延庆县 2012 年初三第二次模拟试卷
数 学
一、选择题：（共 8 道小题，每小题 4 分，共 32 分）在下列各题的四个备选答案中，只有
一个是正确的，请将所选答案在答题卡相应位置涂黑
1． 2 的倒数是
A．
1
2
B．
1
2
C． 2 D． 2
2. 在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘－131，其浓
度为 0.000 0963贝克/立方米．数据“0.000 0963”用科学记数法可表示为
A．9.63×10－5 B．96.3×10－6 C．0.963×10－5 D．963×10－4
3．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转.若这三种可能性大小
相同，则这辆汽车经过该十字路口继续直行的概率为
A．
3
1
B.
3
2
C.
9
1
D.
2
1
4. 我市 5月份某一周每天的最高气温统计如下：
最高气温（℃） 28 29 30 31
天 数 1 1 3 2
则这组数据（最高气温）的众数与中位数分别是
A．29，30 B．30，29 C．30，31 D．30，30
5．如图 1 是一个几何休的实物图，则其主视图是
6. 如图,⊙O 的半径为 2，点 A为⊙O 上一点，OD 弦 BC于点D，
1OD ,则 BAC 的度数是
A．55° B．60° C．65° D．70°
7．已知扇形的圆心角为 60°，半径为 6，则扇形的弧长为
考生须知:
1.本试卷分试题和答题卡两部分. 满分 120 分, 考试时间 120 分钟.
2.答题前，考生务必将自己的学校名称、姓名、班级填写清楚.
3.本试卷中的选择题及作图题用 2B 铅笔做答,其它题目用黑色或蓝色的签字笔或钢笔做答.
4.修改时，选择题及作图用橡皮擦干净，不得使用涂改液。请保持卡面清洁，不要折叠、弄
破.
5.请按照题号顺序在各题目的答题区域内做答，超出答题区域的答案无效.
6.草稿一律不得写在答题卡上，考试结束后, 只上交答题卡.
A．6π B．4π C．3π D．2π
8．如图：等边△ABC 中，边长 AB=3，点 D 在线段 BC 上，点 E
在射线 AC 上，点 D 沿 BC 方向从 B 点以每秒 1 个单位的速度
向终点 C 运动，点 E 沿 AC 方向从 A 点以每秒 2 个单位的速度
运动,当 D 点停止时 E 点也停止运动，设运动时间为 t 秒，若
D、E、C 三点围成的图形的面积用 y 来表示，则 y 与 t 的图象是
A B C D
二、填空题（共 4 道小题，每小题 4 分，共 16 分）
9．把代数式 aaa 23 2 分解因式
10. 若代数式
2 6x x b 可化为
2( ) 1x a ，则b a 的值是
11．如图，点 A、B、C 在直径为 2 3的 O⊙ 上， 45BAC °，
则图中阴影部分的面积等于____________.（结果中保留 π）
12. 用长为 1cm的 n根火柴可以拼成如图（1）所示的 x个边长都为 1cm的菱形，还可以拼
成如图（2）所示的 2y个边长都为 1cm 的菱形，那么用含 x的代数式表示 y ，得到
______________________．
三、解答题（共 5 道小题，每小题 5 分，共 25 分）
13．（本题满分 5分）计算: 16tan452cos30 oo 1
4
1 )(
14．（本题满分 5分）先化简，再求值： 2
1 1(1 ) ( 2)
1 1
x
x x
，其中 6x
15．（本题满分 5分）解方程：
5
4
2 3 3 2
x
x x
16．（本题满分 5 分）
如图, △OAB和△COD均为等腰直角三角形，
90AOB COD , 连接 AC、 BD .
O
A
B
C
图（1） 图（2）
求证: AC BD .
17．（本题满分 5分）
已知：如图，在四边形 ABCD中， 60C ，
135DAB , 8BC ， 62AB
求DC的长．
四、 解答题（共 2 道小题，共 10 分）
18. 已知：如图，直线
1
3
y x 与双曲线
ky
x
交于 A、B 两点，且点 A 的坐标为（6,m）．
（1）求双曲线
ky
x
的解析式；
（2）点 C（ , 4n ）在双曲线
ky
x
上，求△AOC的面积；
（3）在（2）的条件下，在 x轴上找出一点 P, 使△AOC
的面积等于△AOP的面积的三倍。请直接写出．．．．所有符
合条件的点 P 的坐标．
19. （本题满分 5 分）
已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接 AC与⊙O交于点 D,
(1) 求证：∠AOD=2∠C
(2) 若 AD=8，tanC=
3
4
，求⊙O 的半径。
五、解答题（本题满分 5 分）
20．某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级 200
名学生民主投票，每人只能推荐一人（不设弃权票），选出了票数最多的甲、乙、丙三
人。投票结果统计如图一：
其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试。各项成绩如下表所示：
甲 乙 丙 竞选人
100
95
90
85
80
75
70
分数
笔试
面试
图二
D
CB
A
测试项目
测试成绩/分
甲 乙 丙
笔试 92 90 95
面试 85 95 80
图二是某同学根据上表绘制的一个不完全的条形图。请你根据以上信息解答下列问题：
（1）补全图一和图二；
（2）若每名候选人得一票记 1分，投票、笔试、面试三项得分按照 2：5：3的比确定，计
算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？
六、解答题（共 2 道小题，共 10 分）
21. （本题满分 6 分）小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距 2400m的邮局办事，小
明出发的同时，他的爸爸以 96m/min 速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局
停留 2min 后沿原路以原速返回，设他们出发后经过 t min时，小明与家之间的距离为
s1 m，小明爸爸与家之间的距离为 s2 m，图中折线 OABD、线段 EF 分别表示 s1、s2
与 t 之间的函数关系的图象。
（1）求 s2与 t 之间的函数关系式；
（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？
这时他们距离家还有多远？
22. （本题满分 4 分）阅读下面材料：
阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图 1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，
AB=2，AC=4，以 BC为边在 BC的下方作等边△PBC，求 AP 的最大值。
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以
点 B为旋转中心将△ABP 逆时针旋转 60°得到△A’BC,连接 AA ' ,当点 A 落在 CA '
上
时,此题可解（如图 2）．
请你回答：AP 的最大值是 ．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
E
s(m)
A
O D
C
B
t(min)
2400
10 12 F
如图 3，等腰 Rt△ABC．边 AB=4,P为△ABC内部一点，
则 AP+BP+CP的最小值是 .（结果可以不化简）
七、解答题（本题满分 7 分）
23. 已知:关于 x的一元二次方程 01-mx2m2-mx 2 ）（
(1)若此方程有实根,求 m的取值范围;
(2)在(1)的条件下,且 m取最小的整数,求此时方程的两个根;
(3)在(2)的前提下,二次函数 1-mx2m2-mxy 2 ）（ 与 x 轴有两个交点,连接这两点间
的线段,并以这条线段为直径在 x 轴的上方作半圆 P,设直线 l 的解析式为 y=x+b,若直线 l
与半圆 P只有两个交点时,求出 b的取值范围.
八、解答题（本题满分 7 分）
24. （1）如图 1：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=60°时，猜想 AB与 BD+CD
数量关系，请直接写出结果 ；
（2）如图 2：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=45°时，猜想 AB与 BD+CD
数量关系并证明你的结论；
（3）如图 3：在△ABC 中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD= （20°≤ ≤70°）时，
直接写出 AB与 BD+CD数量关系(用含 的式子表示)。
九、解答题（本题满分 8 分）
25. 已知：在如图 1 所示的平面直角坐标系 xOy 中，A、C 两点的坐标分别为 A(4,2)，
C(n,-2)（其中 n＞0），点 B在 x轴的正半轴上．动点 P从点 O出发，在四边形 OABC
的边上依次沿 O—A—B—C的顺序向点 C移动，当点 P与点 C重合时停止运动．设点
P移动的路径的长为 l，△POC的面积为 S，S与 l 的函数关系的图象如图 2所示，其
中四边形 ODEF是等腰梯形．
（1）结合以上信息及图 2填空：图 2中的 m= ；
（2）求 B、C两点的坐标及图 2中 OF的长；
（3）若 OM是∠AOB的角平分线,且点 G与点 H分别是线段 AO 与射线 OM上的两个
动点，直接写出 HG+AH的最小值，请在图 3中画出示意图并简述理由。
8
图 3
延庆县 2012 年初三第二次参考答案
一、选择题（共 8 个小题，每题 4 分，共 32 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A D C B D C
二、填空题（共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分）
题 号 9 10 11 12
答 案 a(a-1)2 5 3π 3
4 2
3 1
5 5
y x
三、解答题（共 5 道小题，13-17 每小题 5 分，共 25 分）
13． 解： 16tan452cos30 oo 1
4
1 )(
＝2 2
3 ＋1＋4－4 ………………………………………………………………4分
13 ……………………………………………………………………………..5分
14.解：原式=
1 1
1
x
x
（x+1）（x－1）+（x－2）............................................2分
=x（x－1）+（x－2）............................................3分
=x2－2 ............................................4分
当 x= 6 时，原式=（ 6 ）2－2=4．............................................5分
15. 解：去分母得： 3245 xx .....................................2分
解之得： 1x . ............................................3分
检验：把 1x 代入 32 x
0132 x ................................................4分
1x 是原方程的解. ..................................... ..........5分
16. 证明：∵ 90 ,AOB COD ∴ .AOC BOD ----------------------1分
∵ △OAB与△COD均为等腰三角形，
∴ , .OA OB OC OD ---------------------------------3分
在△ AOC和△ BOD中，
,
,
,
AO BO
AOC BOD
OC OD
∴ △ AOC≌△ BOD .---------------------------------4分
∴ AC BD .---------------------------------5分
17．解：如图，过 B作 BE // AD交 CD 于 E ,过 A 作 AF⊥ BE于F …………1分
∴ 90ADCBEC ， 45180 AABE ,AF=DE ……2分
Rt △ BEC 中， 4
2
18cos CBCCE ……………3分
D
CB
A E
F
Rt △ ABF 中 32
2
262sin ABFABAF
……………………………………4分
∴ 324 DC ……………………………………5分
四、 解答题（共 2 道小题，共 10 分）
18．解：（1）∵点 A (6, )m 在直线
1
3
y x 上，
∴
1 6 2
3
m ． --------------------------------------------------------------------1分
∵点 A (6, 2)在双曲线
ky
x
上，
∴2
6
k
， 12k ．
∴双曲线的解析式为
12y
x
． ---------------2 分
（2）分别过点 C，A作 CD⊥ x轴，AE⊥ x轴，
垂足分别为点 D，E．（如图 5）
∵点 C ( , 4)n 在双曲线
12y
x
上，
∴
124
n
， 3n ，即点 C的坐标为 (3, 4)． ---------------------------------3 分
∵点 A，C都在双曲线
12y
x
上，
∴
1 12 6
2AOE CODS S ．
∴ AOCS = COEAS四边形 AOES = COEAS四边形 CODS = CDEAS梯形 ，
∴ AOCS = DEAECD )(
2
1 = )36()24(
2
1
=9． --------------------4 分
（3）P(3,0)或 P(-3,0)． -----------------------------------------------------------------5 分
19. （1）证明：连接 BD ……………….…1分
∵BC是⊙O的切线 ∴∠ABC=90°
∵AB是直径 ∴∠ADB=90°……………….2分
∴∠ABD=∠C
∵OD=OB ∴∠OBD=∠ODB
∵∠AOD=∠ODB+∠OBD
∴∠AOD=2∠C ……………….3分
(2)由（1）可知：tanC=tan∠ABD =
3
4
……………….4分
图 5
在 Rt△ABD 中有：tan∠ABD =
BD
AD
即
BD
8
=
3
4
∴BD=6
∴AB= 1022 BDAD
∴半径为 5 ……………….……………….5分
五、解答题（本题满分 6 分）
20．解：（1）…2分
（2）甲的票数是：200×34%=68（票）
乙的票数是：200×30%=60（票）
丙的票数是：200×28%=56（票）
甲的平均成绩： 1.85
352
385592268
1
x ……………………3分
乙的平均成绩： 5.85
352
395590260
2
x ……………………4分
丙的平均成绩： 7.82
352
380595256
3
x ……………………5分
∵乙的平均成绩最高 ∴应该录取乙。
六、解答题（共 2 道小题，共 10 分）
21. （本题满分 6分）（1）解：设 bkts 2
∵t=2400÷96=25 分………………………………..1分
∴（25,0）与（0，2400）在直线 2s 上
∴可得 k=-96，b=2400
∴ 2400t96-s 2 ………………………………..2分
（2）解法一：设小明从家出发经过 t分钟可以追上爸爸
小明的速度是：2400÷10=240 米/分………………………………..3分
根据题意：可得 96t=240（t-12）………………………………..4分
解得 t=20 ，
（25-20）×96=480米 ………………………5分
甲 乙 丙 竞选人
100
95
90
85
80
75
70
分数
笔试
面试
图二
答：小明从家出发经过 20分钟可以追上爸爸，距家还有 480米。………………………6分
解法二：由题意得 D为（22,0）………………………………..3分
设直线 BD的函数关系式为：s=mt+n
得：
022
240012
nm
nm
解得：
5280
240
n
m
∴s=-240t+5280 ………………………………..4分
由-96t+2400=-240t+5280解得：t=20
当 t=20时，s=480 ………………………………..5分
答：小明从家出发，经过 20min在返回途中追上爸爸，这时他们距离家还有 480m。---6分
22. （本题满分 4 分）
解：（1）AP的最大值是：6………………………………..2分
（2）AP+BP+CP的最小值是： 6222 （或不化简为 31632 ）…………4分
七、解答题（本题满分 7 分）
23. （1）解：∵关于 x的一元二次方程有实根 ∴m≠0，且△≥0…………..1分
∴△=（2m+2）
2
-4m（m-1）=12m+4≥0
解得 m≥
3
1-
∴当 m≥
3
1- ，且 m≠0 时此方程有实根,……..2分
（2）解：∵在(1)的条件下,当 m取最小的整数,
∴m=1…………..3分
∴原方程化为：x2-4x=0
x（x-4）=0 x1=0，x2=4 ………….. …………..4分
（3）解：如图所示：①当直线 l 经过原点 O时与半圆 P有两个交点，即 b=0………5分
②当直线 l 与半圆 P 相切于 D 点时有一个交点，如图由题意可得
Rt△EDP、Rt△ECO 是等腰直角三角形，
∵DP=2 ∴EP= 22 ………….6分
∴OC= 2-22 即 b= 2-22
∴当 0≤b＜ 2-22 时，直线 l与半圆 P只有两个交点。…………..7分
八、解答题（本题满分 7 分）
24. （1）AB=BD+CD…………………………………………1分
（2）猜想： ……………………2分
证明：如图，过 A点作 AE⊥AC 交 CD 延长线于 E 点，
作 AF⊥AB 交 BD 延长线于 F点，连接 EF。…………3 分
容易证出：△ABC≌△AEF………………4 分
∴∠ABC=∠AEF,BC=EF
容易证出：△DBC≌△DEF………………5分
∴CD=DF
在等腰 Rt△ABF 中，结论可以得出。
(3)
2
CDBDCOSAB
（或变形）……………………7 分
九、解答题（本题满分 8 分）
25. （1）m= 52 …………..1分
（2）∵四边形 ODEF是等腰梯形
∴可知四边形 OABC是平行四边形……..2分
由已知可得：S△AOC=8,连接 AC 交 x轴于 R 点
又∵A(4,2)，C(n,-2)
∴S△AOC= S△AOR+S△ROC=0.5×RO×2+0.5×RO×2=2RO=8
∴OR=4…………….……….3分
∴OB=2RO=8，AR⊥OB
∴B(8,0) ,C(4，-2)且四边形 OABC 是菱形………….4分
∴OF=3AO= 56 …………..5分
(3) 如图 3，在 OB上找一点 N使 ON=OG,
连接 NH ………….6分
∵OM平分∠AOB
∴∠AOM=∠BOM
∵OH=OH
∴△GOH≌△NOH
∴GH=NH………….………….7分
∴GH+AH=AH+HN
根据垂线度最短可知，当 AN是点 A到 OB的垂线段时，且 H点是 AN与 OM的交点
∴GH+AH 的最小值=AN=2………….8分
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