昌平区 2011—2012 学年第二学期初三年级第一次统一练习
数 学 2012．5
考
生
须
知
1．本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分．考试时间 120 分钟．
2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考试编号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共 8 道小题，每小题 4 分，共 32 分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．
1． 1
5
的相反数是
A．5 B． 5 C． 1
5
D． 1
5
2．方程组
42
2
yx
yx 的解是
A．
2
1
y
x
B．
1
3
y
x
C．
2
0
y
x
D．
0
2
y
x
3．2012 年伦敦奥运会体育场位于伦敦东部的斯特拉特福，因外形上阔下窄，
又被称为“伦敦碗”，预计可容纳 8 万人，分为两层，上层是 55000 个临时
座位．将 55000 用科学记数法表示为
A． 55×103 B． 0．55×105 C． 5．5×104 D． 5．5×103
4．如图，AB∥CD，点 E 在 BC 上，且 CD=CE，∠B=32°，则∠D 的度数为
A．32° B．68° C．74° D．84°
5．一名警察在高速公路上随机观察了 6 辆汽车的车速，记录如下：
车序号 1 2 3 4 5 6
车速（千米/时） 100 82 90 82 70 84
则这 6 辆车车速的众数和中位数是
A．84，90 B．85，82 C．82，86 D．82，83
6．三张卡片上分别画有等腰直角三角形、等边三角形和菱形，从这三张卡片中随机抽取一张，则取到的
卡片上的图形是中心对称图形的概率是
Ａ． 1
3
Ｂ． 2
3
Ｃ． 1
2
Ｄ．1
7． 若关于 x 的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0 有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围是
A．a＜2 且 a≠0 Ｂ．a＞2 Ｃ．a＜2 且 a≠1 Ｄ．a＜－2
８．如图，已知□ABCD 中，AB=4,AD=2,E 是 AB 边上的一动点（与点 A、B 不重合），设 AE= x ,DE 的延
长线交 CB 的延长线于点 F，设 BF= y ，则下列图象能正确反映 y 与 x 的函数关系的是
二、填空题（共 4 道小题，每小题 4 分，共 16 分）
9．若二次根式 1 2x 有意义，则 x 的取值范围为 ．
10．分解因式： 2 4 4x y xy y ．
11．符号 f 表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1） 0)1( f ， 1)2( f ， 2)3( f ， 3)4( f ，…
（2） 2)2
1( f ， 3)3
1( f ， 4)4
1( f ， 5)5
1( f ，…
利用以上规律计算： 1( ) (2012)2012f f = ．
12．己知□ABCD中，AD=6，点E在直线AD上，且DE＝3，连结BE与对角线AC相交于点M，则
MC
AM = ．
三、解答题（共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分）
13．计算： 1 01( ) 2cos30 12 (1 )3
．
14．解不等式组： 1
2( 2) 3 .
x
x x
≥0，
＞
15．计算： 2
2 1
4 2
m
m m
．
16．如图，已知△ABC 和△ADE 都是等边三角形，连结 CD、BE．求证：CD=BE．
17．已知 2 6 0x x ，求代数式 2 2( 1) ( 1) 10x x x x 的值．
18．如图，在□ABCD 中，AB＝5，AD＝10，cosB＝ 3
5
，过 BC 的中点 E 作 EF⊥AB，垂足为点 F，连结
DF，求 DF 的长．
四、解答题（共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）
19．如图，已知直线 PA 交⊙O 于 A、B 两点，AE 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，且 AC 平分∠PAE，过
点 C 作 CD⊥PA 于 D．
（1） 求证：CD 是⊙O 的切线；
（2） 若 AD：DC=1：3，AB=8，求⊙O 的半径．
20．某周六上午 8：O0 小明从家出发，乘车 1 小时到郊外某基地参加社会
实践活动．在基地活动 2．2 小时后，因家里有急事，他立即按原路以
4 千米/时的平均速度步行返回，同时爸爸开车从家出发沿同一路线接
他，在离家 28 千米处与小明相遇．接到小明后保持车速不变，立即按
原路返回．设小明离开家的时间为 x 小时，小明离家的路程 y (千米)
与 x (小时)之间的函数图象如图所示．
(1)小明去基地乘车的平均速度是 千米/时，爸爸开车的平均速度是 千米/时；
(2)求线段 CD 所表示的函数关系式，不用写出自变量 x 的取值范围；
(3)问小明能否在中午 12：00 前回到家？若能，请说明理由；若不能，请算出中午 12：00 时他离家的路
程．
21．为了更好地利用“大课间”加强学生的体育锻炼，调动学生运动的积极性，某校围绕着“你最喜欢
的体育活动项目是什么（只写一项）？”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，得到一组数据，绘制
如下的统计图表：
各年级学生人数统计表:
年级 七年级 八年级 九年级
学生人数 120 180
（1）该校对多少名学生进行了抽样调查?
（2）请分别在图 1 和图 2 中将“抖空竹”部分的图形补充完整；
（3）已知该校九年级学生比八年级学生多 20 人，请你补全上表，并利用样本数据估计全校学生中最喜
欢踢毽子运动的人数约为多少？
22． 问题探究：
（1）如图 1，在边长为 3 的正方形 ABCD 内（含边）画出使∠BPC=90°的一个点 P，保留作图痕迹；
（2）如图 2，在边长为 3 的正方形 ABCD 内（含边）画出使∠BPC=60°的所有的点 P，保留作图痕迹并
简要说明作法；
（3）如图 3，已知矩形 ABCD，AB=3，BC=4，在矩形 ABCD 内（含边）画出使∠BPC =60°，且使△BPC
的面积最大的所有点 P，保留作图痕迹．
五、解答题（共 3 道小题，第 23 小题 6 分，第 24，25 小题各 8 分，共 22 分）
23．已知关于 x 的方程（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2=0．
（1）讨论此方程根的情况；
（2）若方程有两个整数根，求正整数 k 的值；
（3）若抛物线 y=（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2 与 x 轴的两个交点之间的距离为 3，求 k 的值．
24． 如图，已知抛物线 2y ax bx c 与 x 轴交于 A（-1，0）、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点 M 坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找到点 P，使得△PAC 的周长最小，并求出点 P 的坐标；
（3）若点 D 是线段 OC 上的一个动点（不与点 O、C 重合）．过点 D 作 DE∥PC 交 x 轴于点 E．设 CD 的
长为 m，问当 m 取何值时，S△PDE = 1
9 S 四边形 ABMC．
25． 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，直线 MN 经过点 O，设锐角∠DOC=∠ ，
将△DOC 以直线 MN 为对称轴翻折得到△D’OC’，直线 A D’、B C’相交于点 P．
（1）当四边形 ABCD 是矩形时，如图 1，请猜想 A D’、B C’的数量关系以及∠APB 与∠α的大小关系；
（2）当四边形 ABCD 是平行四边形时，如图 2，（1）中的结论还成立吗？
（3）当四边形 ABCD 是等腰梯形时，如图 3，∠APB 与∠α有怎样的等量关系？请证明．
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