汉中市汉台区2010-2011高二上理科数学期末试卷及答案

陕西省汉中市汉台区 2010-2011 学年度第一学期期末考 试试题 高二（理科）数学（必修 5，选修 2-1） (满分 150 分，时间 120 分钟) 第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题只有一个正确选项。每小题 5 分，共 50 分) 1.   为则，中，已知等差数列 naaaaa nn ,33,43 1 521  （ ） A.48 B.49 C.50 D.51 2.    qaaaaan 则公比中，在正项等比数列 ,16,10 5362 （ ） A. 2 B. 2 2 C. 2 22或 D.2 3. 的值为则中，在 A aSbAABC ABC O sin,3,1,60   ( ) A. 3 392 B. 81 38 C. 3 326 D. 72 4.在下列函数中，最小值为 2 的是（ ） A. xxy 1 B. xxy  33 C.  101lg 1lg  xxxy D.       20sin 1sin xxxy 5. 若椭圆 2 2 1x my  的离心率为 3 2 ，则它的长半轴长为（ ） A．1 B．2 C．1 或 2 D．与 m 有关 6.   线准线方程为的右焦点重合，则抛物的焦点与椭圆若 12602 22 2  yxppxy ( ) A. 1x B. 2x C. 2 1x D. 4x 7. 有下述说法：① 0a b  是 2 2a b 的充要条件. ② 0a b  是 ba 11  的充要条件. ③ 0a b  是 3 3a b 的充要条件.则其中正确的说法有（ ） A． 0 个 B．1个 C． 2 个 D． 3 个 8. 以椭圆 11625 22  yx 的焦点为顶点，离心率为 2 的双曲线方程（ ） A． 14816 22  yx B． 1279 22  yx C． 14816 22  yx 或 1279 22  yx D．以上都不对 9. 下列各组向量中不平行的是（ ） A． )4,4,2(),2,2,1(  ba  B． )0,0,3(),0,0,1(  dc  C． )0,0,0(),0,3,2(  fe  D． )40,24,16(),5,3,2(  hg  10. 是的距离最小的点的坐标上到直线抛物线 422 1 2  yxxy ( ) A.(1,1) B.(1,2) C.(2,2) D.(2,4) 第 II 卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分) 11. 等差数列 9}{,27,39,}{ 963741 前则数列中 nn aaaaaaaa  项的和 9S 等于 . 12.  的最大值为则若 aaa 21,2 10  . 13. 的最大值为，则足若满 yxz x yx yx yx        3 02 1 42 , . 14. 双曲线的渐近线方程为 2 0x y  ，焦距为10，这双曲线的方程为 . 15. 若 19(0,2, )8A ， 5(1, 1, )8B  ， 5( 2,1, )8C  是 平 面  内 的 三 点 ， 设 平 面  的 法 向 量 ),,( zyxa  ，则 zyx :: . 三、解答题(本大题 6 个小题，共 75 分.解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤) 16. (本小题共 12 分) 如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角 三角形，∠ACB=90°，BD 交 AC 于 E，AB=2. （1）求 cos∠CBE 的值；（2）求 AE。 17. (本小题共 12 分) 一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，如果其奇数项的和为85 ，偶 数项的和为170，求此数列的公比和项数. 18. (本小题共 12 分) 是焦点，和上的一点，是椭圆已知点 21 22 145P FFxy  的面积，求且 21 0 21 PFF30PFF  . 19. (本小题共 12 分) 双曲线与椭圆有共同的焦点 1 2(0, 5), (0,5)F F ，点 (3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求椭圆与双曲线的标准方程。 20. (本小题共 13 分)   B.A,32M,82 、交抛物线于作直线过已知抛物线 lxy      .AB,32M1 的方程所在直线为中点的弦求以 l   .NN,AB2 的轨迹方程求的中点为设 21. (本小题共 14 分) 已知四棱锥 P ABCD 的底面为直角梯形， //AB DC ，  PADAB ,90 底面 ABCD ，且 1 2PA AD DC   ， 1AB  ， M 是 PB 的中点。 （Ⅰ）证明：面 PAD  面 PCD ； （Ⅱ）求 AC 与 PB 所成角的余弦值； （Ⅲ）求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的余弦值. E D C B A 汉台区 2010-2011 学年度第一学期期末考试试题 高二（理科）数学（必修 5，选修 2-1）参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A B C B A B D C 二、填空题： 11. 99 12. 8 1 13. 5 14. 2 2 120 5 x y   15. 2：3：（-4） 三、解答题： 16.解:(1)因为 0 0 090 60 150 ,BCD CB AC CD      所以 015CBE  ，  0 0 6 2cos cos 45 30 4CBE      ………………6 分 (2)在 ABE 中， 2AB  ，故由正弦定理得    0 0 0 0 2 sin 45 15 sin 90 15 AE    , 故 0 0 122sin30 2 6 2cos15 6 2 4 AE       ………………………12 分 17 解：设此数列的公比为 ,( 1)q q  ，项数为 2n ，…………………2 分 则 22 2 2 2 (1 )1 ( ) 85, 170,1 1 nn a qqS Sq q     奇 偶 …………………6 分 ,285 170 1 2  qa a S S 奇 偶 …………………9 分 82,2562,8541 21 2 2   nn n …………………11 分 ∴ ,2q 项数为8 …………………12 分 18. 解： 1,2,5 22  bacba由题 ……………………2 分 522PFPFP 21  a在椭圆上，又 ……………………4 分   4230cosPFPF2-PFPF 22 21 0 21 2 2 2 1  cFF由余弦定理得： ……6 分  3-216PFPF 21 由上述两式可得： ……………………10 分 .34830sinPFPF2 1S 0 21FPF 21   ……………………12 分 19. 解：由共同的焦点 1 2(0, 5), (0,5)F F ，可设椭圆方程为 2 2 2 2 125 y x a a   ； 双曲线方程为 1 25 2 2 2 2    b x b y ，点 (3,4)P 在椭圆上， 2 2 2 16 9 1, 4025 aa a    ……6 分 双曲线的过点 (3,4)P 的渐近线为 225 by x b   ，即 2 2 4 3, 16 25 b b b     ……10 分 所以椭圆方程为 2 2 140 15 y x  ；双曲线方程为 1916 22  xy .…………………………12 分 20.解      2211 ,xB,,xA,01 yykl 设的斜率存在设斜率为且由题知  ·········1 分 32,8,8,8BA 21 2 2 21 2 1 2  yyxyxyxy 又上在、 ··············2 分      3 488 2121 21 212121   yyxx yykxxyyyy 得由 ·········5 分   .0134,23 43AB  yxxy 即所在的直线方程为： ··········6 分         .2,2,B,,A,N2 21 0 21 0221100 yyyxxxyxyxyx ，设 ·········7 分  23:  xkykl ，直线方程为斜率存在时，设斜率为当 ·········8 分     2121212 2 21 2 1 2 8,8,8,8BA xxyyyyxyxyxy  上在、 ····9 分 .48 02121 21 yyyxx yyk   ·········10 分   上，在直线由 lyx 00 ,N   0834,243 00 2 00 0 0  yxyxyy 即 ·········11 分 又当直线 l 斜率不存在时，直线方程为 x =2，中点为（2,0）满足上述方程， 所以，所求中点 N 的轨迹方程为： .08342  yxy ·························13 分 21 解：证明：以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 1(0,0,0), (0,2,0), (1,1,0), (1,0,0), (0,0,1), (0,1, )2A B C D P M . （Ⅰ）证明：因 .,0),0,1,0(),1,0,0( DCAPDCAPDCAP  所以故 由题设知 AD DC ，且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线，由此得 DC  面 PAD .又 DC 在面 PCD 上，故面 PAD ⊥面 PCD . （Ⅱ）解：因 ),1,2,0(),0,1,1(  PBAC .5 10 |||| ,cos ,2,5||,2||     PBAC PBACPBAC PBACPBAC 所以故 （Ⅲ）解：在 MC 上取一点 ( , , )N x y z ，则存在 ,R 使 ,MCNC  ..2 1,1,1),2 1,0,1(),,1,1(   zyxMCzyxNC 要使 .5 4,02 1,0,  解得即只需 zxMCANMCAN 0),5 2,1,5 1(),5 2,1,5 1(, .0),5 2,1,5 1(,5 4   MCBNBNAN MCANN 有此时 能使点坐标为时可知当 ANBMCBNMCANMCBNMCAN  所以得由 .,0,0 为 所求二面角的平面角. ,5 4,5 30,5 30  BNANBNAN   3 2,cos    BNAN BNANBNAN