2012年西城区初三二模数学试卷及答案

北京市西城区 2012 年初三二模试卷 数 学 2012. 6 考 生 须 知 1．本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分。考试时间 120 分钟。 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级和姓名。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．在答题卡上，作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1． 8 的倒数是 A.8 B. 8 C. 1 8 D. 1 8  2．在 2012 年 4 月 25 日至 5 月 2 日举办的 2012（第十二届）北京国际汽车展览会上，约有 800 000 名观众到场参观，盛况空前．800 000 用科学记数法表示应为 A. 38 10 B. 480 10 C. 58 10 D. 60.8 10 3．若⊙ 1O 与⊙ 2O 内切，它们的半径分别为 3 和 8，则以下关于这两圆的圆心距 1 2O O 的结 论正确的是 A. 1 2O O =5 B. 1 2O O =11 C. 1 2O O ＞11 D. 5＜ 1 2O O ＜11 4．如图，在△ABC 中，D 为 AB 边上一点，DE∥BC 交 AC 于点 E， 若 3 5 AD DB  ，AE=6，则 EC 的长为 A . 8 B. 10 C. 12 D. 16 5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人 10 次射击成绩的平均 数都是8.9 环，方差分别是 2 0.61S 甲 ， 2 0.52S 乙 ， 2 0.53S 丙 ， 2 0.42S 丁 ，则射击成绩 波动最小的是 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6．如图，AB 为⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D，若 OB 长为 10， 3cos 5BOD  ， 则 AB 的长是 A . 20 B. 16 C. 12 D. 8 7．若某个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则这个多边形的边数为 A . 4 B. 6 C. 8 D. 10 8．如图，在矩形 ABCD 中， 3AB ，BC=1. 现将矩形 ABCD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到矩形 A B CD  ，则 AD 边扫过的 面积(阴影部分)为 A . 2 1 π B. 3 1 π C. 4 1 π D. 5 1 π 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9． 将代数式 2 6 10x x  化为 2( )x m n  的形式（其中 m，n 为常数），结果为 ． 10．若菱形 ABCD 的周长为 8，∠BAD=60°，则 BD= ． 11．如图，把一个半径为 12cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形 ，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接 处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径等于 cm． 12．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 1A ， 2A ， 3A ，… 都在 y 轴上，对应的纵坐标分别为 1，2，3，…．直线 1l ， 2l ， 3l ，…分别经过点 1A ， 2A ， 3A ，…，且都平行于 x 轴．以点 O 为圆心，半径为 2 的圆与直线 1l 在第一象限 交于点 1B ，以点 O 为圆心，半径为 3 的圆与直线 2l 在第 一象限交于点 2B ，…，依此规律得到一系列点 nB （n 为 正整数），则点 1B 的坐标为 ，点 nB 的坐标为 ． 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．计算： 1 01( ) (π 3) 6cos45 85       ． 14．已知 2 2 4 0x x   ，求代数式 2 2( 2) ( 6) 3x x x x    的值． 15．如图，点 F，G 分别在△ADE 的 AD，DE 边上，C，B 依次 为 GF 延长线上两点，AB=AD，∠BAF=∠CAE，∠B=∠D. (1)求证：BC=DE； (2)若∠B=35°，∠AFB=78°，直接写出∠DGB 的度数． 16．已知关于 x 的一元二次方程 (m +1)x2 + 2mx + m  3 = 0 有两个不相等的实数根. (1)求 m 的取值范围； (2)当 m 取满足条件的最小奇数时，求方程的根. 17. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点. (1)求证：四边形 AEFD 是平行四边形； (2)若∠A=60°，AB=2AD=4，求 BD 的长. 18. 吸烟有害健康！你知道吗，即使被动吸烟也大大危害健康．为配合“禁烟”行动，某校 组织同学们在某社区开展了“你支持哪种戒烟方式”的问卷调查，征求市民的意见，并 将调查结果整理后制成了如下两个统计图：（图中信息不完整） 请根据以上信息回答下面问题： (1) 同学们一共随机调查了 人； (2) 如果在该社区随机咨询一位市民，那么该市民支持“强制戒烟”方式的概率是 ； (3) 如果该社区有 5 000 人，估计该社区支持“警示戒烟”方式的市民约有 人． 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．如图，某天然气公司的主输气管道途经 A 小区，继续沿 A 小区的北偏东 60方向往前铺设，测绘员在 A 处测得另一 个需要安装天然气的 M 小区位于北偏东 30方向，测绘员 从 A 处出发，沿主输气管道步行 2000 米到达 C 处，此时 测得 M 小区位于北偏西 60方向．现要在主输气管道 AC 上选择一个支管道连接点 N，使从 N 处到 M 小区铺设的 管道最短． (1)问：MN 与 AC 满足什么位置关系时，从 N 到 M 小区 铺设的管道最短？ (2)求∠AMC 的度数和 AN 的长. 20．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 4 83y x   与 x 轴， y 轴分别交于点 A，点 B，点 D 在 y 轴的负半轴 上，若将△DAB 沿直线 AD 折叠，点 B 恰好落在 x 轴正 半轴上的点 C 处. (1)求 AB 的长和点 C 的坐标； (2)求直线 CD 的解析式． 21．如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上一点，过点 C 作⊙O 的切线，交 BA 的延长线 于 点 D，取 CD 的中点 E，AE 的延长线与 BC 的延长线交于点 P. (1)求证：AP 是⊙O 的切线； (2)若 OC=CP，AB= 33 ，求 CD 的长. 22. 阅读下列材料 小华在学习中发现如下结论： 如图 1，点 A，A1，A2 在直线 l 上，当直线 l∥BC 时， BCABCAABC SSS 21   . 请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）： (1)如图 2，已知△ABC，画出一个．．等腰△DBC，使其面积与△ABC 面积相等； (2)如图 3，已知△ABC，画出两个．．Rt△DBC，使其面积与△ABC 面积相等(要求：所画 的两个三角形不全等．．．)； (3)如图 4，已知等腰△ABC 中，AB=AC，画出一个．．四边形 ABDE，使其面积与△ABC 面积相等，且一组对边 DE=AB，另一组对边 BD≠AE，对角∠E=∠B. 图 2 图 3 图 4 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23. 在平面直角坐标系 xOy 中，A 为第一象限内的双曲线 1ky x  （ 1 0k  ）上一点，点 A 的横坐标为 1，过点 A 作平行于 y 轴的直线，与 x 轴交于点 B，与双曲线 2ky x  （ 2 0k  ） 交于点 C . x 轴上一点 ( ,0)D m 位于直线 AC 右侧，AD 的中点为 E. (1)当 m=4 时，求△ACD 的面积（用含 1k ， 2k 的代数 式表示）； (2)若点 E 恰好在双曲线 1ky x  （ 1 0k  ）上，求 m 的值； (3)设线段 EB 的延长线与 y 轴的负半轴交于点 F，当 点 D 的坐标为 (2,0)D 时，若△BDF 的面积为 1， 且 CF∥AD，求 1k 的值，并直接写出线段 CF 的长. 24．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8．动点 P 从点 A 开始沿折线 AC－CB －BA 运动，点 P 在 AC，CB，BA 边上运动的速度分别为每秒 3，4，5 个单位．直线 l 从与 AC 重合的位置开始，以每秒 4 3 个单位的速度沿 CB 方向平行移动，即移动过程中 图 1 保持 l∥AC，且分别与 CB，AB 边交于 E，F 两点，点 P 与直线 l 同时出发，设运动的 时间为 t 秒，当点 P 第一次回到点 A 时，点 P 和直线 l 同时停止运动． (1)当 t = 5 秒时，点 P 走过的路径长为 ；当 t = 秒时，点 P 与点 E 重合； (2)当点 P 在 AC 边上运动时，将△PEF 绕点 E 逆时针旋转，使得点 P 的对应点 M 落在 EF 上，点 F 的对应点记为点 N，当 EN⊥AB 时，求 t 的值； (3)当点 P 在折线 AC－CB－BA 上运动时，作点 P 关于直线 EF 的对称点，记为点 Q．在 点 P 与直线 l 运动的过程中，若形成的四边形 PEQF 为菱形，请直接写出 t 的值． 25．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 1 12 4y x  的顶点为 M，直线 2y x ，点  0P n， 为 x 轴上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线分别交抛物线 2 1 12 4y x  和直线 2y x 于点 A，点 B. ⑴直接写出 A，B 两点的坐标（用含 n 的代数式表示）； ⑵设线段 AB 的长为 d ，求 d 关于 n 的函数关系式及 d 的最小值，并直接写出此时线段 OB 与线段 PM 的位置关系和数量关系； (3)已知二次函数 2y ax bx c   （ a ，b ， c 为整数且 0a  ），对一切实数 x 恒有 x ≤ y ≤ 2 12 4x  ，求 a ， b ， c 的值. 北京市西城区 2012 年初三二模试卷 数学答案及评分标准 2012. 6 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A B D B C C 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 题号 9 10 11 12 答案 2( 3) 1x   2 4 ( 3,1) ( 2 1, )n n 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．解：原式= 25 1 6 2 22     …………………………………………………………4 分 = 4 2 ．…………………………………………………………………… 5 分 14．解：原式= 2 2( 4 4) ( 6) 3x x x x x     = 3 2 3 24 4 6 3x x x x x     = 22 4 3x x  ．………………………..….….….….….…………………… 3 分 ∵ 2 2 4 0x x   ， ∴ 2 2 4x x  . ………………………………………………………………… 4 分 ∴ 原式= 22( 2 ) 3 5x x   . ….…………………… ………………………………5 分 15.(1)证明：如图 1. ∵ ∠BAF=∠CAE， ∴ BAF CAF CAE CAF       . ∴ BAC DAE   . ………………… 1 分 在△ABC 和△ADE 中, , , , B D AB AD BAC DAE         ∴ △ABC≌△ADE. ……………………………………………………… 3 分 ∴ BC=DE. ………………………………………………………………… 4 分 (2)∠DGB 的度数为 67 ．……………………………………………………………… 5 分 16．解：(1)∵关于 x 的一元二次方程(m +1)x2 + 2mx + m  3 = 0 有两个不相等的实数根， ∴ 1 0m   且 0  ． ∵ 2(2 ) 4( 1)( 3) 4(2 3)m m m m       ， ∴ 2 3 0m   ． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍1 分 解得 m> 2 3 ． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2 分 ∴ m 的取值范围是 m> 2 3 且 m  1． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 3 分 图 1 (2)在 m> 2 3 且 m  1 的范围内，最小奇数 m 为 1． ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4 分 此时，方程化为 2 1 0x x   ． ∵ 2 24 1 4 1 ( 1) 5b ac         ， ∴ 1 5 1 5 2 1 2x      ． ∴ 方程的根为 1 1 5 2x   ， 2 1 5 2x   ．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5 分 17. (1)证明：如图 2. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥CD 且 AB=CD. ﹍﹍﹍﹍1 分 ∵ 点 E，F 分别是 AB，CD 的中点， ∴ CDDFABAE 2 1,2 1  . ∴ AE=DF. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2 分 ∴ 四边形 AEFD 是平行四边形. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3 分 (2)解：过点 D 作 DG⊥AB 于点 G. ∵ AB=2AD=4， ∴ AD=2. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4 分 在 Rt△AGD 中，∵ 90 , 60 ,AGD A      AD=2， ∴ .360sin,160cos  ADDGADAG ∴ 3BG AB AG   . 在 Rt△DGB 中，∵ 90 , 3, 3,DGB DG BG     ∴ .329322  BGDGDB ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5 分 18．解：(1)300； ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2 分 (2) 5 2 ；﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4 分 (3)1750 . ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5 分 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．解：(1)当 MN⊥AC 时，从 N 到 M 小区铺设的管道最短.（如图 3）﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 1 分 (2) ∵ MAC=6030=30，ACM=30+30=60，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2 分 ∴ AMC=1803060=90. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 3 分 在 Rt△AMC 中，∵AMC=90，MAC=30，AC=2000， ∴ 3cos 2000 1000 32AM AC MAC      (米). ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4 分 在 Rt△AMN 中，∵ ANM=90，cos30= AM AN ， ∴ AN=AMcos30=1000 3  2 3 =1500(米). ………………………………………… 5 分 图 3 图 2 答：∠AMC 等于 90，AN 的长为 1500 米. 20. 解：(1)根据题意得 (6,0)A ， (0,8)B .(如图 4) 在 Rt△OAB 中，AOB=90，OA=6，OB=8， ∴ 2 26 8 10AB    .﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 1 分 ∵ △DAB 沿直线 AD 折叠后的对应三角形为△DAC， ∴ AC=AB=10. ∴ 16OC OA AC OA AB     . ∵ 点 C 在 x 轴的正半轴上， ∴ 点 C 的坐标为 (16,0)C .﹍﹍﹍﹍﹍ 2 分 (2)设点 D 的坐标为 (0, )D y .（y