2012年门头沟区初三一模数学试卷及答案

2012 年门头沟区初三年级第一次统一练习 数 学 试 卷 考 生 须 知 1．本试卷共 6 页，共五道大题，25 个小题，满分 120 分。考试时间 120 分钟。 2．在试卷和答题纸上认真填写学校名称、姓名和准考证号。 3．试题答案一律添涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。 4. 在答题卡上，选择题、作图题 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5. 考试结束，请将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的. 1. － 1 2 的相反数是 A．－2 B．－ 1 2 C． 1 2 D．2 2. 2012 年全国春运客流量在历史上首次突破三十亿人次，达到 3 158 000 000 人次，将 3 158 000 000 用科学计数法表示为 A. 3.158 910 B. 3.158 810 C. 31.58 810 D. 0.3158 1010 3.把 aa 93  分解因式，结果正确的是 A. )3)(3(  aaa B. )9( 2 aa C. 2)3( aa D. 2)3( aa 4. 如图，直线 l1∥l2， ∠1=40°，∠2=75°，则∠3 等于 A. 55° B. 60° C.65° D. 70° 5.某班 7 名同学在一次“1 分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：39，39，45， 42，37，41，39．这组数据的众数、中位数分别是 A．42，37 B．39，40 C．39，41 D.39，39 6.有四张背面完全相同且不透明的卡片，每张卡片的正面分别写有数字-2， 3 ，0， 8 ， 将它们背面朝上，洗均匀后放置在桌面上，若随机抽取一张卡片，则抽到的数字恰好是无 理数的概率是 A. 4 1 B. 2 1 C. 4 3 D.1 7. 已知等腰梯形的底角为 45°，高为 2，上底为 2，则这个梯形的面积为 l 2 l 1 3 2 1 A．2 B．6 C．8 D．12 8. 如图，在正方形 ABCD 中，AB=3cm，动点 M 自 A 点出发沿 AB 方向以每秒 1cm 的速度运动，同时动点 N 自 A 点出发沿折 线 AD—DC—CB 以每秒 3cm 的速度运动，到达 B 点时运动同 时停止，设△AMN 的面积为 y（cm2），运动时间为 x（秒）， 则下列图象中能大致反映 y 与 x 之间的函数关系的是 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9.若二次根式 32 x 有意义，则 x 的取值范围是 . 10. 把方程 011102  xx 化为 nmx  2)( 的形式（其中 m、n 为常数，且 n  0），结 果为 . 11. 如图，半径为 10 的⊙O 中，弦 AB 的长为 16，则这条弦的 弦心距为 . 12.如图，对面积为 1 的△ABC 逐次进行以下操作： 第一次操作，分别延长 AB、BC、CA 至 A1、B1、C1， 使得 A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接 A1、 B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为 S1；第二次操作， 分别延长 A1B1，B1C1，C1A1 至 A2，B2，C2，使得 A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接 A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为 S2……， 按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积为 S5=_________. 第 n 次操作得到△AnBnCn， 则△AnBnCn 的面积 Sn= . 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） N M D C B A A B O 13.计算： 10 212)3(2   14.解分式方程： 21 2 1 3  x x x 15.已知 232  xx ，求 )2)(12()1( 2  xxx 的值. 16.已知：如图，AB∥ED，AE 交 BD 于点 C，且 BC=DC． 求证：AB=ED． 17.如图，A、B 为反比例函数 x ky  （ 0x ）图象上的两个点. （1）求 k 的值及直线 AB 的解析式； （2）若点 P 为 x 轴上一点，且满足△OAP 的面积为 3， 求出 P 点坐标. 18. 如图，在一次课外数学实践活动中，小明站在操场 的 A 处，他的两侧分别是旗杆 CD 和一幢教学楼 EF， 点 A、D、F 在同一直线上，从 A 处测得旗杆顶部和 教学楼顶部的仰角分别为 45°和 60°，已知 DF=14m， EF=15m，求旗杆 CD 高．(结果精确到 0.01m， 参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732) 四、解答题（本题共 20 分，第 19 题 5 分，第 20 题 5 分，第 21 题 6 分，第 22 题 4 分） 19. 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，点 E 为 AB 的中点， 过点 E 作 ED⊥BC 于 D，F 在 DE 的延长线上，且 AF=CE，若 AB=6，AC=2，求四边形 ACEF 的面积. 20.如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 分别 交 BC、AC 于 D、E 两点，过点 D 作 DF⊥AC，垂足为 F. E D C B A 60 45 F E C D A F E D C B A （1）求证：DF 是⊙O 的切线； （2）若 AE= DE，DF=2，求⊙O 的半径. 21. 图 1、图 2 是北京市 2006——2010 年户籍人口数和户籍 65 岁及以上人口数的统计图 和 2010 年北京市户籍人口各年龄段统计图 请你根据以上信息解答下列问题： （1）2010 年北京市 65 岁及以上人口数约有多少万人？（结果保留四位有效数字） （2）补全条形统计图； （3）根据联合国教科文组织的规定，一个国家（地区）65 岁以上的人口占人口总数的 7% 以上，这个国家（地区）则进入了老龄化社会. 由此可见北京市已经步入了老龄化社会.小 明通过学习知道养老方式有三种：家庭养老、机构养老和社区养老.小明同学调查了他所居 住小区的 120 名 65 岁及以上的老人，选择养老方式如下表所示. 如果按照小明的统计数据， 请你通过计算估计， 2010 年北京市 65 岁及以上的老人选择机构养老．．．．的约有多少万人？ 小明居住小区 65 岁及以上的老人选择养老方式的人数统计表 养老方式 家庭养老 机构养老 社区养老 人数（人） 72 18 30 22.阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别为 DC、BC 边上的点， ∠EAF=45°，连结 EF，求证：DE+BF=EF． 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线 段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法 是将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABG（如图 2），此时 GF 即是 DE+BF． 请回答：在图 2 中，∠GAF 的度数是 ． 参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图 3，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC（AD＞BC）， ∠D=90°，AD=CD=10，E 是 CD 上一点，若∠BAE=45°， DE=4，则 BE= ． （2）如图 4，在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 是 x 轴上一 动点，且点 A（ 3 ，2），连结 AB 和 AO，并以 AB 为边向上作 正方形 ABCD，若 C（x，y），试用含 x 的代数式表示 y， 则 y= ． 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23.已知：关于 x 的一元二次方程 02)21( 22  kxkx 有两个实数根. （1）求 k 的取值范围； （2）当 k 为负整数时，抛物线 2)21( 22  kxkxy 与 x 轴的交点是整数点，求抛物线的解析式； （3）若（2）中的抛物线与 y 轴交于点 A，过 A 作 x 轴的平行 线与抛物线交于点 B，连接 OB，将抛物线向上平移 n 个单位， 使平移后得到的抛物线的顶点落在△OAB 的内部（不包括 △OAB 的边界），求 n 的取值范围. 24.已知：在△ABC 中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD 交线段 AB 于点 E． （1）如图 l，当∠ACB=90°时，直接写出线段 DE、CE 之间的数量关系； （2）如图 2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE； （3）如图 3，在（2）的条件下，点 F 是 BC 边的中点，连接 DF，DF 与 AB 交于 G， △DKG 和△DBG 关于直线 DG 对称（点 B 的对称点是点 K），延长 DK 交 AB 于点 H．若 BH=10，求 CE 的长. 25.在平面直角坐标系中，二次函数 322  xxy 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），交 y 轴于点 E. 点 C 是点 A 关于点 B 的对称点，点 F 是线段 BC 的中点， 直线 l 过点 F 且与 y 轴平行. 一次函数 y=－x＋m 的图象过点 C，交 y 轴于 D 点. （1）求点 C、点 F 的坐标； （2）点 K 为线段 AB 上一动点，过点 K 作 x 轴的垂线与直线 CD 交于点 H，与抛物线交于 点 G，求线段 HG 长度的最大值； （3）在直线 l 上取点 M，在抛物线上取点 N，使以点 A，C，M，N 为顶点的四边形是平 行四边形，求点 N 的坐标. 2012 年数学一模评标 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 1.C 2.A 3.A 4.C 5.D 6.B 7.C 8.B 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9. 2 3x 10. 36)5( 2 x 11. 6 12.195 19n 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 图1 E D A C B 图2 E D A C B F G K H 图3 E D A C B 13.解：原式= 2 13212  …………………………………….4 分 = 322 1  ……………………………………………….5 分 14. 21 2 1 3  x x x 解： )1)(1(2)1(2)1(3  xxxxx ……………….2 分 222233 22  xxxx …………………..3 分 5x ………………………….4 分 经检验：x=-5 是原方程的解. …………………………………………………….5 分 15. 解： )2)(12()1( 2  xxx = 25212 22  xxxx ………………………………2 分 = 132  xx ………………………………………………..3 分 当 232  xx 时，原式= 132  xx = 1)3( 2  xx …………….4 分 =2-1=1 …………………………….5 分 16.证明：∵AB∥ED， ∴∠ABD=∠EDB. ………………………….1 分 ∵BC=DC,∠ACB=∠DCE, ……………3 分 ∴△ABC≌△EDC. ………………….4 分 ∴AB=ED． ………………………………5 分 17.解：（1）由题意得， 21  k ∴k= -2. ……………………………1 分 设 AB 的解析式为 y=ax+b. 由题意得，      2 12 ba ba 解得，      3 1 b a AB 的解析式为 y= x+3 ……………………….2 分 （2）设点 P（x，0） E D C B A 45° 60° F E D C A 由题意得，S△OAP= 12 1 OP =3 OP=6………………………………..3 分 点 P 坐标为（-6,0）或（6,0）………………………….5 分 18.解：∵CD⊥FD,∠CAD=45°, ∴∠ACD=45°. ∴AD=CD. …………………………1 分 ∴AF=14-CD. ……………………..2 分 ∵EF⊥FD,∠FAE=60°, ∴ AF EF60tan ……………………..3 分 CD 14 153 ∴ 153143 CD ……………………..4 分 ∴CD  5.34 ……………………………….5 分 答：旗杆 CD 高是 5.34 米 四、解答题（本题共 20 分，第 19 题 5 分，第 20 题 5 分，第 21 题 6 分，第 22 题 4 分） 19.解：过点 E 作 EH⊥AC 于 H ∵∠ACB=90°, AE=BE, . ∴AE=BE=CE. ∴∠EAC=∠ECA. ∵AF=CE,∴AE=AF, ∴∠F=∠FEA. ∵ED⊥BC, ∴∠BDF=90°，BD=DC. ∴∠BDF=∠ACB=90°. ∴FD∥AC. ……………………………1 分 ∴∠FEA=∠EAC. ∴∠F=∠ECA. ∵AE=EA, ∴△AEF≌△EAC ……………………2 分 ∴EF=AC ∴四边形 FACE 是平行四边形. ………………3 分 ∵EH⊥AC, ∴∠EHA=90°. ∵∠BCA=90°,∠EHA=∠BCA. ∴BC= 24 , EH∥BC. ∴AH=HC. H F E D C B A ∴EH= 222 1 BC …………………4 分 ∴ 24222  EHACS ACEF平行四边形 …………………….5 分 20.（1）证明：连接 OD ∵AB=AC, ∴∠C=∠B. ∵OD=OB, ∴∠B=∠1. ∴∠C=∠1. ………………………………1 分 ∴OD∥AC. ∴∠2=∠FDO. ………………………….2 分 ∵DF⊥AC, ∴∠2=90° ∴∠FDO=90° ∴FD 是⊙O 的切线. …………………………3 分 （2）解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°. ∵AC=AB, ∴∠3=∠4. ∵弧 ED=弧 DB ∴弧 AE=弧 DE, ∴弧 DE=弧 DB=弧 AE. …………………..4 分 ∴∠B=2∠4. ∴∠B=60°， ∴∠C=60°. 在 Rt△CFD 中， CD DEC sin , ∴  60sin 2CD = 3 34 . ∴DB= 3 34 ,AB=BC= 3 38 ∴OA= 3 34 ……………………………5 分 21.解：（1） 9.170%6.137.1256  （万人）…………………………..2 分 答：2010 年北京市 65 岁及以上人口数约有 170.9 万人 （2）图略 正确…………………………………….4 分 （3） 635.259.170120 18  （万人）……………………….6 分 答：到 2010 年北京市 65 岁及以上的老人选择机构养老这种方式的约有 25.635 万人 22. 解： 45° …………………………………..1 分 （1） 7 58 ……………………………………2 分 （2） 1 xy ………………………………..4 分 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23. 解：（1）由题意得， 0)2(421 22  kk）（ ……………….1 分 解得， 4 9k K 的取值范围是 4 9k . ……………………..2 分 （2）k 为负整数，k=-2，-1. 当 k=-2 时， 232  xxy 与 x 轴的两个交点是（-1，0）（-2，0）是整 数点，符合题意 …………………3 分 当 k=-1 时， 12  xxy 与 x 轴的交点不是整数点，不符合题意 ….4 分 抛物线的解析式是 232  xxy （3）由题意得，A（0，2），B（-3，2） 设 OB 的解析式为 mxy  m32  ,解得 3 2m OB 的解析式为 xy 3 2 232  xxy 的顶点坐标是（ 2 3 ， 4 1 ） OB 与抛物线对称轴的交点坐标（ 2 3 ，1） …………..5 分 直线 AB 与抛物线对称轴的交点坐标是（ 2 3 ，2） ………6 分 有图象可知，n 的取值范围是 4 9 4 5  n ……………………7 分 24.(1)DE=2CE………………………1 分 (2)证明：过点 B 作 BM⊥DC 于 M ∵BD=BC， ∴DM=CM, ………………………..2 分 ∴∠DMB=∠CMB=90°,∠DBM=∠CBM= 2 1 ∠DBC=60° ∴∠MCB=30° BM= 2 1 BC ∵BC=2AC， ∴BM=AC. ∵∠ACB=120°, ∴∠ACE=90°. ∴∠BME=∠ACE ∵∠MEB=∠AEC ∴△EMB≌△ECA ∴ME=CE= 2 1 CM ………………………3 分 ∴DE=3EC ………………………………4 分 (3) 过点 B 作 BM⊥DC 于 M，过点 F 作 FN⊥DB 交 DB 的延长线于点 N. ∵∠DBF=120°, ∴∠FBN=60°. ∴FN= 2 3 BF,BN= 2 1 BF ……5 分 ∵DB=BC=2BF, DN=DB+BN= 2 5 BF ∴DF= 7 BF ∵AC= 2 1 BC,BF= 2 1 BC ∴AC=BF ∵∠DBC=∠ACB ∴△DBF≌BCA ∴∠BDF=∠CBA. ∵∠BFG=∠DFB, ∴△FBG∽△FDB ∴ DB BG DF BF BF FG  ∴ FDFGBF 2 ,∴ 7 7FG BF 图2 M E D A C B N M 图3 H K G F E D A C B ∴DG= 7 76 BF,BG= 7 72 BF ∵△DKG 和△DBG 关于直线 DG 对称， ∴∠GDH=∠BDF.∠ABC=∠GDH. ∵∠BGF=∠DGA, ∴△BGF∽△DGH. ∴ GH GF DG BG  . ∴GH= 7 73 BF. ∵BH=BG+GH= 7 75 BF=10, ∴BF= 72 . …………………………….6 分 ∴BC=2BF=4 7 ,CM= 212 ∴CD=2CM= 214 . ∵DE=3EC ∴EC= 4 1 CD= 21 ……………………………..7 分 25.解：（1）由题意得，A（－3，0），B（1，0） C（5，0） ……………………1 分 F（3，0） …………………………2 分 （2）由题意得， m 50 ，解得 m=5 CD 的解析式是 5 xy 设 K 点的坐标是（t，0），则 H 点的坐标是（t，-t+5）,G 点的坐标是（t， 322  tt ） K 是线段 AB 上一动点， 13  t HG=（-t+5）-（ 322  tt ）= 832  tt = 4 41)2 3( 2  t ………..3 分 12 33  ， 当 t= 2 3 时，线段 HG 的长度有最大值是 4 41 ………………….4 分 （3）AC=8 ………………………5 直线 l 过点 F 且与 y 轴平行， 直线 l 的解析式是 x=3. 点 M 在 l 上，点 N 在抛物线上 设点 M 的坐标是（3，m），点 N 的坐标是（n， 322  nn ）. （ⅰ）若线段 AC 是以 A、C、M、N 为顶点的平行四边形的边，则须 MN∥AC， MN=AC=8 （Ⅰ）当点 N 在点 M 的左侧时，MN=3-n 3-n=8，解得 n=-5 N 点的坐标是（-5，12）…………………6 分 （Ⅱ）当点 N 在点 M 的右侧时，NM=n-3 n-3=8，解得 n=11 N 点坐标是（11，140） …………………..7 分 （ⅱ）若线段 AC 是以 A、C、M、N 为顶点的平行四边形的对角线，由题意 可知，点 M 与点 N 关于点 B 中心对称. 取点 F 关于点 B 的对称点 P，则 P 点坐 标是（-1，0）.过点 P 作 NP⊥x 轴，交抛物线与点 N. 过点 N、B 作直线 NB 交直线 l 于点 M. ∠NBP=∠MBF,BF=BP,∠BPN=∠BFM=90° △BPN≌△BFM. NB=MB 四边形 ANCM 是平行四边形. N 点坐标是（-1，-4）………………………………….8 分 符合条件的 N 点坐标有（-5，12），（11，140），（-1，-4），