2011中山市期末统考高二数学试卷及答案(文科)
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2011中山市期末统考高二数学试卷及答案(文科)

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资料简介
x y O '( )y f x 3 4 -2 -4 广东省中山市 2010—2011 学年度第一学期期末统一考试 高二数学试卷(文科) 本试卷分第 I 卷(选择题)、第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题 共 50 分) 注意事项: 1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上。 2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上。 3、不可以使用计算器。 4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.不等式 2 5 0x x  的解集是 A.[0,5] B.[5, ) C. ( ,0] D. ( ,0] [5, )  2.已知一个数列的前四项为 2 2 2 2 1 3 5 7, , ,2 4 8 16   ,则它的一个通项公式为 A. 2 2 1( 1) (2 ) n n n  B. 1 2 2 1( 1) (2 ) n n n   C. 2 2 1( 1) 2 n n n  D. 1 2 2 1( 1) 2 n n n  3.椭圆 2 2 125 16 x y  的离心率为 A. 3 5 B. 4 5 C. 3 4 D. 16 25 4. 圆 2 2 2( ) ( )x a y b r    经过原点的一个充要条件是 A. 0ab  B. 0a  且 0b  C. 2 2 2a b r  D. 0r  5.函数 f(x)的导函数 '( )f x 的图象如 右图所示,则下列说法正确的是 A.函数 ( )f x 在 ( 2,3) 内单调递增 B.函数 ( )f x 在 ( 4,0) 内单调递减 C.函数 ( )f x 在 3x  处取极大值 D.函数 ( )f x 在 4x  处取极小值 6.长为 3.5m 的木棒斜靠在石堤旁,木棒的 一端在离堤脚 1.4m 的地面上,另一端在 沿堤上 2.8m 的地方,堤对地面的倾斜角 为 ,则坡度值 tan 等于 A. 231 5 B. 5 16 C. 231 16 D.11 5 7.等差数列{ }na 的前 n 项和 1 2 ...n nS a a a    ,若 10 31S  , 20 122S  ,则 30S = A.153 B.182 C.242 D.273 8.正三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线 2 4y x 上,则这个正三角形的 边长为 A. 4 3 B.8 3 C.8 D.16 9.已知 0, 0a b  ,且 1a b  ,则 1 1 a b  的最小值是 A.2 B. 2 2 C.4 D. 8 10.已知 p:函数 2( ) 1f x x mx   有两个零点, q: x R  , 24 4( 2) 1 0x m x    .若 若 p q 为真,则实数 m 的取值范围为 A. (2,3) B. ( ,1] (2, )  C. ( , 2) [3, )   D. ( , 2) (1,2]   第 II 卷(非选择题共 100 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上) 11.等差数列 8,5,2,…的第 20 项是 . 12.经过点 (3, 1)A  ,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 . 13.当 x y、 满足不等式组 1 1 y x y x y        时,目标函数 2t x y  的最小值是 . 14.物体沿直线运动过程中,位移 s 与时间 t 的关系式是 2( ) 3s t t t  . 我们计算在 2t  的 附近区间[2,2 ]t  内的平均速度 (2 ) (2)s t sv t     ,当 t 趋近于 0 时, 平均速度 v 趋近于确定的值,即瞬时速度,由此可得到 2t  时的瞬时速度大小 为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 15.(13 分)已知函数 21( ) ( 2)3f x x x  . (1)求 ( )f x 的导数 '( )f x ; (2)求 ( )f x 在闭区间 1,1 上的最大值与最小值. 16.(13 分)已知双曲线 C 的方程为 2 215 15x y  . (1)求其渐近线方程; (2)求与双曲线 C 焦点相同,且过点 (0,3) 的椭圆的标准方程. 17.(13 分)已知某精密仪器生产总成本 C(单位:万元)与月产量 x(单位:台)的函数 关系为 100 4C x  ,月最高产量为 150 台,出厂单价 p(单位:万元)与月产量 x 的函数 关系为 21 125 80 1800p x x   . (1)求月利润 L 与产量 x 的函数关系式 ( )L x ; (2)求月产量 x 为何值时,月利润 ( )L x 最大? 18.(13 分)等比数列{ }na 的公比为 q,第 8 项是第 2 项与第 5 项的等差中项. (1)求公比 q; (2)若{ }na 的前 n 项和为 nS ,判断 3 9 6, ,S S S 是否成等差数列,并说明理由. 19. (14 分)第四届中国国际航空航天博览会 于 2010 年 11 月在珠海举行,一次飞行表演中, 一架直升飞机在海拔 800m 的高度飞行,从空 中 A 处测出前下方海岛两侧海岸 P、Q 处的俯 角分别是 45°和 30°(如右图所示). (1)试计算这个海岛的宽度 PQ . (2)若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸 P、Q 处同时测得飞机的仰角为 °和 °,他们估计 P、Q 两处距离大约为 600m,由此试估算出观测者甲(在 P 处)到飞机 的直线距离. 20.(14 分)过直角坐标平面 xOy 中的抛物线  2 2 0y px p  的焦点 F 作一条倾斜角为 4  的直线与抛物线相交于 A、B 两点. (1)求直线 AB 的方程; (2)试用 p 表示 A、B 之间的距离; (3)当 2p  时,求 AOB 的余弦值. 参考公式:    2 2 2 2 22 4A A B B A B A B A Bx y x y x x x x p x x p        . 中山市高二级 2010—2011 学年度第一学期期末统一考试 数学试卷(文科)答案 一、选择题:DDACB ADBCC 二、填空题:11. -49; 12. 2 2 18 8 x y  ; 13. -3; 14. 13 3 , 13t  . 三、解答题: 15. 解:(1) 2 3 21 1( ) ( 2) 23 3f x x x x x    . ……(1 分) 求导得 2( ) 4f x x x   . ……(4 分) (2)令 2( ) 4 ( 4) 0f x x x x x      ,解得: 4x   或 0x  . ……(6 分) 列表如下: x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 ( )f x - 0 + ( )f x 5 3 ↘ 0 ↗ 7 3 ……(10 分) 所以, ( )f x 在闭区间 1,1 上的最大值是 7 3 ,最小值是 0. ……(13 分) 16. 解:(1)双曲线方程化为 2 2 115 x y  , ……(1 分) 由此得 15, 1,a b  ……(3 分) 所以渐近线方程为 1 15 y x  ,即 15 15y x  . ……(5 分) (2)双曲线中, 2 2 15 1 4c a b     ,焦点为 ( 4,0), (4,0) . ……(7 分) 椭圆中, 2 2 2 22 ( 4 0) (0 3) (4 0) (0 3) 10a           , ……(9 分) 则 5a  , 2 2 2 2 25 4 9b a c     . ……(11 分) 所以,所求椭圆的标准方程为 2 2 125 9 x y  . ……(13 分) 17.解:(1) 2 3 21 1 1 1( ) (25 ) (100 4 ) 21 10080 1800 1800 80L x px C x x x x x x x            , 其中 0 150x  . ……(5 分) (2) 2 21 1 1 1'( ) 21 ( 15 12600) ( 120)( 105)600 40 600 600L x x x x x x x            .…(8 分) 令 '( ) 0L x  ,解得 120x  ( 105x   舍). ……(9 分) 当 (0,120)x 时, '( ) 0L x  ;当 (120,150]x 时, '( ) 0L x  . ……(11 分) 因此,当 120x  时, ( )L x 取最大值. 所以,月产量为 120 台时,月利润 ( )L x 最大. ……(13 分) 18. 解:(1)由题可知, 8 2 52a a a  , ……(1 分) 即 7 4 1 1 12a q a q a q  , ……(3 分) 由于 1 0a q  ,化简得 6 32 1q q  ,即 6 32 1 0q q   , ……(4 分) 解得 3 1q  或 3 1 2q   . 所以 1q  或 3 4 2q   . ……(6 分) (2)当 1q  时, 3 1 9 1 6 13 , 9 , 6S a S a S a   . 易知 3 9 6, ,S S S 不能构成等差数列. ……(8 分) 当 3 4 2q   即 3 1 2q   时, 3 1 1 1 3 (1 ) 1 3(1 )1 1 2 2 1 a q a aS q q q       , 9 31 1 1 9 (1 ) 1 9[1 ( ) ]1 1 2 8 1 a q a aS q q q        , 6 21 1 1 6 (1 ) 1 3[1 ( ) ]1 1 2 4 1 a q a aS q q q        . ……(11 分) 易知 3 6 92S S S  ,所以 3 9 6, ,S S S 能构成等差数列. ……(13 分) 19. 解:(1)在 Rt ACP 中, tanPC CAPAC   , 则 800 tan 45 800PC     . ……(3 分) 在 Rt ACQ 中, tanQC CAQAC   ,则 800 tan60 800 3QC     . ……(5 分) 所以, 800 3 800PQ QC PC    (m). ……(7 分) (2)在 APQ 中, 600PQ  , 30AQP   , 45 30 15PAQ       . ……(8 分) 根据正弦定理,得 600 sin30 sin15 PA   , ……(10 分) 则 600 sin30 600 sin30 300 300( 6 2)sin(45 30 ) sin 45 cos30 cos45 sin30 6 2 4 PA                 . ……(14 分) 20. 解:(1)焦点 ( ,0)2 pF ,过抛物线焦点且倾斜角为 4  的直线方程是 2 py x  . …(3 分) (2)由 2 2 2 y px py x     2 2 3 04 px px    2 3 , 4A B A B px x p x x    4A BAB x x p p     . ……(8 分) (3)由 2 4 1 y x y x      2 6 1 0x x    6, 1A B A Bx x x x    .        2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 A A B B A B A B A A B B AO BO AB x y x y x x y yAOB AO BO x y x y                     2 22 2 2 2 2 3 412 4 412 4 A B A B A B A B A B A B A BA A B B p px x x xx x y y x x x x p x x px y x y              . ……(13 分) ∴ AOB 的大小是与 p 无关的定值. ……(14 分) 1 题:教材《必修⑤》 P76 预备题 改编,考查一元二次不等式求解. 2 题:教材《必修⑤》 P67 2(2)改编,考查写数列通项公式. 3 题:教材《选修 1-1》 P40 例 4 改编,考查椭圆几何性质. 4 题:教材《选修 1-1》 P12 第 4 题改编,考查充要条件. 5 题:教材《选修 1-1》 P98 第 4 题改编,考查利用导数研究函数性质. 6 题:教材《必修⑤》 P16 习题改编,考查利用余弦定理解三角形 7 题:教材《必修⑤》 P44 例 2 改编,考查等差数列性质及前 n 项和 8 题:教材《选修 1-1》 P64 B 组第 2 题改编,考查抛物线方程及性质 11 题:教材《必修⑤》 P38 例 1(1)改编,考查等差数列通项公式 12 题:教材《选修 1-1》 P54 A 组第 6 题改编,考查双曲线方程与性质 13 题:教材《必修⑤》 P91 第 1(1)题改编,考查线性规划问题 14 题:教材《选修 1-1》 P74 导数概念的预备题 改编,考查导数概念 16 题:教材《选修 1-1》 P48 第 2 题 改编,考查双曲线、椭圆的标准方程与几何性质. 17 题:教材《选修 1-1》 P104 第 6 题 改编,考查导数的应用. 18 题:教材《必修⑤》 P61 第 6 题 改编,考查等差数列、等比数列的通项与前 n 项和. 19 题:教材《必修⑤》 P19 第 4 题 改编,考查解三角形.

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