x
y
O
'( )y f x
3 4
-2
-4
广东省中山市 2010—2011 学年度第一学期期末统一考试
高二数学试卷(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)、第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。
第 I 卷(选择题 共 50 分)
注意事项:
1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在
答题卡上。
2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用
橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交。
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个备选项中,
只有一项是符合题目要求的.)
1.不等式 2 5 0x x 的解集是
A.[0,5] B.[5, ) C. ( ,0] D. ( ,0] [5, )
2.已知一个数列的前四项为 2 2 2 2
1 3 5 7, , ,2 4 8 16
,则它的一个通项公式为
A. 2
2 1( 1) (2 )
n n
n
B. 1
2
2 1( 1) (2 )
n n
n
C. 2
2 1( 1) 2
n
n
n D. 1
2
2 1( 1) 2
n
n
n
3.椭圆
2 2
125 16
x y 的离心率为
A. 3
5 B. 4
5 C. 3
4 D. 16
25
4. 圆 2 2 2( ) ( )x a y b r 经过原点的一个充要条件是
A. 0ab B. 0a 且 0b
C. 2 2 2a b r D. 0r
5.函数 f(x)的导函数 '( )f x 的图象如
右图所示,则下列说法正确的是
A.函数 ( )f x 在 ( 2,3) 内单调递增
B.函数 ( )f x 在 ( 4,0) 内单调递减
C.函数 ( )f x 在 3x 处取极大值
D.函数 ( )f x 在 4x 处取极小值
6.长为 3.5m 的木棒斜靠在石堤旁,木棒的
一端在离堤脚 1.4m 的地面上,另一端在
沿堤上 2.8m 的地方,堤对地面的倾斜角
为 ,则坡度值 tan 等于
A. 231
5
B. 5
16
C. 231
16 D.11
5
7.等差数列{ }na 的前 n 项和 1 2 ...n nS a a a ,若 10 31S , 20 122S ,则 30S =
A.153 B.182 C.242 D.273
8.正三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线 2 4y x 上,则这个正三角形的
边长为
A. 4 3 B.8 3 C.8 D.16
9.已知 0, 0a b ,且 1a b ,则 1 1
a b
的最小值是
A.2 B. 2 2 C.4 D. 8
10.已知 p:函数 2( ) 1f x x mx 有两个零点, q: x R , 24 4( 2) 1 0x m x .若
若 p q 为真,则实数 m 的取值范围为
A. (2,3) B. ( ,1] (2, ) C. ( , 2) [3, ) D. ( , 2) (1,2]
第 II 卷(非选择题共 100 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上)
11.等差数列 8,5,2,…的第 20 项是 .
12.经过点 (3, 1)A ,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 .
13.当 x y、 满足不等式组 1
1
y x
y
x y
时,目标函数 2t x y 的最小值是 .
14.物体沿直线运动过程中,位移 s 与时间 t 的关系式是 2( ) 3s t t t . 我们计算在 2t 的
附近区间[2,2 ]t 内的平均速度 (2 ) (2)s t sv t
,当 t 趋近于 0 时,
平均速度 v 趋近于确定的值,即瞬时速度,由此可得到 2t 时的瞬时速度大小
为 .
三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)
15.(13 分)已知函数 21( ) ( 2)3f x x x .
(1)求 ( )f x 的导数 '( )f x ;
(2)求 ( )f x 在闭区间 1,1 上的最大值与最小值.
16.(13 分)已知双曲线 C 的方程为 2 215 15x y .
(1)求其渐近线方程;
(2)求与双曲线 C 焦点相同,且过点 (0,3) 的椭圆的标准方程.
17.(13 分)已知某精密仪器生产总成本 C(单位:万元)与月产量 x(单位:台)的函数
关系为 100 4C x ,月最高产量为 150 台,出厂单价 p(单位:万元)与月产量 x 的函数
关系为 21 125 80 1800p x x .
(1)求月利润 L 与产量 x 的函数关系式 ( )L x ;
(2)求月产量 x 为何值时,月利润 ( )L x 最大?
18.(13 分)等比数列{ }na 的公比为 q,第 8 项是第 2 项与第 5 项的等差中项.
(1)求公比 q;
(2)若{ }na 的前 n 项和为 nS ,判断 3 9 6, ,S S S 是否成等差数列,并说明理由.
19. (14 分)第四届中国国际航空航天博览会
于 2010 年 11 月在珠海举行,一次飞行表演中,
一架直升飞机在海拔 800m 的高度飞行,从空
中 A 处测出前下方海岛两侧海岸 P、Q 处的俯
角分别是 45°和 30°(如右图所示).
(1)试计算这个海岛的宽度 PQ .
(2)若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸 P、Q 处同时测得飞机的仰角为 °和
°,他们估计 P、Q 两处距离大约为 600m,由此试估算出观测者甲(在 P 处)到飞机
的直线距离.
20.(14 分)过直角坐标平面 xOy 中的抛物线 2 2 0y px p 的焦点 F 作一条倾斜角为
4
的直线与抛物线相交于 A、B 两点.
(1)求直线 AB 的方程;
(2)试用 p 表示 A、B 之间的距离;
(3)当 2p 时,求 AOB 的余弦值.
参考公式: 2 2 2 2 22 4A A B B A B A B A Bx y x y x x x x p x x p .
中山市高二级 2010—2011 学年度第一学期期末统一考试
数学试卷(文科)答案
一、选择题:DDACB ADBCC
二、填空题:11. -49; 12.
2 2
18 8
x y ; 13. -3; 14. 13 3 , 13t .
三、解答题:
15. 解:(1) 2 3 21 1( ) ( 2) 23 3f x x x x x . ……(1 分)
求导得 2( ) 4f x x x . ……(4 分)
(2)令 2( ) 4 ( 4) 0f x x x x x ,解得: 4x 或 0x . ……(6 分)
列表如下:
x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1
( )f x - 0 +
( )f x 5
3
↘ 0 ↗ 7
3
……(10 分)
所以, ( )f x 在闭区间 1,1 上的最大值是 7
3
,最小值是 0. ……(13 分)
16. 解:(1)双曲线方程化为
2
2 115
x y , ……(1 分)
由此得 15, 1,a b ……(3 分)
所以渐近线方程为 1
15
y x ,即 15
15y x . ……(5 分)
(2)双曲线中, 2 2 15 1 4c a b ,焦点为 ( 4,0), (4,0) . ……(7 分)
椭圆中, 2 2 2 22 ( 4 0) (0 3) (4 0) (0 3) 10a , ……(9 分)
则 5a , 2 2 2 2 25 4 9b a c . ……(11 分)
所以,所求椭圆的标准方程为
2 2
125 9
x y . ……(13 分)
17.解:(1) 2 3 21 1 1 1( ) (25 ) (100 4 ) 21 10080 1800 1800 80L x px C x x x x x x x ,
其中 0 150x . ……(5 分)
(2) 2 21 1 1 1'( ) 21 ( 15 12600) ( 120)( 105)600 40 600 600L x x x x x x x .…(8
分)
令 '( ) 0L x ,解得 120x ( 105x 舍). ……(9 分)
当 (0,120)x 时, '( ) 0L x ;当 (120,150]x 时, '( ) 0L x . ……(11 分)
因此,当 120x 时, ( )L x 取最大值.
所以,月产量为 120 台时,月利润 ( )L x 最大. ……(13 分)
18. 解:(1)由题可知, 8 2 52a a a , ……(1 分)
即 7 4
1 1 12a q a q a q , ……(3 分)
由于 1 0a q ,化简得 6 32 1q q ,即 6 32 1 0q q , ……(4 分)
解得 3 1q 或 3 1
2q . 所以 1q 或
3 4
2q . ……(6 分)
(2)当 1q 时, 3 1 9 1 6 13 , 9 , 6S a S a S a .
易知 3 9 6, ,S S S 不能构成等差数列. ……(8 分)
当
3 4
2q 即 3 1
2q 时,
3
1 1 1
3
(1 ) 1 3(1 )1 1 2 2 1
a q a aS q q q
,
9
31 1 1
9
(1 ) 1 9[1 ( ) ]1 1 2 8 1
a q a aS q q q
,
6
21 1 1
6
(1 ) 1 3[1 ( ) ]1 1 2 4 1
a q a aS q q q
. ……(11 分)
易知 3 6 92S S S ,所以 3 9 6, ,S S S 能构成等差数列. ……(13 分)
19. 解:(1)在 Rt ACP 中, tanPC CAPAC
,
则 800 tan 45 800PC . ……(3 分)
在 Rt ACQ 中, tanQC CAQAC
,则 800 tan60 800 3QC . ……(5 分)
所以, 800 3 800PQ QC PC (m). ……(7 分)
(2)在 APQ 中, 600PQ , 30AQP , 45 30 15PAQ . ……(8 分)
根据正弦定理,得 600
sin30 sin15
PA
, ……(10 分)
则 600 sin30 600 sin30 300 300( 6 2)sin(45 30 ) sin 45 cos30 cos45 sin30 6 2
4
PA
.
……(14 分)
20. 解:(1)焦点 ( ,0)2
pF ,过抛物线焦点且倾斜角为
4
的直线方程是
2
py x . …(3 分)
(2)由
2 2
2
y px
py x
2
2 3 04
px px
2
3 , 4A B A B
px x p x x 4A BAB x x p p .
……(8 分)
(3)由
2 4
1
y x
y x
2 6 1 0x x 6, 1A B A Bx x x x .
2 2 2 2 22 2 2 2
2 2 2 2
cos 2 2
A A B B A B A B
A A B B
AO BO AB x y x y x x y yAOB AO BO x y x y
2
22 2 2 2
2 3 412 4
412 4
A B A B
A B A B
A B A B A BA A B B
p px x x xx x y y
x x x x p x x px y x y
. ……(13 分)
∴ AOB 的大小是与 p 无关的定值. ……(14 分)
1 题:教材《必修⑤》 P76 预备题 改编,考查一元二次不等式求解.
2 题:教材《必修⑤》 P67 2(2)改编,考查写数列通项公式.
3 题:教材《选修 1-1》 P40 例 4 改编,考查椭圆几何性质.
4 题:教材《选修 1-1》 P12 第 4 题改编,考查充要条件.
5 题:教材《选修 1-1》 P98 第 4 题改编,考查利用导数研究函数性质.
6 题:教材《必修⑤》 P16 习题改编,考查利用余弦定理解三角形
7 题:教材《必修⑤》 P44 例 2 改编,考查等差数列性质及前 n 项和
8 题:教材《选修 1-1》 P64 B 组第 2 题改编,考查抛物线方程及性质
11 题:教材《必修⑤》 P38 例 1(1)改编,考查等差数列通项公式
12 题:教材《选修 1-1》 P54 A 组第 6 题改编,考查双曲线方程与性质
13 题:教材《必修⑤》 P91 第 1(1)题改编,考查线性规划问题
14 题:教材《选修 1-1》 P74 导数概念的预备题 改编,考查导数概念
16 题:教材《选修 1-1》 P48 第 2 题 改编,考查双曲线、椭圆的标准方程与几何性质.
17 题:教材《选修 1-1》 P104 第 6 题 改编,考查导数的应用.
18 题:教材《必修⑤》 P61 第 6 题 改编,考查等差数列、等比数列的通项与前 n 项和.
19 题:教材《必修⑤》 P19 第 4 题 改编,考查解三角形.