2012年东城区初三一模数学试卷及答案

2012 年东城区初三一模试卷 数学卷 一、选择题(本题共 32 分，每小题 4 分)下面各题均有四个选项，其中只有 一个．．是符合题意的． 1．计算： 2 9 ＝( ) A． 1 B． 3 C．3 D．5 2．我市深入实施环境污染整治，某经济开发区的 40 家化工企业中已关停、整改 32 家，每 年排放的污水减少了 167000 吨．将 167000 用科学记数法表示为( ) A． 3167 10 B． 416.7 10 C． 51.67 10 D． 60.167 10 3．已知，如图，AD 与 BC 相交于点 O，AB∥CD，如果∠B＝20°，∠D＝40°，那么∠BOD 为 ( ) A．40° B．50° C．60° D．70° 4．因式分解 21 9x   的结果是( ) A．  2 4x x  B．  8 1x x  C．  2 4x x  D．  10 8x x  5．如图，是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，搭成这个几何体的小正方体的 个数有( ) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．6 个 6．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为 1 2 ，下列说法正确的是( ) A．连续抛一枚均匀硬币 2 次必有 1 次正面朝上 B．连续抛一枚均匀硬币 10 次都可能正面朝上 C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每 100 次出现下面朝上 50 次 D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 7．如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝4，AC 是弦，AC＝ 2 3 ，∠AOC 为( ) A．120° B．130° C．140° D．150° 8．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2．E、F 分别是射线 AC、CB 上的动点，且 A B C D O A C BO AE＝BF，EF 与 AB 交于点 G，EH⊥AB 于点 H，设 AE＝x，GH＝y，下面能够反映 y 与 x 之 间函数关系的图象是( ) 二、填空题(本 题共 16 分，每小 题 4 分) 9．函数 3y x  自变量的 取值范围是__________． 10．如图，点 P 在双曲线 ( 0)ky kx   上，点 (1 2)P ， 与点 P 关于 y 轴对称，则此双曲线的 解析式为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形 ABC 的顶点 B，C 的坐标分别为(1，0)，(3， 0)，过坐标原点 O 的一条直线分别与边 AB，AC 交于点 M，N，若 OM＝MN，则点 M 的坐标 为______________． 12．如图，点 A1，A2，A3，A4，…，An 在射线 OA 上，点 B1，B2，B3，…，Bn―1 在射线 OB 上， 且 A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An―1Bn―1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn―1，△A1A2B1，△A2A3B2，…， △An―1AnBn―1 为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3 的面积分别为 1、4，则△A1A2B1 的面积 为__________；面积小于 2011 的阴影三角形共有__________个． 三、解答题(本题共 30 分，每小题 5 分) 13．计算： 1 02 12 4sin60 ( 3)      ． B O AA1 A2 A3 A4 A5 B1 B2 B3 B4 41 x y M O M A B C M N O 1 2 y x (1 2)P ，P 14．（1）解不等式： 1 12x x  ； （2）解方程组 2 0 3 2 8 x y x y      15．已知：如图， A 点坐标为 3 02     ， ， B 点坐标为  0 3， ． （1）求过 A B， 两点的直线解析式； （2）过 B 点作直线 BP 与 x 轴交于点 P ，且使 2OP OA ，求 ABP 的面 积． 16．如图，分别以 Rt△ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC ＝30º，EF⊥AB，垂足为 F，连结 DF． （1）求证：AC＝EF； （2）求证：四边形 ADFE 是平行四边形． 17．先化简： 2 3 1 3(1 )2 3 4 9 2 2 3 x x x x      ；若结果等于 2 3 ，求出相应 x 的值． 18．在某市举办的“读好书，讲礼仪”活动中，东华学校积极行动，各班图书角的新书、好 书不断增多，除学校购买外，还有师生捐献的图书．下面是七年级（1）班全体同学捐 A BC D E F 献图书的情况统计图：请你根据以上统计图中的信息，解答下列问题： （1）该班有学生多少人？ （2）补全条形统计图； （3）七（1）班全体同学所捐献图书的中位数和众数分别是多少？ 四、解答题(本题共 20 分，每小题 5 分) 19．某批发商以每件 50 元的价格购进 800 件 T 恤．第一个月以单价 80 元销售，售出了 200 件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出 200 件，批发商为增加销售量，决定降价销 售，根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 10 件，但最低单位应高于购进的价格； 第二个月结束后，批发商将对剩余的 T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为 40 元．设第 二个月单价降低 x 元． （1）填表(不需要化简) （2）如果批发商希望通过销售这批 T 恤获利 9000 元，那么第二个月的单价应是多少元？ 20．如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝AB＝CD＝2，∠C＝60°，M 是 BC 的中点． （1）求证：△MDC 是等边三角形； （2）将△MDC 绕点 M 旋转，当 MD(即 MD′)与 AB 交于一点 E，MC(即 MC′)同时与 AD 交于一 点 F 时，点 E，F 和点 A 构成△AEF．试探究△AEF 的周长是否存在最小值．如果不存在， 请说明理由；如果存在，请计算出△AEF 周长的最小值． 21．如图，已知 ABC△ ，以 BC 为直径，O 为圆心的半圆交 AC 于点 F ，点 E 为弧 CF 的 中点，连接 BE 交 AC 于点 M ，AD 为△ABC 的角平分线，且 AD BE ，垂足为点 H ． 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价(元) 80 ▲ 40 销售量(件) 200 ▲ ▲ （1）求证： AB 是半圆O 的切线； （2）若 3AB  ， 4BC  ，求 BE 的长． 22．已知：如图 1，矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 四条 边上的点(且不与各边顶点重合)，设 m＝AB＋BC＋CD＋DA，探索 m 的取值范围． （1）如图 2，当 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 四边中点时，m＝________． （2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图 3，将整个图形以 CD 为对称轴 翻折，接着再连续翻折两次， 从而找到解决问题的途径，求得 m 的取值范围．①请在图 1 中补全小贝同学翻折后的图形； ②m 的取值范围是__________． 五、解答题(本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分) 23．已知一元二次方程 x2＋ax＋a－2＝0． （1）求证：不论 a 为何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）设 a＜0，当二次函数 y＝x2＋ax＋a－2 的图象与 x 轴的两个交点的距离为 13 时，求 出此二次函数的解析式； （3）在（2）的条件下，若此二次函数图象与 x 轴交于 A、B 两点，在函数图象上是否存在 点 P，使得△PAB 的面积为 3 13 2 ，若存在求出 P 点坐标，若不存在请说明理由． 24．如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 上一点，∠B＝∠DAC＝45°． （1）如图 1，当∠C＝45°时，请写出图中一对相等的线段；_________________ B D A O A H A C A E AM A F A A （2）如图 2，若 BD＝2，BA＝ 3 ，求 AD 的长及△ACD 的面积． 25．巳知二次函数 y＝a(x2－6x＋8)(a＞0)的图象与 x 轴分别交于点 A、B，与 y 轴交于点 C．点 D 是抛物线的顶点． （1）如图①．连接 AC，将△OAC 沿直线 AC 翻折，若点 O 的对应点 0'恰好落在该抛物线的 对称轴上，求实数 a 的值； （2）如图②，在正方形 EFGH 中，点 E、F 的坐标分别是(4，4)、(4，3)，边 HG 位于边 EF 的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点 P 是边 EH 或边 HG 上的任 意一点，则四条线段 PA、PB、PC、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即 这四条线段不能构成平行四边形)．“若点 P 是边 EF 或边 FG 上的任意一点，刚才的结论 是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程； （3）如图②，当点 P 在抛物线对称轴上时，设点 P 的纵坐标 l 是大于 3 的常数，试问：是 否存在一个正数 a，使得四条线段 PA、PB、PC、PD 与一个平行四边形的四条边对应相 等(即这四条线段能构成平行四边形)？请说明理由． 2012 年北京市东城区初三一模试卷 参考答案 1．A．2．C．3．C．4．A．5．C．6．A．7．A．8．C． 9．x≥3．10． 2y x  ．11．( 5 4 ， 3 4 )12． 1 2 ；6． 13．解：原式＝ 1 32 3 4 12 2     ＝ 1 2  ．14．（1）解： 1 12x x  ，1 12 x  ，所以 2x  ． （2） 2 1 x y    15．（1） 2 3y x  ；（2）设 P 点坐标为  0x， ，依题意得 3x   ，所以 P 点坐标分别为    1 23 0 3 0P P ， ， ， ． 1 1 3 273 32 2 4ABPS         ， 2 1 3 93 32 2 4ABPS         ，所以 ABP 的面积为 27 4 或 9 4 ． 17．原式＝ (2 3)(2 3) 1 2 3 3)2 3 3 2 2 3 x x x x x x        ＝ 2 3 x ；由 2 3 x ＝ 2 3 ，可，解得 x＝± 2 ． 19．（1）80－x，200＋10x，800－200－(200＋10x)； （2）根据题意，得 80×200＋(80－x)(200＋10x)＋40[800－200－(200＋10x)]－50× 800＝9000． 整理，得 x2－20x＋100＝0，解这个方程得 x1＝x2＝10， 当 x＝10 时，80－x＝70＞50． 答：第二个月的单价应是 70 元． 20．解：（1）证明：过点 D 作 DP⊥BC，于点 P，过点 A 作 AQ⊥BC 于点 Q， ∵∠C＝∠B＝60° ∴CP＝BQ＝ 1 2 AB，CP＋BQ＝AB， 又∵ADPQ 是矩形，AD＝PQ， 故 BC＝2AD， 由已知，点 M 是 BC 的中点， BM＝CM＝AD＝AB＝CD， 即△MDC 中，CM＝CD，∠C＝60°， 故△MDC 是等边三角形． （2）解：△AEF 的周长存在最小值，理由如下： 连接 AM，由（1）平行四边形 ABMD 是菱形， △MAB，△MAD 和△MC′D′是等边三角形， ∠BMA＝∠BME＋∠AME＝60°，∠EMF＝∠AMF＋∠AME＝60°， ∴∠BME＝∠AMF， 在△BME 与△AMF 中，BM＝AM，∠EBM＝∠FAM＝60°， ∴△BME≌△AMF(ASA)， ∴BE＝AF，ME＝MF，AE＋AF＝AE＋BE＝AB， ∵∠EMF＝∠DMC＝60°，故△EMF 是等边三角形，EF＝MF， ∵MF 的最小值为点 M 到 AD 的距离 3 ，即 EF 的最小值是 3 ， △AEF 的周长＝AE＋AF＋EF＝AB＋EF， △AEF 的周长的最小值为 2＋ 3 ， 答：存在，△AEF 的周长的最小值为 2＋ 3 ． 21．（1）连结 CE，过程略； （2）∵ 3AB  ， 4BC  ． 由（1）知， 90ABC   ，∴ 5AC  ． 在 ABM△ 中， AD BM 于 H ， AD 平分 BAC ， ∴ 3AM AB  ，∴ 2CM  ． 由 CME△ ∽ BCE△ ，得 1 2 EC MC EB CB   ． ∴ 2EB EC ， ∴ 8 55BE  ． 22．（1）20；（2）如图所示(虚线可以不画)，20≤m＜28． 23．解：（1）因为△ ＝a2－4(a－2)＝(a－ 2)2＋4＞0， 所以不论 a 为何实数，此方程总有两个不相等的实数根． （2）设 x1、x2 是 y＝x2＋ax＋a－2＝0 的两个根，则 x1＋x2＝－a，x1•x2＝a－2，因两交 点的距离是 13 ， 所以|x1－x2|＝ 2 1 2( )x x ＝ 13 ．即：(x1－x2)2＝13 变形为：(x1＋x2)2－4x1•x2＝13 所以：(－a)2－4(a－2)＝13 整理得：(a－5)(a＋1)＝0 解方程得：a＝5 或－1 又因为：a＜0，所以：a＝－1 所以：此二次函数的解析式为 y＝x2－x－3． （3）设点 P 的坐标为(x0，y0)，因为函数图象与 x 轴的两个交点间的距离等于 13 ， 所以：AB＝ 13 所以：S△PAB＝ 1 2 AB•|y0|＝ 13 2 所以： 013 | | 2 y ＝ 13 2 即：|y0|＝3，则 y0＝±3 当 y0＝3 时，x0 2－x0－3＝3，即(x0－3)(x0＋2)＝0 解此方程得：x0＝－2 或 3 当 y0＝－2 时，x0 2－x0－3＝－3，即 x0(x0－1)＝0 解此方程得：x0＝0 或 1 综上所述，所以存在这样的 P 点，P 点坐标是(－2，3)，(3，3)，(0，－3)或(1，－3)． 24．（1）AB＝AC 或 AD＝BD＝CD； （2）AD＝ 6 1 ，S△ACD＝ 9 6 4  ． 提示：过点 A 作 AE⊥BC，可以求出 AD 的长．过 D 作平行线或过 C 作垂线，可以利用两次相 似求面积． 25．解：（1）令 y＝0，由 2( 6 8) 0a x x   解得 1 22, 4x x  ； 令 x＝0，解得 y＝8a． ∴点 A、B、C 的坐标分别是(2，0)、(4，0)、(0，8a)， 该抛物线对称轴为直线 x＝3． ∴OA＝2． 如图①，设抛物线对称轴与 x 轴交点为 M，则 AM＝1． 由题意得： 2O A OA   ． ∴ 2O A AM  ，∴∠O′AM＝60°． ∴ 3 2 3OC AO   ，即8 2 3a  ．∴ 3 4a  ． （2）若点 P 是边 EF 或边 FG 上的任意一点，结论同样成立． (Ⅰ)如图②，设点 P 是边 EF 上的任意一点(不与点 E 重合)，连接 PM． ∵点 E(4，4)、F(4，3)与点 B(4，0)在一直线上，点 C 在 y 轴上， ∴PBPB． 又 PD>PM>PB，PA>PM>PB， ∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD． ∴此时线段 PA、PB、PC、PD 不能构成平行四边形． (Ⅱ)设 P 是边 FG 上的任意一点(不与点 G 重合)， ∵点 F 的坐标是(4，3)，点 G 的坐标是(5，3)． ∴FB＝3， 10GB  ，∴3≤PB< 10 ． ∵PC≥4，∴PC>PB． BA y O (图②) xD C E F G H M （3）存在一个正数 a，使得线段 PA、PB、PC 能构成一个平行四边形． 如图③，∵点 A、B 时抛物线与 x 轴交点，点 P 在抛物线对称轴上， ∴PA＝PB． ∴当 PC＝PD 时，线段 PA、PB、PC 能构成一个平行四边形． ∵点 C 的坐标是(0，8a)，点 D 的坐标是(3，－a)． 点 P 的坐标是(3，t)， ∴PC2＝32＋(t－8a)2，PD2＝(t＋a)2． 整理得 7a2－2ta＋1＝0，∴Δ＝4t2－28． ∵t 是一个常数且 t>3，∴Δ＝4t2－28>0 ∴方程 7a2－2ta＋1＝0 有两个不相等的实数根 2 22 4 28 7 14 7 t t t ta      ． 显然 2 7 07 t ta    ，满足题意． ∵当 t 是一个大于 3 的常数,存在一个正数 2 7 7 t ta   ，使得线段 PA、PB、PC 能构成一个平 行四边形． BA y O (图③) xD C E F G H P