2011中山市高二期末统考数学试卷及答案（理科）

x y O '( )y f x 3 4 -2 -4 广东省中山市 2010—2011 学年度第一学期期末统一考试 高二数学试卷（理科） 本试卷分第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分。共 150 分，考试时间 120 分钟。 第 I 卷（选择题 共 40 分） 注意事项： 1、答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上。 2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。 3、不可以使用计算器。 4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个备选项中，只 有一项是符合题目要求的.） 1．不等式 2 5x x 的解集是 A．[0,5] B．[5, ) C． ( ,0] D． ( ,0] [5, )  2．已知一个数列的前四项为 2 2 2 2 1 3 5 7, , ,2 4 8 16   ，则它的一个通项公式为 A． 2 2 1( 1) (2 ) n n n  B． 1 2 2 1( 1) (2 ) n n n   C． 2 2 1( 1) 2 n n n  D． 1 2 2 1( 1) 2 n n n  3．椭圆 2 216 25 400x y  的离心率为 A． 3 5 B． 4 5 C． 3 4 D． 16 25 4．函数 f(x)的导函数 '( )f x 的图象如右图所示， 则下列说法正确的是 A．函数 ( )f x 在 ( 2,3) 内单调递增 B．函数 ( )f x 在 ( 4,0) 内单调递减 C．函数 ( )f x 在 3x  处取极大值 D．函数 ( )f x 在 4x  处取极小值 5．等差数列{ }na 的前 n 项和 1 2 ...n nS a a a    ， 若 10 31S  ， 20 122S  ，则 40S = A．182 B．242 C．273 D．484 6．长为 3.5m 的木棒斜靠在石堤旁，木棒的一端在离堤足 1.4m 的地面上，另一端在沿堤 上 2.8m 的地方，堤对地面的倾斜角为 ， 则坡度值 tan 等于 A． 231 5 B． 5 16 C． 231 16 D．11 5 7．已知 0, 0a b  ，且 1a b  ，则 1 1 aba b   的最小值是 A．2 B． 2 2 C．17 4 D．8 8．已知 p：函数 2( ) 1f x x mx   有两个零点， q： x R  ， 24 4( 2) 1 0x m x    ．若 p q 为真， p q 为假，则实数 m 的取值范围为 A． ( , 2) [3, )   B． ( , 2) (1,2] [3, )    C． (1,2] [3, ) D． ( , 2) (1,2]   第 II 卷（非选择题共 110 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填在题中的横线上） 9．等差数列 8，5，2，…的第 30 项是 . 10．经过点 ( 1,3)A  ，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 . 11．当 x y、 满足不等式组 1 1 y x y x y        时，目标函数 2t x y  的最小值是 . 12．圆 2 2 2( ) ( )x a y b r    经过原点的一个充要条件是 . 13．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线 2 4y x 上，则这个正三角形 的边长为 . 14．物体沿直线运动过程中，位移 s 与时间 t 的关系式是 2( ) 3s t t t  . 我们计算在 t 时刻 的附近区间[ , ]t t t  内的平均速度 ( ) ( )s t t s tv t     ，当 t 趋近于0时， 平均速度 v 趋近于确定的值，即瞬时速度，由此可得到 t 时刻的瞬时速度为 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15．（13 分）等比数列{ }na 的公比为 q，第 8 项是第 2 项与第 5 项的等差中项. （1）求公比 q； （2）若{ }na 的前 n 项和为 nS ，判断 3 9 6, ,S S S 是否成等差数列，并说明理由. 16．（13 分）已知某精密仪器生产总成本 C（单位：万元）与月产量 x（单位：台）的函数 关系为 100 4C x  ，月最高产量为 150 台，出厂单价 p（单位：万元）与月产量 x 的函数 关系为 21 125 80 1800p x x   . （1）求月利润 L 与产量 x 的函数关系式 ( )L x ； （2）求月产量 x 为何值时，月利润 ( )L x 最大？最大月利润是多少？ 17．（13 分）第四届中国国际航空航天博览会 于 2010 年 11月在珠海举行，一次飞行表演中， 一架直升飞机在海拔 800m 的高度飞行，从空 中 A 处测出前下方海岛两侧海岸 P、Q 处的俯 角分别是 45°和 30°（如右图所示）. （1）试计算这个海岛的宽度 PQ . （2）若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸 P、Q 处同时测得飞机的仰角为 45 和30 ， 他们估计 P、Q 两处距离大约为 600m，由此试估算出观测者甲（在 P 处）到飞机的直线 距离. 18 ．（ 14 分 ） 如 图 ， 四 棱 锥 P ABCD 的 底 面 ABCD 为 一 直 角 梯 形 ， 其 中 ,BA AD CD AD  ， 2 ,CD AD AB PA   底面 ABCD ， E 是 PC 的中点． （1）试用 , ,AD AP AB    表示 BE  ，并判断直线 BE 与平面 PAD 的位置关系； （2）若 BE  平面 PCD ，求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值． 19．（14 分）已知函数 3 2 21( ) ( 2 )3f x x ax a a x    ， a R . （1）当 2a   时，求 ( )f x 在闭区间 1,1 上的最大值与最小值； （2）若线段 AB ：  2 3 0 2y x x    与导函数 ( )y f x 的图像只有一个交点，且交 点在线段 AB 的内部，试求 a 的取值范围． 20．（13 分）过直角坐标平面 xOy 中的抛物线  2 2 0y px p  的焦点 F 作一条倾斜角为 4  的直线与抛物线相交于 A、B 两点. （1）求直线 AB 的方程； （2）试用 p 表示 A、B 之间的距离； （3）证明： AOB 的大小是与 p 无关的定值. 参考公式：     2 2 2 2 22 4A A B B A B A B A Bx y x y x x x x p x x p        中山市高二级 2010—2011 学年度第一学期期末统一考试 数学试卷（理科）答案 一、选择题：DDAB DACB 二、填空题：9. －79； 10. 2 2 18 8 y x  ； 11. －3； 12. 2 2 2a b r  ； 13. 8 3 ； 14. 6 1 3t t   ， 6 1t  . 三、解答题： 15. 解：（1）由题可知， 8 2 52a a a  ， ……（1 分） 即 7 4 1 1 12a q a q a q  ， ……（3 分） 由于 1 0a q  ，化简得 6 32 1q q  ，即 6 32 1 0q q   ， ……（4 分） 解得 3 1q  或 3 1 2q   . 所以 1q  或 3 4 2q   . ……（6 分） （2）当 1q  时， 3 1 9 1 6 13 , 9 , 6S a S a S a   . 易知 3 9 6, ,S S S 不能构成等差数列. ……（8 分） 当 3 4 2q   即 3 1 2q   时， 3 1 1 1 3 (1 ) 1 3(1 )1 1 2 2 1 a q a aS q q q       ， 9 31 1 1 9 (1 ) 1 9[1 ( ) ]1 1 2 8 1 a q a aS q q q        ， 6 21 1 1 6 (1 ) 1 3[1 ( ) ]1 1 2 4 1 a q a aS q q q        .（11 分） 易知 3 6 92S S S  ，所以 3 9 6, ,S S S 能构成等差数列. ……（13 分） 16.解：（1） 2 3 21 1 1 1( ) (25 ) (100 4 ) 21 10080 1800 1800 80L x px C x x x x x x x            ， 其中 0 150x  . ……（4 分） （2） 2 21 1 1 1'( ) 21 ( 15 12600) ( 120)( 105)600 40 600 600L x x x x x x x            .…（6 分） 令 '( ) 0L x  ，解得 120x  （ 105x   舍）. ……（7 分） 当 (0,120)x 时， '( ) 0L x  ；当 (120,150]x 时， '( ) 0L x  . ……（9 分） 因此，当 120x  时， ( )L x 取最大值. …（10 分） 所以，月产量为 120 台时，月利润 ( )L x 最大，最大月利润为 (120) 1640L  万元.…（13 分） x z y 17. 解：（1）在 Rt ACP 中， tanPC CAPAC   ， 则 800 tan 45 800PC     . ……（3 分） 在 Rt ACQ 中， tanQC CAQAC   ， 则 800 tan60 800 3QC     . ……（5 分） 所以， 800 3 800PQ QC PC    （m）. ……（6 分） （2）在 APQ 中， 600PQ  ， 30AQP   ， 45 30 15PAQ       . ……（7 分） 根据正弦定理，得 600 sin30 sin15 PA   ， ……（9 分） 则 600 sin30 600 sin30 300 300( 6 2)sin(45 30 ) sin 45 cos30 cos45 sin30 6 2 4 PA                 .…（13 分） 18. 解：设 ,AB a PA b  ，建立如图所示空间直角坐标系， (0,0,0), ( ,0,0)A B a ， (0,0, )P b , (2 ,2 ,0), (0,2 ,0)C a a D a ， ( , , )2 bE a a . ……（2 分） （1） (0, , )2 bBE a ， (0,2 ,0), (0,0, )AD a AP b   ， 所以 1 1 2 2BE AD AP    ， ……（5 分） BE  平面 PAD ， / /BE 平面 PAD . ……（7 分） （2） BE  平面 PCD ， BE PC  ，即 0BE PC   . (2 ,2 , )PC a a b  ， 2 22 02 bBE PC a      ，即 2b a . ……（10 分） (0,2 , 2 ), ( ,2 ,0)PD a a BC a a    ， ……（11 分） 24 10cos , 52 2 5 aPD BC a a       ， 所以异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值为 10 5 . ……（14 分） 19. 解：（1）当 2a   时， 3 21( ) 23f x x x  . ……（1 分） 求导得 2( ) 4 ( 4)f x x x x x     . ……（2 分） 令 ( ) 0f x  ，解得： 4x   或 0x  ． ……（3 分） 列表如下： ……（6 分） x －1 （-1，0） 0 （0，1） 1 ( )f x － 0 + ( )f x 5 3 ↘ 0 ↗ 7 3 所以， ( )f x 在闭区间 1,1 上的最大值是 7 3 ，最小值是 0． ……（7 分） （2） 2 2( ) 2 2y f x x ax a a     . ……（8 分） 联立方程组 2 22 2 , 2 3. y x ax a a y x         ……（9 分） 得  2 22 1 2 3 0.x a x a a      ……（10 分） 设 2 2( ) 2( 1) 2 3g x x a x a a      ，则方程 ( ) 0g x  在区间  0,2 内只有一根, 相当于 (0) (2) 0g g  ，即    2 22 3 2 3 0,a a a a      ……（12 分） 解得 3 1a    或1 3a  . ……（14 分） 20.解：（1）焦点 ( ,0)2 pF ，过抛物线焦点且倾斜角为 4  的直线方程是 2 py x  . …（3 分） （2）由 2 2 2 y px py x     2 2 3 04 px px    2 3 , 4A B A B px x p x x    4A BAB x x p p     . ……（8 分） （3）        2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 A A B B A B A B A A B B AO BO AB x y x y x x y yAOB AO BO x y x y                     2 22 2 2 2 2 3 412 4 412 4 A B A B A B A B A B A B A BA A B B p px x x xx x y y x x x x p x x px y x y              . ……（12 分） ∴ AOB 的大小是与 p 无关的定值. ……（13 分） 1 题：教材《必修⑤》 P76 预备题 改编，考查一元二次不等式求解. 2 题：教材《必修⑤》 P67 2（2）改编，考查写数列通项公式. 3 题：教材《选修 1-1》 P40 例 4 改编，考查椭圆几何性质. 4 题：教材《选修 1-1》 P98 第 4 题改编，考查利用导数研究函数性质. 5 题：教材《必修⑤》 P44 例 2 改编，考查等差数列性质及前 n 项和 6 题：教材《必修⑤》 P16 习题改编，考查利用余弦定理解三角形 9 题：教材《必修⑤》 P38 例 1（1）改编，考查等差数列通项公式 10 题：教材《选修 1-1》 P54 A 组第 6 题改编，考查双曲线方程与性质 11 题：教材《必修⑤》 P91 第 1(1)题改编，考查线性规划问题 12 题：教材《选修 1-1》 P12 第 4 题改编，考查充要条件. 13 题：教材《选修 1-1》 P64 B 组第 2 题改编，考查抛物线方程及性质 14 题：教材《选修 1-1》 P74 导数概念的预备题 改编，考查导数概念 15 题：教材《必修⑤》 P61 第 6 题 改编，考查等差数列、等比数列的通项与前 n 项和. 16 题：教材《选修 1-1》 P104 第 6 题 改编，考查导数的应用. 17 题：教材《必修⑤》 P19 第 4 题 改编，考查解三角形.