2012年朝阳区初三一模数学试卷及答案

15．北京市朝阳区九年级综合练习（一） 数 学 试 卷 2012.5 学校 姓名 准考证号 考 生 须 知 1．本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分. 考试时间 120 分钟. 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回. 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 2 1 的相反数是 A. 2 1 B． 2 1 C．2 D．－2 2．据报道，2011 年北京市户籍人口中，60 岁以上的老人有 2460000 人，预计未来五年北京 人口“老龄化”还将提速．将 2460000 用科学记数法表示为 A．0.25×106 B．24.6×105 C．2.46×105 D．2.46×106 3．在 ABC△ 中， 2 80A B     ，则 C 等于 A. 40° B. 60° C. 80° D. 120° 4．若分式 3 92   x x 的值为零，则 x 的取值为 A. 3x B. 3x C. 3x D. 3x 5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 A.角 B.等边三角形 C. 平行四边形 D. 圆 6．在一个不透明的袋子中装有 2 个红球、1 个黄球和 1 个黑球，这些球的形状、大小、质地等 完全相同，若随机从袋子里摸出 1 个球，则摸出黄球的概率是 A. 4 1 B. 3 1 C. 2 1 D. 4 3 7．在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩（单位:个）如下表： 成绩 45 46 47 48 49 50 人数 1 2 4 2 5 1 这此测试成绩的中位数和众数分别为 A. 47, 49 B. 47.5, 49 C. 48, 49 D. 48, 50 8．已知关于 x 的一元二次方程 02  nmxx 的两个实数根分别为 ax 1 ， bx 2 （ ba  ），则二次函数 nmxxy  2 中，当 0y 时， x 的取值范围是 A． ax  B． bx  C． bxa  D． ax  或 bx  二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．函数 4 xy 中，自变量 x 的取值范围是___． 10．分解因式： 2 25 5ma mb =___． 11．如图，CD 是⊙O 的直径，A、B 是⊙O 上的两点，若∠B＝20°，则∠ADC 的度数为 ． （第 11 题） （第 12 题） 12．如图,在正方形 ABCD 中，AB=1，E、F 分别是 BC、CD 边上点，（1）若 CE= 1 2 CB， CF= 1 2 CD，则图中阴影部分的面积是 ；（2）若 CE= 1 n CB，CF= 1 n CD，则图中阴影 部分的面积是 （用含 n 的式子表示，n 是正整数）． 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．计算： 01 )22()2 1(60sin627   . 14．解不等式 312  ）（x ＜ x5 ，并把它的解集在数轴上表示出来. ] 15．已知：如图，C 是 AE 的中点，∠B=∠D，BC∥DE． 求证：AB=CD 16．已知 0132  xx ，求 )1(3)1()2(4 22  xxxx 的值. 17．如图，P 是反比例函数 ky x  （ x ＞0）的图象上的一点，PN 垂直 x 轴于点 N，PM 垂直 y 轴于点 M，矩形 OMPN 的面积为 2，且 ON=1，一次函数 y x b  的图象经过 点 P． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）设直线 y x b  与 x 轴的交点为 A，点 Q 在 y 轴上，当 △QOA 的面积等于矩形 OMPN 的面积的 4 1 时，直接写出 点 Q 的坐标． 18．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是 等边三角形，若AC=8，AB=5，求ED的长． 四、解答题（本题共 21 分，第 19、20、21 题每小题 5 分，第 22 题 6 分） 19．列方程解应用题： 为提高运输效率、保障高峰时段人们的顺利出行，地铁公司在保证安全运行的前提 下，缩短了发车间隔，从而提高了运送乘客的数量. 缩短发车间隔后比缩短发车间隔前 平均每分钟多运送乘客 50 人，使得缩短发车间隔后运送 14400 人的时间与缩短发车间 隔前运送 12800 人的时间相同，那么缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客多少人？ 20．如图，在△ABC 中，点 D 在 AC 上，DA=DB，∠C=∠DBC，以 AB 为直径 的 O⊙ 交 AC 于点 E，F 是 O⊙ 上的点，且 AF＝BF． （1）求证：BC 是 O⊙ 的切线； （2）若 sinC= 5 3 ，AE= 23 ，求 sinF 的值和 AF 的长．[来 21. 为了了解北京市的绿化进程，小红同学查询了首都园林绿化政务网，根据网站发布的近 几年北京市城市绿化资源情况的相关数据，绘制了如下统计图（不完整）： （1）请根据以上信息解答下列问题： ① 2010 年北京市人均公共绿地面积是多少平方米（精确到 0.1）？ ② 补全条形统计图； （2）小红同学还了解到自己身边的许多同学都树立起了绿色文明理念，从自身做起， 多种树，为提高北京市人均公共绿地面积做贡献. 她对所在班级的 40 名同学 2011 年参与植树的情况做了调查，并根据调查情况绘制出如下统计表： 种树棵数（棵） 0 1 2 3 4 5 人数 10 5 6 9 4 6 如果按照小红的统计数据，请你通过计算估计，她所在学校的 300 名同学在 2011 年共植树多少棵. K] 北京市 2007-2011 年 人均公共绿地面积年增长率统计图 北京市 2007-2011 年 人均公共绿地面积统计图 22. 根据对北京市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的 甲种蔬菜的销售利润 y1（千元）与进货量 x（吨）之间的函数 kxy 1 的图象如图①所示， 乙种蔬菜的销售利润 y2（千元）与进货量 x（吨）之间的函数 bxaxy  2 2 的图象如图 ②所示. （1）分别求出 y1、y2 与 x 之间的函数关系式； （2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共 10 吨，设乙种蔬菜的进货量为 t 吨，写出这 两种蔬菜所获得的销售利润之和 W（千元）与 t（吨）之间的函数关系式，并求出 这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？ 图① 图② 五、解答题（本题共 21 分，第 23 题 6 分，第 24 题 8 分，第 25 题 7 分） 23. 阅读下面材料： 问题：如图①，在△ABC 中， D 是 BC 边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°， DC=2．求 BD 的长． 小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC 进行翻折，再经过推理、计算使问题 得到解决． （1）请你回答：图中 BD 的长为 ； （2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC 中，D 是 BC 边上的一点， 若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求 BD 和 AB 的长． 图① 图② y（千元） y（千元） 24. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 3y ax bx   经过点 N（2,－5），过点 N 作 x 轴的 平行线交此抛物线左侧于点 M，MN=6. （1）求此抛物线的解析式； （2）点 P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP 交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN 为 直角三角形时，求点 P 的坐标； （3）设此抛物线与y 轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在， 求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由. m] 25. 在矩形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点 P 处，三 角板的两直角边分别能与 AB、BC 边相交于点 E、F，连接 EF． （1）如图，当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求此时PC 的长； （2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点 P 顺时针旋转，当点 E 与点A 重合时停止， 在这个过程中，请你观察、探究并解答： ① ∠PEF 的大小是否发生变化？请说明理由； ② 直接写出从开始到停止，线段 EF 的中点所经过的路线长． 备用图 15．北京市朝阳区九年级综合练习（一） 数学试卷参考答案及评分标准 2012.5 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B D D A C C 二、填空题 （本题共 16 分，每小题 4 分，） 9. x≥4 10. ))((5 babam  11. 70° 12. 3 2 ， 1n n （每空 2 分） 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13. 解：原式 122 3633  ……………………………………………………4 分 1 . …………………………………………………………………………5 分 14. 解： xx 5322  . …………………………………………………………………2 分 13  x . ……………………………………………………………………3 分 ∴ 3 1x . ……………………………………………………………………4 分 这个不等式的解集在数轴上表示为： ……………………5 分 15. 证明：∵C 是 AE 的中点， ∴AC＝CE. …………………………………………………………………………1 分 ∵BC∥DE， ∴∠ACB=∠E. ……………………………………………………………………2分 在△ABC 和△CDE 中，       CEAC EACB DB ， ∴△ABC≌△CDE. ………………………………………………………………4 分 ∴ AB＝CD. ………………………………………………………………………5 分 16. 解： )1(3)1()2(4 22  xxxx 331284 222  xxxxx 462 2  xx ………………………………………………………………………3 分 4)3(2 2  xx . ∵ 0132  xx ， ∴ 132  xx . …………………………………………………………………………4 分 ∴原式＝6. ……………………………………………………………………………5 分 17. 解：（1）∵PN 垂直 x 轴于点 N，PM 垂直 y 轴于点 M，矩形 OMPN 的面积为 2 ，且 ON=1， ∴PN＝2. ∴点 P 的坐标为（1,2）. ………………………1 分 ∵反比例函数 ky x  （ x ＞0）的图象、一次函数 y x b  的图象都经过点 P， 由 12 k ， b 12 得 2k ， 1b . ∴反比例函数为 xy 2 ，………………………………………………………2 分 一次函数为 1 xy . ………………………………………………………3 分 （2）Q1（0,1），Q2（0,－1）. ……………………………………………………5 分 18. 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ 42 1  ACCOAO ， BODO  . ∵△EAC 是等边三角形， ∴ 8 ACEA ，EO⊥AC. ………………………………………………………2 分 在 Rt△ABO 中， 322  AOABBO . ∴DO＝BO＝3. …………………………………………………………… …………3 分 在 Rt△EAO 中， 3422  AOEAEO . …………………………………4 分 ∴ 334  DOEOED . ……………………………………………………5 分 四、解答题（本题共 21 分，第 19、20、21 题每小题 5 分，第 22 题 6 分） 19. 解：设缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客 x 人. ……………………………………1 分 根据题意，得 xx 12800 50 14400  ， …………………………………………………………………3 分 解得 400x . ………………………………………………………………………4 分 经检验， 400x 是原方程的解. …………………………………………………5 分 答：缩短发车间隔前平均每分钟运送乘客 400 人. 20. （1）证明：∵DA=DB， ∴∠DAB=∠DBA. 又∵∠C=∠DBC， ∴∠DBA﹢∠DBC＝  901802 1 . ∴AB⊥BC. 又∵AB 是 O⊙ 的直径， ∴BC 是 O⊙ 的切线. ………………………………………………………2 分 （2）解：如图，连接 BE， ∵AB 是 O⊙ 的直径， ∴∠AEB＝90°. ∴∠EBC＋∠C＝90°. ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABE＋∠EBC＝90°. ∴∠C＝∠ABE. 又∵∠AFE＝∠ABE， ∴∠AFE＝∠C. ∴sin∠AFE＝sin∠ABE＝sinC. ∴sin∠AFE＝ 5 3 . …………………………………………………………………3 分 连接 BF， ∴  90AFB . 在 Rt△ABE 中， 25sin  ABE AEAB . ……………………………………4 分 ∵AF＝BF， ∴ 5 BFAF . …………………………………………………………………5 分 21. 解：（1）① 0.15%)4.31(5.14  ， ………………………………………………2 分 即 2010 年北京市人均绿地面积约为 15.0 平方米. ② ……………………………………3 分 （2） 67530040 6544936251100  . …………………5 分 估计她所在学校的 300 名同学在 2011 年共植树 675 棵. 22. 解：（1） xy 6.01  . ………………………………………………………………………1 分 xxy 2.22.0 2 2  .……………………………………………………………3 分 （2） )2.22.0()10(6.0 2 tttW  ， 66.12.0 2  ttW .…………………………………………………………4 分 即 2.9)4(2.0 2  tW . 所以甲种蔬菜进货量为 6 吨，乙种蔬菜进货量为 4 吨时，获得的销售利润之和 最大，最大利润是 9200 元. …………………………………………………6 分 五、解答题（本题共 21 分，第 23 题 6 分，第 24 题 8 分，第 25 题 7 分） 23. 解：（1） 22BD . ……………………………………………………………………2 分 （2）把△ADC 沿 AC 翻折，得△AEC，连接 DE， ∴△ADC≌△AEC. ∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA， DC＝EC. ∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°， ∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°. ∴△CDE 为等边三角形. ……………………3 分 ∴DC＝DE. 在 AE 上截取 AF＝AB，连接 DF， ∴△ABD≌△AFD. ∴BD＝DF. 在△ABD 中，∠ADB=∠DAC＋∠DCA=45°， ∴∠ADE=∠AED =75°，∠ABD =105°. ∴∠AFD =105°. ∴∠DFE=75°. ∴∠DFE=∠DEF. ∴DF＝DE. ∴BD＝DC＝2. …………………………………………………………………4 分 作 BG⊥AD 于点 G， ∴在 Rt△BDG 中， 2BG . ……………………………………………5 分 ∴在 Rt△ABG 中， 22AB . ……………………………………………6 分 24. 解：（1）∵ 32  bxaxy 过点 M、N（2，－5）， 6MN ， 由题意，得 M（ 4 ， 5 ）. ∴      .53416 ,5324 ba ba 解得      .2 ,1 b a ∴此抛物线的解析式为 322  xxy . …………………………………2 分 （2）设抛物线的对称轴 1x 交 MN 于点 G， 若△DMN 为直角三角形，则 32 1 21  MNGDGD . ∴D1（ 1 ， 2 ）， 2D （ 1 ， 8 ）. ………………………………………4 分 直线 MD1 为 1 xy ，直线 2MD 为 9 xy . 将 P（x， 322  xx ）分别代入直线 MD1， 2MD 的解析式， 得 1322  xxx ①， 9322  xxx ②. 解①得 11 x ， 42 x （舍）， ∴ 1P （1,0）. …………………………………5 分 解②得 33 x ， 44 x （舍）， ∴ 2P （3,－12）. ……………………………6 分 （3）设存在点 Q（x， 322  xx ）， 使得∠QMN=∠CNM. ① 若点 Q 在 MN 上方，过点 Q 作 QH⊥MN， 交 MN 于点 H，则 4tan  CNMMH QH . 即 ）（ 445322  xxx . 解得 21 x ， 42 x （舍）. ∴ 1Q （ 2 ，3）. ……………………………7 分 ② 若点 Q 在 MN 下方， 同理可得 2Q （6， 45 ）. …………………8 分 25. 解：（1）在矩形 ABCD 中， 90A D     ，AP=1，CD=AB=2， ∴PB= 5 ， 90ABP APB     ． ∵ 90BPC   ， ∴ 90APB DPC     ． ∴ ABP DPC   ． ∴ △ABP∽△DPC． ∴ AP PB CD PC  ，即 1 5 2 PC  ． ∴PC=2 5 ．……………………………………………………………………2 分 （2）① ∠PEF 的大小不变． 理由：过点 F 作 FG⊥AD 于点 G． ∴四边形 ABFG 是矩形． ∴ 90A AGF     ． ∴GF=AB=2， 90AEP APE     ． ∵ 90EPF   ， ∴ 90APE GPF     ． ∴ AEP GPF   ． ∴ △APE∽△GFP. …………………………………………………………4 分 ∴ 2 21 PF GF PE AP    ． ∴在 Rt△EPF 中，tan∠PEF= 2PF PE  ．……………………………………5 分 即 tan∠PEF 的值不变． ∴∠PEF 的大小不变．…………………………………………………………6 分 ② 5 . …………………………………………………………………………7 分