第一章 解三角形
测试一 正弦定理和余弦定理
Ⅰ 学习目标
1．掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形.
2．会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．在△ABC中，若 BC＝ 2 ，AC＝2，B＝45°，则角 A等于( )
(A)60° (B)30° (C)60°或 120° (D)30°或 150°
2．在△ABC中，三个内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 a＝2，b＝3，cosC＝－
4
1
，
则 c等于( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
3．在△ABC中，已知
3
2sin,
5
3cos CB ，AC＝2，那么边 AB等于( )
(A)
4
5 (B)
3
5 (C)
9
20 (D)
5
12
4．在△ABC中，三个内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，已知 B＝30°，c＝150，b＝50 3，
那么这个三角形是( )
(A)等边三角形 (B)等腰三角形
(C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形
5．在△ABC中，三个内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，如果 A∶B∶C＝1∶2∶3，那
么 a∶b∶c等于( )
(A)1∶2∶3 (B)1∶ 3∶2 (C)1∶4∶9 (D)1∶ 2 ∶ 3
二、填空题
6．在△ABC中，三个内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 a＝2，B＝45°，C＝75°，
则 b＝________.
7．在△ABC中，三个内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 a＝2，b＝2 3，c＝4，则
A＝________.
8．在△ABC中，三个内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 2cosBcosC＝1－cosA，则△
ABC形状是________三角形.
9．在△ABC中，三个内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 a＝3，b＝4，B＝60°，则
c＝________.
10．在△ABC中，若 tanA＝2，B＝45°，BC＝ 5，则 AC＝________.
三、解答题
11．在△ABC中，三个内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 a＝2，b＝4，C＝60°，
试解△ABC.
12．在△ABC中，已知 AB＝3，BC＝4，AC＝ 13 .
(1)求角 B的大小；
(2)若 D是 BC的中点，求中线 AD的长.
13．如图，△OAB的顶点为 O(0，0)，A(5，2)和 B(－9，8)，求角 A的大小.
14．在△ABC中，已知 BC＝a，AC＝b，且 a，b是方程 x2－2 3 x＋2＝0 的两根，2cos(A
＋B)＝1.
(1)求角 C的度数；
(2)求 AB的长；
(3)求△ABC的面积.
测试二 解三角形全章综合练习
Ⅰ 基础训练题
一、选择题
1．在△ABC中，三个内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 b2＋c2－a2＝bc，则角 A等
于( )
(A)
6
π
(B)
3
π
(C)
3
2π
(D)
6
5π
2．在△ABC中，给出下列关系式：
①sin(A＋B)＝sinC ②cos(A＋B)＝cosC ③
2
cos
2
sin CBA
其中正确的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
3．在△ABC中，三个内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c.若 a＝3，sinA＝
3
2
，sin(A＋C)
＝
4
3
，则 b等于( )
(A)4 (B)
3
8 (C)6 (D)
8
27
4．在△ABC中，三个内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 a＝3，b＝4，sinC＝
3
2
，则
此三角形的面积是( )
(A)8 (B)6 (C)4 (D)3
5．在△ABC中，三个内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
且 sinA＝2sinBcosC，则此三角形的形状是( )
(A)直角三角形 (B)正三角形
(C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形
二、填空题
6．在△ABC中，三个内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 a＝ 2 ，b＝2，B＝45°，
则角 A＝________.
7．在△ABC中，三个内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 a＝2，b＝3，c＝ 19 ，则
角 C＝________.
8．在△ABC中，三个内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 b＝3，c＝4，cosA＝
5
3
，则
此三角形的面积为________.
9．已知△ABC的顶点 A(1，0)，B(0，2)，C(4，4)，则 cosA＝________.
10．已知△ABC的三个内角 A，B，C满足 2B＝A＋C，且 AB＝1，BC＝4，那么边 BC上的
中线 AD的长为________.
三、解答题
11．在△ABC中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，且 a＝3，b＝4，C＝60°.
(1)求 c；
(2)求 sinB.
12．设向量 a，b 满足 a·b＝3，|a|＝3，|b|＝2.
(1)求〈a，b〉；
(2)求|a－b|.
13．设△OAB的顶点为 O(0，0)，A(5，2)和 B(－9，8)，若 BD⊥OA于 D.
(1)求高线 BD的长；
(2)求△OAB的面积.
14．在△ABC中，若 sin2A＋sin2B＞sin2C，求证：C为锐角.
(提示：利用正弦定理 R
C
c
B
b
A
a 2
sinsinsin
，其中 R为△ABC外接圆半径)
Ⅱ 拓展训练题
15．如图，两条直路 OX与 OY相交于 O点，且两条路所在直线夹角为 60°，甲、乙两人分
别在 OX、OY上的 A、B两点，| OA |＝3km，| OB |＝1km，两人同时都以 4km/h 的速度
行走，甲沿 XO方向，乙沿OY 方向.
问：(1)经过 t小时后，两人距离是多少(表示为 t的函数)？
(2)何时两人距离最近？
16．在△ABC中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，且
ca
b
C
B
2cos
cos
.
(1)求角 B的值；
(2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC的面积.
第二章 数列
测试三 数列
Ⅰ 学习目标
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊
的函数.
2．理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项.
3．了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．数列{an}的前四项依次是：4，44，444，4444，…则数列{an}的通项公式可以是( )
(A)an＝4n (B)an＝4n
(C)an＝
9
4
(10n－1) (D)an＝4×11n
2．在有一定规律的数列 0，3，8，15，24，x，48，63，……中，x的值是( )
(A)30 (B)35 (C)36 (D)42
3．数列{an}满足：a1＝1，an＝an－1＋3n，则 a4等于( )
(A)4 (B)13 (C)28 (D)43
4．156是下列哪个数列中的一项( )
(A){n2＋1} (B){n2－1} (C){n2＋n} (D){n2＋n－1}
5．若数列{an}的通项公式为 an＝5－3n，则数列{an}是( )
(A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 (D)以上都不对
二、填空题
6．数列的前 5项如下，请写出各数列的一个通项公式：
(1) na,,
3
1,
5
2,
2
1,
3
2,1 ＝________；
(2)0，1，0，1，0，…，an＝________.
7．一个数列的通项公式是 an＝ 12
2
n
n
.
(1)它的前五项依次是________；
(2)0.98是其中的第________项.
8．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an＋1，则 a4＝________.
9．数列{an}的通项公式为
)12(321
1
n
an
(n∈N*)，则 a3＝________.
10．数列{an}的通项公式为 an＝2n2－15n＋3，则它的最小项是第________项.
三、解答题
11．已知数列{an}的通项公式为 an＝14－3n.
(1)写出数列{an}的前 6项；
(2)当 n≥5时，证明 an＜0.
12．在数列{an}中，已知 an＝
3
12 nn
(n∈N*).
(1)写出 a10，an＋1， 2na ；
(2)79
3
2
是否是此数列中的项？若是，是第几项？
13．已知函数
x
xxf 1)( ，设 an＝f(n)(n∈N＋).
(1)写出数列{an}的前 4项；
(2)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？
测试四 等差数列
Ⅰ 学习目标
1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题.
2．掌握等差数列的前 n项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.
3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．数列{an}满足：a1＝3，an＋1＝an－2，则 a100等于( )
(A)98 (B)－195 (C)－201 (D)－198
2．数列{an}是首项 a1＝1，公差 d＝3的等差数列，如果 an＝2008，那么 n等于( )
(A)667 (B)668 (C)669 (D)670
3．在等差数列{an}中，若 a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12的值是( )
(A)15 (B)30 (C)31 (D)64
4．在 a和 b(a≠b)之间插入 n个数，使它们与 a，b组成等差数列，则该数列的公差为( )
(A)
n
ab (B)
1
n
ab (C)
1
n
ab (D)
2
n
ab
5．设数列{an}是等差数列，且 a2＝－6，a8＝6，Sn是数列{an}的前 n项和，则( )
(A)S4＜S5 (B)S4＝S5 (C)S6＜S5 (D)S6＝S5
二、填空题
6．在等差数列{an}中，a2与 a6的等差中项是________.
7．在等差数列{an}中，已知 a1＋a2＝5，a3＋a4＝9，那么 a5＋a6＝________.
8．设等差数列{an}的前 n项和是 Sn，若 S17＝102，则 a9＝________.
9．如果一个数列的前 n项和 Sn＝3n2＋2n，那么它的第 n项 an＝________.
10．在数列{an}中，若 a1＝1，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，设{an}的前 n项和是 Sn，
则 S10＝________.
三、解答题
11．已知数列{an}是等差数列，其前 n项和为 Sn，a3＝7，S4＝24．求数列{an}的通项公式.
12．等差数列{an}的前 n项和为 Sn，已知 a10＝30，a20＝50.
(1)求通项 an；
(2)若 Sn＝242，求 n.
13．数列{an}是等差数列，且 a1＝50，d＝－0.6．
(1)从第几项开始 an＜0；
(2)写出数列的前 n项和公式 Sn，并求 Sn的最大值.
Ⅲ 拓展训练题
14．记数列{an}的前 n项和为 Sn，若 3an＋1＝3an＋2(n∈N*)，a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，求
S100．
测试五 等比数列
Ⅰ 学习目标
1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题.
2．掌握等比数列的前 n项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.
3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．数列{an}满足：a1＝3，an＋1＝2an，则 a4等于( )
(A)
8
3 (B)24 (C)48 (D)54
2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项 a1＝3，前三项和为 21，则 a3＋a4＋a5等于( )
(A)33 (B)72 (C)84 (D)189
3．在等比数列{an}中，如果 a6＝6，a9＝9，那么 a3等于( )
(A)4 (B)
2
3 (C)
9
16 (D)3
4．在等比数列{an}中，若 a2＝9，a5＝243，则{an}的前四项和为( )
(A)81 (B)120 (C)168 (D)192
5．若数列{an}满足 an＝a1qn－1(q＞1)，给出以下四个结论：
①{an}是等比数列； ②{an}可能是等差数列也可能是等比数列；
③{an}是递增数列； ④{an}可能是递减数列.
其中正确的结论是( )
(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④
二、填空题
6．在等比数列{an}中,a1，a10是方程 3x2＋7x－9＝0的两根，则 a4a7＝________.
7．在等比数列{an}中，已知 a1＋a2＝3，a3＋a4＝6，那么 a5＋a6＝________.
8．在等比数列{an}中，若 a5＝9，q＝
2
1
，则{an}的前 5项和为________.
9．在
3
8
和
2
27
之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________.
10．设等比数列{an}的公比为 q，前 n项和为 Sn，若 Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则 q＝________.
三、解答题
11．已知数列{an}是等比数列，a2＝6，a5＝162.设数列{an}的前 n项和为 Sn.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若 Sn＝242，求 n.
12．在等比数列{an}中，若 a2a6＝36，a3＋a5＝15，求公比 q.
13．已知实数 a，b，c成等差数列，a＋1，b＋1，c＋4成等比数列，且 a＋b＋c＝15，求 a，
b，c.
Ⅲ 拓展训练题
14．在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于
q，每列上的数从上到下都成等差数列.aij表示位于第 i行第 j列的数，其中 a24＝
8
1
，a42
＝1，a54＝
16
5
.
a11 a12 a13 a14 a15 … a1j …
a21 a22 a23 a24 a25 … a2j …
a31 a32 a33 a34 a35 … a3j …
a41 a42 a43 a44 a45 … a4j …
… … … … … … … …
ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 aij
… … … … … … … …
(1)求 q的值；
(2)求 aij的计算公式.
测试六 数列求和
Ⅰ 学习目标
1．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和.
2．会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．已知等比数列的公比为 2，且前 4项的和为 1，那么前 8项的和等于( )
(A)15 (B)17 (C)19 (D)21
2．若数列{an}是公差为
2
1
的等差数列，它的前 100项和为 145，则 a1＋a3＋a5＋…＋a99的
值为( )
(A)60 (B)72.5 (C)85 (D)120
3．数列{an}的通项公式 an＝(－1)n－1·2n(n∈N*)，设其前 n项和为 Sn，则 S100等于( )
(A)100 (B)－100 (C)200 (D)－200
4．数列
)12)(12(
1
nn
的前 n项和为( )
(A)
12 n
n (B)
12
2
n
n (C)
24 n
n (D)
1
2
n
n
5．设数列{an}的前 n项和为 Sn，a1＝1，a2＝2，且 an＋2＝an＋3(n＝1，2，3，…)，则 S100等
于( )
(A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950
二、填空题
6．
nn
1
1
34
1
23
1
12
1
＝________.
7．数列{n＋ n2
1
}的前 n项和为________.
8．数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an，则 a 2
1 ＋a 2
2 ＋…＋a 2
n ＝________.
9．设 n∈N*，a∈R，则 1＋a＋a2＋…＋an＝________.
10． nn
2
1
8
13
4
12
2
11 ＝________.
三、解答题
11．在数列{an}中，a1＝－11，an＋1＝an＋2(n∈N*)，求数列{|an|}的前 n项和 Sn.
12．已知函数 f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*，x∈R)，且对一切正整数 n都有 f(1)＝
n2成立.
(1)求数列{an}的通项 an；
(2)求
13221
111
nnaaaaaa
.
13．在数列{an}中，a1＝1，当 n≥2时，an＝ 12
1
4
1
2
11 n ，求数列的前 n项和 Sn.
Ⅲ 拓展训练题
14．已知数列{an}是等差数列，且 a1＝2，a1＋a2＋a3＝12.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令 bn＝anxn(x∈R)，求数列{bn}的前 n项和公式.
测试七 数列综合问题
Ⅰ 基础训练题
一、选择题
1．等差数列{an}中，a1＝1，公差 d≠0，如果 a1，a2，a5成等比数列，那么 d等于( )
(A)3 (B)2 (C)－2 (D)2或－2
2．等比数列{an}中，an＞0，且 a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则 a3＋a5等于( )
(A)5 (B)10 (C)15 (D)20
3．如果 a1，a2，a3，…，a8为各项都是正数的等差数列，公差 d≠0，则( )
(A)a1a8＞a4a5 (B)a1a8＜a4a5
(C)a1＋a8＞a4＋a5 (D)a1a8＝a4a5
4．一给定函数 y＝f(x)的图象在下列图中，并且对任意 a1∈(0，1)，由关系式 an＋1＝f(an)得到
的数列{an}满足 an＋1＞an(n∈N*)，则该函数的图象是( )
5．已知数列{an}满足 a1＝0，
13
3
1
n
n
n a
aa (n∈N*)，则 a20等于( )
(A)0 (B)－ 3 (C) 3 (D)
2
3
二、填空题
6．设数列{an}的首项 a1＝
4
1
，且
.
,
,
4
1
,
2
1
1
为奇数
为偶数
na
na
a
n
n
n 则 a2＝________，a3＝
________.
7．已知等差数列{an}的公差为 2，前 20项和等于 150，那么 a2＋a4＋a6＋…＋a20＝________.
8．某种细菌的培养过程中，每 20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过 3个小时，这种细
菌可以由 1个繁殖成________个.
9．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n(n∈N*)，则 an＝________.
10．在数列{an}和{bn}中，a1＝2，且对任意正整数 n等式 3an＋1－an＝0成立，若 bn是 an与
an＋1的等差中项，则{bn}的前 n项和为________.
三、解答题
11．数列{an}的前 n项和记为 Sn，已知 an＝5Sn－3(n∈N*).
(1)求 a1，a2，a3；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)求 a1＋a3＋…＋a2n－1的和.
12．已知函数 f(x)＝
4
2
2 x
(x＞0)，设 a1＝1，a 2
1n ·f(an)＝2(n∈N*)，求数列{an}的通项公
式.
13．设等差数列{an}的前 n项和为 Sn，已知 a3＝12，S12＞0，S13＜0.
(1)求公差 d的范围；
(2)指出 S1，S2，…，S12中哪个值最大，并说明理由.
Ⅲ 拓展训练题
14．甲、乙两物体分别从相距 70m的两地同时相向运动.甲第 1分钟走 2m，以后每分钟比
前 1分钟多走 1m，乙每分钟走 5m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前 1分钟多走 1m，乙继续每
分钟走 5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
15．在数列{an}中，若 a1，a2是正整数，且 an＝|an－1－an－2|，n＝3，4，5，…则称{an}为“绝
对差数列”.
(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；
(2)若“绝对差数列”{an}中，a1＝3，a2＝0，试求出通项 an；
(3)*证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
测试八 数列全章综合练习
Ⅰ 基础训练题
一、选择题
1．在等差数列{an}中，已知 a1＋a2＝4，a3＋a4＝12，那么 a5＋a6等于( )
(A)16 (B)20 (C)24 (D)36
2．在 50和 350间所有末位数是 1的整数和( )
(A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)4877
3．若 a，b，c成等比数列，则函数 y＝ax2＋bx＋c的图象与 x轴的交点个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定
4．在等差数列{an}中，如果前 5项的和为 S5＝20，那么 a3等于( )
(A)－2 (B)2 (C)－4 (D)4
5．若{an}是等差数列，首项 a1＞0，a2007＋a2008＞0，a2007·a2008＜0，则使前 n项和 Sn＞0成
立的最大自然数 n是( )
(A)4012 (B)4013 (C)4014 (D)4015
二、填空题
6．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项 an＝________.
7．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前 20项和 S20＝________.
8．数列{an}的前 n项和记为 Sn，若 Sn＝n2－3n＋1，则 an＝________.
9．等差数列{an}中，公差 d≠0，且 a1，a3，a9成等比数列，则
1074
963
aaa
aaa
＝________.
10．设数列{an}是首项为 1 的正数数列，且(n＋1)a 2
1n －na 2
n ＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通
项公式 an＝________.
三、解答题
11．设等差数列{an}的前 n项和为 Sn，且 a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，求 S13.
12．已知数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1＋1)(n∈N*)在函数 f(x)＝2x＋1的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前 n项和 Sn；
(3)设 cn＝Sn，求数列{cn}的前 n项和 Tn.
13．已知数列{an}的前 n项和 Sn满足条件 Sn＝3an＋2.
(1)求证：数列{an}成等比数列；
(2)求通项公式 an.
14．某渔业公司今年初用 98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用 12万元，从
第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加 4万元，该船每年捕捞的总
收入为 50万元.
(1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；
(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？
(3)若当盈利总额达到最大值时，渔船以 8 万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益
是多少万元？
Ⅱ 拓展训练题
15．已知函数 f(x)＝
4
1
2 x
(x＜－2)，数列{an}满足 a1＝1，an＝f(－
1
1
na
)(n∈N*).
(1)求 an；
(2)设 bn＝a 2
1n ＋a 2
2n ＋…＋a 2
12 n ，是否存在最小正整数 m，使对任意 n∈N*有 bn＜
25
m
成立？若存在，求出 m的值，若不存在，请说明理由.
16．已知 f是直角坐标系平面 xOy到自身的一个映射，点 P在映射 f下的象为点 Q，记作 Q
＝f(P).
设 P1(x1，y1)，P2＝f(P1)，P3＝f(P2)，…，Pn＝f(Pn－1)，….如果存在一个圆，使所
有的点 Pn(xn，yn)(n∈N*)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点 Pn(xn，yn)的一个收敛
圆.特别地，当 P1＝f(P1)时，则称点 P1为映射 f下的不动点.
若点 P(x，y)在映射 f下的象为点 Q(－x＋1，
2
1
y).
(1)求映射 f下不动点的坐标；
(2)若 P1的坐标为(2，2)，求证：点 Pn(xn，yn)(n∈N*)存在一个半径为 2的收敛圆.
第三章 不等式
测试九 不等式的概念与性质
Ⅰ 学习目标
1．了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景，掌握用作差的方法比较两个代数
式的大小.
2．理解不等式的基本性质及其证明.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．设 a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是( )
(A)a＞b a－c＞b－c (B)a＞b ac＞bc
(C)a＞b a2＞b2 (D)a＞b ac2＞bc2
2．若－1＜＜＜1，则－的取值范围是( )
(A)(－2，2) (B)(－2，－1) (C)(－1，0) (D)(－2，0)
3．设 a＞2，b＞2，则 ab与 a＋b的大小关系是( )
(A)ab＞a＋b (B)ab＜a＋b (C)ab＝a＋b (D)不能确定
4．使不等式 a＞b和
ba
11
同时成立的条件是( )
(A)a＞b＞0 (B)a＞0＞b (C)b＞a＞0 (D)b＞0＞a
5．设 1＜x＜10，则下列不等关系正确的是( )
(A)lg2x＞lgx2＞lg(lgx) (B)lg2x＞lg(lgx)＞lgx2
(C)lgx2＞lg2x＞1g(lgx) (D)lgx2＞lg(lgx)＞lg2x
二、填空题
6．已知 a＜b＜0，c＜0，在下列空白处填上适当不等号或等号：
(1)(a－2)c________(b－2)c； (2)
a
c
________
b
c
； (3)b－a________|a|－|b|.
7．已知 a＜0，－1＜b＜0，那么 a、ab、ab2按从小到大排列为________.
8．已知 60＜a＜84，28＜b＜33，则 a－b的取值范围是________；
b
a
的取值范围是________.
9．已知 a，b，c∈R，给出四个论断：①a＞b；②ac2＞bc2；③
c
b
c
a
；④a－c＞b－c.以其
中一个论 断作条件，另 一个论断作结 论，写出你认 为正确的两个 命题是
________ ________；________ ________.(在“”的两侧填上论断序号).
10．设 a＞0，0＜b＜1，则 P＝ 2
3
a
b 与
)2)(1( aabQ 的大小关系是________.
三、解答题
11．若 a＞b＞0，m＞0，判断
a
b
与
ma
mb
的大小关系并加以证明.
12．设 a＞0，b＞0，且 a≠b， baqa
b
b
ap ,
22
.证明：p＞q.
注：解题时可参考公式 x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2).
Ⅲ 拓展训练题
13．已知 a＞0，且 a≠1，设 M＝loga(a3－a＋1)，N＝loga(a2－a＋1).求证：M＞N.
14．在等比数列{an}和等差数列{bn}中,a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，a1≠a3，试比较 a5和 b5的大
小.
测试十 均值不等式
Ⅰ 学习目标
1．了解基本不等式的证明过程.
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．已知正数 a，b满足 a＋b＝1，则 ab( )
(A)有最小值
4
1 (B)有最小值
2
1 (C)有最大值
4
1 (D)有最大值
2
1
2．若 a＞0，b＞0，且 a≠b，则( )
(A) 22
22 baabba
(B) 22
22 baba
ab
(C)
22
22 baba
ab
(D)
22
22 ba
ab
ba
3．若矩形的面积为 a2(a＞0)，则其周长的最小值为( )
(A)a (B)2a (C)3a (D)4a
4．设 a，b∈R，且 2a＋b－2＝0，则 4a＋2b的最小值是( )
(A) 22 (B)4 (C) 24 (D)8
5．如果正数 a，b，c，d满足 a＋b＝cd＝4，那么( )
(A)ab≤c＋d，且等号成立时 a，b，c，d的取值唯一
(B)ab≥c＋d，且等号成立时 a，b，c，d的取值唯一
(C)ab≤c＋d，且等号成立时 a，b，c，d的取值不唯一
(D)ab≥c＋d，且等号成立时 a，b，c，d的取值不唯一
二、填空题
6．若 x＞0，则变量
x
x 9
的最小值是________；取到最小值时，x＝________.
7．函数 y＝
1
4
2 x
x
(x＞0)的最大值是________；取到最大值时，x＝________.
8．已知 a＜0，则
3
16
a
a 的最大值是________.
9．函数 f(x)＝2log2(x＋2)－log2x的最小值是________.
10．已知 a，b，c∈R，a＋b＋c＝3，且 a，b，c成等比数列，则 b的取值范围是________.
三、解答题
11．四个互不相等的正数 a，b，c，d成等比数列，判断
2
da
和 bc 的大小关系并加以证
明.
12．已知 a＞0，a≠1，t＞0，试比较
2
1
logat与
2
1log t
a 的大小.
Ⅲ 拓展训练题
13．若正数 x，y满足 x＋y＝1，且不等式 ayx 恒成立，求 a的取值范围.
14．(1)用函数单调性的定义讨论函数 f(x)＝x＋
x
a
(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性；
(2)设函数 f(x)＝x＋
x
a
(a＞0)在(0，2]上的最小值为 g(a)，求 g(a)的解析式.
测试十一 一元二次不等式及其解法
Ⅰ 学习目标
1．通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
2．会解简单的一元二次不等式.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．不等式 5x＋4＞－x2的解集是( )
(A){x|x＞－1，或 x＜－4} (B){x|－4＜x＜－1}
(C){x|x＞4，或 x＜1} (D){x|1＜x＜4}
2．不等式－x2＋x－2＞0的解集是( )
(A){x|x＞1，或 x＜－2} (B){x|－2＜x＜1}
(C)R (D)
3．不等式 x2＞a2(a＜0)的解集为( )
(A){x|x＞±a} (B){x|－a＜x＜a}
(C){x|x＞－a，或 x＜a} (D){x|x＞a，或 x＜－a}
4．已知不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集为 }2
3
1|{ xx ，则不等式 cx2＋bx＋a＜0的解集是
( )
(A){x|－3＜x＜
2
1 } (B){x|x＜－3，或 x＞
2
1 }
(C){x－2＜x＜
3
1 } (D){x|x＜－2，或 x＞
3
1 }
5．若函数 y＝px2－px－1(p∈R)的图象永远在 x轴的下方，则 p的取值范围是( )
(A)(－∞，0) (B)(－4，0] (C)(－∞，－4) (D)[－4，0)
二、填空题
6．不等式 x2＋x－12＜0的解集是________.
7．不等式 0
52
13
x
x
的解集是________.
8．不等式|x2－1|＜1的解集是________.
9．不等式 0＜x2－3x＜4的解集是________.
10．已知关于 x的不等式 x2－(a＋
a
1
)x＋1＜0 的解集为非空集合｛x|a＜x＜
a
1
}，则实数 a
的取值范围是________.
三、解答题
11．求不等式 x2－2ax－3a2＜0(a∈R)的解集.
12．k在什么范围内取值时，方程组
043
0222
kyx
xyx
有两组不同的实数解？
Ⅲ 拓展训练题
13．已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x2－x－6＜0}，B＝{x|x2＋2x－8＞0}，C＝{x|x2－4ax＋3a2
＜0}.
(1)求实数 a的取值范围，使 C (A∩B)；
(2)求实数 a的取值范围，使 C ( UA)∩( UB).
14．设 a∈R，解关于 x的不等式 ax2－2x＋1＜0.
测试十二 不等式的实际应用
Ⅰ 学习目标
会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．函数
24
1
x
y
的定义域是( )
(A){x|－2＜x＜2} (B){x|－2≤x≤2}
(C){x|x＞2，或 x＜－2} (D){x|x≥2，或 x≤－2}
2．某村办服装厂生产某种风衣，月销售量 x(件)与售价 p(元/件)的关系为 p＝300－2x，生产
x件的成本 r＝500＋30x(元)，为使月获利不少于 8600元，则月产量 x满足( )
(A)55≤x≤60 (B)60≤x≤65
(C)65≤x≤70 (D)70≤x≤75
3．国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶 70元，不征收附
加税时，每年大约产销 100万瓶；若政府征收附加税，每销售 100元征税 r元，则每年
产销量减少 10r万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于 112万元，那么 r的取
值范围为( )
(A)2≤r≤10 (B)8≤r≤10
(C)2≤r≤8 (D)0≤r≤8
4．若关于 x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是 M，则对任意实常数 k，总有( )
(A)2∈M，0∈M (B)2M，0M
(C)2∈M，0M (D)2M，0∈M
二、填空题
5．已知矩形的周长为 36cm，则其面积的最大值为________.
6．不等式 2x2＋ax＋2＞0的解集是 R，则实数 a的取值范围是________.
7．已知函数 f(x)＝x|x－2|，则不等式 f(x)＜3的解集为________.
8．若不等式|x＋1|≥kx对任意 x∈R 均成立，则 k的取值范围是________.
三、解答题
9．若直角三角形的周长为 2，求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状.
10．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这
段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素，在一个限速为 40km/h
的弯道上，甲乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得
甲车刹车的距离略超过 12m，乙车的刹车距离略超过 10m.已知甲乙两种车型的刹车距
离 s(km)与车速 x(km/h)之间分别有如下关系： s 甲＝0.1x＋0.01x2， s 乙＝0.05x＋
0.005x2．问交通事故的主要责任方是谁？
Ⅲ 拓展训练题
11．当 x∈[－1，3]时，不等式－x2＋2x＋a＞0恒成立，求实数 a的取值范围.
12．某大学印一份招生广告，所用纸张(矩形)的左右两边留有宽为 4cm的空白，上下留有都
为 6cm的空白，中间排版面积为 2400cm2.如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？
测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
Ⅰ 学习目标
1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.
2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．已知点 A(2，0)，B(－1，3)及直线 l：x－2y＝0，那么( )
(A)A，B都在 l上方 (B)A，B都在 l下方
(C)A在 l上方，B在 l下方 (D)A在 l下方，B在 l上方
2．在平面直角坐标系中，不等式组
2
,0
,0
yx
y
x
所表示的平面区域的面积为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
3．三条直线 y＝x，y＝－x，y＝2围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )
(A)
.2
,
,
y
xy
xy
(B)
.2
,
,
y
xy
xy
(C)
.2
,
,
y
xy
xy
(D)
.2
,
,
y
xy
xy
4．若 x，y满足约束条件
,3
,0
,05
x
yx
yx
则 z＝2x＋4y的最小值是( )
(A)－6 (B)－10 (C)5 (D)10
5．某电脑用户计划使用不超过 500元的资金购买单价分别为 60 元，70元的单片软件和盒
装磁盘.根据需要，软件至少买 3片，磁盘至少买 2盒，则不同的选购方式共有( )
(A)5种 (B)6种 (C)7种 (D)8种
二、填空题
6．在平面直角坐标系中，不等式组
0
0
y
x
所表示的平面区域内的点位于第________象限.
7．若不等式|2x＋y＋m|＜3 表示的平面区域包含原点和点(－1，1)，则 m 的取值范围是
________.
8．已知点 P(x，y)的坐标满足条件
,033
,3
,1
yx
y
x
那么 z＝x－y的取值范围是________.
9．已知点 P(x，y)的坐标满足条件
,022
,2
,1
yx
y
x
那么
x
y
的取值范围是________.
10．方程|x|＋|y|≤1所确定的曲线围成封闭图形的面积是________.
三、解答题
11．画出下列不等式(组)表示的平面区域：
(1)3x＋2y＋6＞0 (2)
.01
,2
,1
yx
y
x
12．某实验室需购某种化工原料 106kg，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋 35kg，
价格为 140元；另一种是每袋 24kg，价格为 120元.在满足需要的前提下，最少需要花
费多少元？
Ⅲ 拓展训练题
13．商店现有 75公斤奶糖和 120公斤硬糖，准备混合在一起装成每袋 1公斤出售，有两种
混合办法：第一种每袋装 250克奶糖和 750克硬糖，每袋可盈利 0.5元；第二种每袋装
500克奶糖和 500克硬糖，每袋可盈利 0.9元.问每一种应装多少袋，使所获利润最大？
最大利润是多少？
14．甲、乙两个粮库要向 A，B两镇运送大米，已知甲库可调出 100吨，乙库可调出 80吨，
而 A镇需大米 70吨，B镇需大米 110吨，两个粮库到两镇的路程和运费如下表：
路程(千米) 运费(元/吨·千米)
甲库 乙库 甲库 乙库
A镇 20 15 12 12
B镇 25 20 10 8
问：(1)这两个粮库各运往 A、B两镇多少吨大米，才能使总运费最省？此时总运费是多
少？
(2)最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少？
测试十四 不等式全章综合练习
Ⅰ基础训练题
一、选择题
1．设 a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式中一定正确的是( )
(A)ac2＞bc2 (B)
ba
11
(C)a－c＞b－c (D)|a|＞|b|
2．在平面直角坐标系中，不等式组
2
,042
,04
y
yx
yx
表示的平面区域的面积是( )
(A)
2
3 (B)3 (C)4 (D)6
3．某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场.若圆的半径为 10m，则这
个矩形的面积最大值是( )
(A)50m2 (B)100m2 (C)200m2 (D)250m2
4．设函数 f(x)＝ 2
2 2
x
xx
，若对 x＞0恒有 xf(x)＋a＞0成立，则实数 a的取值范围是( )
(A)a＜1－2 2 (B)a＜2 2 －1 (C)a＞2 2 －1 (D)a＞1－2 2
5．设 a，b∈R，且 b(a＋b＋1)＜0，b(a＋b－1)＜0，则( )
(A)a＞1 (B)a＜－1 (C)－1＜a＜1 (D)|a|＞1
二、填空题
6．已知 1＜a＜3，2＜b＜4，那么 2a－b的取值范围是________，
b
a
的取值范围是________.
7．若不等式 x2－ax－b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则 a＋b＝________.
8．已知 x，y∈R＋
，且 x＋4y＝1，则 xy的最大值为________.
9．若函数 f(x)＝ 12 22
aaxx
的定义域为 R，则 a的取值范围为________.
10．三个同学对问题“关于 x的不等式 x2＋25＋|x3－5x2|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数 a
的取值范围”提出各自的解题思路.
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”
乙说：“把不等式变形为左边含变量 x的函数，右边仅含常数，求函数的最值.”
丙说：“把不等式两边看成关于 x的函数，作出函数图象.”
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 a的取值范围是________.
三、解答题
11．已知全集 U＝R，集合 A＝{x| |x－1|＜6}，B＝{x|
12
8
x
x
＞0}.
(1)求 A∩B；
(2)求( UA)∪B.
12．某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本 1000 元，运费 500
元，可得产品 90 千克；若采用乙种原料，每吨成本 1500元，运费 400元，可得产品
100千克.今预算每日原料总成本不得超过 6000 元，运费不得超过 2000元，问此工厂
每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？
Ⅱ 拓展训练题
13．已知数集 A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2)具有性质 P：对任意的 i，j(1
≤i≤j≤n)，aiaj与
i
j
a
a
两数中至少有一个属于 A.
(1)分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质 P，并说明理由；
(2)证明：a1＝1，且 n
n
n aaaa
aaa
11
2
1
1
21
.
测试十五 必修 5 模块自我检测题
一、选择题
1．函数 42 xy 的定义域是( )
(A)(－2，2) (B)(－∞，－2)∪(2，＋∞)
(C)[－2，2] (D)(－∞，－2]∪[2，＋∞)
2．设 a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是( )
(A)a－b＜0 (B)0＜
b
a
＜1
(C) ab ＜
2
ba
(D)ab＞a＋b
3．设不等式组
0
,0
,1
yx
y
x
所表示的平面区域是 W，则下列各点中，在区域 W内的点是( )
(A) )
3
1,
2
1( (B) )
3
1,
2
1(
(C) )
3
1,
2
1( (D) )
3
1,
2
1(
4．设等比数列{an}的前 n项和为 Sn，则下列不等式中一定成立的是( )
(A)a1＋a3＞0 (B)a1a3＞0 (C)S1＋S3＜0 (D)S1S3＜0
5．在△ABC中，三个内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 A∶B∶C＝1∶2∶3，则 a∶
b∶c等于( )
(A)1∶ 3∶2 (B)1∶2∶3 (C)2∶ 3∶1 (D)3∶2∶1
6．已知等差数列{an}的前 20项和 S20＝340，则 a6＋a9＋a11＋a16等于( )
(A)31 (B)34 (C)68 (D)70
7．已知正数 x、y满足 x＋y＝4，则 log2x＋log2y的最大值是( )
(A)－4 (B)4 (C)－2 (D)2
8．如图，在限速为 90km/h的公路 AB旁有一测速站 P，已知点 P距测速区起点 A的距离为
0.08 km，距测速区终点 B的距离为 0.05 km，且∠APB＝60°.现测得某辆汽车从 A点
行驶到 B点所用的时间为 3s，则此车的速度介于( )
(A)60～70km/h (B)70～80km/h
(C)80～90km/h (D)90～100km/h
二、填空题
9．不等式 x(x－1)＜2的解集为________.
10．在△ABC中，三个内角 A，B，C成等差数列，则 cos(A＋C)的值为________.
11．已知{an}是公差为－2的等差数列，其前 5项的和 S5＝0，那么 a1等于________.
12．在△ABC中，BC＝1，角 C＝120°，cosA＝
3
2
，则 AB＝________.
13．在平面直角坐标系中，不等式组
03
042
0,0
yx
yx
yx
，所表示的平面区域的面积是________；
变量 z＝x＋3y的最大值是________.
14．如图，n2(n≥4)个正数排成 n行 n列方阵，符号 aij(1≤i≤n，1≤j≤n，i，j∈N)表示位
于第 i行第 j列的正数.已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数
的公比都等于 q.若 a11＝
2
1
，a24＝1，a32＝
4
1
，则 q＝________；aij＝________.
三、解答题
15．已知函数 f(x)＝x2＋ax＋6.
(1)当 a＝5时，解不等式 f(x)＜0；
(2)若不等式 f(x)＞0的解集为 R，求实数 a的取值范围.
16．已知{an}是等差数列，a2＝5，a5＝14.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{an}的前 n项和 Sn＝155，求 n的值.
17．在△ABC中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，A，B是锐角，c＝10，且
3
4
cos
cos
a
b
B
A
.
(1)证明角 C＝90°；
(2)求△ABC的面积.
18．某厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如
下表所示.若每天配给该厂的煤至多 56吨，供电至多 45千瓦，问该厂如何安排生产，
使得该厂日产值最大？
用煤(吨) 用电(千瓦) 产值(万元)
甲种产品 7 2 8
乙种产品 3 5 11
19．在△ABC中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，且 cosA＝
3
1
.
(1)求 ACB 2cos
2
sin 2
的值；
(2)若 a＝ 3，求 bc的最大值.
20．数列{an}的前 n项和是 Sn，a1＝5，且 an＝Sn－1(n＝2，3，4，…).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：
5
31111
321 naaaa
参考答案
第一章 解三角形
测试一 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1．B 2．C 3．B 4．D 5．B
提示：
4．由正弦定理，得 sinC＝
2
3
，所以 C＝60°或 C＝120°，
当 C＝60°时，∵B＝30°，∴A＝90°，△ABC是直角三角形；
当 C＝120°时，∵B＝30°，∴A＝30°，△ABC是等腰三角形.
5．因为 A∶B∶C＝1∶2∶3，所以 A＝30°，B＝60°，C＝90°，
由正弦定理
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
＝k，
得 a＝k·sin30°＝
2
1 k，b＝k·sin60°＝
2
3 k，c＝k·sin90°＝k，
所以 a∶b∶c＝1∶ 3∶2.
二、填空题
6． 3
62 7．30° 8．等腰三角形 9． 2
373 10． 4
25
提示：
8．∵A＋B＋C＝π，∴－cosA＝cos(B＋C).∴2cosBcosC＝1－cosA＝cos(B＋C)＋1，
∴2cosBcosC＝cosBcosC－sinBsinC＋1，∴cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，即 B＝C.
9．利用余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB.
10．由 tanA＝2，得
5
2sin A ，根据正弦定理，得
A
BC
B
AC
sinsin
，得 AC＝ 4
25
.
三、解答题
11．c＝2 3，A＝30°，B＝90°.
12．(1)60°；(2)AD＝ 7 .
13．如右图，由两点间距离公式，
得 OA＝ 29)02()05( 22 ，
同理得 232,145 ABOB .由余弦定理，得
cosA＝ 2
2
2
222
ABOA
OBABOA
，
∴A＝45°.
14．(1)因为 2cos(A＋B)＝1，所以 A＋B＝60°，故 C＝120°.
(2)由题意，得 a＋b＝2 3，ab＝2，
又 AB2＝c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab－2abcosC
＝12－4－4×(
2
1
)＝10.
所以 AB＝ 10 .
(3)S△ABC＝ 2
1 absinC＝
2
1
·2·
2
3
＝
2
3
.
测试二 解三角形全章综合练习
1．B 2．C 3．D 4．C 5．B
提示：
5．化简(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得 b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理，得 cosA＝
2
1
2
222
bc
acb
，所以∠A＝60°.
因为 sinA＝2sinBcosC，A＋B＋C＝180°，
所以 sin(B＋C)＝2sinBcosC，
即 sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC.
所以 sin(B－C)＝0，故 B＝C.
故△ABC是正三角形.
二、填空题
6．30° 7．120° 8．
5
24 9． 5
5 10． 3
三、解答题
11．(1)由余弦定理，得 c＝ 13；
(2)由正弦定理，得 sinB＝ 13
392
.
12．(1)由 a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉，得〈a，b〉＝60°；
(2)由向量减法几何意义，
知|a|，|b|，|a－b|可以组成三角形，
所以|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|·cos〈a，b〉＝7，
故|a－b|＝ 7 .
13．(1)如右图，由两点间距离公式，
得 29)02()05( 22 OA ，
同理得 232,145 ABOB .
由余弦定理，得
,
2
2
2cos
222
ABOA
OBABOAA
所以 A＝45°.
故 BD＝AB×sinA＝2 29 .
(2)S△OAB＝ 2
1
·OA·BD＝
2
1
· 29 ·2 29 ＝29.
14．由正弦定理 R
C
c
B
b
A
a 2
sinsinsin
，
得 C
R
cB
R
bA
R
a sin
2
,sin
2
,sin
2
.
因为 sin2A＋sin2B＞sin2C，
所以 222 )
2
()
2
()
2
(
R
c
R
b
R
a
，
即 a2＋b2＞c2.
所以 cosC＝ ab
cba
2
222
＞0，
由 C∈(0，π)，得角 C为锐角.
15．(1)设 t小时后甲、乙分别到达 P、Q点，如图，
则|AP|＝4t，|BQ|＝4t，因为|OA|＝3，所以 t＝
4
h时，P与 O重合.
故当 t∈[0，
4
]时，
|PQ|2＝(3－4t)2＋(1＋4t)2－2×(3－4t)×(1＋4t)×cos60°；
当 t＞
4
h时，|PQ|2＝(4t－3)2＋(1＋4t)2－2×(4t－3)×(1＋4t)×cos120°.
故得|PQ|＝ 72448 2 tt (t≥0).
(2)当 t＝ h
4
1
482
24
时，两人距离最近，最近距离为 2km.
16．(1)由正弦定理 R
C
c
B
b
A
a 2
sinsinsin
，
得 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
所以等式
ca
b
C
B
2cos
cos
可化为
CRAR
BR
C
B
sin2sin22
sin2
cos
cos
，
即
CA
B
C
B
sinsin2
sin
cos
cos
，
2sinAcosB＋sinCcosB＝－cosC·sinB，
故 2sinAcosB＝－cosCsinB－sinCcosB＝－sin(B＋C)，
因为 A＋B＋C＝π，所以 sinA＝sin(B＋C)，
故 cosB＝－
2
1
，
所以 B＝120°.
(2)由余弦定理，得 b2＝13＝a2＋c2－2ac×cos120°，
即 a2＋c2＋ac＝13
又 a＋c＝4，
解得
3
1
c
a
，或
1
3
c
a
.
所以 S△ABC＝ 2
1
acsinB＝
2
1
×1×3×
2
3
＝
4
33
.
第二章 数列
测试三 数列
一、选择题
1．C 2．B 3．C 4．C 5．B
二、填空题
6．(1)
1
2
n
an (或其他符合要求的答案) (2) 2
)1(1 n
na
(或其他符合要求的答案)
7．(1)
26
25,
17
16,
10
9,
5
4,
2
1 (2)7 8．67 9．
15
1 10．4
提示：
9．注意 an的分母是 1＋2＋3＋4＋5＝15.
10．将数列{an}的通项 an看成函数 f(n)＝2n2－15n＋3，利用二次函数图象可得答案.
三、解答题
11．(1)数列{an}的前 6项依次是 11，8，5，2，－1，－4；
(2)证明：∵n≥5，∴－3n＜－15，∴14－3n＜－1，
故当 n≥5时，an＝14－3n＜0.
12．(1)
3
1,
3
13,
3
109 242
110 2
nnannaa nn ；
(2)79
3
2
是该数列的第 15项.
13．(1)因为 an＝n－
n
1
，所以 a1＝0，a2＝
2
3
，a3＝
3
8
，a4＝
4
15
；
(2)因为 an＋1－an＝[(n＋1)
1
1
n
]－(n－
n
1
)＝1＋
)1(
1
nn
又因为 n∈N＋，所以 an＋1－an＞0，即 an＋1＞an.
所以数列{an}是递增数列.
测试四 等差数列
一、选择题
1．B 2．D 3．A 4．B 5．B
二、填空题
6．a4 7．13 8．6 9．6n－1 10．35
提示：
10．方法一：求出前 10项，再求和即可；
方法二：当 n为奇数时，由题意，得 an＋2－an＝0，所以 a1＝a3＝a5＝…＝a2m－1＝1(m∈
N*).
当 n为偶数时，由题意，得 an＋2－an＝2，
即 a4－a2＝a6－a4＝…＝a2m＋2－a2m＝2(m∈N*).
所以数列{a2m}是等差数列.
故 S10＝5a1＋5a2＋
2
)15(5
×2＝35.
三、解答题
11．设等差数列{an}的公差是 d，依题意得
.24
2
344
,72
1
1
da
da
解得
.2
,31
d
a
∴数列{an}的通项公式为 an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.
12．(1)设等差数列{an}的公差是 d，依题意得
.5019
,309
1
1
da
da
解得
.2
,121
d
a
∴数列{an}的通项公式为 an＝a1＋(n－1)d＝2n＋10.
(2)数列{an}的前 n项和 Sn＝n×12＋
2
)1( nn
×2＝n2＋11n，
∴Sn＝n2＋11n＝242，解得 n＝11，或 n＝－22(舍).
13．(1)通项 an＝a1＋(n－1)d＝50＋(n－1)×(－0.6)＝－0.6n＋50.6.
解不等式－0.6n＋50.6＜0，得 n＞84.3.
因为 n∈N*，所以从第 85项开始 an＜0.
(2)Sn＝na1＋
2
)1( nn d＝50n＋
2
)1( nn
×(－0.6)＝－0.3n2＋50.3n.
由(1)知：数列{an}的前 84项为正值，从第 85项起为负值，
所以(Sn)max＝S84＝－0.3×842＋50.3×84＝2108.4.
14．∵3an＋1＝3an＋2，∴an＋1－an＝
3
2
，
由等差数列定义知：数列{an}是公差为
3
2
的等差数列.
记 a1＋a3＋a5＋…＋a99＝A，a2＋a4＋a6＋…＋a100＝B，
则 B＝(a1＋d)＋(a3＋d)＋(a5＋d)＋…＋(a99＋d)＝A＋50d＝90＋
3
100
.
所以 S100＝A＋B＝90＋90＋
3
100
＝213
3
1
.
测试五 等比数列
一、选择题
1．B 2．C 3．A 4．B 5．D
提示：
5．当 a1＝0时，数列{an}是等差数列；当 a1≠0时，数列{an}是等比数列；
当 a1＞0时，数列{an}是递增数列；当 a1＜0时，数列{an}是递减数列.
二、填空题
6．－3 7．12 8．279 9．216 10．－2
提示：
10．分 q＝1与 q≠1讨论.
当 q＝1时，Sn＝na1，又∵2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，
∴2na1＝(n＋1)a1＋(n＋2)a1，
∴a1＝0(舍).
当 q≠1，Sn＝
q
qa n
1
)1(1 .又∵2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，
∴2×
q
qa n
1
)1(1 ＝
q
qa
q
qa nn
1
)1(
1
)1( 2
1
1
1 ，
解得 q＝－2，或 q＝1(舍).
三、解答题
11．(1)an＝2×3n－1； (2)n＝5.
12．q＝±2或±
2
1
.
13．由题意，得
.15
)1()4)(1(
,2
2
cba
bca
bca
，解得
8
5
2
c
b
a
，或
1
5
11
c
b
a
.
14．(1)设第 4列公差为 d，则
16
1
3
8
1
16
5
25
2454
aad .
故 a44＝a54－d＝
4
1
16
1
16
5
，于是 q2＝
4
1
42
44 a
a
.
由于 aij＞0，所以 q＞0，故 q＝
2
1
.
(2)在第 4列中，ai4＝a24＋(i－2)d＝ ii
16
1)2(
16
1
8
1
.
由于第 i行成等比数列，且公比 q＝
2
1
，
所以，aij＝ai4·qj－4＝ jj ii )
2
1()
2
1(
16
1 4 .
测试六 数列求和
一、选择题
1．B 2．A 3．B 4．A 5．C
提示：
1．因为 a5＋a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3＋a4)q4＝1×24＝16，
所以 S8＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＝1＋16＝17.
2．参考测试四第 14题答案.
3．由通项公式，得 a1＋a2＝a3＋a4＝a5＋a6＝…＝－2，所以 S100＝50×(－2)＝－100.
4． )
12
1
12
1(
2
1)
5
1
3
1(
2
1)
3
11(
2
1
)12)(12(
1
53
1
31
1
nnnn
12
)]
12
1
12
1()
5
1
3
1()
3
11[(
2
1
n
n
nn
.
5．由题设，得 an＋2－an＝3，所以数列{a2n－1}、{a2n}为等差数列，
前 100项中奇数项、偶数项各有 50项，
其中奇数项和为 50×1＋
2
4950
×3＝3725，偶数项和为 50×2＋
2
4950
×3＝3775，
所以 S100＝7500.
二、填空题
6． 11 n 7． 1
2
1
2
)1(
n
nn 8．
3
1
(4n－1)
9．
)1,0(,1
1
)1(,1
)0(,1
1
aaa
a
an
a
n
且
10． nn
n
22
12 1
提示：
6．利用 nn
nn
1
1
1
化简后再求和.
8．由 an＋1＝2an，得 21
n
n
a
a
，∴ 2
2
1
n
n
a
a ＝4，
故数列{a 2
n }是等比数列，再利用等比数列求和公式求和.
10．错位相减法.
三、解答题
11．由题意，得 an＋1－an＝2，所以数列{an}是等差数列，是递增数列.
∴an＝－11＋2(n－1)＝2n－13，
由 an＝2n－13＞0，得 n＞
2
13
.
所以，当 n≥7时，an＞0；当 n≤6时，an＜0.
当 n≤6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－a1－a2－…－an
＝－[n×(－11)＋
2
)1( nn
×2]＝12n－n2；
当 n≥7时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－a1－a2－…－a6＋a7＋a8＋…＋an
＝(a1＋a2＋…＋an)－2(a1＋a2＋…＋a6)
＝n×(－11)＋
2
)1( nn
×2－2[6×(－11)＋
2
56
×2]＝n2－12n＋72.
Sn＝
)7(,7212
)6(,12
2
2
nnn
nnn (n∈N*).
12．(1)∵f(1)＝n2，∴a1＋a2＋a3＋…＋an＝n2. ①
所以当 n＝1时，a1＝1；
当 n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝(n－1)2 ②
①－②得，an＝n2－(n－1)2＝2n－1.(n≥2)
因为 n＝1时，a1＝1符合上式.
所以 an＝2n－1(n∈N*).
(2)
)12)(12(
1
53
1
31
1111
13221
nnaaaaaa nn
)
12
1
12
1(
2
1)
5
1
3
1(
2
1)
3
11(
2
1
nn
)]
12
1
12
1()
5
1
3
1()
3
11[(
2
1
nn
12
)
12
11(
2
1
n
n
n
.
13．因为 )2(
2
12
2
11
)
2
11(1
2
1
4
1
2
11 11
na n
n
nn .
所以 )
2
12()
2
12()
2
12(1 1221 nnn aaaS
)
2
1
2
1
2
1()1(21 12 nn
1
1
2
122
2
11
)
2
11(
2
1
12
n
n
nn .
14．(1)an＝2n；
(2)因为 bn＝2nxn，
所以数列{bn}的前 n项和 Sn＝2x＋4x2＋…＋2nxn.
当 x＝0时，Sn＝0；
当 x＝1时，Sn＝2＋4＋…＋2n＝
2
)22( nn
＝n(n＋1)；
当 x≠0且 x≠1时，Sn＝2x＋4x2＋…＋2nxn，
xSn＝2x2＋4x3＋…＋2nxn＋1；
两式相减得(1－x)Sn＝2x＋2x2＋…＋2xn－2nxn＋1，
所以(1－x)Sn＝2
x
xx n
1
)1(
－2nxn＋1，
即 x
nx
x
xxS
nn
n
1
2
)1(
)1(2 1
2 .
综上，数列{bn}的前 n项和
)1(,1
2
)1(
)1(2
)1(),1(
1
2 xx
nx
x
xx
xnn
S nn
n
测试七 数列综合问题
一、选择题
1．B 2．A 3．B 4．A 5．B
提示：
5．列出数列{an}前几项，知数列{an}为：0，－ 3 ， 3 ，0，－ 3 ， 3 ，0….不难发现
循环规律，即 a1＝a4＝a7＝…＝a3m－2＝0；
a2＝a5＝a8＝…＝a3m－1＝－ 3 ；
a3＝a6＝a9＝…＝a3m＝ 3 .
所以 a20＝a2＝－ 3 .
二、填空题
6．
4
1;
2
1 7．85 8．512 9．
2
3
n2－
2
3
n＋2 10．2[1－(
3
1
)n]
三、解答题
11．(1)
64
3,
16
3,
4
3
321 aaa .
(2)当 n＝1时，由题意得 a1＝5S1－3，所以 a1＝
4
3
；
当 n≥2时，因为 an＝5Sn－3，
所以 an－1＝5Sn－1－3；
两式相减得 an－an－1＝5(Sn－Sn－1)＝5an，
即 4an＝－an－1.
由 a1＝
4
3
≠0，得 an≠0.
所以
4
1
1
n
n
a
a (n≥2，n∈N*).
由等比数列定义知数列{an}是首项 a1＝
4
3
，公比 q＝－
4
1
的等比数列.
所以 .)
4
1(
4
3 1 n
na
(3)a1＋a3＋…＋a2n－1＝ )
16
11(
5
4
16
11
)
16
11(
4
3
n
n
.
12．由 a 2
1n ·f(an)＝2，得 2
4
2
2
2
1
n
n a
a ，
化简得 a 2
1n －a 2
n ＝4(n∈N*).
由等差数列定义知数列{a 2
n }是首项 a 2
1 ＝1，公差 d＝4的等差数列.
所以 a 2
n ＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
由 f(x)的定义域 x＞0且 f(an)有意义，得 an＞0.
所以 an＝ 34 n .
13．(1)
06
0112
01213
2
113
01112
2
112
1
1
113
112
da
da
daS
daS
，
又 a3＝a1＋2d＝12 a1＝12－2d，
∴
03
0724
d
d
，故
7
24
＜d＜－3.
(2)由(1)知：d＜0，所以 a1＞a2＞a3＞…＞a13.
∵S12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)＞0，S13＝
2
13 (a1＋a13)＝13a7＜0，
∴a7＜0，且 a6＞0，故 S6为最大的一个值.
14．(1)设第 n分钟后第 1次相遇，依题意有 2n＋
2
)1( nn
＋5n＝70，
整理得 n2＋13n－140＝0.解得 n＝7，n＝－20(舍去).
∴第 1次相遇是在开始运动后 7分钟.
(2)设第 n分钟后第 2次相遇，依题意有 2n＋
2
)1( nn
＋5n＝3×70，
整理得 n2＋13n－420＝0.解得 n＝15，n＝－28(舍去).
∴第 2次相遇是在开始运动后 15分钟.
15．(1)a1＝3，a2＝1，a3＝2，a4＝1，a5＝1，a6＝0，a7＝1，a8＝1，a9＝0，a10＝1.(答案不
唯一)
(2)因为在绝对差数列{an}中，a1＝3，a2＝0，所以该数列是 a1＝3，a2＝0，a3＝3，a4＝
3，a5＝0，a6＝3，a7＝3，a8＝0，….
即自第 1项开始，每三个相邻的项周期地取值 3，0，3，
所以
,0
,3
,3
33
23
13
n
n
n
a
a
a
(n＝0，1，2，3，…).
(3)证明：根据定义，数列{an}必在有限项后出现零项，证明如下：
假设{an}中没有零项，由于 an＝|an－1－an－2|，所以对于任意的 n，都有 an≥1，从而
当 an－1＞an－2时，an＝an－1－an－2≤an－1－1(n≥3)；
当 an－1＜an－2时，an＝an－2－an－1≤an－2－1(n≥3)；
即 an的值要么比 an－1至少小 1，要么比 an－2至少小 1.
令 cn＝
),(
),(
2122
21212
nnn
nnn
aaa
aaa
(n＝1，2，3，…).
则 0＜cn≤cn－1－1(n＝2，3，4，…).
由于 c1是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 cn＜0，
这与 cn＞0(n＝1，2，3，…)矛盾，从而{an}必有零项.
若第一次出现的零项为第 n项，记 an－1＝A(A≠0)，则自第 n项开始，每三个相邻的
项周期地取值 0，A，A，即
,
,
,0
23
13
3
Aa
Aa
a
kn
kn
kn
(k＝0，1，2，3，…).
所以绝对差数列{an}中有无穷多个为零的项.
测试八 数列全章综合练习
一、选择题
1．B 2．A 3．A 4．D 5．C
二、填空题
6．3·2n－3 7．180 8．an＝
)2(,42
)1(,1
nn
n
9．
7
6
10．an＝
n
1
(n∈N*)
提示：
10．由(n＋1)a 2
1n －na 2
n ＋an＋1an＝0，得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0，
因为 an＞0，所以(n＋1)an＋1－nan＝0，即
1
1
n
n
a
a
n
n ，
所以
nn
n
a
a
a
a
a
aa
n
n
n
11
3
2
2
1
12
3
1
2
.
三、解答题
11．S13＝156.
12．(1)∵点(an，an＋1＋1)在函数 f(x)＝2x＋1的图象上，
∴an＋1＋1＝2an＋1，即 an＋1＝2an.
∵a1＝1，∴an≠0，∴
n
n
a
a 1 ＝2，
∴{an}是公比 q＝2的等比数列，
∴an＝2n－1.
(2)Sn＝ 12
21
)21(1
n
n
.
(3)∵cn＝Sn＝2n－1，
∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)
＝(2＋22＋…＋2n)－n＝ n
n
21
)21(2
＝2n＋1－n－2.
13．当 n＝1时，由题意得 S1＝3a1＋2，所以 a1＝－1；
当 n≥2时，因为 Sn＝3an＋2，
所以 Sn－1＝3an－1＋2；
两式相减得 an＝3an－3an－1，
即 2an＝3an－1.
由 a1＝－1≠0，得 an≠0.
所以
2
3
1
n
n
a
a
(n≥2，n∈N*).
由等比数列定义知数列{an}是首项 a1＝－1，公比 q＝
2
3
的等比数列.
所以 an＝－(
2
3
)n－1．
14．(1)设第 n年所需费用为 an(单位万元)，则
a1＝12，a2＝16，a3＝20，a4＝24．
(2)设捕捞 n年后，总利润为 y万元，则
y＝50n－[12n＋
2
)1( nn
×4]－98＝－2n2＋40n－98．
由题意得 y＞0，∴2n2－40n＋98＜0，∴10－ 51＜n＜10＋ 51 .
∵n∈N*，∴3≤n≤17，即捕捞 3年后开始盈利.
(3)∵y＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，
∴当 n＝10时，y 最大＝102．
即经过 10年捕捞盈利额最大，共盈利 102＋8＝110(万元).
15．(1)由 an＝f(－
1
1
na
)，得 411
22
1
nn aa
(an＋1＞0)，
∴{ 2
1
na
}为等差数列，∴ 2
1
na
＝ 2
1
1
a
＋(n－1)·4．
∵a1＝1，∴an＝
34
1
n
(n∈N*).
(2)由
18
1
54
1
14
12
12
2
2
2
1
nnn
aaab nnnn ，
得 bn－bn＋1＝ )
98
1
28
1()
58
1
28
1(
98
1
58
1
14
1
nnnnnnn
)98)(28(
7
)58)(28(
3
nnnn
∵n∈N*，∴bn－bn＋1＞0，
∴bn＞bn＋1(n∈N*)，∴{bn}是递减数列.
∴bn的最大值为
45
142
3
2
21 aab .
若存在最小正整数 m，使对任意 n∈N*有 bn＜
25
m
成立，
只要使 b1＝
2545
14 m
即可，∴m＞
9
70
.
∴对任意 n∈N*使 bn＜
25
m
成立的最小正整数 m＝8．
16．(1)解：设不动点的坐标为 P0(x0，y0)，
由题意，得
00
00
2
1
1
yy
xx
，解得
2
1
0 x ，y0＝0，
所以此映射 f下不动点为 P0(
2
1
，0).
(2)证明：由 Pn＋1＝f(Pn)，得
nn
nn
yy
xx
2
1
1
1
1
，
所以 xn＋1－ 2
1
＝－(xn－
2
1
)，yn＋1＝ 2
1
yn.
因为 x1＝2，y1＝2，
所以 xn－
2
1
≠0，yn≠0，
所以
2
1,1
2
1
2
1
1
1
n
n
n
n
y
y
x
x
.
由等比数列定义，得数列{xn－
2
1
}(n∈N*)是公比为－1，
首项为 x1－
2
1
＝
2
3
的等比数列，
所以 xn－
2
1
＝
2
3
×(－1)n－1，则 xn＝
2
1
＋(－1)n－1×
2
3
.
同理 yn＝2×(
2
1
)n－1.
所以 Pn(
2
1
＋(－1)n－1×
2
3
，2×(
2
1
)n－1).
设 A(
2
1
，1)，则|APn|＝ 212 ])
2
1(21[)
2
3( n
.
因为 0＜2×(
2
1
)n－1≤2，
所以－1≤1－2×(
2
1
)n－1＜1，
所以|APn|≤ 1)
2
3( 2 ＜2．
故所有的点 Pn(n∈N*)都在以 A(
2
1
，1)为圆心，2为半径的圆内，即点 Pn(xn，yn)存在
一个半径为 2的收敛圆.
第三章 不等式
测试九 不等式的概念与性质
一、选择题
1．A 2．D 3．A 4．B 5．C
提示：
3．∵a＞2，b＞2，∴ 1
2
1
2
111
abab
ba
．∵ab＞0，∴ab＞a＋b.故选 A.
5．∵1＜x＜10，∴0＜lgx＜1，∴lg(lgx)＜0．
又 lg2x－lgx2＝lgx(lgx－2)＜0，∴lg2x＜lgx2．故选 C.
二、填空题
6．＞；＜；＝ 7．a＜ab2＜ab 8．a－b∈(27，56)，
b
a
∈(
11
20
，3)
9．①④；④①；②①；②④(注：答案不唯一，结论必须是上述四个中的两个)
10．P＜Q
提示：
8．由 60＜a＜84，28＜b＜33－33＜－b＜－28，
28
11
33
1
b
，
则 27＜a－b＜56， 3
11
20
b
a
．
10．∵(a＋
2
3
)2－(a＋1)(a＋2)＝
4
1
＞0，且 a＋
2
3
＞0，(a＋1)(a＋2)＞0，
∴a＋
2
3
＞ )2)(1( aa ，又∵0＜b＜1，∴P＜Q.
三、解答题
11．略解：
ma
mb
a
b
.证明如下：
∵
)(
)(
)(
)()(
maa
abm
maa
mbamab
ma
mb
a
b
，
又 a＞b＞0，m＞0，∴b－a＜0，a(a＋m)＞0，
∴
ma
mb
a
b
.
12．证明：因为
ab
baabbababa
ab
abbababaa
b
b
aqp )())(( 22223322
0))(( 2
ab
baba
，∴p＞q.
13．证明：∵(a3－a＋1)－(a2－a＋1)＝a2(a－1)，
∴当 a＞1时，(a3－a＋1)＞(a2－a＋1)，又函数 y＝logax单调递增，∴M＞N；
当 0＜a＜1时，(a3－a＋1)＜(a2－a＋1)，又函数 y＝logax单调递减，∴M＞N.
综上，当 a＞0，且 a≠1时，均有 M＞N.
14．略解：设等比数列{an}的公比是 q，等差数列{bn}的公差是 d.
由 a3＝b3及 a1＝b1＞0，得 a1q2＝b1＋2d q2＝1＋
1
2
a
d
；
由 a1≠a3 q2≠1，从而 d≠0．
∴a5－b5＝a1q4－(b1＋4d)＝(b1＋2d)(1＋
1
2
a
d )－b1－4d＝
1
24
a
d
＞0．
∴a5＞b5．
测试十 均值不等式
一、选择题
1．C 2．B 3．D 4．B 5．A
提示：
5．∵正数 a，b，c，d满足 a＋b＝cd＝4，
∴ab≤
4
1
(a＋b)2＝4，c＋d≥2 cd ＝4，
∴等号当且仅当 a＝b＝2，c＝d＝2时取到，
∴ab≤c＋d，且等号成立时 a，b，c，d的取值唯一.
二、填空题
6．6；3 7．2；1 8．－5 9．3 10．[－3，1]
提示：
8． 531623)
3
163(
3
16
a
a
a
a ．
当且仅当 3－a＝
a3
16
，即 a＝－1时，
3
16
a
a 取得最大值－5．
9．函数 f(x)＝2log2(x＋2)－log2x的定义域是(0，＋∞)，
且 f(x)＝2log2(x＋2)－log2x＝ )44(log)2(log 2
2
2
x
xx
x
≥log28＝3，
当且仅当 x＝2时，f(x)取得最小值 3．
10．由 a，b，c成等比数列，得 b2＝ac.
∴(3－b)2＝(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac≥4ac＝4b2，整理得 b2＋2b－3≤0，
解得 b∈[－3，1].
三、解答题
11．略解： bcda
2
.证明如下：
∵四个互不相等的正数 a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc.
∴
2
daadbc
.
又 a≠d，∴ bcda
2
.
12．略解：比较 talog
2
1
与
2
1log t
a 的大小，也就是 talog 与
2
1log t
a 的大小.
又 tt
2
1
，从而，当 t＝1时，
2
1loglog
2
1
tt aa ；
当 t≠1，0＜a＜1时，
2
1loglog
2
1
tt aa ；a＞1时，
2
1loglog
2
1
tt aa .
13．略解：∵ 21212)( 2 yxxyxyyxyx ．
当且仅当 x＝y＝
2
1
时，等号成立，从而 yx 的最大值为 2 .
∵不等式 ayx 恒成立，∴a≥ 2 ，
即 a的取值范围是[ 2 ，＋∞).
14．略解：
(1)用函数单调性的定义可证明：当 x∈(0， a ]时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当 x
∈[ a，＋∞]时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增.证明略.
(2)由(1)得，当 a≥2时，f(x)在(0，2]上单调递减，f(x)在(0，2]上的最小值为 f(2)；
当 a＜2时，f(x)在(0， a ]上单调递减，在[ a ，2]上单调递增，从而 f(x)在(0，2]
上的最小值为 f( a ).
∴g(a)＝
.40,2
,4,
2
2
aa
aa
测试十一 一元二次不等式及其解法
一、选择题
1．A 2．D 3．C 4．A 5．B
提示：
5．①当 p＝0时，y＝－1，适合题意；
②当 p≠0时，y＝px2－px－1为二次函数，
依题意有 04
04)(
0
0
0
2
p
pp
pp
．
综合①，②知 B正确.
二、填空题
6．{x|－4＜x＜3} 7． }
3
1
2
5|{ xx . 8．{x|－ 2 ＜x＜ 2 ，且 x≠0}
9．{x|－1＜x＜0，或 3＜x＜4} 10．a∈(－∞，－1)∪(0，1)
提示：
10．x2－(a＋
a
1
)x＋1＜0 (x－a)(x－
a
1
)＜0．
∵该集合为非空集合，∴a＜
a
1
.
即①
,1
,0
2a
a
或②
.1
,0
2a
a
解①得 0＜a＜1；解②得 a＜－1．
综合①，②得 a＜－1，或 0＜a＜1．
三、解答题
11．略解：原不等式 (x＋a)(x－3a)＜0．
分三种情况讨论：
①当 a＜0时，解集为{x|3a＜x＜－a}；
②当 a＝0时，原不等式 x2＜0，显然解集为；
③当 a＞0时，解集为{x|－a＜x＜3a}.
12．略解：由 3x－4y＋k＝0得
44
3 kxy ，代入 x2＋y2－2x＝0，
得 016)2
8
3(
16
25 2
2
kxkx ，
即 25x2＋(6k－32)x＋k2＝0，
令＝(6k－32)2－4×25×k2＞0，解得－8＜k＜2．
13．略解：A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x＜－4或 x＞2}.
当 a＞0时，C＝{x|a＜x＜3a}，当 a＝0时，C＝，当 a＜0时，C＝{x|3a＜x＜a}.
(1)A∩B＝{x|2＜x＜3}，欲使 A∩B C，则
.33
,2
,0
a
a
a
解得 1≤a≤2；
(2)( UA)∩( UB)＝{x＝|－4≤x≤－2}，
欲使( UA)∩( UB)C，则
.2
,43
,0
a
a
a
解得－2＜a＜－
3
4
.
14．略解：①当 a＝0时，原不等式 x＞
2
1
；
②当 a＞0时，由于＝4－4a，所以
(1)当 0＜a＜1时，原不等式 a
axa
a
1111
；
(2)当 a≥1时，原不等式解集为 .
③当 a＜0时，由于＝4－4a＞0，所以
原不等式 a
ax
11
，或 a
ax
11
.
测试十二 不等式的实际应用
一、选择题
1．A 2．C 3．C 4．A
提示：
2．依题意，有(300－2x)x－(500＋30x)≥8600，化简整理为 x2－135x＋4550≤0，
解得 65≤x≤70．
3．设产销量为每年 x(万瓶)，则销售收入为 70x(万元)，从中征收附加税为 70x·
100
r (万元)，
且 x＝100－10r，依题意得
70(100－10r)·
100
r
≥112，得 r2－10r＋16≤0，解得 2≤r≤8．
4．方法－：(1＋k2)x≤k4＋4
2
2
2
4
1
5)1(
1
4
k
k
k
kx 2．
设 2522
1
5)1()( 2
2
k
kkf ．
从而，f(k)的最小值是 252 ．
这说明只要不大于 252 的实数 x必是不等式 x≤f(k)的解.
由于 2＜ 252 ，0＜ 252 ，从而选 A.
方法二：将 x＝0，x＝2分别代入不等式进行检验即可.
二、填空题
5．81cm2 6．(－4，4) 7．{x|x＜3} 8．[0，1]
提示：
7．∵x|x－2|＜3
,032
,2
2 xx
x
或
,032
,2
2 xx
x
2≤x＜3或 x＜2，
∴不等式 f(x)＜3的解集为{x|x＜3}.
8．在同一坐标系中，画出函数 y1＝|x＋1|和 y2＝kx的图象进行研究.
三、解答题
9．略解：设直角三角形的两直角边分别为 x，y，则 x＋y＋ 22 yx ＝2．
∴ 2)22(,222 xyxyxy ，∴ 22
22
2
xy .
∴xy≤6－4 2 ，∴S＝
2
1
xy≤3－2 2 ，此时三角形为等腰直角三角形.
10．略解：由题意：对甲 0.1x＋0.01x2＞12，得 x＜－40(舍)，或 x＞30．
对乙来说 0.05x＋0.005x2＞10，解得 x＜－50(舍)，或 x＞40．
即 x 甲＞30km/h，x 乙＞40km/h，∴乙车超过路段限速，应负主要责任
11．略解：－x2＋2x＋a＞0恒成立 a＞x2－2x在区间[－1，3]上恒成立.
由于 x2－2x在区间[－1，3]上的最大值是 3，从而 a＞3．
12．略解：设版面横向长为 xcm，则纵向长为
x
2400
cm，那么纸张横向长为(x＋8)cm，纵向
长为(
x
2400
＋12)cm.
∴纸张的面积 S＝(x＋8)(
x
2400
＋12)＝2496＋
x
24008
＋12x.
∵x＞0，
x
24008
＞0，12x＞0．∴S≥2496＋2 x
x
1224008
＝3456(cm2).
当且仅当
x
24008
＝12x，即 x＝40(cm)，
x
2400
＝60(cm).
∴纸张的宽为 40＋8＝48(cm)，长为 60＋12＝72(cm)时，纸的用量最小.
测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
一、选择题
1．D 2．B 3．A 4．A 5．C
提示：
5．设软件买 x片，磁盘少买 y盒，则约束条件为
.5007060
,2
,3
,,
yx
y
x
yx N
在可行域内的解为(3，2)、(4，2)、(5，2)、(6，2)、(3，3)、(4，3)、(3，4)，共有 7个.
二、填空题
6．四 7．(－2，3) 8．[－3，1] 9．[0，＋∞) 10．2
提示：
10．分类讨论去掉绝对值符号，可得曲线围成的图形是边长为 2 的正方形.
三、解答题
11．略.
12．略解：设购买 35kg的 x袋，24kg的 y袋，则
.N,N
,1062435
yx
yx
共花费 z＝140x＋120y.画出可行域，做出目标函数 z＝140x＋120y对应的一组平行线，
观察在点(1，3)处，z取得最小值 500，即最少需要花费 500元.
13．略解：设第一种应装 x袋，第二种应装 y袋，则所获利润 z＝0.5x＋0.9y.
x，y应满足约束条件
N,
48023
3002
N,
1205.075.0
755.025.0
yx
yx
yx
yx
yx
yx
直线 x＋2y＝300与 3x＋2y＝480的交点 M(90，105)，
z＝0.5x＋0.9y在 M点取最大值，此时 z＝0.5×90＋0.9×105＝139.5．
∴第一种装法应装 90袋，第二种装法应装 105袋，可使利润最大，最大利润是 139.5
元.
14．略解：设甲库运往 A镇 x吨大米，乙库运往 A镇 y吨大米，易知 x，y应满足约束条件
.0,0
,110)80()100(
,70
yx
yx
yx
目标函数是
z＝20·12·x＋25·10(100－x)＋15·12·y＋20·8(80－y)＝37800－10x＋20y.
易知目标函数在(0，70)处取最大值，(70，0)处取最小值.
(1)甲库运往 A镇 70吨、运往 B镇 30吨，乙库大米全部运往 B镇，总运费最小，为 37100
元.
(2)甲库全部运往 B镇，乙库运 10吨给 B镇，70吨给 A镇，总运费最多，为 39200元.
造成不该有的损失 2100元.
测试十四 不等式全章综合练习
一、选择题
1．C 2．B 3．C 4．D 5．D
二、填空题
6．(－2，4)， )
2
3,
4
1( 7．－1 8．
16
1 9．－1≤a≤0 10．(－∞，10]
三、解答题
11．解：由|x－1|＜6，得－6＜x－1＜6，解得－5＜x＜7．
由
12
8
x
x
＞0，得(x－8)(2x－1)＞0，解得 x＞8，或 x＜
2
1
.
(1)A∩B＝{x|－5＜x＜7}∩{x|x＞8，或 x＜
2
1 }＝{x|－5＜x＜
2
1 }.
(2)∵ UA＝{x|x≤－5，或 x≥7}，
∴( UA)∪B＝{x|x≤－5，或 x≥7}∪{x|x＞8，或 x＜
2
1 }＝{x|x≥7，或 x＜
2
1 }.
12．解：设此工厂每日需甲种原料 x吨，乙种原料 y吨，则可得产品 z＝90x＋100y(千克).
由题意，得
.0,0
,2045
,1232
.0,0
,2000400500
,600015001000
yx
yx
yx
yx
yx
yx
上述不等式组表示的平面区域如右图所示，
阴影部分(含边界)即为可行域.
作直线 l：90x＋100y＝0，并作平行于直线 l的一组直线与可行域相交，其中有一条直
线经过可行域上的 M点，且与直线 l的距离最大，此时目标函数达到最大值.这里 M点
是直线 2x＋3y＝12和 5x＋4y＝20的交点，容易解得 )
7
20,
7
12(M ，
此时 z取到最大值 440
7
20100
7
1290 ．
答：当每天提供甲原料
7
12
吨，乙原料
7
20
吨时，每日最多可生产 440千克产品.
13．(1)由于 3×4与
3
4
均不属于数集{1，3，4}，∴该数集不具有性质 P.
由于 1×2，1×3，1×6，2×3，
6
6,
3
3,
2
2,
1
1,
3
6,
2
6
都属于数集{1，2，3，6}，
∴该数集具有性质 P.
(2)∵A＝{a1，a2，…，an}具有性质 P，∴anan与
n
n
a
a
中至少有一个属于 A.
由于 1≤a1＜a2＜…＜an，∴anan＞an，故 ananA.
从而 1＝
n
n
a
a
∈A，∴a1＝1．
∵1＝a1＜a2＜…＜an，∴akan＞an，故 akanA(k＝2，3，…，n).
由 A具有性质 P可知
k
n
a
a
∈A(k＝1，2，3，…，n).
又∵
121 a
a
a
a
a
a
a
a nn
n
n
n
n
，
∴ n
n
n
n
n
n
n
n aa
aaa
aaa
a
a
a
1
1
2
2
1
,,,,1 .
从而 nn
nn
n
n
n
n aaaaa
a
a
a
a
a
a
a
121
121
，
∴ n
n
n aaaa
aaa
11
2
1
1
21
.
测试十五 数学必修 5 模块自我检测题
一、选择题
1．D 2．C 3．A 4．B 5．A 6．C 7．D 8．C
提示：
6．∵S20＝
2
)(20 201 aa
＝340，∴a1＋a20＝34．
∴a6＋a9＋a11＋a16＝(a6＋a16)＋(a9＋a11)＝2a11＋2a10＝2(a10＋a11)＝2(a1＋a20)＝68．
7．∵正数 x、y满足 x＋y＝4，
∴xy≤(
2
yx
)2＝4 (当 x＝y时取等号).
∴ log2x＋log2y＝log2(xy)≤log24＝2．
即 log2x＋log2y的最大值是 2．
8．根据余弦定理得 AB2＝AP2＋BP2－2AP·BP·cos60°.
解得 AB＝0.07(km).
从而汽车从 A地到 B地的车速为
3
07.0
×3600＝84(km/h).
二、填空题
9．{x|－1＜x＜2} 10．
2
1
11．4 12． 10
153
13．
2
7
，9 14．
2
1
，j·(
2
1
)i
提示：
14．设第一行的等差数列的公差为 d，则有
,
,
32
2
12
2414
aqa
aqa
即
4
1)
2
1(
,1)3
2
1(
2qd
qd
解得 d＝
2
1
或 d＝－
18
7 (舍去).从而 q＝
2
1
.
∴aij＝a1j·qi－1＝[a11＋(j－1)d]·qi－1＝ ii jj )
2
1()
2
1()]1(
2
1
2
1[ 1 .
三、解答题
15．解：(1)当 a＝5时，f(x)＝x2＋5x＋6．
f(x)＜0 x2＋5x＋6＜0 (x＋2)(x＋3)＜0－3＜x＜－2．
(2)若不等式 f(x)＞0的解集为 R，则 a2－4×6＜0 6262 a ，
即实数 a的取值范围是 )62,62( .
16．解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，则 a1＋d＝5，a1＋4d＝14，解得 a1＝2，d＝3．
所以数列{an}的通项为 an＝a1＋(n－1)d＝3n－1．
(2)数列{an}的前 n项和 Sn＝ nnaan n
2
1
2
3
2
)( 21
.
由 155
2
1
2
3 2 nn ，化简得 3n2＋n－310＝0，
即(3n＋31)(n－10)＝0，所以 n＝10．
17．证明：(1)根据正弦定理得
A
B
B
A
sin
sin
cos
cos
，
整理为 sinAcosA＝sinBcosB，即 sin2A＝sin2B.
∵0＜2A，2B＜π，∴2A＝2B，或 2A＋2B＝π.
∵
3
4
a
b
，∴A＋B＝
2
π
，即∠C＝90°
(2)因为△ABC是以角 C为直角的直角三角形，且 c＝10，易求得 a＝6，b＝8．
∴△ABC的面积 S＝
2
1
ab＝24．
18．略解：设每天生产甲种产品 x吨，乙种产品 y吨，
则
.0,0
,4552
,5637
yx
yx
yx
目标函数 z＝8x＋11y，作出线性约束条件所表示的平面区域，
可求得鲞 x＝5，y＝7时，z取最大值 117万元.
所以，每天生产甲种产品 5吨，乙种产品 7吨，日产值到达最大值 117万元.
19．略解：(1) 1cos2
2
cos11cos2
2
cos2cos
2
sin 2222
AAAAACB
9
11
9
12
2
3
11
.
(2)∵cosA＝
3
1
2
222
bc
acb
，
∴ 323
3
2 22 bccbbc ，整理得 bc≤
4
9
.
当且仅当 b＝c＝
2
3
时，bc取得最大值
4
9
.
20．(1)解：依题意得
),4,3,2(,
,
1
1
nSa
Sa
nn
nn
两式相减得：
an＋1－an＝an，即 21
n
n
a
a (n＝2，3，4，…).
∴a2，a3，a4，…构成首项为 a2，公比为 2的等比数列.
∵a2＝S1＝a1＝5，∴an＝5·2n－2(n≥2).
∴
),4,3,2(.25
)1(,5
2 n
n
a
nn
(2)证明： 22
321 25
1
25
1
25
1
5
1
5
11111
n
naaaa
2
11
)
2
1(1
5
1
5
1)
2
1
4
1
2
11(
5
1
5
1
1
2
n
n
5
3
5
2
5
1])
2
1(1[
5
2
5
1 1 n .
单元测试一 解三角形
一、选择题
1．在△ABC中，若 AC＝3，A＝30°，B＝45°，则 BC等于( )
(A) 6 (B) 2
63 (C) 23 (D) 2
23
2．在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a＝3，b＝4，c＝6，则 cosB等于( )
(A)
48
43 (B)
24
11
(C)
36
29
(D)
48
11
3．在△ABC中，若
a
b
B
A
cos
cos
，则△ABC是( )
(A)等腰三角形 (B)直角三角形
(C)等边三角形 (D)等腰三角形或直角三角形
4．在等腰锐角△ABC中，a＝3，c＝2，则 cosA等于( )
(A)
3
1 (B)
2
1 (C)
3
2 (D)
4
3
5．在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a、b、c，A＝ 3,
3
π
a ，b＝1，则 c等于( )
(A)1 (B)2 (C) 3 －1 (D) 3
二、填空题
6．在△ABC中，若 a2＋ab＝c2－b2，则角 C＝________.
7．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则
A
AC
cos
的值等于________.
8．已知△ABC的顶点 A(1，1)，B(－1，3)，C(3，0)，则 cosB＝________.
9．在△ABC中，∠A＝60°，AC＝16，△ABC的面积 S＝220 3，则 BC＝________.
10．若三角形的三边之比为 3∶5∶7，则其最大角等于________.
三、解答题
11．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角 A，B，C的对边，设 a＝4，c＝3，cosB＝
8
1
.
(1)求 b的值；
(2)求△ABC的面积.
12．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 a＝ 5，b＝3，sinC＝2sinA.
(1)求 c的值；
(2)求 sinA的值.
13．在△ABC中，cosA＝
13
5
，cosB＝
5
3
，BC＝5，求△ABC的面积.
14．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且满足 5
52
2
cos
A
， ACAB ＝
3，c＝1，求 a的值.
单元测试二 数列
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若 a2＝3，a6＝11，则 a4等于( )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)9
2．在正项等比数列{an}中，若 a4a5＝6，则 a1a2a7a8等于( )
(A)6 (B)12 (C)24 (D)36
3．等差数列{an}的公差不为零，首项 a1＝1，a2是 a1和 a5的等比中项，则数列{an}的公差
等于( )
(A)1 (B)2 (C)－1 (D)－2
4．若数列{an}是公比为 4的等比数列，且 a1＝2，则数列{log2an}是( )
(A)公差为 2的等差数列 (B)公差为 lg2 的等差数列
(C)公比为 2的等比数列 (D)公比为 lg2的等比数列
5．等比数列{an}的前 n项和记为 Sn，若 S4＝2，S8＝6，则 S12等于( )
(A)8 (B)10 (C)12 (D)14
6．{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，用 Sn表示{an}的前 n项和，则使得
Sn达到最大值的 n是( )
(A)21 (B)20 (C)19 (D)18
7．如果数列{an}(an∈R)对任意 m，n∈N*满足 am＋n＝am·an，且 a3＝8，那么 a10等于( )
(A)1024 (B)512 (C)510 (D)256
8．设 f(n)为正整数 n(十进制)的各数位上的数字的平方之和，例如 f(123)＝12＋22＋32＝14．记
a1＝f(2009)，ak＋1＝f(ak)，k＝1，2，3，…则 a2009等于( )
(A)85 (B)16 (C)145 (D)58
二、填空题
9．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则 a6＝________.
10．在等差数列{an}中，a2，a11是方程 x2－3x－5＝0的两根，则 a5＋a8＝________.
11．设等比数列{an}的公比
2
1
q ，前 n项和为 Sn，则
4
4
a
S
＝________.
12．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，则 a5＝______；前 8项的和 S8＝______.(用
数字作答)
13．设{an}是公比为 q的等比数列，|q|＞1，令 bn＝an＋1(n＝1，2，…)，若数列{bn}有连续
四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则 6q＝________.
14．设等比数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a1＝1，S6＝4S3，则 a4＝________.
三、解答题
15．在等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}前 n项和 Sn.
16．设等比数列{an}的前 n项和为 Sn，已知 S1，S3，S2成等差数列.
(1)求{an}的公比 q；
(2)若 a1－a3＝3，求 Sn.
17．已知三个数成等差数列，它们的和为 30，如果第一个数减去 5，第二个数减去 4，第三
个数不变，则所得三个数组成等比数列，求这三个数.
18．已知函数 f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(x∈R，n∈N*)，且对一切正整数 n都有 f(1)＝
n2成立.
(1)求数列{an}的通项 an；
(2)求
13221
111
nnaaaaaa
.
19．设数列{an}的前 n项和为 Sn，已知 a1＝1，Sn＋1＝4an＋2．
(1)设 bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
单元测试三 不等式
一、选择题
1．设 S＝{x|2x＋1＞0}，T＝{x|3x－5＜0}，则集合 S∩T等于( )
(A) (B){ x|x＜－
2
1 } (C){ x|x＞
3
5 } (D) }
3
5
2
1|{ xx
2．若 a，b是任意实数，且 a＞b，则下列不等式中一定正确的是( )
(A)a2＞b2 (B) 1
a
b (C)2a＞2b (D)|a|＞|b|
3．不等式 0
1
2
x
x
的解集是( )
(A)(－∞，－1)∪(－1，2) (B)[－1，2]
(C)(－∞，－1)∪[2，＋∞] (D)(－1，2]
4．设 x，y为正数，则(x＋y)(
yx
41
)的最小值为( )
(A)6 (B)9 (C)12 (D)15
5．若 f(x)是定义在 R 上的减函数，则满足 f(
x
1
)＞f(1)的实数 x的取值范围是( )
(A)(－∞，1) (B)(1，＋∞)
(C)(－∞，0)∪(0，1) (D)(－∞，0)∪(1，＋∞)
6．若关于 x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是 M，则对任意实常数 k，总有( )
(A)2∈M，0∈M (B)2M，0M (C)2∈M，0M (D)2M，0∈M.
二、填空题
7．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且 A∪( RB)＝R，则实数 a的取值范围是________.
8．若实数 a满足 a2＋a＜0，那么 a，a2，－a，－a2由小到大的顺序是________.
9．函数 f(x)＝ x
x
x
4lg
3
2
的定义域是________.
10．已知实数 x，y满足
.1
,0
,02
x
yx
yx
则 z＝2x＋4y的最大值为________.
11．已知正实数 a，b满足 a＋4b＝8，那么 ab的最大值是________.
12．如果方程(x－1)(x2－2x＋m)＝0的三个根可以作为一个三角形的三条边长，那么实数 m
的取值范围是________.
三、解答题
13．已知一元二次不等式 x2－ax－b＜0的解集是{x|1＜x＜3}，
(1)求实数 a，b的值；
(2)解不等式
bx
ax
2
＞1．
14．设 a∈R，且 a≠－1，试比较 1－a与
a1
1
的大小.
15．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人
打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100％和 50％
(盈利率＝
投资额
盈利额
×100％)，可能的最大亏损率分别为 30％和 10％(亏损率＝
投资额
亏损额
×
100％)，投资人计划投资金额不超过 10万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8万
元.问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大？
16．已知函数 f(x)＝
x
axx 22
，其中 x∈[1，＋∞ ) .
(1)当 a＞0时，求函数 f(x)的最小值 g(a)；
(2)若对任意 x∈[1，＋∞ )，f(x)＞0恒成立，试求实数 a的取值范围.
数学必修 5 模块检测题
一、选择题
1．在等比数列{an}中，若 a1＝2，a3＝4，则 a7等于( )
(A)8 (B)16 (C)32 (D)64
2．设 a，b，c，d∈R，且 a＞b，c＞d，则下列不等式中一定成立的是( )
(A)a＋c＞b＋d (B)a－c＞b－d
(C)ac＞bd (D)
c
b
d
a
3．已知函数 y＝－x2＋x，那么使 y＜－2成立时 x的取值范围是( )
(A)(－1，2) (B)(－∞，－1)∪(2，＋∞)
(C)(－2，1) (D)(－∞，－2)∪(1，＋∞)
4．在数列{an}中，a1＝4，an＋1＝2an－1(n＝1，2，3，…)，则 a4等于( )
(A)7 (B)13 (C)25 (D)49
5．在△ABC中，三个内角 A，B，C满足 A＜B＜C(C≠
2
π
)，则下列不等式一定成立的是( )
(A)sinA＜sinC (B)cosA＜cosC
(C)tanA＜tanC (D)tanA＞tanC
6．若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个
数列有( )
(A)10项 (B)11项 (C)12项 (D)13项
7．若不等式组
20
,
,05
x
ay
yx
表示的平面区域是一个三角形，则 a的取值范围是( )
(A)a＜5 (B)a≥7
(C)5≤a＜7 (D)a＜5，或 a≥7
8．若不等式(－1)na＜2＋ n
n 1)1(
对于任意正整数 n恒成立，则实数 a的取值范围是( )
(A) )
2
3,2[ (B) )
2
3,2(
(C) )
2
3,3[ (D) )
2
3,3(
二、填空题
9．不等式 x(2－x)＞0的解集为________.
10．已知正数 a，b满足 ab＝4，那么－a－b的最大值是________.
11．设等差数列{an}的前 n项和为 Sn，a1＝3，a3＝7，则 S10等于________.
12．已知点 P(x，y)的坐标满足条件
,01
,1
,1
yx
y
x
点 O为坐标原点，那么|PO|的最大值等于
________，最小值等于________.
13．等比数列{an}的前 n项和是 Sn，若 8S6＝9S3，则{an}的公比等于________.
14．Rt△ABC的三个内角的正弦值成等比数列，设最小的锐角为角 A，则 sinA＝________.
三、解答题
15．解不等式：0＜x2－3x＜4．
16．在△ABC中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边.已知 a，b，c成等比数列，且 a2－c2
＝ac－bc.
(1)求角 A的大小；
(2)求
c
Bb sin
的值.
17．已知数列{an}是等差数列，其前 n项和为 Sn，a3＝6，S3＝12.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证： 1111
21
nSSS
.
18．电视台为某个广告公司特约播放两套片集：片集甲每集播映时间为 21分钟，其中含广
告时间 1分钟，收视观众为 60万人；片集乙每集播映时间为 11分钟，含广告时间 1分
钟，收视观众为 20万人.广告公司规定每周至少有 6分钟广告，而电视台每周只能为该
公司提供不多于 86分钟的节目时间(含广告时间).电视台每周应播映两套片各多少集，
才能获得最高的收视率？
19．对于定义域分别是 Df，Dg的函数 y＝f(x)，y＝g(x)，规定：函数
.),(
,),(
,),()(
)(
gf
gf
gf
DxDxxg
DxDxxf
DxDxxgxf
xh
且当
且当
且当
(1)若函数
1
1)(
x
xf ，g(x)＝x2，x∈R，写出函数 h(x)的解析式；
(2)求问题中(1)函数 h(x)的值域.
20．设数列{an}的前 n项和为 Sn，已知 a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n＝1，2，3，…).
(1)设 bn＝an＋1－2an(n＝1，2，3，…)，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式；
(2)设 cn＝ n
na
2 (n＝1，2，3，…)，求证数列{cn}是等差数列，并求其通项公式；
(3)求数列{an}的通项公式及前 n项和公式.
测试卷参考答案
单元测试一 解三角形
一、选择题
1．D 2．C 3．D 4．A 5．B
二、填空题
6．120° 7．2 8． 10
27 9．49 10．
3
π2
提示：
9．因为△ABC的面积 S＝220
2
13 AC·AB·sinA，所以求得 AB＝55，
由余弦定理，得 BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA＝162＋552－2×16×55cos60°，
所以 BC＝49．
三、解答题 xkb1.com
11．(1)解：在△ABC中，由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB，
得 b2＝16＋9－24×
8
1
＝22，
所以 b＝ 22 .
(2)解：由 cosB＝
8
1
，B∈(0，π)，
所以 8
73cos1sin 2 BB ，
由三角形的面积公式 S＝
2
1
acsinB，
得 S＝
2
1
×4×3× 4
79
8
73
.
12．(1)解：在△ABC中，根据正弦定理，
A
a
C
c
sinsin
，
于是 c＝sinC· 522
sin
a
A
a
.
(2)解：在△ABC中，根据余弦定理，
得 5
52
2cos
222
bc
abcA ，
于是 sinA＝ 5
5cos1 2 A ，
13．解：由 cosA＝－
13
5
，得 sinA＝
13
12
，
由 cosB＝
5
3
，得 sinB＝
5
4
.
所以 sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝
65
16
.
由正弦定理，得
3
13
13
12
5
45
sin
sin
A
BBCAC .
所以△ABC的面积
3
8
65
16
3
135
2
1sin
2
1
CACBCS .
14．解：
5
31)5
52(21
2
cos2cos 22
AA ，
又 A∈(0，π)，sinA＝
5
4cos1 2 A ，而 3
5
3cos|||| bcAACABACAB ，
所以 bc＝5，
又 c＝1，所以 b＝5，
所以 5232125cos222 Abccba .
单元测试二 数列
一、选择题 xkb1.com
1．C 2．D 3．B 4．A 5．D 6．B 7．A 8．D
二、填空题
9．13 10．3 11．15 12．16,255 13．－9 14．3
三、解答题
15．解：设{an}的公差为 d，则
053
16)6)(2(
11
11
dada
dada
，
即
da
ddaa
4
16128
1
2
1
2
1 ，
解得
,2
,81
d
a
或
,2
,81
d
a
.
因此 Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)，或 Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9).
16．解：(1)依题意有
a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由于 a1≠0，故 2q2＋q＝0，
又 q≠0，从而 q＝
2
1
.
(2)由已知可得 a1－a1(
2
1
)2＝3，
故 a1＝4，
从而 Sn＝ ])
2
1(1[
3
8
)
2
1(1
])
2
1(1[4
n
n
.
17．解：设这三个数为 a－d，a，a＋d，
则(a－d)＋a＋(a＋d)＝30，解得 a＝10．
又由(a－d－5)(a＋d)＝(a－4)2，
解得 d＝2，或－7．
所以三个数为 8，10，12，或 17，10，3．
18．解：(1)由题意，得 a1＋a2＋a3＋…＋an＝n2． ①
所以当 n＝1时，a1＝1；
当 n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝(n－1)2 ②
①－②得，an＝n2－(n－1)2＝2n－1．(n≥2)
因为 n＝1时，a1＝1符合上式，
所以 an＝2n－1(n∈N*).
(2)
)12)(12(
1
53
1
31
1111
13221
nnaaaaaa nn
)
12
1
12
1(
2
1)
5
1
3
1(
2
1)
3
11(
2
1
nn
)]
12
1
12
1()
5
1
3
1()
3
11[(
2
1
nn
12
)
12
11(
2
1
n
n
n
.
19．解：(1)由 a1＝1及 Sn＋1＝4an＋2，
得 a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3．
由 Sn＋1＝4an＋2， ……………①
得当 n≥2时，有 Sn＝4an－1＋2 ……………②
①－②得 an＋1＝4an－4an－1，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)，
又因为 bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，
所以{bn}是首项 b1＝3，公比为 2的等比数列.
(2)由(1)可得 bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，所以
4
3
22 1
1
n
n
n
n aa
，
所以数列{ n
na
2 }是首项为
2
1
，公差为
4
3
的等差数列.
所以 n
na
2 ＝
4
1
4
3
4
3)1(
2
1
nn ，an＝(3n－1)·2n－2．
单元测试三 不等式
一、选择题
1．D 2．C 3．D 4．B 5．D 6．A
二、填空题
7．a≥2 8．a＜－a2＜a2＜－a 9．[2，3 )∪(3，4) 10．14 11．4
12．
4
3
＜m≤1
三、解答题
13．(1)因为不等式 x2－ax－b＜0的解集是{x|1＜x＜3}
所以 1，3是方程 x2－ax－b＝0的两根，
故 a＝1＋3，－b＝1×3，即 a＝4，b＝－3．
(2)不等式
bx
ax
2
＞1，即为：
3
42
x
x
＞1．
因为
3
42
x
x
＞1
3
42
x
x
－1＞0
0
3
7
x
x
(x＋7)(x－3)＞0
x＞3，或 x＜－7．
所以，原不等式的解集为{x|x＞3，或 x＜－7}.
14．当 a＝0时，1－a＝
a1
1
；
当 a＜－1时，1－a＞
a1
1
；
当 a＞－1且 a≠0时，1－a＜
a1
1
.
15．解：设投资人对甲、乙两个项目分别投资 x、y万元，
由题意知
.0
,0
,8.11.03.0
,10
y
x
yx
yx
目标函数为 z＝x＋0.5y，
上述不等式组表示的平面区域如右图所示，
阴影部分(含边界)即为可行域.
作直线 l：x＋0.5y＝0，并作平行于直线 l的一组直线与可行域相交，其中有一条直线
经过可行域上的 M点，且与直线 l的距离最大，此时目标函数达到最大值.
这里 M点是直线 x＋y＝10和 0.3x＋0.1y＝1.8的交点，容易解得 M(4，6)，此时
z取到最大值 1×4＋0.5×6＝7．
答：投资人用 4万元投资甲项目，用 6万元投资乙项目，才能确保在可能的资金亏损不
超过 1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.
16．略解：
(1)当 a≥1时， 222222)(
2
a
x
ax
x
ax
x
axxxf ，
当且仅当 x＝
x
a
，即 x＝ a时，f(x)有最小值 2 a＋2；
当 0＜a＜1时，可证函数 f(x)在 x∈[1，＋∞)上是单调增函数(在此略)，
所以 f(x)有最小值 f(1)＝a＋3，
综上，函数 f(x)有最小值
1,22
10,3
)(
aa
aa
ag .
(2)因为 x∈[1，＋∞]，且 f(x)＝
x
axx 22
＞0，
所以 x2＋2x＋a＞0，
即 a＞－x2－2x＝－(x＋1)2＋1对于 x∈[1，＋∞)恒成立，
而函数 y＝－(x＋1)2＋1，x∈[1，＋∞)的最大值为－3，
所以 a＞－3．
数学必修 5 模块检测题
一、选择题
1．B 2．A 3．B 4．C 5．A 6．D 7．C 8．A
提示：
8．①当 n是正奇数时，原不等式化为 a＞－(2＋
n
1
)，
欲使上式对于任意正奇数 n恒成立，则 a≥－2．
②当 n是正偶数时，原不等式化为 a＜2－
n
1
，
欲使上式对于任意正偶数 n恒成立，则 a＜2－
2
3
2
1
.
综上，a的取值范围是[－2，
2
3
).
二、填空题
9．{x|0＜x＜2} 10．－4 11．120
12． 2
2,2 13．
2
1 14．
2
15
提示：
13．设{an}的公比为 q，
①当 q＝1时，S6＝6a1，S3＝3a1，此时不适合 8S6＝9S3，所以 q≠1．
②当 q≠1时，由
q
qa
q
qa
1
)1(9
1
)1(8
3
1
6
1 ，且 a1≠0，得
8(1＋q3)＝9，即 q3＝
8
1
，所以 q＝
2
1
.
14．不妨设∠C为直角.由题意 sinA·sinC＝sin2B，即 sinA＝sin2B，
又因为 A＋B＝
2
π
，所以 sinB＝cosA，故 sinA＝cos2A＝1－sin2A.
解此方程得 sinA＝ 2
51
，又 sinA∈(0，1)，故 sinA＝
2
15
.
三、解答题
15．原不等式
.43
,03
2
2
xx
xx
.41
,0,3
x
xx 或
{x|－1＜x＜0，或 3＜x＜4}.
16．解：(1)因为 a，b，c成等比数列，所以 b2＝ac.
又 a2－c2＝ac－bc，所以 b2＋c2－a2＝bc.
根据余弦定理得 cosA＝
2
1
2
222
bc
acb
，所以∠A＝60°.
(2)根据正弦定理，得 sinB＝
a
Ab sin
.
因为 b2＝ac，∠A＝60°，
所以 2
360sin60sinsin 2
ac
b
c
Bb
.
17．解：(1)设等差数列{an}的公差是 d，依题意得
.12
2
233
,62
1
1
da
da
解得
.2
,21
d
a
所以数列{an}的通项公式为 an＝a1＋(n－1)d＝2n.
(2)证明：an＝2n，所以 Sn＝
2
)( 1 naan
＝n(n＋1).
)1(
1
32
1
21
1111
21
nnSSS n
1
11)
1
11()
3
1
2
1()
2
1
1
1(
nnn
.
所以 1111
21
nSSS
.
18．解：设片集甲播映 x集，片集乙播映 y集，则有
.N,
,861121
,6
yx
yx
yx
设此不等式组表示的
平面区域为 D.要获得最高的收视率，只要 yxz 2060 最大即可，问题转化为求目标
函数 yxz 2060 在区域 D上的最大值即可.画图分析得，当 x＝2，y＝4 时，z取得
最大值 200万.
19．解：(1)由函数
1
1)(
x
xf ，
2)( xxg ，x∈R，可得：
Df＝{x|x≠1}，Dg＝R，从而当 x≠1时，
1
)(
2
x
xxh ；当 x＝1时，h(x)＝1.
(2)当 x＞1时， 42
1
11
1
1)1(2)1(
1
)(
22
x
x
x
xx
x
xxh ；
当 x＜1时， 02)
1
11(
1
1)1(2)1(
1
)(
22
x
x
x
xx
x
xxh ；
所以，h(x)的值域为{y|y≥4，或 y≤0，或 y＝1}.
20．(1)证明：由 24,24 121 nnnn aSaS ，两式相减得 nnn aaa 44 12 .
整理得 )2(22 112 nnnn aaaa ，即 bn+1＝2bn.
故{bn}是公比为 2的等比数列，
而 3232 112121 aaSaab ，可得
123 n
nb (n∈N*)
(2)证明：
4
3
2
23
22
2
2
,
2 1
1
11
1
11
1
1
n
n
n
n
n
nn
nnn
n
nn
n
n
baaccacac ，
所以{cn}是等差数列，
2
1
2
1
1
ac ，故 )13(
4
1
4
3)1(
2
1
nncn .
(3) )N(2)13(2 2 *n
n
n
n nnca .
当 n≥2时， 22)43(24 1
1
n
nn naS ，因为 S1＝a1＝1也适合，
故 22)43( 1 n
n nS .
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