2012年石景山区初三一模数学试卷及答案

石景山区 2012 年初三第一次统一练习暨毕业考试 数 学 试 卷 考 生 须 知 1．本试卷共 8 页．全卷共五道大题，25 道小题． 2．本试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟． 3．在试卷密封线内准确填写区（县）名称、毕业学校、姓名和准考证号． 4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回． 第Ⅰ卷（共 32 分） 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规 定要求填涂在答题纸第 1-8 题的相应位置上． 1． 3 1 的相反数是 A． 3 1 B． 3 1 C．3 D． 3 2．农历龙年春节黄金周，北京旅游市场迎来经济和社会效益双丰收．黄金 周７天，北京市各主要景区、公园共接待中外游客约 8270000 人次． 将 8270000 用科学记数法表示为 A． 71027.8  B． 710827.0  C． 61027.8  D． 5107.82  3．下列图形中可以由一个基础图形通过平移变换得到的是 A B C D 4．一个不透明的盒子里装有 2 个白球，2 个红球，若干个黄球，这些球除了颜色外，没有 任何其他区别．若从这个盒子中随机摸出一个是黄球的概率是 5 3 ，则盒子中黄球的个数是 A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，在△ ABC 中， DE BC∥ ， 2AD  ， 3AE  ， 4BD  ，则 AC 的长为 A． 9 B．8 C． 7 D． 6 A C D E B P D C B A 第 5 题图 第 6 题图 6．如图，弦 AB 和CD 相交于点 P ，  30B ，  80APC ，则 BAD 的度数为 A．20° B．50° C．70° D．110° 7．七名学生在一分钟内的跳绳个数分别是：150、140、100、110、130、110、120，设这组 数据的平均数是 a ，中位数是b ，众数是 c ，则有 A． abc  B． acb  C． bac  D． cba  8．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4， 点 P 以每 秒一个单位的速度沿着 B—C—A 运动，⊙P 始终与 AB 相切， 设点 P 运动的时间为 t，⊙P 的面积为 y，则 y 与 t 之 间的函数 关系图像大致是 第Ⅱ卷（共 88 分） 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．若代数式 3 2 x 有意义，则 x 的取值范围是____________． 10．分解因式： xxx 96 23  =___________________． 11．用半径为 10cm，圆心角为 120°的扇形围成一个圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥 的高为__________cm． 12．一个正整数数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的 2 倍）： 第 1 行 1 第 2 行 3 5 第 3 行 7 9 11 13 … … 则第 4 行中的最后一个数是 ，第 n 行中共有 个数， 第 n 行的第 n 个数是 ． 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） P C B A 第 8 题图 A B C D t°° ° ° ° ° ° ． tO y O y O y t O y t 13．计算：    02012 31260tan11  14．解不等式 13 12 5 23  xx ，并把解集表示在数轴上． 15．已知 422  aa ，求 12 1 1 1 1 1 22     aa a aa 的值． 16．如图，∠ACB=∠CDE=90°，B 是 CE 的中点， ∠DCE=30°，AC=CD． 求证：AB∥DE． 17．已知一次函数 bkxy  的图像经过点 A(1，0)和 B  aa ，3 （ 0a ），且点 B 在反比 例函数 xy 3 的图像上． （1）求一次函数的解析式； （2）若点 M 是 y 轴上一点，且满足△ABM 是直角三角形，请直接写出点 M 的坐标． 18．小明从 A 地出发向 B 地行走，同时晓阳从 B 地出发 向 A 地行走，如图所示，相交于点 M 的两 条线段 1 2l l、 分别表示小明、晓阳离 A 地的距离 y （ 千 米）与已用时间 x （分钟）之间的关系， （1）小明与晓阳相遇时，晓阳出发的时间 是 ； （2）求小明与晓阳的速度。 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．如图，在直角梯形 ABCD 中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=2CD，E、F 分别为 AB、AD 的中点，联结 EF、EC、BF、CF． （1）四边形 AECD 的形状是 ； （2）若 CD=2，求 CF 的长． 20．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 交于点 E，过点 A 作⊙O 的切线与 CD 的延长 线交于点 F ，如果 CEDE 4 3 ， 58AC ， D 为 EF 的中点． E D C B A 第 16 题图 F E D C B A 第 19 题图 F E D C B A O 第 18 题图 （1）求证： ACFAFC  ； （2）求 AB 的长． 21．图①表示的是石景山某商场 2012 年前四个月中两个月的商品销售额的情况，图②表示 的是商场家电部各月销售额占商场当月销售总额的百分比情况，观察图①、图②解答下 列问题： （1）商场前四个月财务结算显示四月份商场的商品销售额比一月份下降了 20%，请你求出 商场四月份的销售额； （2）若商场前四个月的商品销售总额一共是 500 万元，请你根据这一信息将图①中的统计 图补充完整； （3）小明观察图②后认为，商场家电部四月份的销售额比三月份减少了，你同意他的看法 吗？请你说明理由． 22．生活中，有人用纸条可以折成正五边形的形状，折叠过程是将图①中的纸条按图②方式 拉紧，压平后可得到图③中的正五边形（阴影部分表示纸条的反面）． （1）将 两端剪掉则可以得到正五边形 ，若将 展开，展开后的平 面图形是 ； （2）若原长方形纸条（图①）宽为 2cm，求（1）中展开后平面图形的周长（可以用三角 函数表示）． 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．已知：关于 x 的方程     01342  mxmx 有两个不相等的实数根． （1）求 m 的取值范围； 图① 图② 图③ 图② 图① 图② 月份 销售额(万元) 石景山某商场 2011 年 前四个月商品销售额统计图 （2）抛物线C ：    1342  mxmxy 与 x 轴交于 A 、B 两点．若 1-m 且直 线 1l : 12  xmy 经过点 A ,求抛物线C 的函数解析式； （3）在（2）的条件下，直线 1l : 12  xmy 绕着点 A 旋转得到直线 2l ： bkxy  ， 设直线 2l 与 y 轴交于点 D ，与抛物线C 交于点 M（ M 不与点 A 重合），当 2 3 AD MA 时，求 k 的取值范围． 24．（1）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=2BC，M 是 AB 的中点．直接写出∠BMD 与∠ADM 的倍数关系； （2）如图 2，若四边形 ABCD 是平行四边形， AB=2BC，M 是 AB 的中点，过 C 作 CE ⊥AD 与 AD 所在直线交于点 E． ①若∠A 为锐角，则∠BME 与∠AEM 有怎样的倍数关系，并证明你的结论； ②当  A0 时，上述结论成立； 当  180A 时，上述结论不成立． 25．已知二次函数 )34()22( 22  mmxmxy 中，m 为不小于 0 的整数，它的 图像与 x 轴交于点 A 和点 B，点 A 在原点左边，点 B 在原点右边． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点 C 是抛物线与 y 轴的交点，已知 AD=AC（D 在线段 AB 上），有一动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 以每秒 1 个单位长度的速度移动，同时，另一动点 Q 从点 C 出 发，以某一速度沿线段 CB 移动，经过 t 秒的移动，线段 PQ 被 CD 垂直平分，求 t 的值； （3）在（2）的情况下，求四边形 ACQD 的面积． M D B A C E A D M B C 图 1 图 2 石景山区 2012 年初三第一次统一练习暨毕业考试试卷 初三数学参考答案 阅卷须知： 为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考 生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做 到这一步应得的累加分数． 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 A C B C A B D B 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9． 3x ； 10．  23xx ； 11． 3 220 ； 12．29； 12 n ； 322  nn ． 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．解：原式 132-1-31  ………………4 分 3-1 ………………5 分 14．解:     15125233  xx ………………1 分 1551069  xx ………………2 分 4- x ………………3 分 4x ………………4 分 …………5 分 15.原式 =      1 1 11 1 1 1 2   a a aaa ………………2 分 =    22 1 1 1 1     a a a a ………………3 分 = 12 2 2  aa ………………4 分 ∵ 422  aa ∴原式= 5 2 . ………………5 分 16．证明：∵∠CDE=90°，∠DCE=30° ∴ CE2 1DE  ………………1 分 ∵B 是 CE 的中点， ∴ CE2 1CB  ∴DE=CB ………………2 分 在△ABC 和△CED 中       DECB CDEACB CDAC ∴△ABC≌△CED ………………3 分 ∴∠ABC=∠E ………………4 分 543210-1 ∴AB∥DE. ………………5 分 17．解：（1）∵点 B  aa ，3 在反比例函数 xy 3 的图像上， ∴ aa 3 3-  ， 1a ， ∵ 0a ，∴ 1a ， ………………1 分 ∴ )1-3( ，B ∵A(1，0)和 )1-3( ，B 在一次函数 bkxy  的图像上 ∴      13 0 bk bk 解得        2 1 2 1 b k ………………2 分 ∴一次函数的解析式为 2 1 2 1  xy ……………3 分 （2）  7-0M1 ，  2-0M 2 ， . ……………5 分 18．解：（1）12 分钟； ……………………..2 分 （2）设 l1： xky 11  ，过（30，4），故 xy 15 2 …………..3 分 当 6.11 y 时， 12x 设 l2： bxky  22 ，过（12，1.6），（0，4）， 故 45 1  xy ………..4 分 答：小明的速度是每分钟 15 2 千米，晓阳的速度是每分钟 5 1 千米．..5 分 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19.解：（1）四边形 AECD 的形状是 平行四边形 …………1 分 （2）∵四边形 AECD 是平行四边形，∴AE=CD=2， ∵E 是 AB 的中点，∴AE=EB=2，AB=4. …………2 分 ∵四边形 AECD 是平行四边形，∴EC∥AD， ∴∠BEC=∠A=60°. ∴EC=4，BC= 32 . ∴ AD=EC=4， ………… 3 分 ∵F 是 AD 的中点，∴AF=2， ∴△AEF 是等边三角形，∴EF=2 ∴∠FEC=60° 可证△ECF ≌△ECB ………… 4 分 ∴FC=BC= 32 . …………5 分 20.解：(1)联结 BC ∵ AF 为 O⊙ 的切线 ∴ AF ⊥ AB 即 DAF DAB = 90 F E C A B D GA F D E B C O ∵ D 为 EF 的中点， ∴ ADDEDF  ∴ DAF AFC ……………..1 分 ∵ AB 为 O⊙ 的直径， ∴ ECB FCA  90 ∵ DAB = ECB ∴ DAF FCA ……………..2 分 ∴ FCA AFC (2) C过 作 GABCG 于 ∵ AF ⊥ AB ，∴ CGAF ∥ ∵ CEDE 4 3 , DEDF  ，∴ 3:2: FECE 可得 3:2: AFCG ……………..3 分 ∵ FCA AFC ∴ 58 ACAF ACGRt△ 中， 3:2: ACCG ∴ CABcos = 5 ：3 ……………..4 分 在 ACBRt△ 中， 58AC ∴ 24AB ……………..5 分 21.解：（1）商场四月份的销售额=150（1-20%）＝120（万元）…..1 分 （2）商场二月份的销售额=500-150-100-120=130（万元） …..3 分 （3）家电部三月份的销售额是 100×17%＝17（万元） 家电部四月份的销售额是 120×15%＝18（万元） ………..4 分 ∵18>17 ∴不同意他的看法． ………..5 分 22．解：（1）平行四边形 ………..2 分 （2）如图，过顶点 A 作对边垂线，垂足为 H、I ， ………..3 分 则  725 360AEHABI ∴  72sin 2 72sin AHAEAB  18tan218tanAHEH ∴总周长=  72tan 16 72sin 20424 CEAEAB （或  18tan1672sin 20 ） ( 72sin 可换成 18cos ) …..5 分 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题和第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） AH B I E C D 23．解：（1）     1344 2  mm  22 m ……………..1 分 ∵方程     01342  mxmx 有两个不相等的实数根 ∴ 0 ∴ 2m ……………..2 分 （2） 抛物线    1342  mxmxy 中，令 0y ，则     01342  mxmx ， 解得： 31 x ， mx  12 ……………..3 分 ∴抛物线与 x 轴的交点坐标为  0,3 和  0,1 m ∵直线 1l : 12  xmy 经过点 A 当点 A 坐标为  0,3 时 0132  m ， 解得 3 2m 当点 A 坐标为  0,1 m 时   0112  mm ， 解得 2m 或 1m 又∵ 1-m ∴ 1-m 且  0,2A ∴抛物线C 的解析式为 652  xxy ；……. 4 分 （3）设  65, 2  MMM xxxM ①当点 M 在 A 点的右侧时，可证 OA OAx AD AM M  若 2 3 AD AM ，则 2 3 2 2 Mx ， 此时 5Mx ,  6,5 M 过点 A 的直线 2l ： bkxy  的解析式 为 kkxy 2  6,5 M 时 625  kk ， 求得 2k …………..5 分 ②当点 M 与 A 点重合时直线 2l 与抛物线C 只有一个公共点 解得      65 2 2 xxy kkxy   02652  kxkx 令     02645 2  kk ,求得 1k ……….6 分 ③当点 M 在 A 点的左侧时 可证 OA xOA AD AM M 若 2 3 AD AM ，则 2 3 2 2  Mx ，此时 1Mx ,  12,1 M 122  kk ，解得 4k 综上所述，当 2 3 AD MA 时 42  k 且 1k ………..7 分 24. （1）∠BMD= 3 ∠ADM ………… 2 分 （2）联结 CM，取 CE 的中点 F，联结 MF，交 DC 于 N ∵M 是 AB 的中点，∴MF∥AE∥BC， ∴∠AEM=∠1，∠2=∠4， ……… 3 分 ∵AB=2BC，∴BM=BC，∴∠3=∠4. ∵CE⊥AE，∴MF⊥EC，又∵F 是 EC 的中点， ∴ME=MC，∴∠1=∠2. ……….4 分 ∴∠1=∠2=∠3. ∴∠BME =3∠AEM. ………. 5 分 （3）当 0°