北师大版高中数学选修2-2试题及答案

高中数学选修 2—2 试题 （时间：120 分钟，共 150 分）制题人：李娜（斗鸡中学） 一、 选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1 ． 若 函 数 ( )y f x 在 区 间 ( , )a b 内 可 导 ， 且 0 ( , )x a b 则 0 0 0 ( ) ( )limh f x h f x h h    的值为（ ） A． ' 0( )f x B． ' 02 ( )f x C． ' 02 ( )f x D．0 2．一个物体的运动方程为 21 tts  其中 s 的单位是米，t 的单位是 秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A．7 米/秒 B．6 米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒 3．函数 3y x x= + 的递增区间是（ ） A． ),0(  B． )1,( C． ),(  D． ),1(  4． 3 2( ) 3 2f x ax x   ,若 ' ( 1) 4f   ,则a的值等于（ ） A． 3 19 B． 3 16 C． 3 13 D． 3 10 5．若曲线 4y x 的一条切线l 与直线 4 8 0x y   垂直，则l 的方程为 （ ） A．4 3 0x y   B． 4 5 0x y   C．4 3 0x y   D． 4 3 0x y   6．函数 )(xf 的定义域为开区间 ),( ba ，导函数 )(xf  在 ),( ba 内的图象 如图所示，则函数 )(xf 在开区间 ),( ba 内有极小值点（ ） a b x y )(xfy  O a b x y )(xfy  O A．1个 B．2 个 C．3个 D． 4 个 7．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0 9 和 字母 A F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关 系如下表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示 1E D B  ,则  BA （ ） A．6E B．72 C．5F D． 0B 8．若 , ,x y R 则" 1"xy  是 2 2" 1"x y  的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不条件 9．下面四个命题 (1) 0 比 i 大 (2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数 (3) 1x yi i   的充要条件为 1x y  (4)如果让实数 a与 ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应， 其中正确的命题个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 10． 1 3( )i i 的虚部为( ) A．8i B． 8i C．8 D． 8 11．给出以下命题： ⑴若 ( ) 0b a f x dx  ，则 f(x)>0； ⑵ 2 0 sin 4xdx   ; ⑶f(x)的原函数为 F(x)，且 F(x)是以 T 为周期的函数，则 0 ( ) ( )a a T T f x dx f x dx    ； 其中正确命题的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 12．函数 y=x2cosx 的导数为( ) (A) y′=2xcosx－x2sinx (B) y′=2xcosx+x2sinx (C) y′=x2cosx－2xsinx (D) y′=xcosx－x2sinx 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 1．从 222 576543,3432,11  中得出的一般性结论是 _____________。 2．曲线 xxy 43  在点(1, 3) 处的切线倾斜角为__________； 3．函数 sin xy x  的导数为_________________； 4．函数 3 2 2( ) ,f x x ax bx a    在 1x 时有极值10，那么 ba, 的值分 别为________。 5. 如果 ( , , 0)z a bi a b R a   且 是虚数，则 22 2, , , , , , , ,z z z z z z z z z z      是 虚数的有 _______个，是实数的有 个，相等的有 组 6．已知 )(xf 为一次函数，且 1 0 ( ) 2 ( )f x x f t dt   ，则 )(xf =_______. 三、解答题（每小题 12 分，共 60 分） 1．已知函数 23 bxaxy  ，当 1x  时，有极大值3； （1）求 ,a b 的值；（2）求函数 y 的极小值。 2．用数学归纳法证明 6 )12)(1(321 2222  nnnn ， )(  Nn 3．用反证法证明：已知 cba ,, 均为实数，且 ,222  yxa ， 62,32 22   xzczyb 求证： cba ,, 中至少有一个大于0 。 4．已知复数 z 满足: 1 3 ,z i z   求 2 2(1 ) (3 4 ) 2 i i z   的值. 5．已知函数 ( ) lnf x x ( 0)x  ,函数 1( ) ( )( 0)( )g x af x xf x    ⑴当 0x  时,求函数 ( )y g x 的表达式; ⑵若 0a  ,函数 ( )y g x 在(0, ) 上的最小值是 2 ,求 a 的值; ⑶在⑵的条件下,求直线 2 7 3 6y x  与函数 ( )y g x 的图象所围 成图形的面积. 标准答案 一、 选择题 1.B 2.C 3.C 4.D 5.A 6.A 7.A 8.B 9.A 10.D 11.B 12.A 二、填空题 1． 2 *1 ... 2 1 2 ... 3 2 (2 1) ,n n n n n n n N            注意左边共有2 1n  项 2． 3 4  ' 2 ' 1 33 4, | 1,tan 1, 4xy x k y           3． 2 cos sinx x x x  ' ' ' 2 2 (sin ) sin ( ) cos sinx x x x x x xy x x     4． 4, 11 ' 2 ' 2( ) 3 2 , (1) 2 3 0, (1) 1 10f x x ax b f a b f a a b            2 2 3 3 4, ,3 119 a b a a b ba a b                  或 ，当 3a   时， 1x  不是极值点 5 ． 4,5,3 2, , ,z z z z   四 个 为 虚 数 ； 2 2, , , ,z z z z z z    五 个 为 实 数 ； 2, ,z z z z z z z        三组相等 6. ( ) 1f x x  三、解答题 1．解：（1） ' 23 2 ,y ax bx  当 1x  时， ' 1 1| 3 2 0, | 3x xy a b y a b       ， 即 3 2 0, 6, 93 a b a ba b        （2） 3 2 ' 26 9 , 18 18y x x y x x      ，令 ' 0y  ，得 0, 1x x 或 0| 0xy y   极小值 2．证明： 01 当 1n  时，左边 1 ，右边 (1 1)(2 1) 16    ，即原式成立 02 假设当n k 时，原式成立，即 2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3 6 k k kk       当 1n k  时， 2 2 2 2 2 2( 1)(2 1)1 2 3 ( 1) ( 1)6 k k kk k k          2 2( 1)(2 1) 6( 1) ( 1)(2 7 6) 6 6 ( 1)( 2)(2 3) 6 k k k k k k k k k k            即原式成立 2 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3 6 n n nn        ， 3．证明：假设 cba ,, 都不大于0 ，即 0, 0, 0a b c   ，得 0a b c   ， 而 2 2 2( 1) ( 1) ( 1) 3 3 0a b c x y z               ， 即 0a b c   ，与 0a b c   矛盾， , ,a b c 中至少有一个大于0 。 4．解：设 ,( , )z a bi a b R   ，而 1 3 ,z i z   即 2 2 1 3 0a b i a bi      则 2 2 41 0 , 4 333 0 aa b a z ibb                2 2(1 ) (3 4 ) 2 ( 7 24 ) 24 7 3 42 2( 4 3 ) 4 i i i i i iz i i           5．解:⑴∵ ( ) lnf x x , ∴当 0x  时, ( ) lnf x x ; 当 0x  时, ( ) ln( )f x x  ∴当 0x  时, 1( )f x x   ; 当 0x  时, 1 1( ) ( 1)f x x x      . ∴当 0x  时,函数 ( ) ay g x x x    . ⑵∵由⑴知当 0x  时, ( ) ag x x x   , ∴当 0, 0a x  时, ( ) 2≥g x a 当且仅当 x a 时取等号. ∴函数 ( )y g x 在(0, ) 上的最小值是2 a ,∴依题意得 2 2a  ∴ 1a  . ⑶由 2 7 3 6 1 y x y x x       解得 21 2 1 3 2 2 , 513 26 xx yy         ∴直线 2 7 3 6y x  与函数 ( )y g x 的图象所围成图形的面积 2 3 2 2 7 1( ) ( )3 6S x x dxx        = 7 ln324 