高二数学选修2-1空间向量试卷及答案

A A1 D C B B1 C1 图 高二数学（选修 2-1）空间向量试题 宝鸡铁一中 司婷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的 代号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 60 分）． 1．在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，若 AB＝ 2 BB1，则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为（ ） A．60° B．90° C．105° D．75° 2．如图，ABCD—A1B1C1D1 是正方体，B1E1＝D1F1＝ 4 11BA ，则 BE1 与 DF1 所成角的余弦值是（ ） A． 17 15 B． 2 1 C． 17 8 D． 2 3 3．如图，A1B1C1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=90°，点 D1、F1 分别是 A1B1、 A1C1 的中点，若 BC=CA=CC1，则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是（ ） A． 10 30 B． 2 1 C． 15 30 D． 10 15 4．正四棱锥 S ABCD 的高 2SO  ，底边长 2AB  ，则异面直线 BD 和 SC 之间的距离 （ ） A． 5 15 B． 5 5 C ． 5 52 5．已知 1 1 1ABC A B C 是各条棱长均等于 a 的正三棱柱，D 是侧 棱 1CC 的中点．点 1C 到平面 1AB D 的距离（ ） A． a4 2 B． a8 2 图 图 C． a4 23 D． a2 2 6．在棱长为1的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，则平面 1AB C 与平面 1 1AC D 间的距离（ ） A． 6 3 B． 3 3 C ． 3 32 D． 2 3 7．在三棱锥 P－ABC 中，AB⊥BC，AB＝BC＝ 2 1 PA，点 O、D 分别是 AC、PC 的中点，OP⊥底 面 ABC，则直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值（ ） A． 6 21 B． 3 38 C 60 210 D． 30 210 8．在直三棱柱 111 CBAABC  中，底面是等腰直角三角形， 90ACB ，侧棱 21 AA ， D，E 分别是 1CC 与 BA1 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是 ABD 的重心 G．则 BA1 与平面 ABD 所成角的余弦值（ ） A． 3 2 B． 3 7 C． 2 3 D． 7 3 9．正三棱柱 111 CBAABC  的底面边长为 3，侧棱 32 3 1 AA ，D 是 CB 延长线上一点， 且 BCBD  ，则二面角 BADB 1 的大小（ ） A． 3  B． 6  C ． 6 5 D． 3 2 10．正四棱柱 1111 DCBAABCD  中，底面边长为 22 ，侧棱长为 4，E，F 分别为棱 AB， CD 的中点， GBDEF  ．则三棱锥 11 EFDB  的体积 V（ ） A． 6 6 B． 3 316 C ． 3 16 D．16 11．有以下命题： ①如果向量 ba, 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 ba, 的关系是不共线； ② , , ,O A B C 为空间四点，且向量 OCOBOA ,, 不构成空间的一个基底，则点 , , ,O A B C 一定共面； ③已知向量 cba ,, 是空间的一个基底，则向量 cbaba ,,  也是空间的一个基底。其中 正确的命题是：（ ） （A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③ 12. 如图：在平行六面体 1111 DCBAABCD  中，M 为 11CA 与 11DB 的交点。若 aAB  ， bAD  ， cAA 1 则下列向量中与 BM 相等的向量是（ ） （A） cba  2 1 2 1 (B) cba  2 1 2 1 （C） cba  2 1 2 1 （D） cba  2 1 2 1 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 30 分）． 13．已知向量 ( 0 , 1,1)a   ， ( 4 , 1 , 0 )b  ，| | 29a b    且 0  ，则  = ____________. 14．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 为 1 1A B 的中点，则异面直线 1D E 和 1BC 间的距 离 ． 15． 在棱长为1的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 、 F 分别是 1 1A B 、CD 的中点，求点 B 到 截面 1AEC F 的距离 ． 16．已知棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别是 B1C1 和 C1D1 的中点，点 A1 到平 面 DBEF 的距离 ． 17．已知棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是 A1B1 的中点，求直线 AE 与平面 ABC1D1 所成角的正弦值 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共 60 分）． 18．（15 分）已知棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1，求平面 A1BC1 与平面 ABCD 所成的二面 角的大小 19．（15 分）已知棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F、M 分别是 A1C1、A1D 和 B1A 上 任一点，求证：平面 A1EF∥平面 B1MC． 20．（15 分）在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a， AD=2a，且 PA⊥底面 ABCD，PD 与底面成 30°角． M C1 C B1 D1 A1 A B D （1）若 AE⊥PD，E 为垂足，求证：BE⊥PD； （2）求异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值． 21．（15 分）已知棱长为 1 的正方体 AC1，E、F 分别是 B1C1、C1D 的中点． （1）求证：E、F、D、B 共面； （2）求点 A1 到平面的 BDEF 的距离； （3）求直线 A1D 与平面 BDEF 所成的角． 参考答案 一、1．C；2．A；3．B；4．A；5．A；6．C；7．A；8．B； 9．D；10．B； 11．A； 12．C； 二、13．3 14． 2 6 3 15． 3 6 16．1； 17． 5 10 三、 18． 解：如图建立空间直角坐标系， 11CA ＝（－1，1，0）， BA1 ＝（0，1，－1） 设 1n 、 2n 分别是平面 A1BC1 与平面 ABCD 的法向量， 由 011  BAn 可解得 1n ＝（1，1，1） 0111  CAn 易知 2n ＝（0，0，1）， 所以， 21 21 21,cos nn nnnn   ＝ 3 3 所以平面 A1BC1 与平面 ABCD 所成的二面角大小为 arccos 3 3 或  －arccos 3 3 ． z y x D1 A1 D B1 C1 C B A 19．证明：如图建立空间直角坐标系， 则 11CA ＝（－1，1，0）， CB1 ＝（－1，0，－1） DA1 ＝（1，0，1）， AB1 ＝（0，－1，－1） 设 111 CAEA  ， DAFA 11  ， ABMB 11  （  、 、  R ，且均不为 0） 设 1n 、 2n 分别是平面 A1EF 与平面 B1MC 的法向量， 由 011  EAn 可得 0111  CAn  即 0111  CAn 011  FAn 011  DAn  011  DAn 解得： 1n ＝（1，1，－1） 由 012  MBn 可得 012  ABn  即 012  ABn 012  CBn 012  CBn 012  CBn 解得 2n ＝（－1，1，－1），所以 1n ＝－ 2n ， 1n ∥ 2n ， 所以平面 A1EF∥平面 B1MC． 20．（1）证明：∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥AB，又 AB⊥AD．∴AB⊥平面 PAD．又∵AE⊥PD， ∴PD⊥平面 ABE，故 BE⊥PD． （2）解：以 A 为原点，AB、AD、AP 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点 C、D 的坐标分别为（a，a，0），（0，2a，0）． ∵PA⊥平面 ABCD，∠PDA 是 PD 与底面 ABCD 所成的角，∴∠PDA=30°． 于是，在 Rt△AED 中，由 AD=2a，得 AE=a．过 E 作 EF⊥AD，垂足为 F，在 Rt△AFE 中，由 AE=a，∠EAF=60°，得 AF= 2 a ，EF= 2 3 a，∴E（0， 2 3,2 1 a a） 于是， CDaaAE },2 3,2 1,0{ ={－a，a，0} 设 AE 与CD 的夹角为θ，则由 F y E M x z D1 C1 B1A1 CD BA cosθ= |||| CDAE CDAE   4 2 0)()2 3()2 1(0 02 3 2 1)(0 222222    aaaa aaaa AE 与 CD 所成角的余弦值为 4 2 ． 21．解：（1）略． （2）如图，建立空间直角坐标系 D—xyz, 则知 B（1，1，0）， ).1,2 1,0(),1,1,2 1( FE 设 .),,( 的法向量是平面BDEFzyxn  )1,2 1,0(),0,1,1(,,  DFDBDFnDBn由 得      02 1 0 zyDFn yxDBn 则      .2 1 yz yx 令 )2 1,1,1(,1  ny 得 ． 设点 A1 在平面 BDFE 上的射影为 H，连结 A1D，知 A1D 是平面 BDFE 的斜线段． .2 3)2 1)(1(10)1)(1(),1,0,1(1  nADDA .12 22,cos|||| .2 2 2 32 2 3 |||| ,cos ,2 3)2 1(1)1(||,2)1()1(|| 1111 1 1 11 222222 1        HADADAHA nDA nDAHADA nODA又 即点 A1 到平面 BDFE 的距离为 1． （3）由（2）知，A1H=1，又 A1D= 2 ，则△A1HD 为等腰直角三角形， 4511  HDADHA .45 , ,, 1 11 11      DHA BDFEDADHA BDFEDAHDBDFEHA 所成的角与平面就是直线 上的射影在平面是平面