …………………………2 分 ∴ 2AB ∴  30ABO 若 ACAB  ，可求得点C 的坐标为  0,31C 或  3,02 C ………………………4 分 若 CACB  如图  3030603OAC ， 3 330tan3  OAOC ∴       3 3,03C …………………………………………5 分 ∴  0,31C ,  3,02 C ,       3 3,03C 18．解：（1）S = 6050  －（60 x + 2×50 x－2×x2 ）=3000 + 2x2 －160x．………2 分 （2）由题意得：-2x2+160x = 60501000 104  ， ………………3 分 解得 x = 2 或 x = 78． …………………………………4 分 又 0＜x＜50，所以 x = 2， 答：甬道的宽是 2 米． ……………………………………5 分 19. 解：（1）∵BE=EF∴∠EFB=∠B，由题意，△ EFB' ≌△ BEF ∴∠EFB’ =∠EFB=∠B=30° ∴△ BFA 中，  90303030180BAF ……………………………………2 分 （2）联结 DF， ∵AD//BC， AF ∥CD ∴四边形 AFCD 是平行四边形 ……………………………………3 分 ∴∠C =∠AFB=60° ∴CD = AF = 3230cos EF ……………………………………4 分 若 BCDF  ，则 360cos  CDFC 此时 3AD ． ……………………………………5 分 20．（1）72%；（2）2011；（3）3427； ……………………每空 1 分，共 3 分 （4）（57121-52871）÷3≈=1417 ………………………………………4 分 57121+1417=58538. ………………………………………5 分 21.（1）联结 CO, … …………………………………1 分 ∵DM⊥AB ∴∠D+∠A=90° ∵ PCPD  ∴∠D=∠PCD ∵OC=OA ∴∠A=∠OCA ∴∠OCA+∠PCD=90° ∴PC⊥OC ∴直线 PC 是⊙O 的切线 …………………………………2 分 （2）过点 A 作 PC 的平行线 AN 交⊙O 于点 N ． ∴∠NAC=∠PCD=∠D, AN⊥OC,设垂足是 Q ∴Rt△CQA 中 ∴ 2 2tanDQACtan  ∴设 CQ=x，AQ= x2 ∴OQ= x3 ∵ 222 AQOQOA  ∴ 222 )3()2(3 xx  解得 2x …………………………………4 分 ∴ 22AQ ∴ 242  AQAN …………………………………5 分 22. 解：（1）150° ………………………1 分 (2) 如图，将△ ADC 绕点 A 顺时针旋转 60°，使点 D 与点 B 重合，………2 分 得到△ OAB  ，连结 OC . 则△ OAC  是等边三角形， 可知 4,5 '  DCBOCAOC ， ADCABO  ' ……………………3 分 在四边形 ABCD 中，  270360 DCBDABABCADC , )(360 '' ABOABCBCO   90270360 ． ……………………4 分 345 22 BC 64 325432 154 3 2 ''    BCOACOABCD SSS四边形 ．………………5 分 23．（1）∵点 P 在直线 AB 上, 1a 时， 212 1 b = 2 5 ………………………1 分 ∴ )2 5,1(P ， ∴ )2 5,1(P ，代入 x ky  得 2 5k ， ∴ xy 2 5 …………………………2 分 （2）联结 'PP ∵点 P 和点 P关于 y 轴对称 ∴ 'PP ∥ x 轴 ∴ OCACPP ∽△△ ' O ' D C B A ∴ 'PP ∶ OA CP' ∶CO …………3 分 ∵ COCP 2'  ∴ 'PP = OA2 ∵ 22 1  xy 与 x 轴交于点 A 、点 B ∴ )0,4(A ， )2,0(B 可得 4OA ∴ 8'PP ∴ a =4 ∴ 4242 1 b ………………………5 分 （3）当点 P 在第一象限时： ∵点 P 和点 P关于 y 轴对称且 ),( baP ∴ ),(' baP  ∵ yAD∥ ∴ )24-( bD ， ∵ DP 、点点 ' 在 x ky  上 ∴ bab  24 ∴ 2a ∴ 3222 1 b ∵ ),2 3,4(D )3,2(' P ∴ 2 9 ' DOPS△ …………6 分 当点 P 在第二象限时： )24-( bD ， ∴ bab  24 ∴ 2a ∴ 12)2(2 1 b ∵ ),2 1,4( D )1,2('P ∴ 2 3 ' DOPS△ …………7 分 24.解：（1） DCDB 2 (2) DCDB 2 证明：过点C 作CF ∥ BE 交 AD 的延长线于点 F , 在 AD 上取点G 使得 CFCG  ∴ 76  F 7 6 5 4 3 2 1 A E B C G F D ∵  602 BACCEDBED ∴  606 F ,  30CED ∴ 41205  ∵  6021713 ∴ 23  ∵ ACAB  ∴△ ABE ≌△CAG ∴ AGBEAECG  , ∵  306 CEDGCE ∴ EGCG  ∴ BEAGCGCF 2 1 2 1  由△ DBE ∽△ DCF 得 2 FC BE DC BD ∴ DCDB 2 (3) 结论： DCDB 2 . 25.解：（1）点 A（0，2m-7）代入 y＝－x2＋2x＋m-2，得 m=5 ∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3 ………………………2 分 （2）由      xy xxy 2 322 得      32 3 y x ，      32 3 y x ∴B（ 32,3 ），C（ 32,3  ） B（ 32,3 ）关于抛物线对称轴 1x 的 对称点为 )32,32(' B 可得直线 CB' 的解析式为 32632  xy ， 由      1 32632 y xy ，可得      6 1 y x ∴ )6,1(F ………………………5 分 （3）当 )2,2( ttM  在抛物线上时，可得 0324 2  tt ， 4 131t ， 当 )2,( ttP  在抛物线上时，可得 32 t ， 3t ， 舍去负值，所以 t 的取值范围是 34 131  t ．………………8 分 8 7 6 5 4 3 2 1 E D C B A G F 图(2)