2010-2011年东台市高二期末数学试题及答案

2010—2011 学年度东台市第一学期高二年级期末考试 数 学 试题 一、填空题： 1、抛物线 2 4y x 的焦点的坐标是 2、掷两枚骰子，出现点数之和为 3 的概率是____ 3、 在直角三角形 ABC 中， 4AC ， 3BC ，在斜边 AB 上任取一点 M ，则 AM 小于 AC 的概率 4、命题“ 012  xxRx ， ”的否定为“ ” 5、在等差数列{an}中，a4＝5，a5＋a6＝11，则 a7＝ 6、若实数 yx, 满足 , 5 4 02       y x yx 则 yxz  的最大值为 7、与双曲线 113 22  yx 共焦点且过点 3,32 的椭圆方程为 8、若方程 119 22  k y k x 表示椭圆，则 k 的取值范围是 9、若复数 i aiz   1 1 是纯虚数，则实数a 的值为_________ 10、 设   xxxf ln ，则  xf 的单调减区间为_________ 11、在 中ABC ，若 C c B b A a coscossin  ，则 ABC 的形状是_______ 12、若直线 3y x b   是曲线 3 23y x x  的一条切线，则实数b 的值是 13、 右图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是 。 14、设命题 p: 01 12   x x ,命题 q: ,0)1()12(2  aaxax 若 p 是 q 的必要不充分 条件，则实数a 的取值范围是_____________ 15、已知 0, 0x y  ，且 2 1 1x y   ，若 22 2x y m m   恒成立，则实数 m 的取值范 围是 16、如图，已知 1 2,F F 是椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   ( 0)a b  的左、右焦点，点 P 在椭圆C 上，线段 2PF 与圆 2 2 2x y b  相切于点Q ，且点Q 为线段 2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为 17、若数列{an}满足a2 n＋1 a2 n ＝p(p 为正常数，n∈N )，则称{an}为“等方比数列”．若 甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列，则甲是乙的 条 件． 18 、 设 函 数 2 1 1 2 3( ) n nf x a a x a x a x      ， 1(0) 2f  ， 数 列 { }na 满 2(1) ( )nf n a n N  ，则数列{ }na 的前 n 项和 nS 等于 19．从等腰直角三角形纸片 ABC 上，按图示方式剪下两个正方形， 其中 2BC  ，∠A = 90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为 20、若椭圆 的焦距为 32 ，则a 的值是 21、 已知命题： “在等差数列 na 中，若   242 82  aaa ，则 11S 为定值”为 198 22  y a x 真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为 22、已知数列 na ，满足 2 2 1 2 21, 2, (1 cos ) sin2 2n n n na a a a       ，则该数列的 前 20 项的和为 23、已知钝角三角形的三边长成等差数列，公差为 1，其最大角不超过 120 ，则最 小角余弦值的取值范围为_______ 二、解答题： 24、抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 的一个焦点 1F 且 垂直于椭圆的长轴,又抛物线与椭圆的一个交点是 )3 62,3 2(M ，求抛物线与椭圆的 标准方程。 25、设 p ：方程 2 2 11 2 2 x y m m    表示双曲线； q ：函数 3 2 4( ) ( ) 63g x x mx m x     在 R 上有极大值点和极小值点各一个． 求使“p 且 q”为真命题的实数m 的取值范围． 26、在 ABC 中，内角 CBA ,, 的对边分别为 ,,, cba 已知 cba ,, 成等比数列， 4 3cos B . (1)若 ,2ac 求 ca  的值；(2)求 CA tan 1 tan 1  的值． 27、椭圆 116 22  m yx 过点（2，3），椭圆上一点 P 到两焦点 1F 、 2F 的距离之差为 2， （1）求椭圆方程 （2）试判断 1 2PF F 的形状。 28、某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需要建两 端桥墩间桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费为 256 万元；距离为 x 米的 相邻桥墩之间的桥面工程费用为(2 )x x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥 墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为 y 万元．（1）写出 y 关 于 x 的函数关系式；（2）当 640m  米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？ 29、2010 年上海世博会某国要建一座八边形（不一定为正八边形）的展馆区（如 图），它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的面积 为 200 m2 的十字型地域，计划在正方形 MNPQ 上建一座“观景花坛”，造价为 4200 元／m2，在四个矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为 210 元/m2, 再在四个空角（如 DQH 等）上铺草坪，造价为80 元/m2. 设总造价为 S 元，AD 长为 x m. （1）用 x 表示矩形 ABCD 的边 AB 的长； （1）试建立 S 与 x 的函数关系 ( )S x ； （2）当 x 为何值时， ( )S x 最小？并求这个最小值. 30、已知函数 )1,)(( axRxxf  满足 ( ) 2 ( )ax f x bx f x   ， 0a ， 1)1( f ；且使 xxf 2)(  成立的实数 x 只有一个。 （Ⅰ）求函数 )(xf 的表达式； A B CD E F GH M N PQ （Ⅱ）若数列 na 满足 3 2 1 a ， )(1 nn afa  ， 11  n n ab ， *Nn  ，证明数列 nb 是等比数列，并求出 nb 的通项公式； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明： 1 1 2 2 1n na b a b a b    ， *Nn  31、已知函数 3 2( ) ( 0, )f x ax bx cx a x R     为奇函数，且 ( )f x 在 1x  处取得极 大值 2. （1）求函数 ( )y f x 的解析式； （2）记 ( )( ) ( 1)lnf xg x k xx    ，求函数 ( )y g x 的单调区间； （3）在（2）的条件下，当 2k  时，若函数 ( )y g x 的图像在直线 y x m  的下 方，求m 的取值范围。 32、（空间向量）正方体 1111 DCBAABCD  的棱长为 2， NM , 分别为 1AA 、 1BB 的 中点。 求：（1） CM 与 ND1 所成角的余弦值. （2） ND1 与平面 MBC 所成角的余弦值 1 1 1 1 2010-2011 第一学期高二数学期末试题参考答案 一、填空题： 1 、(1,0) 2、 18 1 3、 5 4 4、 2 1 0x R x x    ， 5、 6 6、 6 7、 11216 22  yx 8、    9,55,1  9、1 10、      e 10， 11、等腰直角三角形 12、 1 13、2047 14、     2 1,0 15、 4 2m   16、 5 3 17、必要不充分 18、 19、 2 1 20、 4 或 2 21、12 22、2101 23、 ]14 13,5 4( 二、解答题 24、解：由题意可设抛物线方程为 )0(22  ppxy 点 )3 62,3 2(M 在抛物线上， 2 p …………………………………………4 分 抛物线的方程为 xy 42  …………………………………………………………6 分 1),0,1(),0,1( 21  cFF …………………………………………………………8 分 3,2,42 21  baMFMFa ………………………………………………13 分 椭圆的方程为 134 22  yx …………………………………………………………14 分 1n n 25、解： p ：方程 2 2 11 2 2 x y m m    表示双曲线, 所以 m< 2 或 m> 2 1 .……………5 分 q ：函数 3 2 4( ) ( ) 63g x x mx m x     在 R 上有极大值点和极小值点各一个,所以 m< 1 或 m>4, ………………………………………………………………………………………10 分 “ p q ”为真命题所以 m< 2 或 m>4……………………………………………………14 分 26、解：（1）因 cba ,, 成等比数列，所以 acb 2 ，再由余弦定理得 Baccab cos2222  , 代入可得 522  ca ,则 92)( 222  accaca ，所以 a+c=3. ……………7 分 （2）化简 CA tan 1 tan 1  = CA B CA CA CA CACA C C A A sinsin sin sinsin )sin( sinsin cossinsincos sin cos sin cos   又因 acb 2 ，则由正弦定理得 CAB sinsinsin 2  ,代入上式， 有 CA tan 1 tan 1  = BB B sin 1 sin sin 2  = 7 74 .………………………14 分 27、 解：（1） 2 2 116 12 x y  ………………………6 分 （2）由椭圆定义知， 1 2PF PF与 的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出 1 2PF F 的两边。 解析：由 1 2 1 28, 2PF PF PF PF    ，解得 1 25, 3PF PF  。 又 1 2 4F F  ，故满足 2 2 2 2 1 2 1PF F F PF  。 ∴ 1 2PF F 为直角三角形。………………………14 分 28、解（Ⅰ）设需要新建 n 个桥墩， ( 1) 1mn x m x   ，即n= ,所以 (2 )m mx x xx x y=f(x)=256n+(n+1)(2+ )x=256( -1)+ .2562256  mxmx m … …6 分 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知， )512(22 1256)( 2 3 2 2 1 2   xx mmxx mxf 0)(  xf令 ，得 3 2 512x  ，所以 x =64 当 0< x 0． ( )f x 在区间（64，640）内为增函数， 所以 ( )f x 在 x =64 处取得最小值，此时， 6401 1 9.64 mn x      ……………………………… 14 分 29、（1）由 200ABCD EFGH MNPQS S S  矩形 矩形 正方形 得： 2 200AB x EH x x     2200 100 2 2 x xAB x x     . ……………………..3 分 （2） 1 ( )2AME BNF CPG HQDS S S S AM ME BN NF CP PG DQ QH              1[ ]2 AM ME BN ME CP HQ DQ QH        1[( ) ( ) ]2 AM BN ME CP DQ QH      1 ( ) ( )2 AM BN ME QH    21 1( ) ( ) ( )2 2AB x EH x AB x      2 21 100 1 100( ) ( )2 2 2 2 x xxx x      ……………………..7 分  2 2( ) 4200 210(200 ) 80 ( )AME BNF CPG HQDS x x x S S S S           2 2 21 1004200 210(200 ) 80 ( )2 2 xx x x       2 2 4000004000 38000x x     2 2 2 2 400000 100( ) 4000 38000 4000( ) 38000S x x xx x       .…..11 分 （3） 2 2 100( ) 4000( ) 38000 38000 2 4000 100 118000S x x x      ≥ ……..13 分 当且仅当 2 2 100x x  ，即 10x 时， min( ) 118000S x  . ………..15 分 所以当 10x  米时， ( )S x 有最小值为118000元. …………………..16 分 30、解：（Ⅰ）由 ( ) 2 ( )ax f x bx f x   ， ax 1 ， 0a ，得 1 2)(  ax bxxf .……1 分 由 1)1( f ，得 12  ba .……………………………………………………………2 分 由 xxf 2)(  只有一解，即 xax bx 21 2  ，也就是 )0(0)1(22 2  axbax 只有一解， ∴ 0024)1(4 2  ab ∴ 1b .…………………………………………………………………………………3 分 ∴ 1a .故 1 2)(  x xxf .……………………………………………………………4 分 （Ⅱ）∵ 3 2 1 a ， )(1 nn afa  ，∴ 1 2 1  n n n a aa ………………………… 5 分 ∴ n n n a a a 2 11 1   ……………………………………………………………6 分 )11(2 111 1   nn aa ∴ }11{ 1  na 是以 11 1  a = 2 1 为首项， 2 1 为公比的等比数列 ∴有 12 2   n n na ………………………8 分 ∵ *)( 2 11 2 1211 Nnab nn n n n  ，∴ *)(2 11 Nnb b n n  ∴ nb 是首项为 2 1 ，公比为 2 1 的等比数列，其通项公式为 nnb 2 1 .……………10 分 （Ⅲ）∵ 12 1 12 211)11(     nn n n n nnn aaaba ， ∴ 12 1 12 1 12 1 212211  nnnbababa  …………………………12 分 * 1 2 1 1(1 )1 1 1 12 2 1 1( )12 2 2 21 2 n n n n N             .……………………………16 分 31、（1）由 3 2( )f x ax bx cx   （ a ≠0）为奇函数， ∴ ( ) ( )f x f x   ，代入得， 0b  1 分 ∴ 2'( ) 3f x ax c  ，且 ( )f x 在 1x  取得极大值 2. ∴ '(1) 0, 3 0, (1) 2, 2. f a c f a c         3 分 解得 1a   ， 3c  ，∴ 3( ) 3f x x x   4 分 （2）∵ 2( ) 3 ( 1)lng x x k x     ，∴ 21 2 ( 1)'( ) 2 ( 1) x kg x x k x x        5 分 因为函数定义域为（0，+∞），所以 ①当 1 0k   ， 1k   时， '( ) 2 0g x x   ，函数在（0，+∞）上单调递减； 6 分 ②当 1k   时， 1 0k   ，∵ 0x  ， ∴ 22 ( 1)'( ) 0.x kg x x     ∴函数在（0，+∞）上单调递减； 7 分 ③ 1k   时， 1 0k   ，令 '( ) 0g x  ，得 22 ( 1) 0x k x     ，∵ 0x  ， ∴ 22 ( 1) 0x k    ，得 1 1 2 2 k kx    ，结合 0x  ，得 10 2 kx   ； 令 '( ) 0g x  ，得 22 ( 1) 0x k x     ，同上得 22 ( 1)x k  ， 1 2 kx  ， ∴ 1k   时，单调递增区间为（ 0 ， 1 2 k  ）， 单调递增区间为（ 1 2 k  ，+∞） 9 分 综上，当 k ≤-1 时，函数的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间； 当 1k   时，函数的单调递增区间为（0， 1 2 k  ）， 单调递减区间为（ 1 2 k  ，+∞）（包含 1 2 k  不扣分） 10 分 （3）当 2k  时， 2( ) 3 3lng x x x    ， 令 2( ) ( ) ( ) 3ln 3h x g x x m x x x m         ， 11 分 3'( ) 2 1h x x x     ，令 '( )h x =0， 22 3 0x x x     ， 得 1x  ， 3 2x   （舍去）. 由函数 ( )y h x 定义域为（0，+∞）， 13 分 则当 0 1x  时， '( ) 0h x  ，当 1x  时 '( ) 0h x  ， ∴当 1x  时，函数 ( )h x 取得最大值 1- m 。 15 分 由 1- m 〈0 得 m>1 故 m 的取值范围是（1，+∞）。 16 分 32、解：（1）如图建系： xyzD  则 C（0，2，0）、D1（0，0，2）、M（2，0，1）、N（2，2，1） ∴ )1,2,2(),1,2,2( 1  NDCM ∴ 9 1,cos 1 1 1  NDCM NDCMNDCM ………… 7 分 但CM 与 ND1 所成的角应是  NDCM 1, 的补角，∴CM 与 ND1 所成的角的余弦值为 9 1 （2） )0,0,2(),1,2,0(  BCBM 则可得平面 MBC 的法向量 (n 0，1，2）， 0,cos 11  nNDnND 夹角的余弦值与 ,则 ND1 与平面 MBC 所成角的余弦值为 1 … … … … 14 分