2012年平谷区初三一模数学试卷及答案

A． B. C. D. 北京市平谷区 2012 年初中毕业考试 数 学 试 卷 2012 年 4 月 学校 姓名 考场 考号 一 、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下列各小题均有 4 个选项，其中只有一个．．选项是正确的，请你把正确答案的字母序号填在下 表中相应的题号下面。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1. 3 的倒数是 A．3 B． 3 C． 1 3 D． 1 3  2．据报道，2012 年 1-2 月份，我区地方财政收入为 330 000 000 元，将 330 000 000 用科学记 数法表示为 A． 83.3 10 B． 73.3 10 C． 733 10 D． 633 10 3．如图所示，该几何体的俯视图是 4．一个三角形三边的长分别为 3,4，x，则 x 的取值范围是 A. x >3. B. x > 4. C. 3 < x < 4 D. 1 < x < 7 5．某校初三（2）班 6 名女生的体重（单位：kg）为： 35 36 38 40 42 42 则这组数据的中位数等于 A．38 B．39 C．40 D．42 6. 从 1～9 这九个自然数中任取一个数，是 3 的倍数的概率是 A． 1 9 B．2 9 C． 1 3 D．2 3 7．已知等腰三角形的顶角为50 ，则这个等腰三角形的底角为 A．50 B． 65 C． 80 D．50 或 65 题 号 一 二 三 四 五 总 分 得 分 阅卷人 复查人 8．在以下四个图形中，经过折叠能围成一个正方体的是 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9． 2x  + 2(2 6)y  = 0，则 x y ＝ _____________. 10．分解因式： 2 24x y  _____________. 11．如图，在⊙O 中， 60AOB   ， 3cmAB  ， 则劣弧 ⌒ AB的长为 cm．（不取近似值） 12. 小华将一条直角边长为 1 的一个等腰直角三角形纸片（如图 1），沿它的对称轴折叠 1 次后得到一个等腰直角三角形（如图 2），再将图 2 的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得 到一个等腰直角三角形（如图 3），则图 3 中的等腰直角三角形的一条腰长为_____________； 同上操作，若小华连续将图 1 的等腰直角三角形折叠 n 次后所得到的等腰直角三角形（如图 n+1）的一条腰长为_______________________． 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13. 计算: 01 9 (π 4) sin302       . 解： 14. 解方程： 2 1 0.2x x   解： 得分 阅卷人 得分 阅卷人 A B O E F D A B C 15. 已知：如图，△ABC，D 为 BC 的中点，BE⊥AD 的延长线于 E，CF⊥AD 于 F． 求证：BE=CF． 证明： 16．化简求值： 2( ) ( )x x y x y   ，其中 0x y  ． 解： 17. 在市区内，某市乘坐出租车的价格 y （元）与路程 x （km）的函数关系图象如图所示． （1）请你根据图象求出乘客乘坐路程超过 2km 时，y 与 x 的函数关系式； （2）小明从学校出发乘坐出租车回家用了 13 元，求学校离小明家的路程． 解：（1） （2） 18. 如图，在 ABC△ 中， AB BC ，Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是 BC 、 AC 、 AB 边上的中点． (1) 求证：四边形 BDEF 是菱形； (2) 若 12AB  cm，求菱形 BDEF 的周长． D F C E B A （1）证明： （2） 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．如图，一次函数 y kx b  的图象与反比例函数 my x  的图象交于 ( 31) (2 )A B n ，， ， 两 点，分别交 x 轴、 y 轴于 D C， 两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出点 C、D 的坐标． 解：（1） （2） 20. 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D, DE⊥DB 交 AB 于点 E. (1)设⊙O 是△BDE 的外接圆，求证：AC 是⊙O 的切线； 得分 阅卷人 x y A B OD C E C O D A B (2) 如果 BC=9， AC=12，,求⊙O 的半径 r. (1)证明： （2） 21. 为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对 成绩进行了统计，绘制成图 1 和图 2 两幅尚不完整的统计图． （1）本次抽测的男生有________人，抽测成绩的众数是_________； （2）请你将图 2 中的统计图补充完整； （3）若规定引体向上 5 次以上（含 5 次）为体能达标，则该校 350 名九年级男生中估计有多 少人体能达标？ 解：（3） 22. ABC△ 和点 S 在平面直角坐标系中的 位置如图所示： 4 次 20% 3 次 7 次 12% 5 次5 次 6 次 图 1 人数/人 20 16 12 8 4 4 10 14 6 0 3 4 6 75 抽测成绩/次 图 2 （1）将 ABC△ 向右平移 4 个单位 得到 1 1 1A B C△ ，则点 1A 的坐标是 ( ）， 点 1B 的坐标是 ( ) ； （2）将 ABC△ 绕点 S 按顺时针方向旋转90 ，画出旋转后的图形． 五 、解答题（本题共 22 分，其中 23，24 小题 7 分，25 小题 8 分） 23. 已知抛物线 2 2 3 ( 0)y ax ax a a    . （1）求证：抛物线 2 2 3 ( 0)y ax ax a a    一定与 x 轴有两个不同的交点； （2）设（1）中的抛物线与 x 轴交于 A B、 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ， 点 D 为抛物线的顶点． ①求点 A B、 的坐标； ②过点 D 作 DH y⊥ 轴于点 H ，若 DH HC ，求 a 的值和直线CD 的解析式. 解：（1）证明： （2） 24．如下图，抛物线 2( 1)y x k   与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 (0 3)C ， ． （1）求抛物线的对称轴及 k 的值； （2）在抛物线的对称轴上存在一点 P ，使得 PA PC 的值最小，求此时点 P 的坐标； 得分 阅卷人 （3）设点 M 是抛物线上的一动点，且在第三象限．当 M 点运动到何处时，△AMB 的面积 最大？求出△AMB 的最大面积及此时点 M 的坐标. 解：（1） （2） （3） 25.两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°， ∠A＝∠D ＝30°，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F． （1）求证：AF＋EF=DE； （2）若将图①中的 DBE△ 绕点 B 按顺时针方向旋转角 ，且 0 60 ° °，其它条件不 变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出⑴中的结论是否仍然成立； （3）若将图①中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角  ，且 60 180 ° °，其它条件 不变，如图③．你认为⑴中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出 AF、 EF 与 DE 之间 的关系，并说明理由． 解：（1）证明： （2）结论：AF＋EF=DE .(填成立还是不成立) E F D A B C 平谷区 2012 年初中毕业考试 数学试卷参考答案和评分参考 2012 年 4 月 一 、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A D B C B D 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．5 ； 10． ( 2 )( 2 )x y x y  11．  12. 1 2 ， 2 2 n      . 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13. 计算: 01 9 (π 4) sin302       ； 解：原式 1 13 12 2     …………………………………………………………………4 分 2  ． ……………………………………………………………………………5 分 14.解方程： 2 1 0.2x x   ． 解： 去分母， 得 2( 2) 0.x x   ……………………………………………………2 分 解得， 4.x  …………………………………………………………3 分 经检验， 4x  是原方程的解. ……………………………………………………4 分 ∴ 原方程的解是 4.x  …………………………………………............................5 分 15. 证明：∵ D 为 BC 的中点， ∴ BD=CD. ......................................1 分 ∵ BE⊥AD，CF⊥AD， ∴ ∠E＝∠CFD＝90°. ....................2 分 ∵ ∠BDE＝∠CDF，………………..3 分 ∴ △BDE≌△CDF. .............................4 分 ∴ BE=CF．..........................................5 分 16．解：原式 2 2 2( 2 )x xy x xy y     ...................................2 分 2 2 22x xy x xy y     2=xy y .....................................................................................................................3 分 ( )y x y  . ..................................................................................................................4 分 ∵ 0x y  ， ∴ 原式 0. .......................................................................................................................5 分 D F C E B A 17.解：（1）设射线的表达式为 y kx b  ．................1 分 依题意，得 5 2 7 4 . k b k b      ， .......................................................... 2 分 解得： 1 3k b ， ．.............................................. 3 分 ∴ 3y x  ．......................................................... 4 分 将 13y  代入上式，得 10x  ．.................................................................................... 5 分 答：小明家离学校 10km． 18. 如图，在 ABC△ 中， AB BC ，Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是 BC 、 AC 、 AB 边上的中点． (3) 求证：四边形 BDEF 是菱形； (4) 若 12AB  cm，求菱形 BDEF 的周长． （1）证法（一） ∵ D 、 E 、 F 分别是 BC 、 AC 、 AB 边上的中点， DE AB∴ ∥ ， EF BC∥ . ............................1 分 ∴ 四边形 BDEF 是平行四边形．.................2 分 又 1 2DE AB ， 1 2EF BC ，且 AB BC ， DE EF∴ . ∴四边形 BDEF 是菱形．..................................................................................................3 分 证法（二）： ∵ D 、 E 、 F 分别是 BC 、 AC 、 AB 边上的中点， 1 2DE AB∴ ， 1 2EF BC . .......................................................................................1 分 又 AB BC∵ ， 1 1 2 2BD BF AB BC  ∴ . ........................................................................................2 分 ∴ DE EF BF BD   . ∴ 四边形 BDEF 是菱形．...............................................................................................3 分 （2） 12AB ∵ cm， F 为 AB 的中点， 6BF ∴ cm. ...........................................................................................................4 分 ∴ 菱形 BDEF 的周长为： 4 6 24  （cm）．......................................................5 分 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19． 解：（1）把 3x   ， 1y  代入 my x  ，得： 3m   ． 反比例函数的解析式为 3y x   ．.................................1 分 把 2x  ， y n 代入 3y x   得 3 2n   ．.....................2 分 x y A B OD C E C O D A B 把 3x   ， 1y  ； 2x  ， 3 2y   分别代入 y kx b  ， 得 3 1 32 2 k b k b       ， 解得 1 ,2 1 .2 k b       一次函数的解析式为 1 1 2 2y x   ．..............................................................................3 分 （2）C 点的坐标为 10 2     ， ，D 点的坐标为 ( 1,0) . ....................................................5 分 20. (1)证明：∵ DE⊥DB,⊙O 是 Rt△BDE 的外接圆， ∴ BE 是⊙O 的直径,点 O 是 BE 的中点. ……………………1 分 连结 OD. ∵ OB OD , ∴ ABD ODB   . ∵ BD 为 ABC 的平分线， ∴ ABD DBC   . ∴ ODB DBC   . ∴ OD ∥BC. ........................................................................2 分 ∵ 90C   ， ∴ 90ADO C     . ∴ AC 是⊙O 的切线. ………………………………3 分 （2） 在 Rt△ABC 中， 2 2 15AB AC BC =  . ∵ OD∥BC ， ,∴ △ADO∽△ACB. .................................................................................................................. 4 分 ∴ AO OD AB BC  . ∴ 15 15 9 r r  . ∴ 45 8r  . ……………......................5 分 21.（1）50，5 次．................................2 分 （2） 画图..............................................3 分 （3） 16 14 6350 25250    （人）..5 分 答：该校 350 名九年级男生约有 252 人体能 达标. 22. 解：（1） 1(10 8)A ， 1(8 5)B ， ······································································ 2 分 （2）图形略．（图形正确给满分）·····································································5 分 五、解答题（本题共 22 分，其中 23,24 小题各 7 分，25 小题 8 分） 解：（1）证明：令 2 2 3 0ax ax a   . ∵ 0a  ， ∴ 2 2( 2 ) 4 ( 3 ) 16 0a a a a        . ...........................................................................1 分 ∴抛物线 2 2 3 ( 0)y ax ax a a    一定与 x 轴有两个不同的交点..................................2 分 （2）①令 0y  ，得 2 2 3 0ax ax a   ． 2 0 2 3 0 a x x       ， ． 解得： 1 21 3x x  ， ． ∵ 点 A 在点 B 的左侧 点 A 的坐标 ( 1 0) ， ，点 B 的坐标 (3 0)， ．............... 3 分 ②由 2 2 3y ax ax a   ，令 0x  ，得 3y a  ． (0 3 )C a ， ． 又 2 22 3 ( 1) 4y ax ax a a x a      ， ∴ (1 4 )D a， ．....................................................................................................................... 4 分 = 4 ( 3 ) 1 1 (0 3) (1 4) DH HC a a a a C D             ． ． ， ， ， ． 设直线CD 的解析式为 y kx b  ，把点C ，点 D 的坐标分别代入得： 3 4 b k b     ， ． 解得 3 1 b k    ， ． 直线CD 的解析式为： 3y x  ．.....................................................................................7 分 .................................................................................................6 分 24． 解：（1）抛物线 2( 1)y x k   的对称轴为：直线 1x   ．  抛物线 2( 1)y x k   过点 (0 3)C ， ，则 23 (0 1) k    ， 4k   ．...................................................................................................................2 分 （2）如下图，根据两点之间线段最短可知，当 P 点在线段 AC 上就可使 PA PC 的值最小．又因为 P 点要在对称轴上，所以 P 点应为线段 AC 与对称轴直线 1x   的交点．...............................................................................................................3 分 由（1）可知，抛物线的表达式为： 2 2( 1) 4 2 3y x x x      ． 令 0y  ，则 2 2 3 0x x   ． 解得： 1 23 1x x  ， ． 则点 A B、 的坐标分别是 ( 3 0)A  ， 、 (1 0)B ， ．...........4 分 设直线 AC 的表达式为 y kx b  ，则 3 0 3 k b b       ， . 解得 1 3. k b      ， 所以直线 AC 的表达式为 3y x   ． ..........................................................................5 分 当 1x   时， ( 1) 3 2y       . 所以，此时点 P 的坐标为 ( 1 2) ， ．..................................................................................6 分 （3）依题意得：当点 M 运动到抛物线的顶点时， AMB△ 的面积最大． 由抛物线表达式 2( 1) 4y x   可知，抛物线的顶点坐标为 ( 1 4) ， ． 点 M 的坐标为 ( 1 4) ， ． AMB△ 的最大面积 1 (3 1) 4 82AMBS     △ ．..................................................................7 分 25.解：⑴连结 BF（如图①）. ........................................1 分 ∵ △ABC≌△DBE， ∴ BC=BE，AC=DE． ∵ ∠ACB=∠DEB=90°， ∴ ∠BACB=∠BEF=90°. ∵ BF=BF， ∴ Rt△BFC≌Rt△BFE．............................................2 分 ∴ CF=EF． 又∵ AF+CF=AC， ∴ AF+EF =DE ．..........................................................3 分 ⑵画出正确图形如图② ...........................................4 分 ⑴成立．.........................................................................5 分 ⑶不成立． 此时 AF、EF 与 DE 的关系为 AF － EF =DE. 理由：连接 BF（如图③）. ∵ △ABC≌△DBE， ∴ BC=BE，AC=DE， ∵ ∠ACB=∠E=90°， ∴ ∠ACB=∠E=90°． 又∵ BF=BF， ∴ Rt△BFC≌Rt△BFE．..............................................................................................6 分 ∴ CF=EF． ..................................................................................................................7 分 又∵ AF－CF =AC， ∴ AF －EF = DE ． ∴ ⑴中的结论不成立． 正确的结论是 AF－EF = DE . ........................................8 分