2012密云县初三数学二模试题及答案

密云县 2012 年初三第二次综合检测 数 学 试 卷 学校 姓名 准考证号 考 生 须 知 1．本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分．考试时间 120 分钟． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1． －3 的绝对值是 A． 3 B． －3 C． ±3 D． 1 3 2．函数 1 1y x   的自变量 x 的取值范围是 A．x≠0 B．x≠1 C．x≥1 D．x≤1 3．若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是 A． 长方体 B． 正方体 C． 三棱柱 D． 圆锥 4．一组数据 1，－1，2，5，6，5 的平均数和极差分别是 A．7 和 3 B．3 和 7 C．5 和 7 D．3 和 5 5． 若 2( 2) 3 0x y    ，则 yx 的值为 A．－8 B．－6 C．8 D． 6 6．从 1、2、3、4、5、6 这六个数中随机取出一个数，取出的数是 3 的倍数的概率是 A． 1 6 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 7．如图， AB 是半⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD BC 于 D， 若 : 4:3AC BC  ， 10AB  cm，则OD 的长为 A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm 8．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P 是斜边 AB 上一动点（不与点 A、B 重合），PQ⊥AB 交△ABC 的直角边于 点 Q，设 AP 为 x，△APQ 的面积为 y，则下列图象中，能表示 y 关于 x 的函数关系的图象大致是 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．已知 3 2A x  ， 1 2B x  ，则 A B  ． 10．不等式组 2 1 1, 1 (6 )2 x x x     的解集是 ． 11．已知关于 x 的一元二次方程 22 4 1 0x x k    有实数根，则的最大值是 ． 12．如图，在边长为 1 的等边△ABC 中，若将两条含120 圆心角的 AOB 、BOC 及边AC所围成的阴影部分的面积记为S，则S与△ABC 面积的比是 ． 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．计算： 112 tan 60 2 3    ． 14．用配方法解方程： 0163 2  xx ． 15．已知：如图，∠C=∠CAF=90°，点 E 在 AC 上，且 AE=BC， EF⊥AB 于点 D．求证：AB=FE ． 16．已知 2a＋b－1＝0，求代数式 2 2( )( 1) ( )aa b a ba b     的值． 17．如图，A、B 两点在反比例函数 ky x  （ x ＞0）的图象上． （1）求该反比例函数的解析式； （2）连结 AO、BO 和 AB，请直接写出△AOB 的面积． 18．列方程解应用题： 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被 感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA、PC 是⊙O 的切线， A、C 为切点，∠BAC=30  ． （1）求∠P 的大小； （2）若 AB=6，求 PA 的长． 20．如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，CE AB 于 E． 设 CD＝CB＝ 34 ，AD＝9，AB＝15． 求 B 的余弦值及 AC 的长． 21．国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于 1 小时”．为此，某区就“你每天在校 体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内 300 名初中学生．根据调查结果绘制成 的条形统计图（部分）如图所示，其中分组情况是： Ａ组： 0.5ht  ； Ｂ组： 0.5h 1ht ≤ Ｃ组：1h 1.5ht ≤ Ｄ组： 1.5ht ≥ 请根据上述信息解答下列问题： （1）Ｃ组的人数是 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）本次调查数据的中位数落在 组内； （4）若该区约有 4300 名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的人大约有 多少？ 22．定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内．． 点．．如图 1， PH PJ ， PI PG ，则点 P 就是四边形 ABCD 的准内点． （1）如图 2， AFD 与 DEC 的角平分线 ,FP EP 相交于点 P ． 求证：点 P 是四边形 ABCD 的准内点． （2）分别画出图 3 平行四边形和图 4 梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要 有必要的说明）． 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．已知关于 x 的方程 2 2 2 0x ax a b    ，其中 a、b 为实数． （1）若此方程有一个根为 2 a（a ＜0），判断 a 与 b 的大小关系并说明理由； （2）若对于任何实数 a ，此方程都有实数根，求 b 的取值范围． 24． 如图，在直角坐标系 xoy 中，以 y 轴为对称轴的抛物线经过直线 3 23y x   与 y 轴 的交点 A 和点 M ( 3 2  ，0)． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； （2）将这条抛物线沿 x 轴向右平移，使其经过坐标原点． ①在题目所给的直角坐标系 xoy 中，画出平移后的 抛物线的示意图； ②设平移后的抛物线的对称轴与直线 AB（B 是直线 3 23y x   与 x 轴的交点）相 交于C 点，判断以O 为圆心、OC 为半径的圆与直线 AB 的位置关系，并说明理由； （3） P 点是平移后的抛物线的对称轴上的点，求 P 点的坐标，使得以O 、 A 、C 、 P 四 点为顶点的四边形是平行四边形． 25．已 知 菱 形 ABCD 的 边 长 为 1， 60ADC   ， 等 边 △ AEF 两 边 分 别 交 DC、 CB 于 点 E、 F． （1）特殊发现：如图 1，若点 E、F 分别是边 DC、CB 的中点，求证：菱形 ABCD 对角 线 AC、BD 的交点 O 即为等边△AEF 的外心； （2）若点 E、F 始终分别在边 DC、CB 上移动，记等边△AEF 的外心为 P． ①猜想验证：如图 2，猜想△AEF 的外心 P 落在哪一直线上，并加以证明； ②拓展运用：如图 3，当 E、F 分别是边 DC、CB 的中点时，过点 P 任作一直线，分 别交 DA 边于点 M，BC 边于点 G，DC 边的延长线于点 N，请你直接写出 1 1 DM DN  的值． 密云 县 2012 年 初三 第 二次 综 合检测 数学试卷答案参考及评分标准 阅卷须知： 1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考 生将主要过程正确写出即可． 2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考给分． 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 A B C B A B B C 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 题 号 9 10 11 12 答 案 x－3 1 2x  3 1 3 或 1:3 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．（本小题满分 5 分） 解： 112 tan 60 2 3    12 3 3 32     ·········································································· 4 分 1 2  ．·······························································································5 分 14．（本小题满分 5 分） 解：原方程化为： 03 122  xx …………………………………………1 分 13 1122  xx ………………………………………………2 分   3 41- 2 x ………………………………………………3 分 ∴ 3 321,3 321 21  xx ………………………………………………5 分 15．（本小题满分 5 分） 证明：∵EF⊥AB 于点 D，∴ ∠ADE =90°． ∴ ∠1 +∠2=90°．-----------------------------1 分 又∵∠C=90°， ∴ ∠1+∠B=90°． ∴ ∠B=∠2． -------------------------------2 分 在△ABC 和△FEA 中， 2, , . B BC AE C FAE          -----------------------------------------------------------3 分 ∴ △ABC≌△FEA． -----------------------------------------------------------4 分 ∴ AB=FE ． -------------------------------------------------------------------------5 分 16．（本小题满分 5 分） 解： 2 2( )( 1) ( )aa b a ba b     ＝ 2 1( )( ) a ba b a b a b a b      ---------------------------------------------------3 分 ＝ 2a＋b ． ------------------------------------------------------------------------------ 4 分 ∵ 2a＋b－1＝0，∴ 2a＋b＝1． ∴ 原式＝1 ． ----------------------------------------------------------------------------- 5 分 17．（本小题满分 5 分） 解：（1）∵点 A（1，6）在反比例函数 ( 0)my xx   的图象上， ∴ 1 6 6m xy    ． ∴反比例函数解析式为 6 ( 0)y xx   ．-------------------------------------2 分 （2）△AOB 的面积是 35 2 ． --------------------------------------------------------5 分 18．（本小题满分 5 分） 解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染 x 台电脑，······························ 1 分 依题意得：1 (1 ) 81x x x    ，·················································3 分 解得 1 28 10x x  ， （舍去）， ∴ 8x  ． ---------------------------------------------------------------------------4 分 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 8 台．······································· 5 分 四、解答题（本题共 20 分，第 19 题 4 分，第 20 题 5 分，第 21 题 6 分，第 22 题 5 分） 19．（本小题满分 5 分） （1）解：∵PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径， ∴ PA AB ． ∴ 90BAP   ．----------------------------------1 分 ∵ ∠BAC=30  ， ∴ 90 60PAC BAC      ． 又∵PA、PC 切⊙O 于点 A、C， ∴ PA PC ．-------------------------------------------------------------------2 分 ∴△PAC 是等边三角形． ∴ 60P   ． ------------------------------------------------------------------3 分 ( 2 ) 如图，连结 BC．∵AB 是直径，∠ACB=90  ．---------------------------------------4 分 在 Rt△ACB 中，AB=6，∠BAC=30  ， ∴ cos 6cos30 3 3AC AB BAC     ． 又∵△PAC 是等边三角形， ∴ 3 3PA AC  ． ----------------------------------------------------------------5 分 20．（本小题满分 5 分） 解：如图，在 AB 上截取 AF AD ，连结 CF． -------------------------------------1 分 ∵ AC 平分∠BAD，∴ 1 2   ． 又 AC AC ， ∴△ADC≌△AFC． ∴ AF=AD=9，CF=CD=CB 34 ．------------2 分 ∴△CBF 是等腰三角形． 又∵CE AB 于 E ， ∴ EF=EB= 2 1 BF= 2 1 （AB－AF）=3．--------------------------------------------------3 分 在 Rt△BEC 中， 3 3cos 343434 BEB BC    ． ---------------------------------4 分 在 Rt△BEC（或 Rt△FEC）中，由勾股定理得 CE=5． 在 Rt△AEC 中，由勾股定理 得 AC=13．-------------------------------------------5 分 ∴ B 的余弦值为 3 3434 ，AC 的长为 13． 21．（本小题满分 5 分） 解：（1）120； ---------------------------------1 分 （2）图形正确 -------------------------------2 分 （3）Ｃ；--------------------------------------3 分 （4）达国家规定体育活动时间的人数约占 120 60 100% 60%300    ．------------4 分 ∴ 达国家规定体育活动时间的人约有 4300 60% 2580  （人）．-----------5 分 22．（本小题满分 5 分） 证明：（1）如图 2，过点 P 作 ADPJCDPIBCPHABPG  ,,, ， ∵ EP 平分 DEC ， ∴ PHPJ  ． -----------------------------------------1 分 同理 PIPG  ． ∴ P 是四边形 ABCD 的准内点．----------------------2 分 （2） 说明：①平行四边形对角线 ,AC BD 的交点 1P （或者取平行四边形两对边中点连线 的交点 1P ）是准内点，如图 3（1）和图 3（2）； -------------------------4 分 ②梯形两腰夹角的平分线与梯形两腰中点连线的交点 2P 是准内点，如图 4. --5 分 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．（本小题满分 7 分） 解：（1）∵ 方程 2 2 2 0x ax a b    有一个根为 2a ， ∴ 2 24 4 2 0a a a b    ．整理，得 2 ab  ． ∵ 0a ， ∴ 2 aa  ，即 a b ． ---------------------------------------------3 分 （2） 2 24 4( 2 ) 4 4 8a a b a a b        ． ∵ 对于任何实数 a，此方程都有实数根， ∴ 对于任何实数 a，都有 24 4 8a a b  ≥0 ，即 2 2a a b  ≥0． ∴ 对于任何实数 a，都有 b≤ 2 2 a a ． ∵ 2 21 1 1( )2 2 2 8 a a a    ， 当 1 2a   时， 2 2 a a 有最小值 1 8  ． ∴ b 的取值范围是 b≤ 1 8  ． ----------------------------------------------7 分 24．（本小题满分 7 分） （1）设 0x  ，则 2y  ．A（0,2）． 设这条抛物线所对应的二次函数的解析式为： 2 2y ax  ． ∵过点 M ( 3 2  ，0)，有 23( ) 2 02a    ．解得 8 3a   ． 所求的这条抛物线所对应的二次函数的解析式为 28 23y x   ．----------2 分 （2）①平移后的抛物线如图所示: --------------------------------------------------------------3 分 ②相切． 理由：由题意和平移性质可知，平移后的抛物线的 对称轴为直线 3 2x  ． ∵C 点是对称轴与直线 AB 的相交， 易求得点C 的坐标为（ 3 2 ， 3 2 ）． 由勾股定理，可求得 3OC  ． 设原点 O 到直线 AB 的距离为 d，则有 AB d AO BO   ． ∵点 A 为（0，2），点 B 为（ 2 3 ，0）， 4AB  ． 4 2 2 3d   ． 3d OC  ． 这说明，圆心 O 到直线 AB 的距离 d 与⊙O 的半径 OC 相等． 以O 为圆心、 OC 为半径的圆与直线 AB 相切． -------------------------------------5 分 （3）设 P 点的坐标为（ 3 2 ，p）． ∵抛物线的对称轴与 y 轴互相平行，即 AO∥PC． 只需 PC AO 2 ，即可使以O ， A ，C ， P 为顶点的四边形是平行四边形． 由（2）知，点C 的坐标为（ 3 2 ， 3 2 ），  3 22p   ． 2 2p    ．解得 1 7 2p  ， 2 1 2p   ．  P 点的坐标为 1p （ 3 2 ， 7 2 ）或 2p （ 3 2 ， 1 2  ）．----------------------------7 分 25．（本小题满分 8 分） 证明：（1）如图 1：分别连结 OE、OF． ∵四边形 ABCD 是 菱 形 ，  AD DC CB  ， AC BD ， DO BO ， 且 11 2 302 ADC       ． 在 Rt△AOD 中，有 1 2AO AD ． 又 E、 F 分别是边 DC、CB 的中点， 1 1 2 2EO CB DC OF   ．  AO EO FO  ． 点 O 即为等边△AEF 的外心． -------------------------------------------------- 3 分 （2）①猜想：△AEF 的外心 P 落在对角线 DB 所在的直线上． 证明：如图 2：分别连结 PE、PA，作 PQ DC 于 Q， PH AD 于 H． 则 90PQE PHD     ． ∵ 60ADC   ， 在四边形 QDHP 中， 120QPH   ． 又 ∵点 P 是等边△AEF 的外心， 60EFA   ，  PE PA ， 2 2 60 120EPA EFA       ．      ． △PQE≌△PHA（AAS）．PQ=PH． 点 P 在 ADC 的 角 平 分 线 上 ． ∵菱 形 ABCD 的 对 角 线 DB 平 分 ADC ，  点 P 落在对角线 DB 所在的直线上． ----------------------------------- 6 分 ② 1 1 2DM DN   ． ---------------------------------------------------------------- 8 分