高一数学下文科试题及答案

衡水中学 2009-2010 学年度第二学期二调考试 高一年级数学试卷（文科） 审核人：陈亮 校对人：张浩 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正 确答案的序号填在答题卡上） 1. 等 差 数 列 { }na 中 ， 3 77, 5,a a   则 公 差 d = （ ） A.3 B.-3 C.2 D.-2 2.若一条斜线段的长度是它在平面内的射影长度的 2 倍，则该斜线与平面所成的角为 （ ） A. 060 B. 045 C. 030 D. 0120 3.M 是两异面直线所成角的集合，N 是线面角所成角的集合，P 是二面角的平面角的集合， 则 M、N、P 三者之间的关系为 （ ） A. M N P  B. M N P  C. M N P  D. M N P  4.如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E、F、G、H 分别为中点，则异面直线 EF 与GH 所成的角等于（ ） A． 045 B． 060 C． 090 D． 0120 5. 已 知 ABC 的 平 面 直 观 图 ' ' 'A B C 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形 ， 则 ABC 的 面 积 为 （ ） A. 2 3 B. 3 C. 2 6 D. 4 6 6.若直线 a 不平行于平面 ，则下列结论成立的是 （ ） A. 内的所有直线都与直线 a 异面 B. 内不存在与 a 平行的直线 C. 内的直线都与 a 相交 D.直线 a 与平面 有公共点 7.如图为一个几何体的三视图，侧视图与正视图均为矩形， 俯视图为正三角形，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A. 3 B. 4 3 C.3 3 D. 6 3 8. ABCD 是正方形，P 是平面 ABCD 外一点，PD⊥AD,PD=AD=2, 二面角 P—AD—C 为 060 ，则 P 到 AB 的距离是 （ ） A． 2 2 B． 3 C． 2 D． 7 9.函数 2 2 5 4 xy x   的最小值为 （ ） A.2 B.17 4 C. 5 2 D. 5 4 10.给出下列命题，正确的是 （ ） ①一条直线与另一条直线平行，它就和经过另一条直线的的任何平面平行 ②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的所有直线平行 ③经过两条异面直线 a、b 外一点，必有一个平面与 a、b 都平行 ④经过两条异面直线中的一条，有且只有一个平面平行于另一条直线 A.③④ B.①④ C.④ D.①③④ 11.设有直线 m、n 和平面 、 ，则下列说法中正确的是 （ ） A.若 // , ,m n m n   ,则 //  B.若 , ,m m n n    ，则 //  C.若 // , ,m n m n   ,则  D.若 // , ,m n m n   ,则  12. 已知等比数列{ }na 前 n 项和 13n nS a  ，数列{ }nb 的通项公式为 n nb a ，{ }nb 的前 n 项和为 （ ） A. 3[1 ( 3) ]4 n   B. 13[1 ( 3) ]4 n   C. (1 ) 1 na a a   D. n 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，共 20 分，把答案填在答题纸的横线上） 13.一个正方体各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 4 3 ，则该正方体的表面积 为__________. 14.已知 2 2 0x y   ，则3 9x y 的最小值为__________. 15.在直棱柱 1 1 1ABC A B C 中，底面为直角三角形， 090ACB  ，且 1AC BC AA  ， 则 1BC 与面 1 1ACC A 所成的角为_________. 16. 已知{ }na 是等差数列， 2 4 6 8 16,a a a a    求 9S  _______. 三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在 答题纸的相应位置上） 17.（本小题 10 分）已知数列{ }na ， 1 11, 2 4,n na a a   求{ }na 的通项公式. 18.如图，在四棱锥 O ABCD 中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形， 3ABC   , OA ABCD 底面 , 2OA  , M 为 OA 的中点， N 为 BC 的中点，求异面直线 OC 与 MN 所成角的余弦值. N M A B D C O 19. (本小题共 12 分)正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，底面边 长为 2 2 ，侧棱长为 4. （1）求证：平面 1AB C  平面 1 1BDD B ； （2）求 1D 到面 1AB C 的距离； （3）求三棱锥 1 1D ACB 的体积 V. 20. (本小题 12 分)已知数列{ }na 满足 1 1, 2a n  时， 1 1 2 3 .2 n n n n a a a a    （1）求证：数列 1{ } na 为等差数列；（2）求 3{ } n na 的前 n 项和. 21.（本小题 12 分）如图在三棱锥 P ABC 中，PA  底面 ABC ， ,PA PB 060ABC  ， 点 D、E 分别在棱 ,PB PC 上，且 //DE BC . （1）求证： BC  平面 PAC ； （2）当D 为 PB 的中点时，求 AD 与平面 PAC 所成的角的正弦值； （3）是否存在点 E 使得二面角 A DE P  为直二面角？说明理由. AB C D A1 B1 C1 D1 22.（本小题 12 分）在棱长为 a 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E、F 分别为棱 AB 和 BC 的 中点，EF 与 BD 交于点 G. （1）求二面角 1B EF B  的正切值； （2）M 为棱 1BB 上的一点，当 1B M MB 的值为多少时能使 1D M  平面 1EFB ？试给出证明。 参考答案： BABBC DBDCC CA 13.24 14.6 15. 045 16.36 17.构造等比数列易得 15 2 4n na    . 18.解：连结 ,AC BD 交与点 E ，连结 ,ME NE ，则 NME 即为所求. 5 2ME  ， 1 2NE  ， 2 23 71 ( )2 2MN    ，由余弦定理知 2 2 2 11cos 352 70 MN ME NENME MN ME      . 19.（1）证明： 1 1, ,BD AC BB AC BD BB B    ， AC  平面 1 1BDD B ， 又因为 AC  平面 1B EF ，所以平面 1AB C  平面 1 1BDD B ； （2）连结 AC、BD 交与点 O ,连结 1B O .过点 1D 作 1 1D H B O ，则 1D H 即为所 求. 1 8 55D H  . （3） 1 1 1 1 1 8 324 2 5 53 3 2 5 3AB CV S D H        . 20.（1）证明：由已知 1 1 2 3 .2 n n n n a a a a    整理可得 1 12 ( 2)n n n na a a a n    ，同时除以 1n na a  可得 1 1 1 2 n na a    ，所以 1{ } na 为首项为 1 1 1a  ，公差为 2 的等差数列. （2）解：由（1）可知， 1 1 2( 1) 2 1 n n na      ，所以 3 (2 1)3 n n n na   ， 21 3 3 3 (2 1) 3n nS n        ① 2 3 13 1 3 3 3 (2 1) 3 n nS n         ② ①-②得 2 3 1 12 3 2 (3 3 3 ) (2 1) 3 (2 2 ) 3 6n n n nS n n               所以得 1( 1)3 3n nS n    22. 解：（1）在底面 ABCD 中， , //AC BD EF AC ， ,BG EF  连结 1B G . 又 1BB ABCD ， 1B G EF  . 则 1B GB 是二面角 1B EF B  的平面角， 1 2 ,4 4BG BD a  1 1tan 2 2B BB GB BG    . （2）当 1 1B M MB  时满足题意。 证 明 ： 1 1D A  面 1AB ， 知 1D M 在 面 1AB 的 射 影 是 1A M ， 1 1A MB B EB   ， 1 1A M B E  ，即 1 1D M B E .因为 1DD  平面 ABCD ，所以 BD 为 1D M 在平面 ABCD 内射影，连结 AC,因为 E、F 为中点，所以 AC//EF,又因为 BD  EF,所以 1D M EF 。又因为 1B E EF E 